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专题02 三角函数与解三角形（40题难题）
（10单选10多选10填空10大题）
一、单选题
1．（2024·陕西西安·一模）关于函数 ，下列选项正确的是（ ）
A． 为奇函数
B． 在区间 上单调递减
C． 的最小值为2
D． 在区间 上有两个零点
【答案】D
【分析】由正弦函数的性质和函数奇偶性的定义验证选项A；利用导数判断函数在区间内的单调性判断选
项B；特殊值法检验选项C；分段讨论去绝对值求零点判断选项D.
【详解】由 得 ， 的定义域为 ，关于原点对称，
由 ，则 为偶函数，故A不正确；
当 时， ， ，
因为 ，所以 ， ， ，所以 ，
所以 在区间 上单调递增，故B不正确；
因为 ，故C不正确；
当 时， ， ，此时 无零点；当 时，函数 无意义；
当 时， ， ，此时 无零点；
当 时，函数 无意义；
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，得 ；
当 时，函数 无意义；
当 时， ， ，此时 无零点；
当 时，函数 无意义；
当 时， ， ，
令 ，得 ，得 ，得 ，
综上所述： 在区间 上有两个零点 和 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】方法点睛：
求函数在区间内的零点个数，由函数解析式中含绝对值，根据角的正负和角所在的象限，分类讨论，去掉
绝对值，通过求值域最值或解方程，判断零点是否存在.
2．（2024·贵州毕节·一模）已知函数 的零点从小到大分别为
.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】
根据已知条件及函数的零点的定义，利用三角方程的解法即可求解.【详解】
令 ，即 ，解得 或 ,
因为函数 的零点从小到大分别为 ，
所以 ，
由 ，得 ，
又因为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题主要利用函数零点的定义及三角方程的解法即可.
3．（2024·新疆·一模）已知: ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用三角恒等变换计算即可.
【详解】由
，
则
.
故选：D
【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.
4．（2024·全国·模拟预测）已知角 满足： ，其中 ，
， ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】利用和差化积公式和二倍角公式求解即可.
【详解】因为 ，
，
所以 ，又 ，
于是由 可得 ，即
，
所以 或 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
故选：B．5．（2024·辽宁丹东·一模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为 ，解
得 ，两边平方即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以
，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 .故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出 ，由此即可顺利得解.
6．（2024·湖南·二模）在 中，角 所对边分别为 ，且 ，若
， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．2或4
【答案】C
【分析】利用余弦定理先得B，结合余弦的和差公式构造齐次式弦化切解方程计算即可.
【详解】由余弦定理得 ，
即 ，
，
所以 或 ，
又 ，所以 .
故选：C
【点睛】思路点睛：由余弦定理先求 ，根据条件及余弦的和差角公式、弦化切构造齐次
式方程解方程即可.
7．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的
图象与性质进行求解即可.
【详解】法一:由题
，令 ， ，
因为 ，所以 ， ，
因为 在 上单调递增，所以 且 ，
得 ．由 ，得 ，
又 且 ，所以 ， .
故选:C.
法二:由题
，
由 ，得 ，
设 的最小正周期为T，则由题意得 ，所以 ，
从而 ，结合函数 在 上单调递增， 在 上单调递增，得，且 ，解得 .
故选:C.
8．（2024·全国·模拟预测）已知在 中，角 的对边分别为 ．若 为
的重心，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知条件，利用正弦定理及同角三角函数的基本关系求出角 ，然后利用余弦定理、基本
不等式求出 ，并且结合 得到 的表达式，
即可求得 的表达式，同理可得 的表达式，进而得到 的最小值.
【详解】由 及 可得 ，由正弦定理可得 ，
又 ，故 ,即 ，而 ,故 ；
由余弦定理得 ，故 ，
故 ，当且仅当 时，取等号；
设 为 的中点，连接 ，则G在 上，
则 ， ，由 可得 ，
则 ，
同理可得 ，
故
，当且仅当 时，取等号，
故 的最小值为 ，
故选：A
【点睛】方法点睛：求解三角形中有关边、角、面积的最值（范围）问题，常利用正弦定理、余弦定理与
三角形的面积公式等建立 ， （ 为三角形的边）等之间的等量关系与不等关系，然后利
用函数知识或基本不等式求解.
