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5.1.1 数列的概念
课程标准
学习目标
（1）通过实例了解数列的概念，明确数列与数集的区
别，理解数列的项与项数的含义，理解数列的函数特
征。
（2）根据给定的项数，求出相应数列的通项公式，并
理解通项公式的含义。
（3）知道数列的分类：有穷数列和无穷数列等。
（4）掌握数列的表示方法。
（5）通过观察、归纳、猜想等方法，探索数列的规
律。
通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概
念和表示方法，了解数列是一种特殊的函数。
知识点01 数列的概念
1、数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次
成为这个数列的第1 项（或首项），第2 项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。
2、数列的通项公式
（1）数列的一般形式可以写成
，
，
，……，
，……，其中
表示数列的第
项（也称
为
的序号，其中
为正整数，即
），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为
。
（2）一般地，如果数列
的第n 项与序号n 之间的关系可以用
来表示，其中
是关于
的不含其它未知数的表达式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式。
【即学即练1】（2023·陕西宝鸡·高二校考期末）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．数列的项数是无限的
B．数列通项公式的表达式不是唯一的
C．数列1，3，5，7 可表示为
D．数列1，3，5，7 与数列7，5，3，1 不是同一数列
知识点02 数列的分类及表示
1、数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大
小关系
递增数列
其中n∈N+
递减数列
常数列
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
2、数列的表示：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．
【即学即练2】（2023·海南儋州·高二校考期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，
，
，
，… B．
，
，
，
C．
，
，
，
，… D．1，
，
，…，
知识点03 数列与函数的关系
1、数列与函数的关系
由于数列
中的每一项
与它的序号
有下面的对应关系：
所以，数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R 的函数，其自变量是序号n，对
应的函数值是数列的第n 项an，记为an＝f(n)．也就是说，当自变量从1 开始，按照从小到大的顺序依次取
值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{an}．
2、数列的单调性：判断数列的单调性的方法
（1）作差比较法：
⇔数列
是递增数列；
⇔数列
是递减数列；
⇔数列
是常数列．
（2）作商比较法：
ⅰ.当
时，则
⇔数列
是递增数列；
⇔数列
是递减数列；
⇔数列
是常数列；
ⅱ.当
时，则
⇔数列
是递减数列；
⇔数列
是递增数列；
⇔数列
是常数列．
（3）结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求
其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
【即学即练3】（2022·高二课时练习）（多选）下列结论中正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集
）上的函数
B．数列若用图像表示，则从图像上看都是一群孤立的点
C．数列的项数是无限的
D．数列
是递增数列
【题型一：数列的概念及辨析】
例1．（2023·高二课时练习）数列
的通项公式是
，
，则它的图象是（ ）
A．直线 B．直线上孤立的点 C．抛物线 D．抛物线上孤立的点
变式1-1．（2023·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一
C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示
变式1-2．（2023·黑龙江鸡西·高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（ ）
A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集
）上的函数
B．数列的项数一定是无限的
C．数列的通项公式的形式是唯一的
D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式
变式1-3．（2023·高二课时练习）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．数列
可以表示为
B．数列
与数列
是相同的数列
C．数列
的第
项为1＋
D．数列
可记为
变式1-4．（2023·云南曲靖·高二曲靖市民族中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．数列
与
是相同的
B．数列
可以表示为
C．数列
与
是相同的数列
D．数列
的第
项为
【方法技巧与总结】
掌握数列的概念辨析解题技巧需要明确数列的定义、数列是一种特殊的函数。
题型二：数列的分类
例2．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列
的是（ ）
A．1，
，
，
，… B．sin
，sin
，sin
，…
C．－1，－
，－
，－
，… D．1，
，
，…，
变式2-1．（2022·江苏南通·高二校考期中）下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ）
A．1，2，3，…，20 B．-1，-2，-3，…，-n，…
C．1，2，3，2，5，6，… D．-1，0，1，2，…，100，…
变式2-2．（2022·重庆·高二永川北山中学校校考阶段练习）（多选）下面四个数列中，既是无穷数列又是
递增数列的是（ ）．
A．1，
，
，
，…，
，… B．
，
，
，
，…，
，…
C．
，
，
，…，
，… D．1，
，
，…，
，…
变式2-3．（2023·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是
常数列？
（1）2017，2018，2019，2020，2021； （2）
；
（3）
； （4）
；
（5）
； （6）9，9，9，9，9，9.
