考点09 函数的周期性和对称性2 类常见考点全归纳
1.了解函数的周期性及其几何意义.
2.能通
平移
过
,分析得出一般的
称和中心
称公式和推
轴对
对
论.
3.会依据函数的性
行
的
用
质进
简单
应
.
考点一 函数的周期性
考向1 由函数周期性求值
考向2 由函数周期性求解析式
考点二 函数的对称性
考向1 自对称中的轴对称
考向2 自对称中的中心对称
考向3 互对称问题
考向4 双重对称问题
考向5 函数对称性的证明
考向6 函数对称性的应用
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D 都有x＋
T∈D,且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的
最小正周期.
2.一个函数的自对称
（1）轴对称:函数f(x+a)是偶函数⇔f(a+x)=f(a−x)或f(x)=f(2a−x)⇔ 函数y=f(x)的图
象关于直线x=a对称.特别地，当a =0时，f(x)=f(−x)，则函数y=f(x)的图象关于y轴对称，函数为
偶函数.推广：若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b−x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+ b
2
对称.
（2 ）中心对称: 函数f(x+a)是奇函数⇔f(a+x)+f(a−x)=0或f(x)+f(2a−x)=0⇔ 函数
y=f(x)的图象关于点(a,0)对称.特别地，当a =0时，f(x)+f(−x)=0，则函数y=f(x)的图象关于
原点对称，函数为奇函数.推广：若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a−x)=2c,则函数y=f(x)的图象关
于点(a,c)对称.
2.两个函数的互对称
（1）函数y=f(x)与y=f(−x)的图象关于y轴对称.
（2）函数y=f(x)与y=−f(x)的图象关于x轴对称.
（3）函数y=f(x)与y=−f(−x)的图象关于原点成中心对称.
3.双重对称
（1）若函数f(x)的图象在定义域内有两条对称轴x=a,x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期
T=2(b−a)（不一定是最小正周期，下同）.
（2）若函数f(x)的图象在定义域内有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a<b)，则函数f(x)是周期函
数，且周期T=2(b−a).
（3）若函数f(x)的图象在定义域内有一条对称轴x=a和一个对称中心B(b,0)(a≠b)，则函数f(x)
是周期函数，且周期T=4|b−a|.
4.奇函数、偶函数的对称性
(1)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x),则函数的图象关于直线x＝a 对称；
(2)若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x),则函数的图象关于点( a ,0)
对称.
(3)若f(x＋a)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴为x ＝
a ；若f(x＋a)是奇函数,则函数f(x)图象的对称中心
为( a ,0)
.
5.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝
1
f ( x) ,则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－
1
f ( x) ,则T＝2|a|.
6.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a 和x＝b 对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a 和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|.
考点一 函数的周期性
考向1 由函数周期性求值
【典例1】已知函数
，则
（ ）
A．-6
B．0
C．4
D．6
【答案】A
【分析】由分段函数解析式，利用周期性求得
，进而求目标函数值.
【详解】由分段函数知：当
时，周期
，
所以
，
所以
．
故选：A
【典例2】已知函数
满足
，且当
时，
，则
_______________．
【答案】1
【详解】因
，则
，得
周期为
，则
，
又
时，
，则
.
故答案为：1.
解题策略：
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决
问题.
(3)
周期函数f(x)满足的条件
周期
a
f(x＋a)＝f(x－a)
2a
f(x＋a)＝－f(x－a)
4a
f(x＋a)＝－f(x)
2a
2a
2a
关于直线x＝a 与x＝b 对称或
2|b－a|
偶函数，关于直线x＝a 对称或
2a
关于点(a,0)与点(b,0)对称或
2|b－a|
奇函数，关于(a，0)对称或
2a
关于直线x＝a 与点(b,0)对称或
4|b－a|
奇函数，关于直线x＝a 对称或
4a
偶函数，关于(a，0)对称或
4a
4a
2a
f(x)＋f(x＋a)＝k(k 为常数)
2a
f(x)·f(x＋a)＝k(k 为常数)
2a
f(x+1)=f(x)-f(x-1)
6
【巩固训练】
1．（江苏省南通市2026 届高三上学期九月份调研测试数学试卷）定义在R 上的函数
是周期为
的偶
函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数奇偶性和周期性求值.
【详解】函数
是周期为
的偶函数，当
时，
，
则
.
故选：B.
2．（25-26 高三上·上海·开学考试）已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
.
