文档文本内容
培优点2 权方和、柯西、琴声、排序、切比雪夫不等式
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................5
题型一：柯西不等式............................................................................................................................5
题型二：权方和不等式........................................................................................................................7
题型三：排序不等式............................................................................................................................8
题型四：切比雪夫不等式..................................................................................................................10
题型五：琴生不等式..........................................................................................................................13
04 课时精练........................................................................................................................................17
高考中，利用权方和、柯西、琴生、排序及切比雪夫不等式求最值，是考察学生数学思维与技巧的重
要考点。这些不等式能简化复杂计算，快速定位最值。掌握它们，可提升解题效率，在高考中占据优势，
展现数学素养。
1、柯西不等式（Cauchy 不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的
，都有
．
（2 ）
元柯西不等式：
，取等条件：
或
（
）．
2、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的
，都有
．当且仅当
时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若
，
，
，则
，当
时等号成立．
3、排序不等式
给定两组实数
．如果
．那么
其中
是
的一
个排列．
4、切比雪夫不等式
对于两个实数数列
，若有
，
则有
，
类似地，若有
，则有
．
5、琴生不等式
凹函数的定义
设连续函数
的定义域为
，对于区间
内任意两点
，都有
，则称
为
上的凹函数.
（1）琴生不等式：若
是区间
上的凹函数，则对任意的点
，有
（当且仅当
时取“=”）．
（2）加权琴生不等式：若
在
上为凹函数，则对任意
，有
题型一：柯西不等式
【例1】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应
用．二维柯西不等式为
，当且仅当
时等号成立．已知
，直
线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设直线
与曲线
相切的切点为
，
由
得
，则
，即
，
则
，得
，
所以
，代入
得
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
等号成立.
故选：B.
【变式1-1】柯西不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
，当且仅当
等号成立，已知
，请
你用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【解析】因为
，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值是
，
故选：A
【变式1-2】（2025·北京朝阳·模拟预测）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】
，由
，解得
，
当
时，
，当
，
，
当
，则
，
此时
且
，
由柯西不等式可得
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，即
，
所以函数
的最大值为2.
故选：C.
【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的
流数
问题时得到的
“
”
.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才
能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你用
柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【解析】由题干中柯西不等式可得
，
所以
的最大值为
，当且仅当
时取等号.
故选：A
题型二：权方和不等式
【例2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：
设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
【答案】B
【解析】因为
，
因为
，所以
，
，
根据权方和不等式有：
，
当且仅当
时，即
时等号成立.
所以函数
的最小值为
.
故选：B
【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）
权方和不等式
是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪
“
”
80 年代初
命名的．其具体内容为：设
，则
，当且仅当
时，等号成立．根
据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故选：C．
【变式2-2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如
下：设正数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号成立．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
【答案】B
【解析】由
，则
，
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
故选：B.
【变式2-3】权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知
为正数，
，当且仅当
时，等号成立.若x 为锐角，则
的最小值为 .
【答案】8
【解析】
，
当且仅当
时，即
时，取等号.
故答案为：8
题型三：排序不等式
【例3】已知数组（
）与（
）均是1，2，
，
…
n 的一个排列.则
的
最大值为 .
【答案】
【解析】注意到，
.
由排序不等式，知当
时，和
式的值为最大.此时
.
【变式3-1】排序不等式：设
为两组实数，
是
的任一排
列，那么
即
反序和
“
乱序和
顺序和”.
当且仅当
或
时，反序和等于顺序和.
(1)设
为实数，
是
的任一排列，则乘积的值
不会超过
___________.
(2)设
是
个互不相同的正整数，求证：
.
(3)有10 人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第
个人的水桶需要分钟，假定这些各不
相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10 人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于
多少？
【解析】（1）依题意，
是
的任一排列，
设两组数
与
，
则
可看作
与
两组实数的
乱序和
；
“
”
设
也是
的一个排列，且
，
其中满足集合
.
则
为
与
两组实数的
顺序和
，
”
“
且
.
则由排序不等式：乱序和
顺序和，
得
.
故答案为：
.
（2）设两组数：
与
.
由
是
个互不相同的正整数，
设
是
的一个排列，且满足
，
即
是这
个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此
，又
，
由排序不等式：乱序和
序和，得
，
所以
.
