1 / 29
学科网（北京）股份有限公司
重难点专题16 中心对称及其性质
重难点一 识别中心对称图形
1 确定图形中心点，将图形绕该点旋转 180°；
2 观察旋转后的图形能否与原图完全重合，以此完成判断；
3 注意和轴对称沿直线折叠重合的判定方法区分开。
1．篆字保存着古代象形文字的明显特点，下列几个篆字中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A 中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B 中图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
2 / 29
学科网（北京）股份有限公司
C 中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D 中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
2．下列图形中，是中心对称图形的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
3．云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征高升和如意，被广泛地运用于装饰中．下列的云纹图
案中，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意.
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：A
、既不是轴对称图形又不是中心对称图形；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形.
5．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是_______．
3 / 29
学科网（北京）股份有限公司
（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【答案】（4）
【分析】根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的
图形重合，那么这个图形称为中心对称图形）依次对各个图形进行判断即可．
【详解】解：（1）该图形不是中心对称图形，
（2）该图形不是中心对称图形，
（3）该图形不是中心对称图形，
（4）该图形是中心对称图形，
∴这些汽车标识中，是中心对称图形的是（4）．
6．线段、等腰三角形、正方形、圆、等腰梯形、平行四边形、等边三角形、正五边形、正六边形、正八
边形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有 ____________________ ．
【答案】线段，正方形，圆，正六边形，正八边形
【详解】解：线段是轴对称图形（有对称轴）和中心对称图形（绕中点旋转180 度重合）；
正方形是轴对称图形（有4 条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180 度重合）；
圆是轴对称图形（有无数条对称轴）和中心对称图形（绕圆心旋转180 度重合）；
正六边形是轴对称图形（有6 条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180 度重合）；
正八边形是轴对称图形（有8 条对称轴）和中心对称图形（绕中心旋转180 度重合）．
等腰三角形、等腰梯形、、等边三角形、正五边形是轴对称图形但不是中心对称图形，平行四边形是中心
对称图形但不是轴对称图形，故它们不符合题意．
故既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段，正方形，圆，正六边形，正八边形，
故答案为：线段，正方形，圆，正六边形，正八边形．
重难点二 补充一个图形使整体成为中心对称图形
1 先找出整个组合图形的对称中心点；
2 标出现有图形所有顶点，找到各顶点旋转 180° 在网格里的对应位置；
3 在对应点位补画图形，最后整体验证是否满足中心对称。
1．如图，在正方形网格中，阴影部分是5 个涂黑的小正方形，若再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴
影部分变成一个中心对称图形，这样的涂法有（ ）
4 / 29
学科网（北京）股份有限公司
A．1 种
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【答案】B
【详解】解：如图，再选取一个白色的小正方形涂黑，使阴影部分变成一个中心对称图形，可选取小正方
形①或选取小正方形②，这样的涂法共2 种．
2．在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图
形是中心对称图形，该小正方形的序号是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】B
【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②．