【答案】
/0.75
【分析】根据奇函数的定义及
可推出函数的周期，利用周期即可得解.
【详解】根据题意，因为
为奇函数且满足
.
所以
，即
，
所以
，
所以
是周期为4 的周期函数，
，
因为
，
所以
，
故答案为：
3．（22-23 高一上·北京·阶段练习）设
是奇函数且满足
，当
时，
，则
（ ）
A．-1.6
B．-1.2
C．0.7
D．0.84
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出函数
的周期，再结合周期性求出函数值.
【详解】由
，得
，函数
的周期是2，
又函数
是奇函数，且当
时，
，
所以
.
故选：B
考向2 由函数周期性求解析式
【典例1】已知
是定义在
上周期为
的函数，当
时，
，那么当
时，
______.
【答案】
【详解】解：因为当
时，
,
是定义在
上周期为
的函数
所以，
，
故答案为：
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）设
是定义在
上的函数，且对一切
均有
，
当
时，
．
(1)求当
时，函数
的解析式；
(2)求当
时，函数
的解析式．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）当
时，
，根据已知关系式得
，再代入已知解析式即可
得；
（2）根据已知关系式得函数的周期为4，由
时
，利用周期性得
，再由
即可得.
【详解】（1）由于
，则
，即
，
当
时，
，则
；
（2）由
，得
，则
，即函数周期
，
当
时，
，
则
，
因为
，所以
；
2．（24-25 高三上·江苏·期末）已知函数
满足
，且当
时，
，
若关于
的方程
在区间
上有
个不同的实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用周期性得到函数解析式，进而作出图象，将方程有根的问题转化为函数有交点的问题求解参
数范围即可.
【详解】因为
，所以
，
得到
的周期为
，当
时，
，
此时解析式为
，
而
，由二次函数性质得对称轴为
，且
，
当
时，
，
此时解析式为
，
而
，同理可得
，
由题意得当
时，
，
同理可得
，
，
若
在区间
上有
个不同的实数根，
则
和
在区间
上有
个不同的交点，
如图，我们作出
的图象，
由图象可得
，故A 正确.
故选：A
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
满足
．
(1)求证：
是周期函数
(2)若
，求
的值．
(3)若
时，
，试求
时，函数
的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意条件推出
，得到函数的周期；
（2）由（1）中的函数周期得到
；
（3）根据函数的周期和
时的函数解析式，求出
时的函数解析式，再由函数周期及
，求出
时的函数解析式，得到答案.
【详解】（1）证明：由题意知
，则
．用
代替x 得
，
故
是周期为4 的周期函数．
（2）若
，则
．
（3）当
时，
，则
，又周期为4，
所以
．
当
时，
，则
，
根据周期为4，则
．
又
，所以
．
所以解析式为
.
考点二 函数的对称性
考向1 自对称中的轴对称
【典例1】(多选)设f(x)是R 上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x [0,1]
∈
时,f(x)＝x2,则下列说法正
确的是( )
A.f(x)在[3,5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1,最小值是0
C.直线x＝1 是函数f(x)的一条对称轴
D.当3≤x≤4 时,f(x)＝－(x－4)2
答案 ACD
解析 因为f(x)是R 上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),又因为f(2－x)＝f(x),所以f(x)的图象关于直线x＝1 对称,
故C 正确；
因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x),即f(2－x)＋f(－x)＝0,从而f(2＋x)＋f(x)＝0,所以f(4＋x)＋f(2＋x)＝0,所以f(4＋x)
＝f(x),所以f(x)是周期为4 的周期函数,又因为当x [0,1]
∈
时,f(x)＝x2单调递增,所以f(x)在[－1,0]上也单调递增,
从而f(x)在[－1,1]上单调递增,又因为f(x)的周期为4,所以f(x)在[3,5]上单调递增,故A 正确；
因为f(x)在[－1,1]上单调递增,且f(x)的图象关于直线x＝1 对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,所以f(x)在[－1,3]
上的最大值为f(1)＝1,最小值为f(－1)＝f(3)＝－1,故B 错误；
当3≤x≤4 时,0≤4－x≤1,所以f(4－x)＝(4－x)2,因为周期为4,所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2,又因为f(x)为奇函数,
所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2,故D 正确.
【典例2】(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则函数f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)＝x＋1
x＋3
B.f(x)＝ex－3＋e3－x
C.f(x)＝x4－18x2
D.f(x)＝|x2－6x|
答案 BD
解析 若f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则f(6－x)＝f(x).