【方法技巧与总结】
判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项。若数列含有限项则是有穷
数列，否则是无穷数列。而判断数列的单调性，则需要从第2 项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，
若满足
，则是递增数列；若满足
，则是递减数列；若满足
，则是常数列；若
与
的大小不确定时，则是摆动数列。
题型三：由数列的前几项求通项公式
例3．（2023·吉林长春·高二长春市第二中学校联考期末）数列
，
，
，
，
的一个通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-1．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）（多选）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（
）
A．
B．
C．
D．
变式3-2．（2023·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列
，
，
，
，
的一个通项公式
是an=（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3-3．（2023·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）根据下面的图形
及相应的点数，写出下列点数构成数列的第5 项的点数（ ）
A．32 B．35 C．36 D．42
变式3-4．（2023·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式．
（1）
（2）
（3）0，
，
，
，…；
（4）1，11，111，1 111，….
【方法技巧与总结】
由数列的前几项求数列的通项公式
（1）各项的符号特征，通过
或
来调节正负项．
（2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系．
（3）相邻项(或其绝对值)的变化特征．
（4）拆项、添项后的特征．
（5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律．
【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，
蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.
题型四：判断或写出数列中的项
例4．（2022·黑龙江佳木斯·高二校考期末）已知数列
满足：
，则
等于（ ）
A．32 B．64 C．48 D．128
变式4-1．（2023·江苏南通·高二统考期末）在数列
中，若
，则
的值为（
）
A．17 B．23 C．25 D．41
变式4-2．（2023·河北·高二校联考阶段练习）（多选）已知数列1，
，
，
，…，
，…，则下列说法正确的是（ ）
A．
是它的第3 项 B．
是它的第4 项
C．
是它的第9 项 D．
是它的第16 项
变式4-3．（2023·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知数列
的通项
，则
.
变式4-4．（2023·广东佛山·高二校考阶段练习）已知数列
的通项公式为
，则
是该数列
的第（ ）项
A．10 B．7 C．5 D．8
【方法技巧与总结】
（1）利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n 项an与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出
数列的相应项．
（2）判断某数值是否为该数列的项的方法：先假定它是数列中的第n 项，然后列出关于n 的方程．若方程
的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
题型五：数列单调性的判断
例5．（2023·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考阶段练习）下列数列是递减数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5-1．（2023·河南濮阳·高二范县第一中学校联考阶段练习）已知数列
，
，
为递减数
列，则
的取值范围是 ．
变式5-2．（2023·贵州·清华中学校联考模拟预测）数列
的通项公式为
，则“
为
递增数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式5-3．（2023·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）使得“对于任意
，
是递减
数列”为真命题的整数
值是 .（写出一个符合要求的答案即可）
变式5-4．（2023·天津·高二咸水沽第一中学校考阶段练习）已知数列
中，
（
且
）．若对任意的
，都有
成立，
的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最
小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
题型六：数列中的最大项、最小项
例6．（2023·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）（多选）已知在数列
中，
，则数列
的最小项是（ ）
A．第1 项 B．第2 项 C．第3 项 D．第4 项
变式6-1．（2023·湖北省直辖县级单位·高二校考期中）已知数列
的通项公式为
，则数列
中的最大项的项数为（ ）
A．2 B．3 C．2 或3 D．4
变式6-2．（2023·上海·高二复旦附中校考阶段练习）已知数列
的通项公式为
，则数列
的最大项为第 项.
