专题04
立体几何初步
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体
的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多
面体的内切球。
2．球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥P
ABCD
中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：
P ABCD
O ABCD
O PBC
O PCD
O PAD
O PAB
V
V
V
V
V
V
即：
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
P ABCD
ABCD
PBC
PCD
PAD
PAB
V
S
r
S
r
S
r
S
r
S
r
，可求出r .
3．球的外接问题
（1）公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
（2）补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（
CD
AB
，
BC
AD
，
BD
AC
）
（3）单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P
ABC
中，选中底面ABC
，确定其外接圆
圆心
1
O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心
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2
sin
a
r
A
）；
②过外心
1
O 做（找）底面ABC
的垂线，如图中
1
PO 面ABC ,则球心一定在直线（注意不一定在线段
1
PO
上）
1
PO 上；
③计算求半径R :在直线
1
PO 上任取一点O 如图：则OP
OA
R
，利用公式
2
2
2
1
1
OA
O A
OO
可计算
出球半径R .
（4）双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥P
ABC
中：
①选定底面ABC
，定ABC
外接圆圆心
1
O
②选定面PAB
，定PAB
外接圆圆心
2
O
③分别过
1
O 做面ABC 的垂线，和
2
O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O .
4．（传统法）核心技巧：平移使相交
具体操作，通过平移一条（或2 条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角
5 直线与平面所成角
（1）斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做
斜线在平面内的射影.
注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.
如图，直线l 是平面的一条斜线，斜足为M ，斜线上一点A 在平面上的射影为O ，则直
线MO 是斜线l 在平面上的射影.
（2）传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：
①在直线l 上任取一点A（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）
垂线AO ；
②连接斜足与垂足MO ；
③则斜线l 与射影MO 所成的角
AMO
，就是直线与平面所成角.
（3）传统法之等体积法求垂线段法(如右图）
①利用等体积法求垂线段AO 的长；
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②sin
AO
AMO
AM
6.二面角
（1）定义法
在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱
的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.
（2）三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射
影垂直.
具体操作步骤（如图在三棱锥P
ABC
中）求二面角P
AB
C
：
①第一垂：过点P 向平面ABC 引垂线PO （一般是找+证，证明PO
ABC
）
②第二垂：在平面ABC 中，过点O 作
1
OO
AB
,垂足为
1
O
③第三垂：连接
1
PO （解答题需证明
1
PO
AB
）
（3）射影面积法（cos
s
S
q =
射影）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影
面积公式（cos
S
S
射
斜
）求出二面角的大小.
题型一空间几何体内切球
例题1（2024·全国·模拟预测）已知球O是底面半径为4、高为8 2 的圆锥的内切球，若球O内有一个内接
正三棱柱，则当该正三棱柱的侧面积最大时，正三棱柱的体积为
．
例题2（2022·江苏连云港·模拟预测）在四棱锥P
ABCD
中，底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是等边三角形，
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侧面PAB 底面ABCD，
2 3
AB
，若四棱锥P
ABCD
存在内切球，则内切球的体积为
，此时四
棱锥P
ABCD
的体积为
．
例题3（2023 下·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆
柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，
1
O 、
2
O 为圆柱两个
底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆
1
O 的一条直径，若球的半径
2
R
，则
①平面DEF 截得球的截面面积最小值为
；
②若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE
PF
的取值范围为
．
练习题
1．（2023 下·浙江嘉兴·高一校联考期中）一个棱长为a 的正四面体中内切一个球O，若在此四面体中再放
入一个球O，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球O的半径为（
）
A．
6
8 a
B．
2
8 a
C．
6
24 a
D．
2
24 a
2．（多选）（2023 下·河北保定·高一校联考期中）如图，已知圆锥的底面圆心为O，半径
3
r
，圆锥的
体积为π，内切球的球心为
1
O ，则下列说法正确的是（
）
A．侧面积为2 3π
B．内切球
1
O 的表面积为
84
48 3 π
C．过点P 作平面截圆锥的截面面积的最大值为
3
D．设母线PB 中点为M ，从A 点沿圆锥表面到M 的最近路线长为
3π
5
4cos
2
3．（2023 上·广东深圳·高二红岭中学校考期中）正四面体ABCD的棱长为1，点P 是该正四面体内切球球
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面上的动点，当PA PD
取得最小值时，点P 到AD 的距离为
.
4．
（2023 下·山东潍坊·高一统考期末）如图，在正六棱锥P
ABCDEF
中，球O是其内切球，
2,
13
AB
PC
，
点M 是底面ABCDEF 内一动点（含边界），且OM
OP
.