9．（2024·全国·模拟预测）已知 是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到 ，结合 为锐角三角形，得
到 ，故 ，再利用正弦定理得到 ，求出取值范围即可.
【详解】因为 ，得 ．
由余弦定理得 ，
所以 ，即 ．
由正弦定理得 ，因为 ，则 ，
所以 ，即 ．
因为 是锐角三角形，所以 ， ，所以 ．
又 在 上单调递增，所以 ，则 ．
因为 是锐角三角形，所以 ， ， ，
所以 ，
由正弦定理得
，
令 ，因为 ，所以 ．
在 上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
故
故选：C．
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，
或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，
通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.10．（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数 在 上至少有两个不同零点，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先令 得 ，并得到 ，从小到大将 的正根写出，因为
，所以 ，从而分情况，得到不等式，求出答案.
【详解】令 得 ，
因为 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，
从小到大将 的正根写出如下：
， ， ， ， ， ……，
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，解得 ，
此时无解，
当 ，即 时， ，解得 ，此时无解，
当 ，即 时， ，解得 ，
故 ，当 ，即 时， ，解得 ，
故 ，
当 时， ，此时 在 上至少有两个不同零点，
综上， 的取值范围是 .
故选：A
【点睛】方法点睛:在三角函数 图象与性质中， 对整个图象性质影响最大，因为 可
改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解 的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握
三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正
周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.
二、多选题
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， 且 有两个零点
，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时， B．
C．若 ，则 D．
【答案】ACD
【分析】A选项，作单位圆，利用面积得到 ；BC选项，画出 ， ，
且 与 的函数图象，数形结合判断BC选项；D选项，由 ，推出，根据零点范围可得符号判断.
【详解】A选项，设 ，作出单位圆，与 轴交于 点，则 ，
过点 作 垂直于 轴，交射线 于点 ，连接 ，
由三角函数定义可知 ， ，
设扇形 的面积为 ，则 ，即 ，故 ，
当 时，有不等式 ，A正确；
B选项，画出 ， ， 且 与 的函数图象，如下：
可以看出 ， ，故 ，B不正确；
C选项， 的最小正周期为 ，由图象可知 ，故 ，C正确；D选项，由 ，
，
因为 ， ，故 ，
而 ，
但 ，且 在 为增函数，
故 ，故 ，D正确．
故选：ACD．
【点睛】思路点睛：处理函数零点问题思路：（1）利用方程思想，如一次函数，二次函数等，可令函数
值为0，直接进行求解；
（2）转化为两函数图象的交点问题来解决；
（3）研究函数单调性，结合零点存在性定理来进行求解.
12．（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的值域为
C． 在区间 上有33个零点
D．若方程 在 （ ）有4个不同的解 （ ，2，3，4），其中 （ ，2，
3），则 的取值范围是
【答案】AB【分析】根据题意可得 ，从而可对A判断；由题意可得 ，则 为
的一个周期，不妨讨论 内的值域情况，从而可对B判断；令 ，可得 或 ，即
（ ），从而可对C判断；根据 分情况讨论得到 ， ，
从而可对D判断.
【详解】
对 A ： 由
，
所以 ，则 的图象关于 对称，故A正确；
对B：由 ，
因为 ，所以 的一个周期
为 ，
不妨讨论 一个周期的值域情况，
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ；
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
当 ，此时 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
当 ，此时 ，
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，则 ，
综上所述 ，故B正确；
对C： ，令 得 或 ，可得 （ ），
所以 ， ，所以 在 上有31个零点，故C错误；
对D： 是以 为周期的周期函数，当 时 ，
则 在 上有2个实根 ， ，且 与 关于 对称，所以 ；
当 时 ，则 在 上没有实根，
则 在 上有2个实根 ， ，且 与 关于 对称，且 ，
且 ， ，
当 时 ，则 在 上没有实根，
当 时， 有2个实根，但 只需有4个零点，
所以 ，又因为 ，
所以 的取值范围是 ，故D错误，故选：AB．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．当 时， 的单调递减区间为
B．当 时，方程 在 上恰有两个实数根，则实数 的取值范围为
C．当 时，点 是 图象的一个对称中心
D．当 时，函数 的最大值为 ，最小值为
【答案】AB
【分析】把 代入，利用正弦函数的图象、性质，结合零点问题求解判断AB；把 代入，取值计算、
换元结合二次函数性质求出最值判断CD.
