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重难点专题16 中心对称及其性质
重难点一 识别中心对称图形
1 确定图形中心点，将图形绕该点旋转 180°；
2 观察旋转后的图形能否与原图完全重合，以此完成判断；
3 注意和轴对称沿直线折叠重合的判定方法区分开。
1．篆字保存着古代象形文字的明显特点，下列几个篆字中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列图形中，是中心对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
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3．云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列的云纹图
案中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______．
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
6．线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八
边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ．
重难点二 补充一个图形使整体成为中心对称图形
1 先找出整个组合图形的对称中心点；
2 标出现有图形所有顶点，找到各顶点旋转 180° 在网格里的对应位置；
3 在对应点位补画图形，最后整体验证是否满足中心对称。
1．如图，在正方形网格中，阴影部分是5 个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴
影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（ ）
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
2．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图
形是中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
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A．①
B．②
C．③
D．④
3．图中阴影部分是由4 个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4 四个区域中的某个区域处添加
一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域1 处
B．区域2 处
C．区域3 处
D．区域4 处
4．如图所示是3 × 3的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑四个方格中选一方格进行阴
影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（ ）
A．𝑎
B．𝑏
C．𝑐
D．𝑑
5．如图是4 × 4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色的小方格中选出
一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个．
6．如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则
该小正方形的序号是__________．
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重难点三 求关于原点对称的点的坐标
1 套用公式：点P(x, y)关于原点对称的点P′(−x,−y)；
2 分别给横坐标、纵坐标取相反数，直接写出结果。
1．点𝑀(−2,3)关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．(−2,−3)
B．(2,−3)
C．(2,3)
D．(3,−2)
2．已知▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交点恰好落在原点𝑂，若𝐵(−2, −3)，则点𝐷的坐标是（ ）
A．(3,4)
B．(3,2)
C．(2,3)
D．(1,2)
3．如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交点在原点．若𝐴(−1,2)，则点𝐶的坐标是（ ）
A．(1, −2)
B．(−2,1)
C．(2,−1)
D．(−1,−2)
4．在平面直角坐标系中，点𝑃(−3,−5)与点Q 关于原点中心对称，则点Q 的坐标为______．
5．在平面直角坐标系内，点(7, −8)关于原点对称的点的坐标是______．
6．如图，在平面直角坐标系中，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点是原点O，已知点A 的坐标是
(−1, −1)，则点C 的坐标是_____．
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重难点四 根据关于原点对称求参数的值
1 利用横、纵坐标互为相反数列出方程；
2 解方程算出参数；
3 把结果代回原题条件进行检验。
1．已知点𝑃(𝑎, −5)与点𝑄(−4, 𝑏)关于原点对称，则𝑎+ 𝑏的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−9
D．9
2．在平面直角坐标系中，𝐴(𝑎, 2)，𝐵(−3, 𝑏)两点关于原点对称，则𝑎𝑏的值是（ ）
A．8
B．
1
8
C．9
D．
1
9
3．已知点𝑃1(𝑎−2,1)和𝑃2(1,𝑏+ 1)关于原点对称，则(𝑎+ 𝑏)2025的值为（ ）
A．1
B．−1
C．−2025
D．2025
4．点𝐴(−2,3)与点𝐵(𝑎, 𝑏)关于原点对称，则𝑎𝑏的值为（ ）
A．−1
B．1
C．6
D．−6
5．已知点𝑃(5𝑎+ 2,3)关于原点对称的点在第四象限，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎<
2
5
B．𝑎> −
2
5
C．𝑎< −
2
5
D．𝑎>
2
5
6．在平面直角坐标系中，已知点𝐴(2𝑎, 𝑎−𝑏+ 1)与点𝐵(𝑏, 𝑎+ 1)关于原点成中心对称，则𝑎，𝑏的值分别
是（ ）
A．𝑎= 0，𝑏= 0 B．𝑎=
1
2，𝑏= 1
C．𝑎=
1
2，𝑏= −1
D．𝑎= −
1
2，𝑏= 1
7．已知点𝐴(−3,𝑎)和点𝐵(𝑏, 2)关于原点对称，则−
𝑏
2𝑎=___________．
8．若点(𝑎, 5)与点(−6, 𝑏)关于点(1,1)成中心对称，则√𝑎+ 𝑏=________．
9．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m 的取值范围是_____．
重难点五 与中心对称有关的线段求值
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1 根据中心对称性质，对应线段长度相等，进行等量替换；
2 结合已知边长或者勾股定理a2 + b2 = c2列式计算。
1．如图，△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷关于点𝑂成中心对称，已知∠𝐴= 90°，𝐶𝐷= 2，𝐶𝑂= 3，则𝐵𝐶=（ ）
A．5
B．√13
C．2√13
D．2√10