3．图中阴影部分是由4 个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4 四个区域中的某个区域处添加
一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（ ）
A．区域1 处
B．区域2 处
C．区域3 处
D．区域4 处
【答案】C
【详解】解：把正方形添加在区域3 处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形．
5 / 29
学科网（北京）股份有限公司
4．如图所示是3 × 3的方格纸，图中阴影部分是一个轴对称图形，请从𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑四个方格中选一方格进行阴
影填涂，使得填涂后的整个阴影部分成为中心对称图形，则应选取的方格是（ ）
A．𝑎
B．𝑏
C．𝑐
D．𝑑
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形，理解其定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义解题即可．
【详解】解：由图可知，选取方格为𝑎时，整个阴影部分如图，为中心对称图形．
故选：A ．
5．如图是4 × 4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色的小方格中选出
一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个．
【答案】2
【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转180°可以使图形与原图形重合的即为
所求．
【详解】解：如图，将A 方格涂黑或将B 方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形，共2 个方格．
6．如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则
该小正方形的序号是__________．
6 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【答案】②
【详解】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中
心对称图形，
故答案为：②．
重难点三 求关于原点对称的点的坐标
1 套用公式：点P(x, y)关于原点对称的点P′(−x,−y)；
2 分别给横坐标、纵坐标取相反数，直接写出结果。
1．点𝑀(−2,3)关于原点的对称点的坐标是（ ）
A．(−2,−3)
B．(2,−3)
C．(2,3)
D．(3,−2)
【答案】B
【详解】解：∵点𝑀(−2,3)关于原点对称，
∴点𝑀(−2,3)关于原点对称的点的坐标为(2,−3)．
2．已知▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交点恰好落在原点𝑂，若𝐵(−2, −3)，则点𝐷的坐标是（ ）
A．(3,4)
B．(3,2)
C．(2,3)
D．(1,2)
【答案】C
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，对角线交点落在原点𝑂，
∴原点𝑂是对角线𝐵𝐷的中点，即点𝐵与点𝐷关于原点𝑂中心对称，
∵关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数，点𝐵的坐标为(−2,−3)，
∴点𝐷的坐标为(2,3)．
3．如图，平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交点在原点．若𝐴(−1,2)，则点𝐶的坐标是（ ）
7 / 29
学科网（北京）股份有限公司
A．(1, −2)
B．(−2,1)
C．(2,−1)
D．(−1,−2)
【答案】A
【分析】结合平行四边形的对称性可知点𝐴与点𝐶关于坐标原点𝑂中心对称，由关于原点中心对称的点的坐
标特征即可得到答案．
【详解】解：∵平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线交点在原点，
∴𝑂𝐴= 𝑂𝐶，
∴点𝐴与点𝐶关于坐标原点𝑂中心对称，
∵点𝐴的坐标为𝐴(−1,2)，
∴点𝐶的坐标是(1, −2)．
4．在平面直角坐标系中，点𝑃(−3,−5)与点Q 关于原点中心对称，则点Q 的坐标为______．
【答案】(3,5)
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解．
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，点𝑃(−3, −5)关于原点中心对称的点𝑄的坐标为(3,5)．
5．在平面直角坐标系内，点(7, −8)关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
(−7,8)
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标都互为相反数．据此解答即可．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点对称时，其横坐标和纵坐标均变为原来的相反数．