(1)求正六棱锥P
ABCDEF
的体积；
(2)当点M 在底面ABCDEF 内运动时，求线段OM 所形成的曲面与底面ABCDEF 所围成的几何体的表面积.
题型二空间几何体外接球
例题1．（2023 上·安徽·高三校联考阶段练习）在ABC
中，
6
BC
，
8
AB
AC
，E，F，G 分别为三边BC ，
CA ，AB 的中点，将AFG
，BEG
，
CEF
△
分别沿FG ，EG ，EF 向上折起，使得A，B，C 重合，记为P ，
则三棱锥P
EFG
的外接球表面积的最小值为（
）
A．15π
2
B．17π
2
C．19π
2
D．21π
2
例题2．（2023 上·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图，已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面是等腰直角
三角形，
1
2
AA
，
1
AC
BC
，点D 在上底面
1
1
1
A B C （包括边界）上运动，则三棱锥D
ABC
外接球表面
积的最大值为（
）
A．81π
16
B．6π
C．243π
64
D．2 6π
例题3．
（2024·陕西渭南·统考一模）在三棱锥
P
ABC 中，底面ABC 为等腰三角形，
120
ABC
，且AC
PA
，
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平面PAC 平面
,
ABC PA
BC
，点Q 为三棱锥
P
ABC 外接球O上一动点，且点Q 到平面PAC 的距离的
最大值为1
7
，则球O的表面积为
．
例题4．（2023 上·江西九江·高二九江一中校考期中）如图，DE 是边长为8 3 的正三角形ABC 的一条中位
线，将
ADE
沿DE 翻折至
1A DE
△
，当三棱锥
1
C
A BE
的体积最大时，四棱锥
1A
BCDE
外接球O的表面
积为
；过EC 靠近点E 的三等分点M 作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是
练习题
1．（2023 上·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）正四棱锥P
ABCD
的底面边长为4 2 ，
4 5
PA
则平面PCD截四棱锥P
ABCD
外接球所得截面的面积为（
）.
A．100
9
B．50
3
C．200
9
D．100
3
2．（2023 上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知三棱锥
P
ABC 满足PA 底面ABC ，
在ABC
中，
6
AB
，
8
AC
，AB
AC
，D 是线段AC 上一点，且
3
AD
DC
．球O为三棱锥
P
ABC 的
外接球，过点D 作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π ，则球O的表面积
为
.
3．（2023 上·安徽亳州·高二校考阶段练习）如图，在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，P 在棱
1
AA 上
运动，当二面角
1
P
BD C
为直二面角时，四面体
1
P
BDC
的外接球表面积为
．
4．（2022 上·福建福州·高三福建省连江第一中学校考期中）如图，DE 是边长为4 3 的正三角形ABC 的一
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条中位线，将
ADE
沿DE 翻折至
1A DE
△
，当三棱锥
1
C
A BE
的体积最大时，四棱锥
1A
BCDE
外接球O的
表面积为
；过EC 的中点M 作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是
．
5．（2023 下·福建漳州·高二校考期中）在三棱锥
P
ABC 中，已知ABC
是边长为2 的正三角形，PA 平
面ABC ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若异面直线MN 、PB 所成角的余弦值为3
5 ，则PA 的长为
，
三棱锥
P
ABC 的外接球表面积为
．
6．（2022 上·江西抚州·高三临川一中校考期中）已知菱形ABCD的各边长为2,
60
D
.如图所示，将ACD
沿AC 折起，使得点D 到达点S的位置，连接SB ，得到三棱锥S
ABC
，此时
3
SB
.若E 是线段SA的中点，
点F 在三棱锥S
ABC
的外接球上运动，且始终保持EF
AC
则点F 的轨迹的面积为
.