【详解】对于A，当 时， ，由 ，得
，
因此 的单调递减区间为 ，A正确；
对于B，当 时，方程 ，即 ，
令 ，当 时， ， ，其图象如图，方程 在区间 上恰有两个实数根等价于函数 在区间 上的图象
与直线 有两个交点，观察图象知 ，实数 的取值范围为 ，B正确；
对于C，当 时， ， ， ，
则点 不是 图象的一个对称中心，C错误；
对于D：当 时， ，
则 ，即 是以 为周期的函数，只需考虑 在区间 上的最值即可，
当 时， ，
令 ， ，
显然函数 在区间 上单调递减，此时 ， ；
当 时， ，
令 ， ，
则 在区间 上单调递增，此时 ， ，
所以函数 的最大值为 ，最小值为 ，D错误.
故选：AB14．（2024·湖南常德·三模）若函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由函数零点的定义可得 ， ，在同一直角坐标系中作出 ，
， ， ， ， 的函数图象，数形结合可得 ，
，即可判断 ；由 ， ，即可判断 ；由 ，即可判断 ；
由余弦函数的单调性即可判断 .
【详解】令 得 ，令 得 ，在同一直角坐标系中作出 ，
， ， ， ， 的函数图象，
、 、 在 上分别递增、递减、递减，且在上递减速率， 先慢后快， 先快后慢，
由 ，且 ， ，
所以 ，所以 ，故 不正确；
由 ，故 ，由 ，故 ，
因为 上函数 ， 关于直线 对称，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，故 正确；
由 ，所以 ，故 正确；
由 ，所以 ，由 ，得 ，又 ，
因为 在 单调递减，
所以 ，所以 ，故 正确.
故选： .
【点睛】方法点睛：函数零点的问题可以转化为函数图象的交点问题，数形结合即可得到 ， 的取值范
围，结合函数的性质即可求解.
15．（2024·河南信阳·二模）已知函数 ，下列结论正确是（ ）
A． 值域是 B． 是周期函数
C． 图像关于直线 对称 D． 在 上单调递增
【答案】BC【分析】对于A，首先利用三角恒等变换得 ，通过换元法结合对勾函数性质即
可判断；对于B，由 的周期性即可判断；对于C，判断 是否相等；对于D，
由复合函数单调性证伪即可.
【详解】
，
令 ，所以 ，
由对勾函数性质知道 在 单调递减，在 单调递增，
而 ，所以 值域是 ，故A错误；
对于B， ，
所以 是以 为周期的周期函数,故B正确；
对于C， ，
，
所以 ，故C正确；对于D， 在 单调递增， 在 单调递增， 在 上单调递减，
而由A选项分析可知 在 单调递减，在 单调递增，故D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：关键是正确利用三角恒等变换化简函数 表达式，由此即可顺利得解.
16．（2024·山东青岛·一模）已知函数 ，则（ ）
A． 在区间 单调递增
B． 的图象关于直线 对称
C． 的值域为
D．关于 的方程 在区间 有实数根，则所有根之和组成的集合为
【答案】BCD
【分析】
利用符合函数的单调性判断A，计算出 即可判断B，利用换元法求出函数的值域，即可判
断C，求出函数在 上的单调性，即可画出函数 在区间 的图象，结合图象分类讨论，即可
判断D.
