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2026 年高考数学小题训练8（三角恒等变换）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知sinα −cosα =
❑√3
3
，则sin2α =（ ）
A．
❑√6
3
B．2
3
C．−
❑√6
3
D．−2
3
【答案】B
【分析】由条件等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系及二倍角正弦公式有
1−sin 2α = 1
3
，即可求sin2α.
【详解】由题设知：(sinα−cosα)
2=1−2sin α cosα =1−sin 2α = 1
3
，
∴sin2α= 2
3
.
故选：B.
2．已知α为锐角，且sin(2α −π
4 )=−1
9，则sin(α +π
8 )=（ ）
A．2
3
B．1
3
C．−1
3
D．−2
3
【答案】A
【分析】令β =α +π
8 ，利用倍角公式即可求出sin
2 β = 4
9
，再根据α的范围即可求出.
【详解】令β =α +π
8 ，则α = β −π
8 ，则2α −π
4 =2(β −π
8 )−π
4 =2 β −π
2 ，
故sin(2α −π
4 )=sin(2 β −π
2 )=−cos2 β =2sin
2 β −1=−1
9，得sin
2 β = 4
9 ，
因为α为锐角，则β =α +π
8 ∈(
π
8 ,5π
8 )，则sin(α +π
8 )= sinβ = 2
3.
故选：A
3．已知cos(α + β)= 1
3，sin(β + γ )=
❑√3
2
，π
3 >γ >α >π
6 > β >0，则sin(α +2 β + γ )=
（ ）
A．
❑√3+1
3
B．
❑√3+2❑√2
6
C．
❑√3−1
3
D．2❑√2−❑√3
6
【答案】B
【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出sin(α + β)= 2❑√2
3
、cos(α + β)= 1
2，再根
据两角差和的正弦公式计算可得；
【详解】因为π
3 >α >π
6 > β >0且cos(α + β)= 1
3
，π
2 >α + β >π
6 ,
所以sin(α + β)=
❑√1−cos
2(α + β)
2= 2❑√2
3
,
因为π
3 >γ >π
6 > β >0且sin(β + γ )=
❑√3
2
，π
2 >γ + β >π
6 ,
所以cos(α + β)=
❑√1−sin
2(β + γ )= 1
2
,
所以sin(α +2 β + γ )=sin[(α + β)+(β + γ ))
=sin (α + β)cos(β + γ )+cos(α + β)sin (β + γ )
= 2❑√2
3
× 1
2 + 1
3 ×
❑√3
2 = 2❑√2+ ❑√3
6
故选：B.
4．已知tan
2 β sin
2 β =3，则tan
2 β −2sin
2 β −sin
2 β
tan
2 β
=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3
【答案】B
【分析】应用同角三角函数关系得出sin
4 β +3sin
2 β =3，再代入计算求解即可.
【详解】因为tan
2 β sin
2 β =3，所以(sin
2 β)
2=3(1−sin
2 β)，
所以(sin
2 β)
2+3sin
2 β −3=0，即sin
4 β +3sin
2 β =3，
则tan
2 β −2sin
2 β −sin
2 β
tan
2 β
=
3
sin
2 β
−2sin
2 β −sin
2 β
3
sin
2 β
=
3
sin
2 β
−2sin
2 β −sin
4 β
3
= 9−6sin
4 β −sin
6 β
3sin
2 β
= 3sin
4 β +9sin
2 β −6sin
4 β −sin
6 β
3sin
2 β
= −3sin
2 β +9−sin
4 β
3
= −3sin
2 β +3sin
4 β +9sin
2 β −sin
4 β
3
=2sin
4 β +6sin
2 β
3
= 2×3
3
=2.
故选：B.
5．在△ABC中，已知sinA
sinB =nsinC , cosA
cosB =ncosC．若tan(A +π
4 )=−3，则n=
（ ）
A．无解B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由tan(A +π
4 )=−3可得tanA =2，进而得到tanA =tanB⋅tanC =2，借助三角
形内角和与两角和的正切公式可得tanB+tanC =2，设tanB =t，有t
2−2t +2=0，可得该
方程无解，故不存在这样的n.
【详解】由tan(A +π
4 )= 1+tanA
1−tanA =−3，即tanA =2，则cosA ≠0，
由sinA
sinB =nsinC , cosA
cosB =ncosC，知cosC ≠0，
则tanA
tanB =tanC，则tanA =tanB⋅tanC =2，
又tanA = tan (π
B C
−
−)=−tan (B+C)=−
tanB+tanC
1−tanB⋅tanC =tanB+tanC，
故tanB+tanC =2，设tanB =t，则tanC =2−t，
有t (2−t )=2，即t
2−2t +2=0，Δ= 4−8=−4<0，
即该方程无解，故不存在这样三角形，即n无解.
故选：A.
6．已知a,b∈Z，满足(❑√9−8sin50°−a)sin50° =b，则a+b的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据三倍角公式，结合已知进行求解即可.