题型三最小距离问题
例题1．
（2022 下·河北邢台·高一邢台市南和区第一中学校考阶段练习）在正四棱锥P
ABCD
中，
4
PA
AB
，
M 为PA 的中点，N 为BC 的中点，则从点M 沿着四棱锥的表面到点N 的最短路径的长度为（
）
A．2 7
B．2 6
C．4
D．3
例题2．（2021·浙江杭州·浙江省杭州第二中学校考模拟预测）已知正三棱锥D
ABC
中，底面是边长为1的
正三角形ABC ，侧棱长为
2
2
，M 为AC 的中点，E 为AB 中点，P 是DM 的动点，Q 是平面ECD 上的动
点，则AP
PQ
的最小值是（
）
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A．
3
1
4
B．
6
2
4
C．
3
1
4
D．
6
2
4
例题3．
（2019 上·山西·高二统考期中）如图，在四棱锥P
ABCD
中，PD 平面ABCD，AB
AD
，AB
CD
∥
，
2
AD
CD
PD
，
1
AB ，E 为PC 的中点，F 为线段PB 上的动点，则
2
AF
EF
的最小值为
．
练习题
1．（2021 下·河北张家口·高一统考期末）如图所示，在直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
1
AA ，
3
AB
BC
，
1
cos
3
ABC
，P 是
1A B 上的一动点，则
1
AP
PC
的最小值为（
）
A．5
B．
7
C．1
3
D．3
2．（2020·浙江·高二专题练习）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
的棱长为3，M ，N 分别为
1
AB ，
1
1
AC 上的点，
且
1A N
AM
，
1
2
AM
MB
，P ，Q 分别为
1
BB ，
1
1
B C 上的动点，则折线MPQN 长度的最小值为（
）
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A．3
B．13
C．5
2
D．10
3．（2023 下·浙江嘉兴·高一统考期末）如图，棱长为3 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，点G 在线段AC 上且
3
AG
，点
,
,
E F H 分别为线段
1
1
1
,
,
A B AG A A 上的动点，则空间四边形AFHE 周长的最小值为（
）
A．
3 1
3
2
B．
3 1
6
2
C．
3
2
6
2
D．
3
3
6
2
4．（2019 上·浙江·高二校联考期中）如图，棱长为1 的正方体
1
1
1
ABCD
A B C D
中，E 为
1
CD 的中点，F 为
对角线
1
BD 上的动点，G 为棱AB 上的动点，则EF
FG
的最小值为
.
题型四异面直线所成角问题
例题1．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的底面是边长为2 的正方形，侧棱与
底面垂直，O 为AC 的中点，若点O 到平面
1
1
AB D 的距离为4
3 ，则直线
1
OD 与直线
1
BC 所成角的余弦值为（
）
A．3 10
10
B．2 2
3
C．10
10
D．1
3
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例题2．（多选）（2023 上·安徽黄山·高二统考期末）三棱台
1
1
1
BCD
B C D
中，
1
CC 底面BCD，BC
CD
，
1
2
BC
CD
CC
，
1
1
1
B C ，若A 是BD 边的中点，点P 在侧面
1
1
BDD B 内，则直线
1
DC 与直线AP 的夹角
的余弦值可能是（
）
A．
31
6
B．
33
6
C．
34
6
D．
35
6
例题3．（2021 下·湖北·高一期末）在Rt
ABC
△
中，
π ,
1,
3,
2
C
AC
BC
D
是AB 边上动点，设BD
x
，
把BDC
沿DC 翻折为
1
B DC
，若存在某个位置，使得异面直线
1B C 与AD 所成的角为π
3 ，则实数x 的取值
范围是
．
例题4．（2021 下·浙江宁波·高一校联考期末）已知三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，棱长均为2 ，顶点
1A 在底面ABC
上的射影恰为AB 的中点D ，E 为AC 的中点，则直线BE 与直线
1
AB 所成角的余弦值为
．
练习题
1．（2023·全国·模拟预测）柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为a
的柏拉图多面体EABCDF ，点P ，Q ，M ，N 分别为DE ，AB ，AD ，BF 的中点，则异面直线PQ与MN
所成角的余弦值为（
）
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A．3
4
B．2
3
C．
1
2
D．1
3
2．（2022 下·河北衡水·高三校联考阶段练习）在体积为3 2
2
的直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
ABC
为锐角，
且
3
3
AB
BC
，
1
2 6
3
AA
，则异面直线AB 与
1
1
AC 所成角的正弦值为（
）
A．
21
14
B．
7
7
C．2 7
7
D．
21
7
3．（2021 上·湖北荆州·高二沙市中学校考期中）三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面边长和侧棱长都相等，
1
1
60
BAA
CAA
，则异面直线
1
AB 与
1
BC 所成角的余弦值为（
）
A．
6
6
B．
3
3
C．1
6
D．1
3
4．（2020 上·天津滨海新·高二汉沽一中校考期末）正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，M 是AB 的中点，则
1
DB 与CM
所成角的余弦值为
．
5．（2021 上·江西吉安·高二校联考期中）已知三棱锥B
ACD
中，棱AB ，CD ，AC 的中点分别是M，N，
O，ABC
，ACD
，BOD
都是正三角形，则异面直线MN 与AD 所成角的余弦值为
.