而点(7,−8)的横坐标为7，相反数为−7；纵坐标为−8，相反数为8，
故关于原点对称的点的坐标为(−7,8)．
故答案为：(−7,8)．
6．如图，在平面直角坐标系中，▱𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点是原点O，已知点A 的坐标是
(−1, −1)，则点C 的坐标是_____．
【答案】(1,1)
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则点A 与点C 关于原点对称，从而
8 / 29
学科网（北京）股份有限公司
根据点A 坐标可求点C 坐标．
【详解】解：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，且平行四边形是中心对称图形，
∴当其对角线的交点为原点时，则点A 与点C 关于原点对称，
∵点A 的坐标是(−1,−1)，
∴点C 的坐标为(1,1)．
重难点四 根据关于原点对称求参数的值
1 利用横、纵坐标互为相反数列出方程；
2 解方程算出参数；
3 把结果代回原题条件进行检验。
1．已知点𝑃(𝑎, −5)与点𝑄(−4, 𝑏)关于原点对称，则𝑎+ 𝑏的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−9
D．9
【答案】D
【分析】利用关于原点对称的点的坐标性质，先求出𝑎和𝑏的值，再计算𝑎+ 𝑏即可得到结果．
【详解】解：∵点𝑃(𝑎, −5)与点𝑄(−4,𝑏)关于原点对称，
∴𝑎= −(−4) = 4，𝑏= −(−5) = 5，
∴𝑎+ 𝑏= 4 + 5 = 9．
2．在平面直角坐标系中，𝐴(𝑎, 2)，𝐵(−3, 𝑏)两点关于原点对称，则𝑎𝑏的值是（ ）
A．8
B．
1
8
C．9
D．
1
9
【答案】D
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，负整数指数幂．
根据关于原点对称的点的坐标特征，即横坐标和纵坐标均互为相反数，求出a 和b 的值，再计算𝑎𝑏即可．
【详解】解：∵点𝐴(𝑎, 2)与点𝐵(−3, 𝑏)关于原点对称，
∴𝑎= −(−3) = 3，2 = −𝑏，
∴𝑏= −2，
∴𝑎𝑏= 3−2 =
1
32 =
1
9．
故选：D．
3．已知点𝑃1(𝑎−2,1)和𝑃2(1,𝑏+ 1)关于原点对称，则(𝑎+ 𝑏)2025的值为（ ）
A．1
B．−1
C．−2025
D．2025
9 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【答案】B
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标均为相反数，进而求出𝑎, 𝑏的值，
再根据有理数的乘方法则进行计算即可．
【详解】解：由题意𝑎−2 = −1,𝑏+ 1 = −1，
∴𝑎= 1, 𝑏= −2，
∴(𝑎+ 𝑏)2025 = (1 −2)2025 = −1；
故选B．
4．点𝐴(−2,3)与点𝐵(𝑎, 𝑏)关于原点对称，则𝑎𝑏的值为（ ）
A．−1
B．1
C．6
D．−6
【答案】D
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标、代数式求值等知识点，掌握关于原点对称的点坐标符号
相反是解题的关键．
先根据关于原点对称的点的坐标特征，求出a、b 的值，然后再计算𝑎𝑏的值即可．
【详解】解：∵点𝐴(−2,3)关于原点对称的点为𝐵(𝑎, 𝑏)，
∴𝑎= −(−2) = 2, 𝑏= −3，
∴𝑎𝑏= 2 × (−3) = −6．
故选D．
5．已知点𝑃(5𝑎+ 2,3)关于原点对称的点在第四象限，则𝑎的取值范围是（ ）
A．𝑎<
2
5
B．𝑎> −
2
5
C．𝑎< −
2
5
D．𝑎>
2
5
【答案】C
【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a 的取值范
围．
【详解】解：∵点𝑃(5𝑎+ 2,3)关于原点对称的点在第四象限，
∴点𝑃在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于0，纵坐标大于0，
∵点𝑃的纵坐标为3 > 0，已经满足要求，
∴只需满足横坐标小于0，即5𝑎+ 2 < 0 ，
解得𝑎< −
2
5．
6．在平面直角坐标系中，已知点𝐴(2𝑎, 𝑎−𝑏+ 1)与点𝐵(𝑏, 𝑎+ 1)关于原点成中心对称，则𝑎，𝑏的值分别
10 / 29
学科网（北京）股份有限公司
是（ ）
A．𝑎= 0，𝑏= 0 B．𝑎=
1
2，𝑏= 1
C．𝑎=
1
2，𝑏= −1
D．𝑎= −
1
2，𝑏= 1
【答案】D
【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特征和二元一次方程组的应用．
根据关于原点对称的点的坐标特征，点𝐴和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，列出方程组求
解．
【详解】解：∵点 𝐴(2𝑎, 𝑎−𝑏+ 1)与点 𝐵(𝑏, 𝑎+ 1)关于原点对称，
∴将{
𝑏= −2𝑎
𝑎+ 1 = −[𝑎−(−2𝑎) + 1] ，
解得{𝑎= −
1
2
𝑏= 1
，
故选：D
