文档文本内容
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2.1.3 方程组的解集
课程标准
学习目标
1、掌握解方程组的方法.
2、判断方程组解集是有限集还是无限集.
3、解读古代数学语境，能正确列出方程组.
1、学会消元法解方程组的思想方法。
2、在实际情景中分析问题，构建方程组模型，计算
结果，检验结果实际性。
3、理解集合运算对象，在方程组中有的放矢选择运
算法则。
4、根据方程组未知数的个数和方程的个数，判断方
程组的解集为有限解还是无限解。
知识点01 方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程
组的解集．
注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．
（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果
将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
【即学即练1】判断正误
(1)方程组的解集为{2,1}． ( )
2
(2)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素． ( )
知识点02 二元一次方程组
方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方
程组叫做二元一次方程组．例如，
都是二元一次方程组．
【即学即练2】（2024·高一课时练习）方程组
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 三元一次方程组
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方
程组叫做三元一次方程组．例如，都是三元一次方程组．
【即学即练3】（2024·江苏·高一专题练习）方程组
的解集可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 二元二次方程组
二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次
方程．
二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方
程，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个
二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型．
(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次．
【即学即练4】（2024·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y 满足
，则
之值为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
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难点：“二·二”型的二元二次方程组
例题：解方程组{
x
2−3 xy −4 y
2=0，
x
2+ 4 xy + 4 y
2=1.
①
②
【题型1：求二元一次方程组的解集】
（一）不含参二元一次方程组
例1．（2024·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）方程组
的解集是
变式1．（2024·上海普陀·高一校考阶段练习）用列举法表示方程组
的解集为 ．
变式2.（2024·全国·高一课时练习）求下列方程组的解集：
（1）
；（2）
.
（二）含参二元一次方程组
例2.（2024·高一课时练习）关于x，y 的方程组¿的解集，不正确的说法是（ ）
A．可能是空集
B．可能是无限集
C．可能是单元集
D．可能是{(0,−3)}
变式1．（2024·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于
，
的方程组：
．
变式2.（2024·高一课时练习）设
，求关于x、y 的方程组
的解集.
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【方法技巧与总结】
1、用代入消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形
选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b 是
常数，a≠0)的形式．
(2)代入
把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一
次方程．
(3)求解
解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值．
(4)回代
把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个未知数．
(5)写解集
用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式．
2、用加减消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形
根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程
中同一个未知数的系数相等或互为相反数．
(2)加减
两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相
等时，将两个方程相减．
(3)求解
解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值．
(4)回代
把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值．
(5)写解集
用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式．
注意：(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知
数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
(3)当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单．
(4)当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元
法．
【题型2：求三元一次方程组的解集】
例3．（2024·全国·高一专题练习）方程组
的解集的是（ ）
A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)}
C．{(0，－1，0)}
D．{(0，1，－2)}
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变式1．（2024·辽宁大连·高一大连市第二十高级中学校考阶段练习）（1）求方程组
的解集；
（2）求三元一次方程组
的解集.
变式2．（2024·高一课时练习）已知非零实数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．（2023 春·北京海淀·高一校考开学考试）已知方程组
，则
．
变式4.（2024·高一课时练习）方程组
的解集为 .
变式5．（2024·上海·高一专题练习）已知
是非负整数，且
，
则
的范围是
【方法技巧与总结】
1.解三元一次方程组的基本思路
2.消元法解三元一次方程组的两个注意点
(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去
的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的．
【题型3：求二元二次方程组的解集】
（一）“二·一”型的二元二次方程组
例4．（2024·全国·高一专题练习）方程组
的解集是（ ）.
A．
B．
C．
D．
6
变式1．（2024·高一课时练习）方程组
的解集为 .
变式2。（2024·高一课时练习）求方程组
的解集.
变式3．（2024·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）（1）求方程
的
解集；
（2）求方程组
的解集.
变式4．（2024·北京·高一校考期中）求下列方程组的解集：
(1)
；
(2)
．
变式5．（2024·高一课时练习）求方程组
的解集.
变式6．（2024·全国·高一专题练习）求下列方程组的解集：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【方法技巧与总结】
1.“二·一”型的二元二次方程组的基本思想
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二
元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个
不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简
言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来
判断．
2.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：
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（二）“二·二”型的二元二次方程组
例5．（2024·高一课时练习）已知矩形的面积为
，对角线长
，则该矩形的周长为
.
变式1．（2024·高一课时练习）解方程组
变式2.（2024 秋·高一课时练习）解方程组
变式3．（2024·高一课时练习）已知实数
，
满足
，
，则
．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y 满足
，则
之值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【方法技巧与总结】
解“二·二”型方程组的基本思想
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别
与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的
解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到
的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四
个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
【题型4：已知解集求参数】
例6．（2024·高一课时练习）若关于x，y 的方程组
与
的解集相等，则a、b 的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
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变式1．（2024·高一课时练习）关于
的方程组
的解集为
，则
.