【详解】对于A：当 时 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，又 ，所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 上不单调，即 在区间 不单调，故A错误；
对于B：因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C：因为 ，
令 ，则 ，令 ， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，又 ， ， ，
所以 ，所以 的值域为 ，故C正确；
对于D：当 时 ，所以 ，
由A选项可令 且 ，
则当 时 单调递增，
令 ，即 时 在 上单调递增，且 ，所以 在 上单调递减，
又 ，令 ，即 时 在 上单调递减，且
，
所以 在 上单调递增，
当 ，即 时 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递减，
又 ， ， ，
所以 在 上的函数图象如下所示：
由图可知：
①当 时 与 有且仅有一个交点，
即关于 的方程 在区间 的实数根为 ；
②当 或 时 与 有两个交点，
即关于 的方程 在区间 有两个实数根，且两根关于 对称，
所以两根之和为 ；
③当 时 与 有四个交点，
即关于 的方程 在区间 有四个实数根，不妨设为 且 ，
所以 与 关于 对称， 与 关于 对称，所以 ；
④当 或 时 与 无交点，
即关于 的方程 在区间 无实数根；
综上可得，若关于 的方程 在区间 有实数根，则所有根之和组成的集合为 ，故D
正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对于D选项关键是分析出函数的单调性，结合函数图象，将方程的解转化为函数与
函数的交点问题，结合函数的对称性求出方程的根的和.
17．（2024·广东·模拟预测）关于函数的周期性，下列说法正确的有（ ）
A． 是周期函数，最小正周期为
B． 是周期函数，最小正周期为
C． 是周期函数，最小正周期为
D． 是周期函数，最小正周期为
【答案】CD
【分析】
根据给定条件，利用周期函数的定义，结合正余弦函数的最小正周期逐项判断即得.
【详解】对于A，假设 是周期函数，则对任意实数 ，存在非零常数 ，使得 ，
即 ，显然 对任意实数 不恒成立，
因此 不是周期函数，A错误；
对于B，任意实数 ， 成立，
因此 是周期函数， 是其周期，B错误；
对于C，函数 的最小正周期依次为 ，显然 ，如 ，左边为 ，而右边为1，
而 恒成立，
因此 是周期函数，最小正周期为 ，C正确；
对于D，函数 的最小正周期依次为 ，
显然 ，而 恒成立，
因此 是周期函数，最小正周期为 ，D正确.
故选：CD
18．（2024·广西·二模）在锐角 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且 ，
，则（ ）
A． 的外接圆半径为5
B．若 ，则 的面积为
C．
D． 的取值范围为
【答案】BCD
【分析】根据已知条件求得 ， ，对A，由正弦定理运算可判断；对B，由 可得
，求得 ，利用三角形面积公式求解；对C，由正弦定理可得 ， ，可得
，代入 运算可判断；对D，由余弦定理和数量积运算法则求出
，换元后利用三角恒等变换得到 ，求出答案.
【详解】由 ，可得 ，因为 为锐角，所以 ，所以
，可得 ， .对于A，由正弦定理， ， ，故A错误；
对于B， ， ，则 ，
所以 .故B正确；
对于C，因为 ， ，所以 ， ， ，
又 ，
，故C正确；
对于D，由余弦定理得 ，即 ，
又 ，
所以 ，
设 ，则 ，
由正弦定理
，
其中锐角 满足 ，由锐角三角形可得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
，
又 ，所以 ，从而 ，而函数 在 上单调递减，又 ， ，
所以 的取值范围 .故D正确.
故选：BCD.
19．（2024·河北邯郸·三模）已知 的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B．若 为边 的中点，且 ，则 的面积的最大值为
C．若 是锐角三角形，则 的取值范围是
D．若角 的平分线 与边 相交于点 ，且 ，则 的最小值为10
【答案】ABC
【分析】借助面积公式与余弦定理由题意可得 ，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函
数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦
定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意知 ，整理得 ，
由余弦定理知 ， ， ， ．
对A，
，， ， ，
的取值范围为 ，故A正确；
对B， 为边 的中点， ，
则 ，
，当且仅当 时，等号成立，
，故B正确；
对于C， ，
是锐角三角形， ，
， ，故C正确；
对于D，由题意得 ，
即 ，
整理得 ，即 ，
，
当且仅当 时，等号成立，故D错误．
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角形中的最值与范围问题，主要思考方向有两个，一个是借助余弦定理
得到边之间的关系，从而通过基本不等式求解，一个是借助正弦定理将边化为角，通过三角形中角的关系
将多个变量角化为单变量，借助函数性质得到范围或最值.20．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】A根据函数对称性得到 ，由单调性得到 ，从而得到 ；B
令 ， ，求导得到其单调性，结合特殊点函数值得到 ，结合
的单调性得到；C由对称性得到 ， ，故
，构造函数得到 ，从而得到 ，由
的单调性得到；D数形结合得到 ， ，作商得到 ，由 及正切函数
单调性得到 ，从而得到 .