7．已知点𝐴(−3,𝑎)和点𝐵(𝑏, 2)关于原点对称，则−
𝑏
2𝑎=___________．
【答案】
3
4/0.75
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：∵点𝐴(−3, 𝑎)和点𝐵(𝑏, 2)关于原点对称，
∴𝑎= −2, 𝑏= 3，
∴−
𝑏
2𝑎= −
3
2×(−2) =
3
4．
8．若点(𝑎, 5)与点(−6, 𝑏)关于点(1,1)成中心对称，则√𝑎+ 𝑏=________．
【答案】2√2 −3/−3 + 2√2
【分析】本题考查了成中心对称的点的坐标特征，根据二次根式的性质化简，掌握中心对称的性质是解题
的关键．根据成中心对称的两个点之间的坐标关系求出𝑎, 𝑏，即可解决问题．
【详解】解：∵点(𝑎, 5)与点(−6, 𝑏)关于点(1,1)中心对称，
∴
𝑎−6
2 = 1，
5+𝑏
2 = 1，
解得𝑎= 8，𝑏= −3，
∴√𝑎+ 𝑏= √8 −3 = 2√2 −3
故答案为：2√2 −3．
9．已知点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点在第二象限，则m 的取值范围是_____．
【答案】−2 < 𝑚< 1
11 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案．
【详解】解：点M（2+m，m﹣1）关于原点的对称点为：（﹣2﹣m，1﹣m），
∵（﹣2﹣m，1﹣m）在第二象限，
∴﹣2﹣m＜0，1﹣m＞0，
解得：﹣2＜m＜1．
故答案为：﹣2＜m＜1．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标以及解一元一次不等式组，两个点关于原点对称时，它
们的坐标符号相反．
重难点五 与中心对称有关的线段求值
1 根据中心对称性质，对应线段长度相等，进行等量替换；
2 结合已知边长或者勾股定理a2 + b2 = c2列式计算。
1．如图，△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷关于点𝑂成中心对称，已知∠𝐴= 90°，𝐶𝐷= 2，𝐶𝑂= 3，则𝐵𝐶=（ ）
A．5
B．√13
C．2√13
D．2√10
【答案】D
【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷关于点O 成中心对称，推出
𝐴𝑂= 𝐶𝑂= 3，𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 2，得到𝐴𝐶= 6，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵△𝐴𝑂𝐵与△𝐶𝑂𝐷关于点O 成中心对称，
∴𝐴𝑂= 𝐶𝑂= 3，𝐶𝐷= 𝐴𝐵= 2，
∴𝐴𝐶= 6，
∵∠𝐴= 90°，
∴𝐵𝐶= √𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 = √40 = 2√10．
故选：D．
2．如图，△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶关于点𝐶成中心对称，若𝐴𝐶= 1，𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，则𝐴𝐸的长是（ ）
12 / 29
学科网（北京）股份有限公司
A．3
B．5
C．√5
D．2√2
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关
键，
根据中心对称图形的特点得到𝐴𝐶= 𝐷𝐶= 1, 𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 2, ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 90°，则𝐴𝐷= 2，由勾股定理
即可求解．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐸𝐶关于点𝐶成中心对称，
∴𝐴𝐶= 𝐷𝐶= 1, 𝐴𝐵= 𝐷𝐸= 2, ∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 90°，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 1 + 1 = 2，
在Rt △𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐸= √𝐴𝐷2 + 𝐷𝐸2 = √22 + 22 = 2√2，
故选：D ．
3．如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑃，△𝐸𝐹𝐷与△𝐴𝑃𝐷关于点𝐷成中心对称．若𝐴𝐶=
7, 𝐵𝐷= 8，则𝐵𝐸的长度为（ ）
A．12
B．15
C．12.5
D．15.5
【答案】C
【分析】根据菱形的性质，得到𝐴𝑃=
1
2 𝐴𝐶, 𝐷𝑃=
1
2 𝐵𝐷, ∠𝐴𝑃𝐷= 90° 对称性得到∠𝐹= 90°，𝐹𝐸=
𝐴𝑃, 𝐷𝐹= 𝐷𝑃，在Rt △𝐵𝐹𝐸中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷相交于点𝑃，𝐴𝐶= 7, 𝐵𝐷= 8，