对于A,f(6－x)＝6－x＋1
9−x ≠f(x),A 错误；
对于B,f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x),B 正确；
对于C,∵f(0)＝0,f(6)＝64－18×62＝648,∴f(0)≠f(6),即f(6－x)＝f(x)不恒成立,C 错误；
对于D,f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x),D 正确.
解题策略：
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
对称.
【巩固训练】
1．（2025 高三·全国·专题练习）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的定义域为
B．
在区间
上单调递增
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象关于直线
对称
【答案】ABD
【分析】对A，由真数大于0，解不等式组求定义域；对B 和C，通过复合函数单调性判断；对D，由
与
关系判断.
【详解】对于A：令
解得
，
所以
的定义域为
，故A 正确；
对于B 和C：函数
，
令
，则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
是增函数，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，故B 正确，C 错误；
对于D：因为
，
，
所以
，
所以
的图象关于直线
对称，故D 正确．
故选：ABD.
2．（25-26 高三上·江苏南通·阶段练习）（多选）已知对任意
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于直线
对称
D．
【答案】ACD
【分析】通过对给定的函数关系式进行赋值，函数的奇偶性、对称性和周期性，逐步推导函数的各项性质，
以及利用这些性质进行求和，进而判断选项的正确性.
【详解】由题意得任意
，
，且
，
令
，则
，则
，
令
，则
，故A 正确；
令
，则
，
所以
的图象关于直线
对称，故C 正确；
令
，则
，
由题意
不恒为0，则
，
即
，故
为奇函数，
又
，则
，
所以
，
则
是以2 为周期的函数，所以
，故B 错误；
而
，则
，
所以
，故D 正确．
故选：ACD．
3．（24-25 高一上·福建厦门·期中）已知函数
对称轴为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据所给条件及关于
对称，利用赋值求解即可.
【详解】因为
，
所以当
时，
，即
，
又函数
对称轴为
，所以
，
令
，则
，解得
，
故选：D
考向2 自对称中的中心对称
【典例1】(多选)下列说法中,正确的是( )
A.函数f(x)＝2x
1
−
x＋2 的图象关于点(－2,2)中心对称
B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称
C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1 过定点(1,2)
D.函数y＝x
1
−
x−b 的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2
答案 ABC
解析 对于A,f(x)＝2x
1
−
x＋2 ＝2(x＋2) 5
−
x＋2
＝2－5
x＋2 ,其图象可以由y＝－5
x 的图象向左平移2 个单位长
度,再向上平移2 个单位长度得到,且y＝－5
x 的图象关于原点对称,故f(x)＝2x
1
−
x＋2 的图象关于点(－2,2)中心
对称,A 正确；
对于B,因为f(2x－1)为奇函数,所以f(2x－1)＝－f(－2x－1),所以f(x－1)＝－f(－x－1),
所以f(x)＝－f(－x－2),所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称,B 正确；
对于C,函数y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长度,再向上平移1 个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1 的图象,
由于y＝f(x)过定点(0,1),故函数y＝f(x－1)＋1 过定点(1,2),C 正确；
对于D,函数y＝x
1
−
x−b ＝(x−b)＋b
1
−
x−b
＝1＋b
1
−
x−b 的图象关于点(3,c)中心对称,
所以{
3−b＝0,
c＝1,
解得{
b＝3,
c＝1,
所以b＋c＝4,D 不正确.
【典例2】已知函数
的图象关于点
对称，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得
.
【解析】由对称中心性质可知函数
满足
，
即
，
整理可得
，即
，
解得
.
故选：C
【典例3】研究下列函数的对称性：
（1）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（2）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（3）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（4）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（5）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（6）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（7）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（8）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（9）若
是奇函数，则
图象的对称中心是 ；
（10）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（11）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（12）若
是偶函数，则
图象的对称轴是 ；
（13）若
的图象关于点
对称，则
图象的对称中心是 ；
（14）若
的图象关于直线
对称，则
图象的对称轴是 ；
（15）
的图象关于直线 对称；
（16）
的图象关于点 对称．
【答案】
【分析】特例法，若题设条件是奇函数，则令
；若题设条件是偶函数，则令
，逐一验证
即可求解；
严格推理的方法，利用对称性的定义验证，若
，对称轴为
，若
，则对称中心为
，逐一验证即可求解.