【详解】A，令 ，解得 ，故 在 上单调递减，
令 ，解得 ，故 的一条对称轴为 ，故 ，
因为 ， ，所以 ，即 ，A正确；
B， ， ，
令 ， ，则 ，当 时， ， ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，故 ，所以 ，故 ，
由于 在 上单调递减，所以 ，B正确；
C， 的一条对称轴为 ，故 ，
其中 ，故 ，故 ，
而 ，故 ，所以 ，
关于 中心对称，故 ，
其中 ，则 ，
其中 ， ，
下面证明 ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，故 在 上单调递增，
又 ，故 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，故 ，故 ，
所以 ，则 ，两边取对数得 ，
故 ，故 ，
又 在 上单调递减，故 ，故，C错误；
D， ，故 ， ，
因为 ，所以 ，故 ，
而 ，故 ，则 ，
其中 ， ，故 ，则 ，
由于 在 上单调递增，故 ，
故 ，故 ，D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导
函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对 变形为 ，与 均用含
的式子来进行表达，从而达到构造出适当函数的目的.
三、填空题
21．（2024·广东茂名·一模）函数 （ ）在区间 上有且只有两个零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】
利用三角函数的性质分析求解即可.由于 在区间 上有且只有两个零点，所以 ，
即 ，由 得， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】
关键点睛：本题的关键是利用整体法得到 ，再根据零点个数得到不等式组，解
出即可.
22．（2024·山西晋城·一模）若函数 在 上至少有两个极大值点和两个零点
则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】
先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解.
【详解】
令 ， ，得 的极大值点为 ， ，则存在整数 ，使得 ，
解得 ．
因为函数 在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以 ．
当 时， ．当 时， ．
当 时， ．又 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的图象及其性质，求出 并赋值计算是解决问题关
键.
23．（2024·江苏·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，若
分别在边 和 上，且 把 的面积分成相等的两部分，则 的最
小值为 .
【答案】
【分析】根据题目中 ，可求出b及角B大小，再根据三角形面积公式及题意可求出
，进而可得出 ，根据余弦定理表示出 ，最后利用基本不等式即可求出 的最小值.
【详解】
由 ，得 ，
即 ，解得 ，，
，令 ，
令 ，得 ， ，
所以 ，当且仅当 即 时等号成立.
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是求出 与 的等量关系，利用基本不等式的性质求出 的最
小值.
24．（2024·全国·模拟预测）已知在 中， 成等差数列，则 的最小值是
．
【答案】 /0.5
【分析】由等差中项结合两角和差的余弦公式即可求解.
【详解】由题意 ，所以 ，不妨设 ，
所以
，
所以当且仅当 时， 有最小值 .
故答案为： .【点睛】关键点点睛：关键是设 ，由此即可顺利得解.
25．（2024·安徽阜阳·一模）已知 ，则 ，
.
【答案】
【分析】
第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式即可求解；
第二空，利用三角函数的和差公式得到 ，再利用倍角公式化简转化即可得解.
【详解】由 可得 ，即 ，
由 可得 ，即 ，
两式相加可得 ，
即 ，解得 ；
因为 ，
，
所以 ，
所以 ．故答案为： ； .
【点睛】
关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.
26．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 在区间 上有且仅有一个零点，则 的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】
先根据题意确定 ，从而结合 ，确定 ，由此分类讨论，即讨论
与余弦函数的零点 ， 的位置关系，列不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 在区间 上有且仅有一个零点，
故函数的最小正周期 ,
又 ，则 ，而 ，
当 时，即 时，需有 ，即 ，此时 ；
当 时，即 时， ，此时函数在 上无零点，不合题意；
当 时，即 时，需有 ，即 ，此时 ；
当 时，即 时， ，此时函数在 上有一零点 ，符合题意；
当 时，即 时，需有 ，即 ，此时 ；
综合上述，得 的取值范围为 ，
故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查了根据余弦型函数的零点个数，求解参数范围问题，解答的难点在于要根
据 ，确定 ，由此要分类讨论该区间的两端点的位置关系，结合余弦函
数的对称中心，列不等式求解参数范围.