∴𝐴𝑃=
1
2 𝐴𝐶=
7
2 , 𝐷𝑃=
1
2 𝐵𝐷= 4, ∠𝐴𝑃𝐷= 90°，
∵△𝐸𝐹𝐷与△𝐴𝑃𝐷关于点𝐷成中心对称，
13 / 29
学科网（北京）股份有限公司
∴∠𝐹= ∠𝐴𝑃𝐷= 90°，𝐹𝐸= 𝐴𝑃=
7
2 , 𝐷𝐹= 𝐷𝑃= 4，𝑃, 𝐷, 𝐹三点共线，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐷+ 𝐷𝐹= 12，
在Rt △𝐵𝐹𝐸中，𝐵𝐸= √𝐵𝐹2 + 𝐸𝐹2 = 12.5．
4．如图，△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于点O 对称，连接𝑂𝐵，𝑂𝐸，𝐵𝐷．若𝐵𝑂⊥𝐴𝐶，𝐷𝐸= 6，则𝐵𝐷的长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
【答案】C
【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用
中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得𝐷在𝐵𝐸的垂直平分线上，求出𝐵𝐷．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹关于点𝑂成中心对称，
∴𝑂𝐵= 𝑂𝐸（中心对称的对应点到对称中心的距离相等）
又 ∵𝐵𝑂⊥𝐴𝐶，
∴ D 在𝐵𝐸的垂直平分线上，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐸= 6，
故选：C．
5．如图，已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸关于点A 中心对称，若𝐴𝐶= 3cm，则𝐶𝐸的长为____________cm．
【答案】6
【详解】解∶∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸关于点A 中心对称，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
又𝐴𝐶= 3cm，
∴𝐴𝐸= 3cm，
14 / 29
学科网（北京）股份有限公司
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐸= 6cm，
故答案为∶6．
重难点六 根据图形的变换画另一部分图形
1 标记出已知图形的全部顶点；
2 逐一作出每个顶点关于对称中心旋转 180° 的对应点；
3 按照原有顺序依次连接对应顶点，补全图形。
1．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）请画出与△ABC 关于原点O 对称的△A1B1C1；
（2）请画出△A1B1C1关于y 轴对称的△A2B2C2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）找到△ABC 各顶点关于原点O 对称的对应点，再顺次连接即可；
（2）找到△A1B1C1各顶点关于y 轴对称的对应点，再顺次连接即可．
【详解】（1）如图所示△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示△A2B2C2，即为所求．
15 / 29
学科网（北京）股份有限公司
2．△𝐴𝐵𝐶在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将△𝐴𝐵𝐶绕点O 顺时针旋转90°得到△𝐴1𝐵1𝐶1，作出△𝐴1𝐵1𝐶1；
(2)△𝐴𝐵𝐶的中心对称图形为△𝐴2𝐵2𝐶2，其中点𝐶2的坐标为(1, −1)，作出△𝐴2𝐵2𝐶2．
【答案】(1)如图，△𝐴1𝐵1𝐶1即为所求；
(2)
如图，△𝐴2𝐵2𝐶2即为所求．
16 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【分析】题考查作图−旋转变换，中心对称等知识；
（1）利用旋转变换的性质分别作出𝐴，𝐵，𝐶的对应点𝐴1，𝐵1，𝐶1即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出𝐴，𝐵，𝐶的对应点𝐴2，𝐵2，𝐶2即可．
【详解】（1） 略
（2）略
3．如图，已知在平面直角坐标系中，线段𝐴𝐵的坐标分别为𝐴(3,4), 𝐵(4,2)
(1)画出线段𝐴𝐵绕点𝐵逆时针旋转90°得到线段𝐶𝐵，连接点A、C 得到△𝐴𝐵𝐶；
(2)在（1）的条件下，画出△𝐴𝐵𝐶关于原点𝑂对称的△𝐷𝐸𝐹，点𝐴、𝐵、𝐶的对应点分别是𝐷、𝐸、𝐹；
(3)在（2）的条件下，已知线段𝐴𝐵绕平面内的点𝑃旋转一个特定的度数可与线段𝐹𝐸重合（其中点𝐴对应点
𝐹），请直接写出点𝑃的坐标为_____________．
【答案】(1)图见详解；
(2)图见详解；
17 / 29
学科网（北京）股份有限公司
(3)(−2,4)
【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）连接𝐴𝐹，𝐵𝐸，分别作线段𝐴𝐹，𝐵𝐸的垂直平分线，相交于点P，则线段𝐴𝐵绕点P 顺时针旋转90°可
与线段𝐹𝐸重合，即可得出答案．
【详解】（1）解∶如图，线段𝐶𝐵、△𝐴𝐵𝐶即为所求；
（2）解：如图，△𝐷𝐸𝐹即为所求．