【详解】破招方法1：用特例法，若题设条件是奇函数，则令
；若题设条件是偶函数，则令
，
（1）令
，再令
，则
，所以
图象的对称中心为
．
（2）若
是奇函数，则
，令
，则
，所以
图象的对称中心为
；
（3）若
是奇函数，则
，令
，则
，所以
，则
图象的对称中心为
；
（4）若
是偶函数，则
，令
，则
，则
图象的对称轴是
；
（5）若
是偶函数，则
，令
，则
，
图象的对称轴是
；
（6）若
是偶函数，则
，则
，则
，则
图象的
对称轴是
；
（7）若
是奇函数，则
，令
，则
，则
，则
图象的对称中心是
；
（8）若
是奇函数，则
，令
，则
，则
，
则
图象的对称中心是
；
（9）若
是奇函数，则
，令
，则
，则
，
则
图象的对称中心是
；
（10）若
是偶函数，则
，令
，则
，则
，则
图
象的对称轴是
；
（11）若
是偶函数，则
，则
，则
，则
图象的对
称轴是
；
（12）若
是偶函数，则
，则
，则
，则
图象的
对称轴是
；
破招方法2：用严格推理的方法，
（13）若
的图象关于点
对称，令
，所以
，
即
，
所以
的图象关于点
中心对称；
（14）若
的图象关于直线
对称，则
，则
，即
，则
图象的对称轴是
；
（15）
，则
，则
，则
的图象关
于直线
对称；
（16）
，则
，则
，则
的图象
关于点
对称
故答案为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
解题策略：
函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b
2
⇔b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋
f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点(
a＋b
2
,c
2)成中心对称.
【巩固训练】
1．（25-26 高三上·北京平谷·开学考试）函数
的值域为 ；
的图象对称中
心是
【答案】
【分析】利用指数函数和反比例函数的性质，即可求出值域；根据条件可得
，即可求解.
【详解】因为
，则
，所以函数
的值域为
，
因为
，则
，所以
，
即
，所以
的图象对称中心是
，
故答案为：
，
.
2．（24-25 高一上·浙江衢州·期末）已知函数
的图象关于点
中心对称的充要条件是函数
为奇函数，则函数
图象的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求得
的定义域，从而得到
，再利用奇函数的性质列式求得
，从而得解.
【详解】对于
，有
，解得
，
所以
的定义域为
，
而
的图象的对称中心为
，则
，
所以
为奇函数，则有
，
即
，
所以
，故
.
故选：C.
3．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线
，
过函数
图象的对称中心，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到
，再对式子变形，利用
基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】函数
，
，其图象的对称中心为点
，
代入直线方程得
．
则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，所以
的最小值为9．
故选：D
考向3 互对称问题
【典例1】已知函数y＝f(x)是定义域为R 的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A.关于直线x＝1 对称
B.关于直线x＝3 对称
C.关于直线y＝3 对称
D.关于点(3,0)对称
答案 A
解析 设P(x0,y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点,则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0)),
所以点Q(2－x0,y0)在函数y＝f(4－x)的图象上,
而点P(x0,y0)与点Q(2－x0,y0)关于直线x＝1 对称,
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1 对称.
【典例2】若函数
的图象与
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】在函数
的图象上任取一点
，
则点
关于直线
对称的点为
，
且点
在函数
的图象上，所以
.
故选：C.
【典例3】函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，其中
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求函数
关于直线
对称的函数解析式，再利用解析式相等，求
的值.
【详解】设点
在函数
的图像上，则点
关于直线
的对称点
，则
，则
，则
，即
与
关于直线
对称，
则
，得
.
故选：D
【巩固训练】
1.（2025·甘肃白银·三模）函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】由对称性得到
即可求解.
【详解】依题意，
．
故选：D
考向4 双重对称问题
【典例1】函数
和
均为
上的奇函数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】A
【分析】由奇函数性质推导出
的周期为4，利用周期性、奇偶性求函数值.
【解析】因为
为奇函数，所以
关于
对称，即
，
又
关于原点对称，则
，有
，
所以
的周期为4，故
.
故选：A
【典例2】【多选】已知定义域为R的函数f(x)在( 1,0]
−
上单调递增，f(1+x)=f(1−x)，且图象关
于点(2,0)对称，则（ ）
A. f(0)=f(2)
B. f(x)在(1,2]上单调递减
C. 2 是f(x)的一个周期
D. f(2025)>f(2026)>f(2027)
【答案】AB
【解】由f(1+x)=f(1−x)，知直线x=1为f(x)的图象的对称轴，所以f(0)=f(2)，故A正确.