27．（2024·辽宁大连·一模）已知函数 在区间 有2 个零点和4 个极值点，则a
的取值范围是 .
【答案】
【分析】对不同情况的 ，分析 在特殊点处的取值并求出其单调区间从而判断零点和极值点的个数.
【详解】(1)当 时， ，从而 等价于 ，即 ，
这表明 的全部零点为全体偶数，从而在 上只有1个零点 ，不满足要求；
(2)当 时，有 ， ， ， ，
所以 在 ， ， 上各有一个零点，从而在 上至少有3个零点，不满足要求；
(3)当 时，有 ， ， ， ，
所以 在 ， ， 上各有一个零点，从而在 上至少有3个零点，不满足要求；
(4)当 时， ，
记 ，
则 在 上单调递增，
又因为 ，故 在 上单调递增.
而 ， 在 和 上递增，在 上递减，故 在 和 上递增，在 上递减.
这表明 在 上只有2个极值点 和 ，不满足要求；
(5)当 时， ，
记 ，
则 在 上单调递增，
又因为 ，故 在 上单调递增.
而 ， 在 和 上递增，在 上递减，
故 在 和 上递增，在 上递减.
这表明 在 上只有2个极值点 和 ，不满足要求；
(6)当 时， ，
记 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减.
显然，对任意 ，关于 的方程 在 上恰有一个根，记该根为 .
而 ， 在 和 上递增，在 上递减；
同时，当 时， ；当 时， .
这表明 在 上递增，在 上递减，
在 上递增，在 上递减，在 上递增.
所以 在 上有四个极值点 ， ， ， .
又由于 ， ， ， ，
故当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
而 ， ， ，
故 在 上没有零点，在 和 上各恰有1个零点，从而在 上
有2个零点.
这意味着 满足全部要求；
(7)当 时，有 ，
根据(6)的讨论， 在 上有2个零点，4个极值点.
而 ，故对 ， 是 的极值点（或零点）当且仅当 是 的极值点（或零点），
这就说明 和 在 上的极值点和零点个数相等，
所以 在 上有2个零点，4个极值点，满足全部要求.
综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：关键是适当划分讨论的临界点进行分类讨论，由此即可顺利得解.
28．（2024·安徽池州·模拟预测）在 中， 是 的角平分线，且 的面积为1，当
最短时， ．
【答案】 /
【分析】记 ， ，然后计算得到 ，再使用余弦定理说明
，并通过基本不等式的取等条件得知当 取到最小值 时， ，最后通过
即得结果.
【详解】记 ， ，则 ，从而 .
因为 ，
且 ，
所以 ，且 ，从而 .
在 中，由余弦定理可得：
，
当且仅当 即 时取等号.
所以当 取到最小值 时， ，此时 ，
所以 ．
故答案为： .
29．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知 的角A，B，C满足 ，
其中符号 表示不大于x的最大整数，若 ，则 ．
【答案】1
【分析】
先证得 ，结合条件得 必为整数，分 为钝角三角
形与锐角三角形讨论求得 的值
【详解】由 ，
得 .
记 ，由条件得 ，
因为 ，所以 必为整数.
如果 为钝角三角形，则 ，则 、 均为锐角，
从而 、 为正整数( )，于是 ，
这时有 ，矛盾.
于是 只能是锐角三角形，则 .
又 .
若 ，则 ，从而 不能成立;
若 ，则 ，由 ，得 ;
若 ，则 ，由 ，得 ，与 矛盾.
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：解题关键是由 推得 必为整数，再结合 求解.
30．（2024·全国·模拟预测）若函数 在区间 上至少有两个零点，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令 ，求得零点 ，令 ，零点 和 在区间 内，则
且 ，求得 ，可得 ，分别对 取值求得结果.
【详解】由 得 ，得 ．
令 ，零点 和 在区间 内，则 且 ，即 且 ，化简得 ，
由 ，得 ，所以 为大于1的整数．
易得当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ，
可得当 时， ，且当 时， ，
所以 ，
故实数 的取值范围为 ．
故答案为： .