（3）解：连接𝐴𝐹，𝐵𝐸，分别作线段𝐴𝐹，𝐵𝐸的垂直平分线，相交于点P．则线段𝐴𝐵绕点P 顺时针旋转
90°可与线段𝐹𝐸重合，
18 / 29
学科网（北京）股份有限公司
∴点P 的坐标为(−2,4)，
故答案为∶(−2,4)．
4．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4）．
(1)画出△ABC 关于原点O 对称的图形△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标；
(2)将△ABC 绕B 点顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2并直接写出A2点的坐标；
(3)已知△A2B2C2可以看作由△A1B1C1绕点P 逆时针旋转90°得到的图形，直接写出点P 的坐标．
【答案】(1)图见解析，A1点的坐标为（4，﹣5）
(2)图见解析，A2点的坐标为（﹣2，1）
(3)P(-2，-5)
【分析】(1)关于原点对称，横坐标与纵坐标均互为相反数，分别求出A，B，C 的对应点A1，B1，C1的坐
标，然后再连接成三角形即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B，C 的对应点A2，B2，C2即可；
(3)对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心即可求解．
【详解】（1）解：A(-4，5)关于原点O 对称的点A1坐标为(4，5)，
19 / 29
学科网（北京）股份有限公司
B(-5，2)关于原点O 对称的点B1坐标为(5，-2)，
C(-3，4)关于原点O 对称的点C1坐标为(3，-4)，
△A1B1C1图形如下所示：
（2）解：如下图，△A2B2C2即为所求，A2点的坐标为(-2，1)；
（3）解：如下图所示：连接C1C2，过其中点E 作PE⊥C1C2，则PE 为C1C2垂直平分线，
连接A1A2，过其中点F 作PF⊥A1A2，则PF 为A1A2垂直平分线，
由旋转的性质可知：旋转前后对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，
∴PE 与PF 的交点P 即为旋转中心，P(-2,-5)．
20 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】本题考查作图旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称的性质，理解
对应点连线段的垂直平分线的交点为旋转中心．
重难点七 利用中心对称的性质求面积
1 中心对称的两部分面积相等，满足S1 = S2；
2 采用割补法，将不规则阴影转化为三角形、矩形等规则图形计算面积。
1．如图，直线𝑎⊥𝑏于点O，曲线c 关于点O 中心对称，点A 的对应点是点𝐴′, 𝐴𝐵⊥𝑎于点𝐵, 𝐴′𝐷⊥𝑏于点
D．若𝑂𝐵= 3, 𝑂𝐷= 2，则阴影部分的面积为（ ）
A．5
B．6
C．12
D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．
根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【详解】解：如图，过点A 作𝐴𝐸⊥𝑦轴于点E，
21 / 29
学科网（北京）股份有限公司
∵直线𝑎⊥𝑏于点O，曲线c 关于点O 中心对称，点A 的对应点是点𝐴′, 𝐴𝐵⊥𝑎于点𝐵, 𝐴′𝐷⊥𝑏于点D，𝑂𝐵=
3, 𝑂𝐷= 2，
∴𝐴𝐵= 𝑂𝐸= 𝑂𝐷= 2，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和=长方形𝐴𝐵𝑂𝐸的面积= 3 × 2 = 6．
故选：B
2．如图，已知阴影部分图形关于点O 成中心对称，且𝑂𝐴= 3，△𝐴𝐵𝐶的高𝑂𝐵= 2，则△𝐴𝐵𝐶的面积为
（ ）．
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出𝑂𝐶= 𝑂𝐴= 3
是解题关键．
【详解】解：∵阴影部分图形关于点O 成中心对称，
∴𝑂𝐶= 𝑂𝐴= 3,
∴𝐴𝐶= 6．
∵△𝐴𝐵𝐶的高𝑂𝐵= 2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐴𝐶⋅𝑂𝐵=
1
2 × 6 × 2 = 6．
故选D．
3．如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶，𝐵𝐷为对角线，𝐵𝐶= 6，𝐵𝐶边上的高为5，则阴影部分的面积为
（ ）
22 / 29
学科网（北京）股份有限公司
A．8
B．10
C．15
D．30
【答案】C
【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，所以可以由中心对
称图形的性质得到解答．
【详解】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都
是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为
1
2 𝑆▱𝐴𝐵𝐶𝐷=
1
2 × 6 × 5 = 15，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题关
键．