题型五直线与平面所成角问题
例题1．（2023 上·辽宁·高二校联考期中）在空间中，三个平面PAB，PBC，PAC 相交于一点P，已知
60
APB
APC
BPC
，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值等于（
）
A．
6
3
B．
3
3
C．
1
2
D．
2
2
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例题2．（2023 上·海南海口·高二海口一中校考阶段练习）在ABC
中，
π
π
,
,
1,
6
2
A
B
BC
D
为AC 中点，
若将
BCD
△
沿着直线BD 翻折至
BC D
△
，使得四面体C
ABD
的外接球半径为1，则直线BC与平面ABD
所成角的余弦值是（
）
A．
3
3
B．2
3
C．
5
3
D．
6
3
例题3．
（2023 上·广东东莞·高二校联考期中）如图，在棱长为6 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点P 在面
1
1
AB D
内，
1
3 2
A P
，则
1
C P 与面
1
1
AB D 所成角的正切值为m ，则m 的取值范围是
.
例题4．（2023 下·福建厦门·高一统考期末）如图，在四棱锥E
ABCD
中，底面ABCD为直角梯形，AB
CD
，
90
ABC
，
2 2
AB
，
2
BC
CD
．
(1)若平面ADE 平面ABCD，求证：AE
BD
；
(2)若
2
AE
DE
，设CE 和平面ABCD所成角为，求
2
tan 的最大值．
练习题
1．（2023 上·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）在三棱锥中
P
ABC ，
2 2
AB
BC
，且
AB
BC
．记直线PA ，PC ，PB 与平面ABC 所成角分别为，，，已知
2
60
，当三棱锥
P
ABC
的体积最小时，tan（
）
A．3 34
17
B．
6
4
C．
15
5
D．
15
10
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2．（2023 上·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的边长为3，点P
在正方形ABCD内（包括边界），满足
2
PB
PA
，则直线
1
PC 和平面ABCD成角正切的最大值是（
）
A．3 13
13
B．
2
2
C．1
D．3
2
3．（2023 下·云南大理·高一统考期末）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E ，F 分别是AB ，AD 的中
点，GC 平面ABCD，且
2
GC
，则BE 与平面EFG 所成角的正弦值为（
）
A．
17
17
B．
2
2
C．
2
6
D．2 17
17
4．（2023 上·广东广州·高二华南师大附中校考期中）在三棱锥S
ABC
中，
2
SA
SB
，
2
AB
，
1
BC ，
AB
BC
，若SC 与平面SAB 所成角的最大值为，则
2
sin 的值为
．
5．（2023 下·云南玉溪·高一统考期末）如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为2，E，F 分别为
1
1
B C ，
1
1
C D
的中点，P 是底面
1
1
1
1
D
C
B
A
上一点．若
/ /
AP
平面BEF，则AP 与平面
1
1
1
1
D
C
B
A
成角的正弦值的取值范围
是
．
6．（2023 下·四川宜宾·高一统考期末）如图，在几何体ABCDEF 中，平面ACE 平面ABCD，四边形ABCD
是平行四边形，
90
ACB
，EF
BC
∥
.
(1)证明：CE
EF
；
(2)若
2 2
AC
BC
，
2
EF
，
2
AE
EC
，G 为DE 上一动点，求直线CG 与平面ABF 所成角的正弦
值的取值范围.
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题型六二面角问题
例题1．（2023 上·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）已知
, ,
,
A B C D 是体积为36π 的球体表面上的四点，
2,
90 ,
30
AB
ACB
ADB
，则平面CAB 与平面DAB 的夹角的余弦值为（
）
A．
6
4
B．
10
4
C．1
3
D．
3
3
例题2．（2023 上·山东·高二济南市历城第二中学校联考阶段练习）在矩形ABCD中，
2,
1
AB
BC
，现将
ABD
△
沿对角线BD 翻折，得到四面体ABCD，记二面角A
BD
C
为，当在π
2
2π
, 3
内变化时，AC 的
取值范围是
.