因为f(x)的图象关于直线x=1对称，且f(x)在( 1,0]
−
上单调递增，所以f(x)在[2,3)上单调递减.又
f(x)的图象关于点(2,0)中心对称，所以f(x)在(1,2]上单调递减，故B正确.
由f(1+x)=f(1−x)，知f(2+x)=f(−x). 又f(x)的图象关于点(2,0)对称，所以
f(2+ x)=−f(2−x).所以f(−x)=−f(2−x)，即−f(x)=f(2+x).所以f(x+4)=−f(2+x)=f(x).
所以4 为f(x)的一个周期.
由B，得f(2)=0，且f(x)在(1,3)上单调递减，其图象关于直线x=1对称，从而f(x)的周期大于2，所
以f(x)的最小正周期为4，故C错误.
由f(x)的最小正周期为4，得f(2025)=f(1)，f(2026)=f(2)=0，f(2027)=f(3)=−f(1).因为
f(1)∈R，所以无法判断f(1)与0 的大小，故D错误.故选AB.
【典例3】（25-26 高二上·湖北武汉·阶段练习）已知函数
的定义域为R，满足
，若
的图像关于直线
对称，且
，则
（ ）
A．92
B．-205
C．100
D．-19
【答案】A
【分析】根据对称以及题中条件可得
，进而可得
，
利用赋值可得
，
，即可代入求解.
【详解】由于
的图像关于直线
对称，则
，
故
，
又
，故
，
因此
，
，
故
故
，
由
及
可得，
，解得
又
，故
，
，
故选：A
解题策略：
双重对称问题，隐含周期，注意借助对称性与周期性的相关结论解题,辅以草图则更为直观.
【巩固训练】
1.（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
的图象既关于直线
对称，又关于点
对称，且当
时，
，则
．
【答案】0
【分析】根据函数的对称性可得函数的周期性，即可利用周期求解.
【详解】由于函数
的图象既关于直线
对称，故
，
又
关于点
对称，则
，
所以
进而可得
，
故
是周期为4 的周期函数，
故
，
故答案为：
2.（24-25 高二下·福建福州·期末）已知定义在
上的奇函数
的图象关于直线
对称．当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】B
【分析】由对称性可得
，由
为奇函数可得
，再结合
时的函
数解析式求结论.
【详解】因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，
又因为函数
是奇函数，所以
，
又当
时，
，
所以
所以
，
故选：B.
3.已知函数
的图像既关于点
对称，又关于直线
对称，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
用
表示函数
的图像，设
，根据中心对称性与轴对称性，得到
，令
，求出
，即可求出
，即可得解.
【详解】用
表示函数
的图像，对任意的
，
令
，则
，且
，
又函数
的图像既关于点
对称，且关于直线
对称，
所以
，则
，则
，
则
，则
，
令
，即
，此时
或
（舍去），
此时
，即
，因此
.
故选：B
【点睛】关键点睛：本题考查了中心对称与轴对称的应用，求解的关键是根据中心对称与轴对称特点表示
出函数图像上的点之间的关系，然后代值计算.
4.（22-23 高二上·广东深圳·期末）已知定义域为R 的函数
满足
是奇函数，
是偶函数，
则下列结论错误的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
的一个周期为8
【答案】C
【分析】根据
是奇函数，可得
，判断B;根据
是偶函数，推出
，判断A;继而可得
，可判断D；利用赋值法求得
，根据对称性
可判断C.
【详解】由题意知
是奇函数，即
，
即
，即
，
故
的图象关于点
对称，B 结论正确；
又
是偶函数，故
，
即
，故
的图象关于直线
对称，A 结论正确；
由以上可知
，即
，
所以
，则
，
故
的一个周期为8，D 结论正确；
由于
，令
，可得
，
而
的图象关于直线
对称，故
，C 结论错误，
故选：C
【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解
答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.
5.（22-23 高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数
，
的定义域均为R，且
，
，若
的图象关于直线
对称，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设条件利用赋值法可得
为周期函数且周期为
，再结合赋值法可求
、
、
，从而可求
的值.
【详解】因为
的图象关于直线
对称，故
，
因为
，故
，
因为
，故
，
所以
，故
，
所以
，故
，
所以
为周期函数且周期为
.