4．如图，已知长方形的长为10，宽为4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20
B．15
C．10
D．25
【答案】A
【分析】观察图形可知，阴影与空白图形都是互相对称的，故其面积相等，则图中阴影部分的面积即是长
方形面积的一半．
【详解】解：根据题意观察图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，
再根据中心对称的性质得：
图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，
则图中阴影部分的面积=
1
2×40=20cm2．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称，难度适中，关键是利用中心对称的性质得出答案．
5．如图，直线𝑎，𝑏垂直相交于点𝑂，曲线𝐶关于点𝑂成中心对称，点𝐴的对称点是点𝐴′，𝐴𝐵⊥𝑎于点𝐵，
23 / 29
学科网（北京）股份有限公司
𝐴′𝐷⊥𝑏于点𝐷．若𝑂𝐵= 4，𝑂𝐷= 3，则阴影部分的面积之和为_____．
【答案】12
【详解】解：如图，过点𝐴′作𝐴′𝐹⊥𝑎于点𝐹，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝑏于点𝐸，
∵𝐴′𝐷⊥𝑏于点𝐷．
∴∠𝐴′𝐹𝑂= ∠𝐹𝑂𝐷= ∠𝐴′𝐷𝑂= 90°，
∴四边形𝐴′𝐷𝑂𝐹是矩形，
∴𝐴′𝐹= 𝑂𝐷= 3，
同理可知，四边形𝐴𝐵𝑂𝐸是矩形，
∴𝐴𝐸= 𝑂𝐵= 4，
∵曲线𝐶关于点𝑂成中心对称，点𝐴的对称点是点𝐴′，
∴𝐴𝐸= 𝐴′𝐷= 𝑂𝐵= 4，𝐴𝐵= 𝐴′𝐹= 3，图形①与图形②面积相等，
∴𝑆阴影= 𝑆矩形𝐴𝐵𝑂𝐸= 3 × 4 = 12．
6．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的对称中心都是点𝑂，其边长分别是8 和6，则图中阴影部分的面积
是______．
【答案】7
24 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接
𝐴𝐹, 𝐵𝐺，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一．
【详解】解：连接𝐴𝐹，𝐵𝐺，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为8 和正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的边长为6，
∴正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为64，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的面积为36，
∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷和正方形𝐸𝐹𝐺𝐻的对称中心都是点𝑂，
∴𝑆阴影=
1
4 × (64 −36) = 7．
故答案为：7．
7．将五个边长都为3cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D 分别是四个正方形的中心，则图中四
块阴影面积的和是__________cm2．
【答案】9
【详解】解：如图，连接𝐴𝐸、𝐴𝐹，
25 / 29
学科网（北京）股份有限公司
∵∠𝐺𝐴𝐻= ∠𝐸𝐴𝐹= 90°，
∴∠𝐺𝐴𝐸= ∠𝐻𝐴𝐹，
∵∠𝐴𝐸𝐺= ∠𝐴𝐹𝐻，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐺𝐸≌△𝐴𝐻𝐹(ASA)，
∴𝑆△𝐴𝐸𝐺= 𝑆△𝐴𝐹𝐻，
∴一个阴影部分的面积等于正方形的面积的
1
4，
∴四块阴影面积的总和正好等于一个正方形的面积，
∵五个正方形的边长都为3cm，
∴四块阴影面积的总和为9cm2，
故答案为：9．
重难点八 中心对称中的变化规律
1 确定周期：连续 2 次中心对称变换后图形回到初始位置，周期为2；
2 用总变换次数÷周期，计算余数；
3 依靠余数判定最终位置，不需要一步步重复画图。
1．在平面直角坐标系中，点𝑃1(0,−1)，𝑃2(2,3)的对称中心是点A，另取两点𝐵(−1,2)，𝐶(−1,0)．有一电
子青蛙从点𝑃1处开始依次作关于点A，B，C 的循环对称跳动，即第一次跳到点𝑃1关于点A 的对称点𝑃2处，
接着跳到点𝑃2关于点B 的对称点𝑃3处，第三次再跳到点𝑃3关于点C 的对称点𝑃4处，第四次再跳到点𝑃4关于
点A 的对称点𝑃5处，…，则点𝑃2019的坐标为（ ）．
A．(−1,1)
B．(−1, −1)
C．(2,0)
D．(−4,1)
【答案】D
26 / 29
学科网（北京）股份有限公司
【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化−对称，利用中心对称找出坐标规律是解
题的关键．
首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，
𝑃1(0,1)→𝑃2(2,3)→𝑃3(−4,1)→𝑃4(2, −1)→𝑃5(0,3)→𝑃6(−2,1)→𝑃7(0,1)→𝑃8(2,3)…由此得到𝑃7的坐标和𝑃1的坐