变式2．（2024·高一课时练习）关于x，y 的方程组
的解集为
，则
（ ）
A．1
B．5
C．6
D．7
变式3．（2024·全国·高一专题练习）若关于
，
的方程组
的解集为
，则
（ ）
A．4
B．-4
C．6
D．-6
变式4．（2023 春·山东东营·高一东营市第一中学统考阶段练习）若
，则
的值为 .
变式5．（2024·高一单元测试）若关于x、y 的二元一次方程组
的解集为
，则实数
．
变式6．（2024·山东潍坊·高一寿光市第一中学校考阶段练习）已知关于
，
的方程组
，甲因
看错了
，求得解集为
，则
，甲把
错看成了 .
变式7.（2024·高一课时练习）方程组
的解集中含有两个元素，则
的取值范围是 .
【题型5：方程组在实际问题中的应用】
例7．（2024·全国·高一专题练习）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3 块方形和5 块圆形巧
克力，他带的钱会差8 元，如果购买5 块方形和3 块圆形巧克力，他带的钱会剩下8 元．若他只购买8 块
方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8 元
B．16 元
C．24 元
D．32 元
变式1．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不
足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三
（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是 ，物价
是 （钱）．
变式2．（2024·全国·高一专题练习）某校运动员分组训练，若每组7 人，余3 人；若每组8 人，则缺5 人.
设运动员人数为x 人，组数为y 组，则列方程组为（ ）
9
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知
数；
（2）找：找出题目中的两个相等关系；
（3）列：根据两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；
（4）解：借这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解作出是否合理的判断的基础上，写出答案。
2、目前高考中常见的问题有：生产问题、市场营销问题、方案选择问题、数字问题、利润问题、配套问
题、行程问题、工程问题等。
一、单选题
1．（2024 高一·全国·课后作业）关于x、y 的方程组
的解为整数，则满足这个条件的整数m
的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．无数个
2．（2024 高一上·云南昆明·开学考试）若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．3
3．（2024 高一上·全国·单元测试）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3 块方形和5 块圆形巧
克力，他带的钱会差8 元，如果购买5 块方形和3 块圆形巧克力，他带的钱会剩下8 元．若他只购买8 块
方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8 元
B．16 元
C．24 元
D．32 元
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4．（2024 高一上·北京·阶段练习）已知集合
，
，则集合
中元素
的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 高一上·北京·阶段练习）方程组
解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024 高一·全国·课后作业）下列各组数是二元一次方程组
的解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·四川凉山·一模）已知
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．（24-25 高一上·上海·随堂练习）下列关于方程
的解的说法中正确的是（ ）．
A．该方程一定有唯一解
B．该方程没有解
C．
时，方程有无数解
D．
时，方程有唯一解
二、多选题
9．（2024 高一·全国·课后作业）对于二元一次方程组的解
用集合表示正确的为
A．
B．
C．
D．
10．（2024 高一上·辽宁·阶段练习）方程组
的解集为
，若x1+x2＝﹣3，
则（ ）
A．k＝1 或
B．y1+y2＝﹣3 或y1+y2＝﹣1
C．y1+y2＝1 或y1+y2＝3
D．x1
2+x2
2＝12 或x1
2+x2
2＝15
三、填空题
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11．（2024 高一·全国·课后作业）关于
的方程组
的解集为
，则
.
12．（2024 高一·全国·课后作业）请写出方程
的一组整数解 .
13．（2024 高一·全国·课后作业）已知两数之和为10，积为24，则这两数之差的绝对值为 .
14．（2024 高一上·北京·期中）方程组
的解集是 ．
15．（2024 高一下·北京海淀·开学考试）已知方程组
，则
．
四、解答题
16．（2024 高一·全国·课后作业）已知关于x，y 的方程组
，甲因看错了a，求得解集为
.
(1)求b 的值；
(2)甲把a 错看成了什么？
17．（2024 高一上·北京·阶段练习）求下列关于的方程（方程组）的解集：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
；
18．（2024 高一·上海·课堂例题）设
，求关于x 与y 的二元一次方程组
的解集．
19．（2024 高一下·全国·课堂例题）求三元一次方程组
的解集.
20．（2024 高一·全国·课后作业）方程组
的解集可表示为（ ）
12
A．
B．
C．
D．
21．（2024 高一上·北京·阶段练习）水果市场将120 吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选
择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600
(1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200 元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1 辆），已知它们的总辆数为16，分别求出
三种车型的辆数.
22．（2024 高一上·北京西城·期中）已知关于
，
的方程组
其中
.
(1)当
时，求该方程组的解；
(2)证明：无论
为何值，该方程组总有两组不同的解；
(3)记该方程组的两组不同的解分别为
和
，判断
是否为定值.若为定值，请求
出该值；若不是定值，请说明理由.