因为
且
，故
，
又
，故
即
，
而
即
，
故
，
而
且
，故
，
故
.
故
，
故选：A.
考向5 函数对称性的证明
【典例】已知函数
．
(1)求不等式
的解集；
(2)证明：曲线
是中心对称图形；
(3)若关于
的不等式
在
上有解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）原不等式可变形为
，分类讨论后可求不等式的解集；
（2）根据函数解析式可得
，故可证函数图象中心对称；
（3）根据函数的单调性和对称性可得
在
上有解，参变分离后可求
的取值范围.
【详解】（1）易得不等式
即
．
当
时，
，解得
，
当
时，
，解得
．
综上可知，不等式
的解集为
．
（2）因为
的定义域为
，
对任意的
，都有
，
且
，
从而
，
即
的图象关于点
对称，所以曲线
是中心对称图形．
（3）因为
（
），所以
，
所以
在
，
上单调递增．
由（2）可知，
，所以
，
所以
在
上有解，
即
在
上有解．
又因为
，所以
，
，
所以
在
上有解，即
．
由
，得
，故
，即
或
．
所以
的取值范围是
．
【巩固训练】
1.（25-26 高二上·山东日照·开学考试）函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是
．已知函数
．
(1)判断函数
的单调性，并利用定义证明；
(2)求证：函数
的图象关于点
中心对称；
(3)若对
，且
，恒有
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
在定义域R 内单调递增，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用定义法判断并证明
的单调性；
（2）利用图像关于点成中心对称图形的充要条件证明；
（3）根据单调性和对称性可得
，结合恒成立问题可得
，运算求解即可.
【详解】（1）函数
在定义域R 内单调递增，证明如下：
，任取
，令
，
则
，
，
，
故
，
即
，所以
在定义域R 内单调递增.
（2）证明：因为
的定义域为R，
，
，
有
，
所以
的图象关于点
对称.
（3）因为
，即
，
由（1）可知：
在定义域R 内单调递增，则
，
由（2）可知：
，即
，
可得
，即
，
由
，得
，
即
，解得
，
所以实数m 的取值范围为
.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
．
(1)求
的定义域、值域；
(2)讨论
的对称性；
(3)讨论
的单调性．
【答案】(1)定义域为
，值域为
(2)
的图象关于
成中心对称；
(3)
在
上单调递减
【分析】（1）根据函数解析式由分母不为零，可求得定义域；由反比例函数图象性质可求得值域；
（2）结合对称性定义，可知
，求出对称中心；
（3）利用复合函数单调性定义可判断出结果；
【详解】（1）根据解析式可得
，解得
，
因此定义域为
；
易知
，又易知函数
为单调递增函数，
且
时，
，当
时，
，且
；
因此函数
的值域为
.
（2）易知
，
因此可得
的图象关于
成中心对称；
（3）易知
，由指数函数
和
在
上单调递增，
可知
为单调递增函数，
再由复合函数单调性可得
在
上单调递减,其图象如下图所示：
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.证明：曲线
是中心对称图
形；
【答案】证明见解析
【分析】设
为
图象上任意一点，可证
关于
的对称点为
也在函
数的图象上，从而可证对称性；
【详解】
的定义域为
，
设
为
图象上任意一点，
关于
的对称点为
，
因为
在
图象上，故
，
而
，
，
所以
也在
图象上，
由
的任意性可得
图象为中心对称图形，且对称中心为
．
考向6 函数对称性的应用
【典例】已知函数
满足
，函数
．且
与
的图象交点为
，
，
，
…
，则
．
【答案】48
【分析】求函数图像的对称中心，由函数的对称性求值.
【详解】函数
满足
，则函数
的图像关于点
对称，
函数
，函数
的图像关于原点对称，则函数
的图像关于点
对称，
与
的图象的8 个交点，也两两关于点
对称，
则
.
故答案为：48
【巩固训练】
1.（25-26 高三上·山西太原·阶段练习）已知函数
满足
，若函数
与
的图象有6 个交点，交点横坐标为
，则
（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】D
【分析】由函数的对称性易得
和
的图象都关于直线
对称，从而根据对称性求解两个
图象所有交点横坐标的和.
【详解】由
知
的图象关于直线
对称，
又
的图象也关于直线
对称，
所以函数
与
的图象有6 个交点，分3 对分别关于直线
对称，
每对交点的横坐标之和为4，所以
.
故选：D.