标相同，𝑃8的坐标和𝑃2的坐标相同，即坐标以6 为周期循环，利用这个规律即可求出点𝑃2019的坐标．
【详解】解：∵点𝑃2(2,3)关于点𝐵(−1,2)的对称点𝑃3，
∴
2+𝑥𝑝3
2
= −1，
3+𝑦𝑝3
2
= 2
∴𝑥𝑝3 = −4，𝑦𝑝3 = 1，
∴𝑃3(−4,1)，
同理可得点𝑃4(2, −1)，𝑃5(0,3)，𝑃6(−2,1)，𝑃7(0,1)，𝑃8(2,3)，…
∴点P 每6 次一循环，
∵2019 ÷ 6 = 336. . . . . . .3
∴点𝑃2019与点𝑃3坐标相同，即𝑃2019(−4,1)．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是边长为2 的正方形𝐴、𝐶分别在y 轴正半轴与x 轴正半轴
上，P 点坐标为(−1,1)，将P 点关于A 对称得到𝑃1，将𝑃1关于O 点对称得到𝑃2，将𝑃2关于C 点对称得到
𝑃3，将𝑃3关于B 点对称得到𝑃4，将𝑃4关于A 点对称得到𝑃5,⋯⋯，按照顺序以此类推，则𝑃2024的坐标为
________．
【答案】(−1,1)
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律
求解即可．
【详解】解：如图，由题意𝑃(−1,1), 𝑃1(1,3),𝑃2(−1, −3),𝑃3(5,3),𝑃4(−1,1)，
小学
初中
27 / 29
学科网（北京）股份有限公司
∴𝑃4与P 重合，四次一个循环，
∵2024 ÷ 4 = 506，
∴𝑃2024与𝑃4重合，
∴𝑃2024(−1,1)．
故答案为：(−1,1)．
3．如图，一段抛物线𝑦= −𝑥(𝑥−1)(0 ≤𝑥≤1)记为𝑚1，它与x 轴的交点为O，𝐴1，顶点为𝑃1；将𝑚1绕点
𝐴1旋转180°得𝑚2，交x 轴于点𝐴2，顶点为𝑃2；将𝑚2绕点𝐴2旋转180°得𝑚3，交x 轴于点𝐴3，顶点为
𝑃3，…，如此进行下去，直至得到𝑚𝑛．当n 为偶数时，抛物线𝑚𝑛的表达式为______．
【答案】𝑦= (𝑥−𝑛+ 1)(𝑥−𝑛)(𝑛−1 ≤𝑥≤𝑛)
【分析】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线𝑚1与x 轴的交点的坐标
及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线𝑚𝑛与x 轴的交点的坐标及开口
方向，即可得到答案；
【详解】解：当𝑦= 0时，−𝑥(𝑥−1) = 0，
解得：𝑥1 = 0，𝑥2 = 1，
∴抛物线𝑚1与x 轴的交点的坐标为(0,0)和(1,0)，且开口方向向下，且抛物线𝑚1与x 轴两交点的距离为：
𝑥2 −𝑥1 = 1；
∵将𝑚1绕点𝐴1旋转180°得𝑚2，将𝑚2绕点𝐴2旋转180°得𝑚3，
28 / 29
学科网（北京）股份有限公司
∴抛物线𝑚2与x 轴的交点的坐标为(1,0)和(2,0)，且开口方向向上；
∴抛物线𝑚3与x 轴的交点的坐标为(2,0)和(3,0)，且开口方向向下；
同理：当n 为偶数时，抛物线𝑚𝑛与x 轴的交点的坐标为(𝑛−1,0)和(𝑛, 0)，且开口方向向上；
∴抛物线𝑚𝑛的表达式为：𝑦= (𝑥−𝑛+ 1)(𝑥−𝑛)
故答案为：𝑦= (𝑥−𝑛+ 1)(𝑥−𝑛)(𝑛−1 ≤𝑥≤𝑛)．
4．如图，平面直角坐标系中，△𝑂𝐴1𝐵1是边长为2 的等边三角形，作△𝐵2𝐴2𝐵1与△𝑂𝐴1𝐵1关于点𝐵1成中
心对称，再作△𝐵2𝐴3𝐵3与△𝐵2𝐴2𝐵1关于点𝐵2成中心对称，如此作下去，则△𝐵2
𝑛﹣1𝐴2
𝑛𝐵2
𝑛（n 是正
整数）的顶点𝐴2
𝑛的坐标是（________，________）
【答案】 4𝑛−1/−1 + 4𝑛 −√3
【分析】作𝐴1𝐶⊥𝑥轴于点C，先根据△𝑂𝐴1𝐵11 是边长为2 的等边三角形，可得𝐴1的坐标为(1，√3)，B1
的坐标为(2，0)；分别求出点𝐴2、𝐴3、𝐴4的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出𝐴2𝑛的坐标
是多少即可．
【详解】解：如图，作𝐴1𝐶⊥𝑥轴于点C，
∵△𝑂𝐴1𝐵1是边长为2 的等边三角形，
∴𝑂𝐶=
1
2 𝑂𝐵1 = 1，∠𝑂𝐴1𝐶= 30°，
∴𝐴1𝐵1 = √22 −12 = √3，
∴𝐴1的坐标为(1，√3)，𝐵1的坐标为(2，0)，
∵△𝐵2𝐴2𝐵1与△𝑂𝐴1𝐵1关于点𝐵1成中心对称，
∴点𝐴2与点𝐴1关于点𝐵1成中心对称，
∵2 × 2 −1 = 3，2 × 0 −√3 = −√3，
29 / 29
学科网（北京）股份有限公司
∴点𝐴2的坐标是(3，−√3)，
∵△𝐵2𝐴3𝐵3与△𝐵2𝐴2𝐵1关于点𝐵2成中心对称，
∴点𝐴3与点𝐴2关于点𝐵2成中心对称，
∵2 × 4 −3 = 5，2 × 0 −(−√3) = √3，
∴点𝐴3的坐标是(5，√3)，
∵△𝐵3𝐴4𝐵4与△𝐵3𝐴3𝐵2关于点𝐵3成中心对称，
∴点𝐴4与点𝐴3关于点𝐵3成中心对称，
∵2 × 6 −5 = 7，2 × 0 −√3 = −√3，
∴点𝐴4的坐标是(7，−√3)，
…，
∵1 = 2 × 1 −1，3 = 2 × 2 −1，5 = 2 × 3 −1，7 = 2 × 4 −1，…，
∴𝐴𝑛的横坐标是2𝑛−1，𝐴2𝑛的横坐标是2 × 2𝑛−1 = 4𝑛−1，
∵当n 为奇数时，𝐴𝑛的纵坐标是√3，当n 为偶数时，𝐴𝑛的纵坐标是−√3，
∴顶点𝐴2𝑛的纵坐标是−√3，
∴顶点𝐴2𝑛的坐标是(4𝑛−1，−√3)．
故答案为：4𝑛−1，−√3．