例题3．（2022 上·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）在正方体ABCD
A B C D
中，点P 是AA上的动
点，Q 是平面BB C C
内的一点，且满足A D
BQ
，则二面角P
BD
Q
余弦值的取值范围是
．
例题4．（2023 下·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）如图；在三棱柱ADP
BCQ
中；侧面ABCD为
矩形．
(1)若PD 面ABCD；
2
2
PD
AD
CD
，
2
NC
PN
，求证：DN
BN
；
(2)若二面角Q
BC
D
的大小为；
π 2π
,
4
3
，且
2
cos 2
AD
AB
；设直线BD 和平面QCB 所成角为；
问当变化过程中能否取到π
3 ；若能；请证明；若不能请说明理由．
练习题
1．
（2022 上·辽宁铁岭·高三校联考期末）将边长为2 3 ，锐角为60的菱形沿较长的对角线折叠成大小为rad
的二面角，若该菱形折叠后所得到的三棱锥内接于表面积为84π 的球，则的值为
．
2．（2023 上·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）四棱锥S
ABCD
的底面是正方形，SD 平面ABCD，
2
SD
，
2
AD
，点E 是SD 上的点，且DE
（0
2
），二面角C
AE
D
的大小为，直线BE 与
平面ABCD所成的角为，若tan
tan
1
，则的值为
．
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3．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥P
ABCD
的底面是边长为2 的正方形，
3 2
2
PB
PD
，二面
角P
BD
C
的余弦值为
2 5
5
，则四棱锥P
ABCD
的外接球的表面积为
．
4．（2023 下·福建福州·高一福建省福州第一中学校考期末）如图，已知矩形ABCD，
2
4
BC
AB
，M 是
AD 的中点，现将ABM
沿着BM 翻折至PBM
．
(1)若
2 3
PC
，求证：平面PBM 平面BCDM ；
(2)求二面角P
CD
B
的正弦值的最大值．
5．（2023 下·福建泉州·高一统考期末）如图，在正三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
2
A B
，O为
1A B 的中点，E 、
F 在
1AC 上，
1
2
3
3
EF
A E
FC
.
(1)试在直线
1A B 上确定点P ，使得对于
1
FC 上任一点D ，恒有
//
PD
平面AOE ；（用文字描述点P 位置的确
定过程，并在图形上体现，但不要求写出证明过程）
(2)已知Q 在直线
1A A上，满足对于
1
FC 上任一点D ，恒有
//
QD
平面AOE ，P 为（1）中确定的点，试求当
1A PQ
△
的面积最大时，二面角
1
P
AC
Q
的余弦值.
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题型七点到平面（直线）距离问题
例题1．（2023 上·江苏无锡·高二无锡市市北高级中学校考阶段练习）已知四边形ABCD为正方形，P 为平
面ABCD外一点，PD
AD
，
2
PD
AD
，二面角P
AD
C
的大小为60，则点A 到平面PBD 的距离是
（
）
A．2 21
7
B．
3
C．
6
2
D．1
例题2．（2024 上·上海·高二上海市控江中学校考期末）在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂
直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
,
AB
BC A A
AB
，堑堵的顶点
1
C 到直线
1AC
的距离为m ，
1
C 到平面
1A BC 的距离为n，则n
m 的取值范围是
.
例题3．（2019 下·福建泉州·高一福建省晋江市养正中学校联考期末）如图，两个正方形ABCD，ECBF 边
长为2，
5
12
FBA
.将
ABD
绕AB 旋转一周，则在旋转过程中，D 与平面ECBF 的距离最大值为
.
练习题
1．（2023 上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
的棱长为4，
,
,
,
M E F G 分别为
1
1
1
1
,
,
,
B C BC CC BB 的中点，点C 到平面AEF 的距离为h 则（
）
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A．平面AEF 截正方体所得的截面面积为18
B．直线AF 与平面
1AGM 平行
C．直线
1B D 与平面
1AGM 垂直
D．点M 到平面AEF 的距离为2h
2．（2023 上·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期中）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
棱长为2，动点P
在
1
ACD
△
的内切圆圆周上运动，M 为棱
1
1
A B 的中点，现将直线BM 绕棱
1
BB 旋转，则在旋转过程中，动点P
到动直线BM 距离的最小值为
．
3．（2023 上·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）若正四面体SABC 的棱长为3，平面ABC 内有一
动点P 到平面SAB 、平面SBC 、平面SCA的距离依次成等差数列，则点P 在面ABC 内的轨迹的长度为
.
4．（2019·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中，底面ABCD是边长为
4 的正方形，侧棱
1
4
AA
a a
，M 是BC 的中点，点P 是侧面
1
1
ABB A 内的动点（包括四条边上的点），
且满足tan
3tan
APD
MPB
，则三棱锥
P
ABC 的体积的最大值是
.