2．如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶关于点𝐶成中心对称，若𝐴𝐶= 1，𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，则𝐴𝐸的长是（ ）
A．3
B．5
C．√5
D．2√2
3．如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑃，△𝐸𝐹𝐷与△𝐴𝑃𝐷关于点𝐷成中心对称．若𝐴𝐶=
7, 𝐵𝐷= 8，则𝐵𝐸的长度为（ ）
A．12
B．15
C．12.5
D．15.5
4．如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于点O 对称，连接𝑂𝐵，𝑂𝐸，𝐵𝐷．若𝐵𝑂⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸= 6，则𝐵𝐷的长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
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5．如图，已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸关于点A 中心对称，若𝐴𝐶= 3cm，则𝐶𝐸的长为____________cm．
重难点六 根据图形的变换画另一部分图形
1 标记出已知图形的全部顶点；
2 逐一作出每个顶点关于对称中心旋转 180° 的对应点；
3 按照原有顺序依次连接对应顶点，补全图形。
1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）请画出与△ABC 关于原点O 对称的△A1B1C1；
（2）请画出△A1B1C1关于y 轴对称的△A2B2C2．
2．△𝐴𝐵𝐶在平面直角坐标系中的位置如图所示．
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(1)将△𝐴𝐵𝐶绕点O 顺时针旋转90°得到△𝐴1𝐵1𝐶1，作出△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)△𝐴𝐵𝐶的中心对称图形为△𝐴2𝐵2𝐶2，其中点𝐶2的坐标为(1, −1)，作出△𝐴2𝐵2𝐶2．
3．如图，已知在平面直角坐标系中，线段𝐴𝐵的坐标分别为𝐴(3,4), 𝐵(4,2)
(1)画出线段𝐴𝐵绕点𝐵逆时针旋转90°得到线段𝐶𝐵，连接点A、C 得到△𝐴𝐵𝐶；
(2)在（1）的条件下，画出△𝐴𝐵𝐶关于原点𝑂对称的△𝐷𝐸𝐹，点𝐴、𝐵、𝐶的对应点分别是𝐷、𝐸、𝐹；
(3)在（2）的条件下，已知线段𝐴𝐵绕平面内的点𝑃旋转一个特定的度数可与线段𝐹𝐸重合（其中点𝐴对应点
𝐹），请直接写出点𝑃的坐标为_____________．
4．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）．
(1)画出△ABC 关于原点O 对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标；
(2)将△ABC 绕B 点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标；
(3)已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P 逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P 的坐标．
重难点七 利用中心对称的性质求面积
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1 中心对称的两部分面积相等，满足S1 = S2；
2 采用割补法，将不规则阴影转化为三角形、矩形等规则图形计算面积。
1．如图，直线𝑎⊥𝑏于点O，曲线c 关于点O 中心对称，点A 的对应点是点𝐴′, 𝐴𝐵⊥𝑎于点𝐵, 𝐴′𝐷⊥𝑏于点
D．若𝑂𝐵= 3, 𝑂𝐷= 2，则阴影部分的面积为（ ）
A．5
B．6
C．12
D．无法确定
2．如图，已知阴影部分图形关于点O 成中心对称，且𝑂𝐴= 3，△𝐴𝐵𝐶的高𝑂𝐵= 2，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
（ ）．
A．2
B．3
C．4
D．6
3．如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶，𝐵𝐷为对角线，𝐵𝐶= 6，𝐵𝐶边上的高为5，则阴影部分的面积为
（ ）
A．8
B．10
C．15
D．30
4．如图，已知长方形的长为10，宽为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
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A．20
B．15
C．10
D．25
5．如图，直线𝑎，𝑏垂直相交于点𝑂，曲线𝐶关于点𝑂成中心对称，点𝐴的对称点是点𝐴′，𝐴𝐵⊥𝑎于点𝐵，
𝐴′𝐷⊥𝑏于点𝐷．若𝑂𝐵= 4，𝑂𝐷= 3，则阴影部分的面积之和为_____．
6．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的对称中心都是点𝑂，其边长分别是8 和6，则图中阴影部分的面积
是______．
7．将五个边长都为3cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D 分别是四个正方形的中心，则图中四
块阴影面积的和是__________cm2．
重难点八 中心对称中的变化规律
1 确定周期：连续 2 次中心对称变换后图形回到初始位置，周期为2；
2 用总变换次数÷周期，计算余数；
3 依靠余数判定最终位置，不需要一步步重复画图。
1．在平面直角坐标系中，点𝑃1(0,−1)，𝑃2(2,3)的对称中心是点A，另取两点𝐵(−1,2)，𝐶(−1,0)．有一电
子青蛙从点𝑃1处开始依次作关于点A，B，C 的循环对称跳动，即第一次跳到点𝑃1关于点A 的对称点𝑃2处，
接着跳到点𝑃2关于点B 的对称点𝑃3处，第三次再跳到点𝑃3关于点C 的对称点𝑃4处，第四次再跳到点𝑃4关于
点A 的对称点𝑃5处，…，则点𝑃2019的坐标为（ ）．
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A．(−1,1)
B．(−1, −1)
C．(2,0)
D．(−4,1)
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是边长为2 的正方形𝐴、𝐶分别在y 轴正半轴与x 轴正半轴
上，P 点坐标为(−1,1)，将P 点关于A 对称得到𝑃1，将𝑃1关于O 点对称得到𝑃2，将𝑃2关于C 点对称得到
𝑃3，将𝑃3关于B 点对称得到𝑃4，将𝑃4关于A 点对称得到𝑃5,⋯⋯，按照顺序以此类推，则𝑃2024的坐标为
________．
3．如图，一段抛物线𝑦= −𝑥(𝑥−1)(0 ≤𝑥≤1)记为𝑚1，它与x 轴的交点为O，𝐴1，顶点为𝑃1；将𝑚1绕点
𝐴1旋转180°得𝑚2，交x 轴于点𝐴2，顶点为𝑃2；将𝑚2绕点𝐴2旋转180°得𝑚3，交x 轴于点𝐴3，顶点为
𝑃3，…，如此进行下去，直至得到𝑚𝑛．当n 为偶数时，抛物线𝑚𝑛的表达式为______．
4．如图，平面直角坐标系中，△𝑂𝐴1𝐵1是边长为2 的等边三角形，作△𝐵2𝐴2𝐵1与△𝑂𝐴1𝐵1关于点𝐵1成中
心对称，再作△𝐵2𝐴3𝐵3与△𝐵2𝐴2𝐵1关于点𝐵2成中心对称，如此作下去，则△𝐵2
𝑛﹣1𝐴2
𝑛𝐵2
𝑛（n 是正
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整数）的顶点𝐴2
𝑛的坐标是（________，________）