【点睛】思路点睛：根据题意令 ，求得函数零点 ，令 ，由零点 和
在区间 内，求得 ，可得 ，分别对 取值将所得结果求并集
求得答案.
四、解答题
31．（2023·浙江金华·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 .已知 .
(1)求 ；
(2)证明： .【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据 ，由诱导公式逆推可得 ，再由 ，可得 ，再代
入 计算即可；
（2）根据（1）可得 ，再通过二倍角公式化简计算可得
，换元后构造新函数 ，求解导函数从而
判断函数单调性，从而可得 ，再结合正弦函数的平方关系与商式关系，判断三角函数的范
围，由正弦定理边角互化即可证明.
【详解】（1）由 ，得 ，由题意可知， 存在，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 .
（2）由 ，
得 ，
故 ，
令 ，则 ，
，
当 时， ；当 时， ；所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，所以 ，
进而 ， ，
可得 ，所以 .
而 ，故 .
所以 .
【点睛】求解本题的关键是根据题目等式关系结合二倍角公式化简得 ，然
后利用换元法构造新函数，求解导函数判断单调性，从而得 的范围，再利用三角函数平方关系与商
式关系判断其他三角函数值，结合正弦定理边角互化证明边的关系.
32．（2023·江西·二模）在 中， 对应的边分别为 ， ， ， ，
.
(1)若存在 ，求
(2)在（1）的条件下，若 是 内一点，过 作 垂线，垂足分别为 ， ， ，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得 ，即可得到，从而得到 或 ，再利用辅
助角公式分类讨论，即可得解；
（2）依题意可得 ，即可得到 ，再由余弦定理得到
，则 ，利用基本不等式求出 的取值范围，令 ，则
，再根据函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，
所以 或 ，因为 ，所以 ，则 ；
若 ，则 ，
所以 或 ，因为 ，均不符合题意；
综上可得 .
（2）因为，
由余弦定理 可知 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以
，
，
又 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
又 ，即 ，
所以 ，
所以
令 ，所以 ，
令 ， ，
显然函数 在 上单调递减，所以 ，
所以
，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 的最小值为 .
33．（2023·四川达州·二模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出 ，即可求得
的值；
（2）分析可知 、 均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出 ，求出 的
最小值，即可求得 的最小值.
【详解】（1）解： ，
.
由正弦定理得 .
.
因为 ，则 ，， ，
则 ，
所以， ，即 ，
所以， ，
，即 .
（2）解：由（1）得 .
若 ，则 、 均为钝角，则 ，矛盾，
所以， ， ，此时 、 均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当 时，等号成立，且 为钝角.
，则 ，且 为锐角，
由 ，解得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
， .
因此， 面积的最小值为 .
34．（2023·河南开封·模拟预测）在① ；② ；③ （其中 为 的面积）三个条件中任选一个补充在下面问题中，并作答．
在 中，角 ， ， 边分别为 ， ， ，且________．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形且 ，求 的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选①：根据正弦定理边化角结合诱导公式得到 ，进而得到 ，即
可求解；选②：利用正弦定理角化边结合余弦定理得到 ，即可求解；选③：根据条件和三角形的
面积公式得到 ，通过三角恒等变换和诱导公式得到 ，即
可求解；
（2）根据正弦定理得到 ，再利用诱导公式和三角恒等变换得到
，结合条件得到 的取值范围，根据正弦函数的图象与性质即可得到 的取值范
围.
【详解】（1）若选①：
由正弦定理得： ，
即 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，又 ，则 ，所以 ，又 ，所以 .
若选②：
由正弦定理得： ，化简得： ，
又由余弦定理得： ，
因为 ，所以 .
若选③：
因为 ，
即 ，
则 ，
又由正弦定理得： ，
又 ， ，所以 ，
即 ，
又因为 ，则 ，
所以 ，又 ，则 ，
所以 ，所以 .
（2）由正弦定理得： ，
则 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，则 ，
∵ 为锐角三角形，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，则 ，
∴ ,
故 的取值范围是 .