变式6-3．（2023·高二课时练习）已知
，求该数列前30 项中的最大项和最小项．
变式6-4．（2023·高二课时练习）已知数列
的通项公式是
，判断该数列的单调性，并求出
这个数列的最小项．
【方法技巧与总结】
求数列最大(小)项的方法
（1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项．
（2）利用
，求数列中的最大项
；
利用
，求数列中的最小项
.
当解不唯一时，比较各解大小即可确定．
一、单选题
1．（2023·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B．数列1，0，
，
与
，
，0，1 是相同的数列
C．数列
的第k 项为
D．数列0，2，4，6，
可记为
2．（2018·陕西延安·高二阶段练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ）
A．1，
，
，
，… B．
，
，
，
C．
，
，
，
，… D．1，
，
，…，
3．（2023·高二课时练习）已知函数
，设
，则下列说法中错误的是（ ）
A．
是无穷数列 B．
是递增数列 C．
不是常数列 D．
中有最大项
4．（2023·全国·高二专题练习）已知数列{an}的通项公式
，则a2a3的值是（
）
A．70 B．28 C．20 D．16
5．（2023·陕西安康·高二校考阶段练习）已知数列
，则
是这个数列的（ ）
A．第21 项 B．第22 项 C．第23 项 D．第24 项
6．（2023·河南·高二校联考阶段练习）数列1，
，
，…的通项公式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·贵州贵阳·高二校考阶段练习）数列1，
，
，
，…的一个通项公式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·安徽芜湖·高二芜湖一中校考阶段练习）已知
的通项公式为
（
），若数
列
为递减数列，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·高二课时练习）已知数列
的通项公式是
，那么（ ）
A．30 是数列
的一项 B．45 是数列
的一项
C．66 是数列
的一项 D．90 是数列
的一项
10．（2023·安徽芜湖·高二校考阶段练习）若数列
的前
项分别为
，，
，，则这个数列的通项
公式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2023·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）已知数列
的通项公式
，若
对
恒成立，则满足条件的正整数k 可以为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．（2023·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）设
是无穷数列，若存在正整数
，使待对任意
，
均有
，则称
是“间隔递增数列”，
是数列
的“间隔数”，下列选项正确的是（ ）
A．公比大于1 的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知
，则数列
是间隔递增数列
C．已知
，则数列
是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知
，若数列
是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
三、填空题
13．（2023·甘肃临夏·高二校考阶段练习）数列
中，
，则125 是这个数列的第 项.
14．（2023·湖北武汉·高二校联考期中）根据下列5 个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8 个
图有 个点.
15．（2023·高二课时练习）已知数列
的通项公式为
，则使
成立的正整数
的最大
值为 ．
16．（2023·江苏宿迁·高二校考期中）已知数列
的通项公式
，记数列
落在区间
内项的个数为
，则
．
四、解答题
17．（2023·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数
列？哪些是常数列？
（1），
，
，
，…；
（2）2，4，6，8，10，…；
（3）7，7，7，7，…；
（4）
，
，
，
，…；
（5）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1；
（6），
，
，
，
，
，….
18．（2023·高二课时练习）写出下面各数列的一个通项公式，使它的前4 项分别是下列各数．
（1）
；
（2）
；
（3）1，0，1，0，…；
（4）
，
，
，
，….
19．（2023·高二课时练习）在数列
中，
，
，通项公式
，其中p，q 为常数，
．
（1）求
的通项公式；
（2）88 是否是数列
中的项？
20．（2023·全国·高二课时练习）已知函数
，设数列
的通项公式为
，其中
；
（1）求证：
；
（2）判断
是递增数列还是递减数列，并说明理由.
21．（2023·高二课时练习）已知数列
的通项公式为
，试判断数列
的单调性，并
判断该数列是否有最大项与最小项．
22．（2023·高二课时练习）在数列
中，
，请回答下列问题：
（1）这个数列共有几项为负？
（2）这个数列从第几项开始递增？
（3）这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由．