2．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知函数
的定义域为
，函数
是偶函数，函数
的图象关于直线
对称，若当
时，
，则
（ ）
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】利用
为偶函数和
的图象关于直线
对称得依次得到
和
，进而求出函数
是周期为6 的周期函数，根据周期性即可分析
求解.
【详解】因为
为偶函数，所以
，即
，
故
的图象关于直线
对称，
由
的图象关于直线
对称得
，
即
对任意
恒成立，则
，
所以
图象关于点
对称，
又
，所以
，即
，
所以
，所以
是周期为6 的周期函数，
又当
时，
的图象关于直线
对称，
所以当
时，
，
所以
，
，
所以
，
所以
．
故选：C
3．（2025 高一上·全国·专题练习）已知函数
的定义域均为
，且
．若
的图象关于直线
对称，
，则
（ ）附注：
．
A．－21
B．－22
C．－23
D．－24
【答案】D
【分析】方法一：根据
的图象关于直线
对称得到
，然后通过替换得到
为周期为4 的周期函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可；方法二：根据
，
，证明
是以4 为周期的周期函数，
，通过赋值和周期性求函数值即可.
【详解】方法一：因为
的图象关于直线
对称，所以
．
由
，得
，所以
．
因为
，所以
．
由
，得
，于是
，即
是以4 为周
期的周期函数．
由
和
，得
，故
．
由
和
，得
，故
．
由
，得
－2，故
．
由
，得
，故
．
于是
．
方法二：因为
的图象关于直线
对称，所以
，则
．
因为
，所以
①
，则
．
因为
，所以
，则
②
．
因此
，即
是以4 为周期的周期函数．
由
得
①②
．
于是
，
故选：D.
1．设函数
是以2 为最小正周期的周期函数,且当
时,
.求
,
的值.
【答案】
,
【解析】直接利用函数的周期求解.
【详解】解:由题意可知,
;
.
【点睛】本题主要考查函数的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知函数
的定义域为R,且函数图像关于
对称,
在区间
是增函数,判断
在
上的单调性.
【答案】函数
在
为减函数.
【解析】根据题意可得
，设
,则
,从而可得
，任取
,且
,即可得
，由题意即可证出.
【详解】解:因为函数
的图像关于
对称,所以
.
设
,则
,所以
.任取
,且
,
则
.因为
在
上为增函数,所以
,
所以
,因此函数
在
为减函数.
【点睛】本题考查了利用函数的对称性证明函数的单调性，属于基础题.
3．证明函数
的图象关于y 轴对称.
【答案】证明见解析.
【分析】先证明函数
为偶函数，利用偶函数的性质即得证
【详解】由题意，函数
的定义域为R，
且
.
故函数
为偶函数，偶函数的图象关于y 轴对称.
故函数
的图象关于y 轴对称，即得证.
4．设a 为给定实数，函数
的定义域为A.
（1）若对于任意
，都有
，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.
（2）若对于任意
，都有
，问：此函数的图象一定具有怎样的对称性？说明理由.
【答案】（1）关于直线
成轴对称．（2）关于点
成中心对称，
【分析】（1）由已知性质得出函数图象上的点关于直线
对称，即证明
图象上任一点关于直
线的对称点仍然在函数图象上；
（2）由已知性质得出函数图象上的点关于点
成中心对称，即证明
图象上任一点关于点
的对称点仍然在函数图象上．
【详解】（1）设
是
图象上任一点，又
则
，
所以
也是函数图象上的点，
又
的中点坐标为
在直线
上，且
与直线
垂直，即
关于直线
对称，而
是函
数
图象上任一点，即
图象上任一点关于直线
的对称点仍然在函数图象上，
所以函数
的图象关于直线
成轴对称．
（2）设
是
图象上任一点，又
则
，
，
所以
也是函数图象上的点，
又
的中点坐标为
，即
关于点
成中心对称，而
是函数
图象上任一点，即
图象上任一点关于点
的对称点仍然在函数图象上，
所以函数
的图象关于点
成中心对称．
5．已知函数
的图像与函数
的图像关于
对称，求
的解析式．
【答案】
，
【分析】设
是函数
的图象上的任意一点，点
关于
的对称点
，即可得到
，再根据
在函数
的图像上，代入即可得到所求函数解析式；
【详解】解：设
是函数
的图象上的任意一点，点
关于
的对称点
，则
，所以
，因为
在函数
的图像上，所以
，则
，即
，所以
的解析式为
，
；
6．设函数
定义在
上，它的图象关于直线
对称，且当
时，
，试比较
，
，
的大小．
【答案】
【分析】判断
的对称性和单调性，据此即可比较大小.