5．（2022·重庆·统考模拟预测）在三棱锥
P
ABC 中，PA 平面ABC，ABC
是边长为2 的正三角形，
4
PA
，
Q 为三棱锥
P
ABC 外接球球面上一动点，则点Q 到平面PAB 的距离的最大值为
一、单选题
1．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该
圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（
）
A．81π
B．96π
C．108π
D．126π
2．（2024 上·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）在四面体ABCD中，
3
AB
，
1
6
AD
BC
CD
，
，
且
2
π
BAD
ABC
，则该四面体的外接球表面积为（
）
A．7 π
2
B．7π
C．8π
D．10π
3．（2023 上·山东青岛·高三青岛二中校考期中）如图，已知直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
的底面是等腰直角三角
形，
1
2
AA
，
1
AC
BC
，点D 在上底面
1
1
1
A B C （包括边界）上运动，则三棱锥D
ABC
外接球表面积的
最大值为（
）
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A．81π
16
B．6π
C．243π
64
D．2 6π
4．（2023 上·广东深圳·高三统考期末）正四面体S
ABC
中，M 是侧棱SA上（端点除外）的一点，若异
面直线MB 与直线AC 所成的角为，直线MB 与平面ABC 所成的角为，二面角M
BC
A
的平面角为，
则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都
在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥PO的内切球和外接球的球心重合，且圆锥PO的底
面直径为2a ，则（
）
A．设内切球的半径为1r ，外接球的半径为2r ，则2
1
2
r
r
B．设内切球的表面积
1S ，外接球的表面积为
2
S ，则
1
2
4
S
S
C．设圆锥的体积为
1V ，内切球的体积为
2
V ，则
1
2
9
4
V
V
D．设S、T 是圆锥底面圆上的两点，且ST
a
，则平面PST 截内切球所得截面的面积为
2
π
15
a
三、填空题
6．（2024·全国·模拟预测）已知球O是底面半径为4、高为8 2 的圆锥的内切球，若球O内有一个内接正三
棱柱，则当该正三棱柱的侧面积最大时，正三棱柱的体积为
．
7．（2023 上·福建南平·高二福建省南平第一中学校考阶段练习）已知三棱锥
P
ABC 满足PA 底面ABC ，
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在ABC
中，
6
AB
，
8
AC
，AB
AC
，D 是线段AC 上一点，且
3
AD
DC
．球O为三棱锥
P
ABC 的
外接球，过点D 作球O的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π ，则球O的表面积
为
.
8．（2023 下·福建莆田·高一统考期末）如图，在正四棱柱
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，四边形ABCD是边长为2 的
正方形，
1
4,
,
AA
M N
分别是棱
,
BC AD 的中点，,
E F 分别是棱
1
1
1
1
,
A B C D 上动点．当直线NE 与底面
1
1
1
1
D
C
B
A
所成角最小时线段NE 的长度是
，四面体MNEF 的体积是
．
9．（2023·山东威海·统考二模）在棱长为2 的正方体
1
1
1
1
ABCD
ABC D
中，点P 满足AP
AB
AD
，其
中
0,1
，
0,1
．当直线
1
/ /
B P
平面
1
1
A DC 时，P 的轨迹被以
1
D 为球心，R 为半径的球面截得的长度
为2，则R＝
；当
1
1
1
B P
C D
时，经过A，
1
C ，P 的平面与棱
1
1
A D 交于点Q，则直线PQ 与平面
1
1
ADD A
所成角的正切值的取值范围为
．
10．（2023 上·山东潍坊·高二统考期中）已知菱形ABCD边长为2，
π
3
DAB
，沿对角线BD 将
ABD
△
折
起到A BD
的位置，当
3
A C
时，二面角A
BD
C
的大小为
，此时三棱锥A
BDC
的外接球的
半径为
11．（2023 上·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考阶段练习）如图，DE 是边长为2 3 的正三角形ABC
的一条中位线，将
ADE
沿DE 翻折至
1A DE
△
，当二面角
1A
ED
C
的大小为120时，则
1AC
；
四棱锥
1A
BCDE
外接球O的表面积为
.
12．（2023 上·河南·高二河南省实验中学校考阶段练习）如图，在四棱锥P
ABCD
的平面展开图中，四边
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形ABCD是边长为2 的正方形，
ADE
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
90
HDC
FAB
，则四棱锥
P
ABCD
外接球的球心到面PBC 的距离为
．
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