【详解】
sin3α
=sin(2α +α )
=sin 2αcosα +cos2αsinα
=2sinα cos
2α +(1−2sin
2α )sinα
=2sinα(1−sin
2α )+(1−2sin
2α )sinα
=3 sinα −4 sin
3α
因此可得：2sin150° =6sin50°−8sin
350° =1，
所以
(3sin50°−1)
2=9sin
250°−6sin50°+1=9sin
250°−8sin
350° =sin
250° (9−8sin50°),
所以❑√9−sin50° = 3sin50°−1
sin50°
，
所以(❑√9−8sin50°−a)sin50° =(
3sin50°−1
sin50°
−a)sin50° =(3−a)sin50°−1=b
因为a,b∈Z，
所以3−a=0⇒a=3，b=−1，所以a+b=2，
故选：B.
【点睛】关键点睛：利用正弦的三倍角是解题的关键.
7．已知sinαsin(
π
3 −α)=3cosαsin(α +π
6 )，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．−
❑√3
2
B．－1
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】C
【分析】应用诱导公式、商数关系可得tanα =3 tan(α +π
6 )，再由和角正切公式展开求得
tanα =−❑√3，最后由cos(2α +π
3 )=
1−tan
2(α +π
6 )
1+ tan
2(α +π
6 )
求值即可.
【详解】由
sinαsin(
π
3 −α)= sinαsin[π
2 −(α +π
6 )]= sinαcos(α +π
6 )=3cosαsin(α +π
6 )，
所以tanα =3 tan(α +π
6 )，则tanα =3×
tanα + tanπ
6
1−tanαtanπ
6
= 3tanα + ❑√3
1−
❑√3
3 tanα
，
所以tan
2α +2❑√3tanα +3=0，则tanα =−❑√3，故tan(α +π
6 )=−
❑√3
3 ，
由cos(2α +π
3 )=
cos
2(α +π
6 )−sin
2(α +π
6 )
cos
2(α +π
6 )+sin
2(α +π
6 )
=
1−tan
2(α +π
6 )
1+ tan
2(α +π
6 )
= 1
2
.
故选：C
8．化简❑√
1−cos160°
2
+ ❑√1−sin160°的结果是（ ）
A．cos10°
B．sin10°
C．2sin10°+cos10°D．2cos10°−sin10°
【答案】D
【分析】
利用正余弦的二倍角公式化简即可.
【详解】
原式化简为
❑√
1+cos20°
2
+ ❑√1−sin 20° =
❑√
1+(2cos
210°−1)
2
+ ❑√1−2sin10° cos10°
=cos10°+cos10°−sin10° =2cos10°−sin10°.
故选：D.
二、多选题
9．已知tan(α + β)=tanα +tanβ，其中α ≠kπ
2
（k ∈Z）且β ≠mπ
2
（m∈Z），则下列
结论一定正确的是（ ）
A．sin(α + β)=0 B．cos(α + β)=1
C．sin
2 α
2 +sin
2 β
2 =1 D．sin
2α +cos
2 β =1
【答案】AD
【分析】利用两角和的正切公式将已知式化简，求出α + β =k π ,(k ∈Z)，然后对四个选
项逐个分析即可.
【详解】因为tan(α + β)=
tanα +tanβ
1−tanα ⋅tanβ
，且tan(α + β)=tanα +tanβ，
因为α ≠kπ
2
（k ∈Z）且β ≠mπ
2
（m∈Z），
所以tanα ⋅tanβ ≠0，1−tanα ⋅tanβ ≠1，
所以tan(α + β)=tanα +tanβ =0，
所以α + β =k π ,(k ∈Z)，
A：sin (α + β)= sink π =0(k ∈Z)，故A 正确；
B：cos(α + β)=cosk π =±1(k ∈Z)，故B 错误；
C：取α =2π
3 , β =4π
3 ，sin
2 α
2 +sin
2 β
2 =sin
2 π
3 +sin
2 2π
3 = 3
2 ≠1，故C 错误；
D：sin
2α +cos
2 β =sin
2α +cos
2(kπ −α )=sin
2α +cos
2α =1(k ∈Z)，故D 正确，
故选：AD.
10．关于函数f (x)=2sinx⋅cosx +2❑√3cos
2 x，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期为2π
B．关于点(−π
6 ,❑√3)中心对称
C．最大值为❑√3+2
D．在区间[−5 π
12 ,π
12)
上单调递减
【答案】BC
【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.
【详解】f (x)=2sinx⋅cosx +2❑√3cos
2 x =sin2 x + ❑√3(cos2 x +1)，
=2sin(2 x +π
3 )+ ❑√3，
函数的最小正周期T = 2π
2 = π，故A 错误；
f(−π
6 )=2sin(−π
3 +π
3 )+ ❑√3=0+ ❑√3= ❑√3，所以函数f (x)图象关于点(−π
6 ,❑√3)中
心对称，故B 正确；
f (x)=2sin(2 x +π
3 )+ ❑√3，所以函数的最大值为2+ ❑√3，故C 正确；
由x∈[−5 π
12 ,π
12)
，2 x +π
3 ∈[−π
2 ,π
2 )
，函数y = sinx在区间[−π
2 ,π
2 )
单调递增，
所以函数f (x)在区间[−5 π
12 ,π
12)
上单调递增，故D 错误.