【详解】因为
关于
对称，当
时，
是单调增函数，
又
，
，又
，故
，
即
.
7．已知函数
对任意实数x 都有
，并且对任意
，总有
，比较
下列各组值的大小：
(1)
和
；
(2)
和
；
(3)
和
；
(4)
和
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据题目条件得到
关于
对称，且
在
上单调递增，从而
在
上单调递减，从而判断出
；
（2）赋值得到
；
（3）先得到
，结合
在
上单调递减比较大小；
（4）先得到
，结合
在
上单调递减比较大小.
【详解】（1）
，其中
，故
关于
对称，
对任意
，总有
，故
在
上单调递增，
则
在
上单调递减，
由于
，故
；
（2）
中，令
得
；
（3）由于
，故
，
因为
在
上单调递减，且
，
所以
；
（4）由于
，故
，
即
，
因为
在
上单调递减，且
，
所以
，故
.
8．已知函数
是定义在R 上周期为2 的奇函数，若
，求
的值.
【答案】
，
【解析】根据函数周期以及奇偶性找自变量之间关系，即可解得结果.
【详解】解：由题意可得
，
.
.
【点睛】本题考查根据函数周期以及奇偶性求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．函数
满足
，那么，它是以
为周期的函数吗？
【答案】不是
【分析】根据函数周期性的定义可得出结论.
【详解】解：根据题意，函数
满足
，
但对于
且
，
，
故函数
不是以
为周期的函数.
10．函数
是周期为2 的周期函数，且
，
．
(1)画出函数
在区间
上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求
的值；
(3)求
在区间
上的解析式，其中
．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
；
(3)
，
.
【分析】（1）根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、最值；
（2）利用周期性求函数值即可；
（3）由
，代入已知解析式，根据周期性即可得解析式.
【详解】（1）由
的周期性及
上解析式，得区间
上的图象如下：
由上图知：增区间为
，减区间为
；
零点为
共3 个；最大值为1，最小值为0.
（2）由题设
.
（3）令
且
，则
，
又
，则
，即
，
综上，在区间
上
，
.
11．已知函数
的定义域为
，且函数图像关于点
对称，
在区间
上是增函数，判断
在区间
上的单调性.
【答案】
在
上为增函数.
【解析】根据中心对称得到
，设
，且
，则
，计算
得到证明.
【详解】因为函数
的图像关于点
对称，所以
.
设
，则
.
设
，且
，则
且
.
因为
在
上为增函数，所以
.
故
，
所以
，所以函数
在
上为增函数.
【点睛】本题考查了利用定义法证明函数单调性，函数的中心对称，意在考查学生对于函数知识的综合应
用.
12．周期函数
的图象如图．
(1)求函数
的最小正周期；
(2)写出函数
的解析式．
【答案】(1)
(2)
，
，
.
【分析】（1）由图象可得出函数
的最小正周期；
（2）求出函数
在
上的解析式，再结合函数周期性的定义可求得函数
的解析式.
【详解】（1）解：由图可知，函数
的最小正周期为
.
（2）解：当
时，设
，则
，即
；
当
时，设
，则
，可得
，即
.
故当
时，
，
因为函数
是以
为最小正周期的周期函数，故对任意的
，
，
对任意的
，当
时，
，
则
.
因此，函数
的解析式为
，
，
.
13．我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数，
有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数.
（1）求函数
图象的对称中心；
（2）类比上述推广结论，写出
函数
“
的图象关于y 轴成轴对称图形的充要条件是函数
为
偶函数
的一个推广结论
”
.
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】（1）将函数
的解析式经过适当的变形，得出
，构造函数
，利用
奇偶性的定义证明
为奇函数，根据题设条件即可得出函数
图象的对称中心；
（2）将
函数
“
的图象关于点
成中心对称图形
，类比为
函数
”
“
的图象关于直线
成轴对称图形
，再将
函数
”
“
为奇函数
，类比为
函数
”
“
为偶函数
，即
”
可写出结论.
【详解】解：（1）
.
设
，则
.
为奇函数.
的图象关于点
对称.
即
的图象的对称中心是点
.
（2）函数
的图象关于直线
成轴对称图形的充要条件是函数
为偶函数.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的证明以及函数的对称性，属于中档题.