35．（2023·河北唐山·模拟预测）在 中， 为 边上一点，且 平分 ．
(1)若 ，求 与 ；
(2)若 ，设 ，求 ．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）一方面由角平分线定理 ，另一方面 ，又 ，所以可以求出
，接下来结合余弦定理即可求出 .（2）由已知条件可知， ，在 中
运用正弦定理即可求解.
【详解】（1）如下图所示：因为 平分 ，所以 ，又因为 在 上，所以
，
因此 ，又 ，所以 ．
在 中， ，可得 ．
在 中，由余弦定理可得 ，故
．
（2）如下图所示：
因为 平分 ， ，又 ，
所以 ，在 中，由正弦定理可得
，又 ，所以 ，展开并整理得 ，解得 ．
36．（2023·全国·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 是 上的一点，且 ，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理化简可得 ，再根据角度关系分析即可；
（2）根据平面向量基本定理可得 ，再两边平方可得 ，结合余弦定理可
得 ，再令 ，结合函数单调性与最值求解即可.
【详解】（1） ，
又 ，则 或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，又 ，不符合题意，舍去，综上所述 .
（2）
①，又 ②，
①÷②得：
令 ，又 ，
，
令
令 ，
令 ，
当 时 ，当 时 ，
由对勾函数性质可得当 时， 为减函数，故 ，
同理当 时 ，
所以当三角形 为等边三角形时 最小，最小值为
37．（2023·湖北黄冈·模拟预测）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边， 为 边上的
高，设 ，且 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式，求得 ，再代入二倍角的正切公式，即可
求解；（2）首先通过辅助线，构造可得 ，结合（1）的结果可得 的范围，再根据二倍角公式，
求得 的取值范围.
【详解】（1）在 中， ，若 .
又 ，
（2）由（1）知 .
如图，在 中，过 作 的垂线 ，且使 ，则 ，，即 ，得 ，
，
,
设 ， ， 在区间 单调递减，
，即 ,
38．（2024·河南·模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求当 面积最大时 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据 可得 ，再结合商数关系及二倍角的余弦公式化简即可
得出结论；
（2）由（1）可得 ，根据正弦定理化角为边可得 ，再由
，结合正弦定理化角为边求出 ，再根据三角形的面积公式，结合导数即可得出答案.
【详解】（1）由已知得 ，
∴ ，
又 ，且 ，∴ ；
（2）由（1）可得 ，
由正弦定理可得 ，
∴ ， .
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ，则 ，
设 ， ，
则 ，
令 ，得 ，即 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 取得最大值，此时 最大，
则 .
【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦
定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：
（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；
（2）若式子中含有 、 、 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；
（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；
（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.
39．（2024·全国·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 .已知 ．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件 右边的形式联想到利用余弦定理进行转化，由正弦定理
实现边化角： ，进而求得结果；（2）分析 中的边角关系，由余弦定理得 考虑到 为 的中点，再次应用
余弦定理.由正弦定理得 ，利用同角三角基本关系式求得结果.
【详解】（1）由余弦定理形式 和 ，
因此 ．
又 ，即 ，
由正弦定理 得： ，
整理得： ，
．
， ，
， ．
（2）由 ，得 ，得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
为 的中点，
，
即 ， （其中 ），
．
由正弦定理得 ， ，
，
即 ．，
由 ，可得 ；
， ．
40．（2023·全国·模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .
(1)求 的最大值；
(2)求证：在线段 上恒存在点 ，使得 .
【答案】(1) 的最大值是 ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设 ， ，则 ，由 可得 ，再
由余弦定理将其化为用 表示的不等式，即可得出 的取值范围；
（2）设 ，求出 的取值范围，证明恒存在
，使 成立即可.
【详解】（1）设 ， ，则 ， ，
又 ，
.
由 可得， ，，
由余弦定理，得
整理得 ，
因式分解
，
又 ，
所以 ， ，
即 ，
故 的最大值是 .
（2）
如图，设 ， ,
则 ,又 ，
所以 ，
，
由题意 ，且 ，
即 ，
而对给定的 来说， 是定值，
因此恒存在 ，使 .
在 中，由正弦定理可得 ，则 ；
在 中，由正弦定理可得 ，则 ；
由存在 ，
可得存在 ，即 .
因此，在线段 上恒存在点 ，使得 .