故选：BC
11．已知函数f (x)的定义域为R，且f ( x + y )f ( x −y )= f
2( x)−f
2( y ),f (1)=1,f (2)=0，
则下列说法中正确的是（ ）
A．f ( x)为偶函数B．f (3)=−1
C．f (−1)=−f (5)
D．∑
k =1
2023
❑f (k )=1
【答案】BC
【分析】方法一：利用和差角公式证明正弦平方差公式：
sin
2 A −sin
2B =sin( A + B)sin( A −B)，符合题意，逐项验证选项即可；
方法二：采用取特值的方法逐项验证选项.
【详解】方法一：先介绍正弦平方差公式：sin
2 A −sin
2B =sin( A + B)sin( A −B)．
证明过程如下：
sin
2 A −sin
2B =(sinA + sinB)(sinA −sinB)
=(sin(
A + B
2
+ A −B
2 )+sin(
A + B
2
−A −B
2 ))⋅(sin(
A + B
2
+ A −B
2 )−sin(
A + B
2
−A −B
2 ))
=(2sin A + B
2
cos A −B
2 )(2sin A −B
2
cos A + B
2 )
=(2sin A + B
2
cos A + B
2 )(2sin A −B
2
cos A −B
2 )
=sin( A + B)sin( A −B)．
由题意，可以令f ( x)=sinπ
2 x，因为f ( x)=sinπ
2 x为奇函数，故选项A 错误．
因为f (3)=−1，故选项B 正确．
因为f (−1)=−1=−f (5)，故选项C 正确．
因为T = 4,2023÷ 4 =505⋯⋯3，故∑
k =1
2023
❑f (k )= f (1)+ f (2)+ f (3)=0，故选项D 错误．
方法二：对于选项A，因为f ( x)的定义域为R，
令x = y =0，则f (0)f (0)= f
2(0)−f
2(0)，故f
2(0)=0，则f (0)=0，
令x =0，则f ( y )f (−y )= f
2(0)−f
2( y )，
又f ( y)不恒为0，故f (−y)=−f ( y)，
所以f ( x)为奇函数，故A 错误．
对于选项B，令x =2, y =1，则f (3)f (1)= f
2(2)−f
2(1)．
而f (1)=1,f (2)=0，所以f (3)=−1，故选项B 正确．
对于选项C，由选项B 可知，f (3)=−1，
令x =3, y =2，则f (5)f (1)= f
2(3)−f
2(2)，所以f (5)=1．
又因为f ( x)为奇函数，所以f (−1)=−f (1)=−1，故C 正确．
对于选项D，由选项B 以及f ( x +2)f ( x −2)= f
2( x)，可得
f (7)=−1,f (9)=1,f (11)=−1，
所以f (2k +1)=(−1)
k，同理可得f (2k )=0．
因为2023÷ 4 =505⋯⋯3，故∑
k =1
2023
❑f (k )= f (1)+ f (2)+ f (3)=0，故D 错误．
故选：BC
三、填空题
12．sin15
∘+ ❑√2sin30
∘
cos15
∘
= ．
【答案】1
【解析】将sin30
∘=sin (45−15)
∘展开化简整理即可.
【详解】sin15
∘+ ❑√2sin30
∘
cos15
∘
= sin15
∘+ ❑√2sin(45
∘−15
∘)
cos15
∘
= sin15
∘+cos15
∘−sin15
∘
cos15
∘
=1．
故答案为：1．
13．已知tanα =−1
3
，则sin 2α +1
cos2α
= .
【答案】1
2
/0.5
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角公式进行求解即可.
【详解】因为tanα =−1
3
，所以
sin 2α +1
cos2α
= 2sinαcosα +sin
2α +cos
2α
cos
2α −sin
2α
= tan
2α +2tanα +1
1−tan
2α
= 1
2
.
故答案为：1
2
14．已知函数f (x)=(
2
e
x+1
−1)sin(x + 3 π
2 )−3，则f (x)在[−π ,π )上的最大值与最小值
之和为 ．
【答案】−6
【分析】把f (x)的图象向上平移3 个单位长度，可得函数g(x)=−(
2
e
x+1
−1)cosx的图象，
可证得g(x)为奇函数，在[−π ,π )上g(x)的最大值与最小值之和为0，从而得出答案．
【详解】由题意，得f (x)=(
2
e
x+1
−1)sin(x + 3 π
2 )−3=−(
2
e
x+1
−1)cosx−3，
把f (x)的图象向上平移3 个单位长度，可得函数g(x)=−(
2
e
x+1
−1)cosx的图象．
当x∈[−π ,π )时，g(−x)=−(
2
e
−x+1
−1)cos(−x)=(
2
e
x+1
−1)cosx =−g(x)，即g(x)
为奇函数，
则在[−π ,π )上g(x)的最大值与最小值之和为0，
故f (x)在[−π ,π )上的最大值与最小值之和为−6．
故答案为：−6．