（3）依题意，水龙头注满第
个人的水桶需要分钟，
则第个人打水时
，即
个人都在等，需要等候总时间为
，
则所有人打完水，他们等候的总时间为
，
设两组数：
与
，由假定，这些各不相同，
设
为
的一个排列，且
，
又因为
，
由排序不等式：乱序和
反序和，得
，
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，
即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水，
等候的总时间最少为
，其中
为
从小到大的一个顺序排列.
【变式3-2】已知
为正数，用排序不等式证明：
．
【解析】不妨设
，则
，
由排序不等式可得：
，
，
，
三式相加得
，
当且仅当
时，取等号.
∴
.
题型四：切比雪夫不等式
【例4】应用排序不等式证明切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：若
，
，则
【解析】同序和
乱序和
反序和．固定
的位置，让
进行轮换，轮换一周，恰好轮换
次，共得以下
个式子：
，
，
，
，
，
……
，
将以上
个式子相加，得
，
即
【变式4-1】（多选题）（2025·全国·模拟预测）设
，
，
，
…
（
），
，
，
，
…
（
）为两组正实数，
，
，
，
…
是
，
，
，
…
的任一排列，我们称
为这两组正实数的乱序和，
为这两组正实数
的反序和，
为这两组正实数的顺序和．根据排序原理有
，即反序
和乱序和顺序和．则下列说法正确的是（
≤
≤
）
A．数组
和
的反序和为30
B．若
，
，其中
（
）都是
正实数，则
C．设正实数
，
，
的任一排列为
，
，
，则
的最小值为3
D．已知正实数
满足
，
为定值，则
的最小值
为
【答案】AC
【解析】选项A，根据反序和的定义可知，数组
和
的反序和为
，故A 正确；
选项B，设两组正实数均为
，则
为两组正实数的顺序和，
为两组正实数的乱序和，由排序
原理知
，故B 错误；
选项C，不妨设两组正实数为
，
，
和
，
，
，其中
，
则
，则
是两组正实数的乱序和，
是两组正实数的反序和，故
，故C 正确；
选项D：设两组正实数为
，
，
，
…
和
，
，
，
…
，其中
，
则
，则
是两组正实数的乱序和，
是两组正实数的反序和，
故
，故D 错误．
故选：AC.
【变式4-2】已知锐角三角形
中，内角
所对的边分别为
，且
．
设
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】C
【解析】由题意知
，
则
，
则由排序不等式有
，
，
两式相加得
【变式4-3】若
，其中
都是正数，
则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依序列
的各项都是正数，不妨设
则
为序列
的
一个排列．由排序不等式，得
，即
．
题型五：琴生不等式
【例5】在锐角
中，
的最小值为 ．
【答案】
【解析】构造函数
，
，则
，
令
，则
，
所以函数
在
上为下凸函数．
由琴生不等式得
，
即
，当且仅当
时等号成立．
因此在锐角
中，
的最小值为
．
故答案为：
.
【变式5-1】定义：设
为区间D 上的可导函数，若
为增函数，则称
为区间D 上的凹函数.
对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Johan Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数
为其定义域上
的凹函数，则对其定义域内任意n 个数
，均有
成
立（当且仅当
时等号成立）.
(1)分别判断函数
与
是否为其定义域上的凹函数；
(2)若函数
为
上的凹函数，求m 的取值范围；
(3)设数列
中的各项均不小于1，证明：
.
【解析】（1）
的导函数为
，
因为函数
不是
上的增函数，
所以
不是
上的凹函数.
的导函数为
，
当
时，令
，
由对勾函数的单调性知
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
所以函数
是
上的凹函数.
（2）由题可知
，
设
，则
.
因为函数
为
上的凹函数，所以
为增函数，
所以
，即
恒成立.
设
，则
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，
故m 的取值范围是
.
（3）设
，因为
，故
，记
，
由（1）知
为定义域上的凹函数，所以由琴生不等式可知
，
所以
.
【变式5-2】已知
，且
，求证：
．
【解析】已知
，且
，
则有
，
，
，
，当且仅当
时等号成立，
，
，
设
，由幂函数性质可知它在
是上凸函数，
由琴生不等式得
，
，
，
又
，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立．
【变式5-3】若
，则有
(1)
；
(2)
．
【解析】（1）由
是凹函数，应用琴生不等式可得：
即
,得证.
（2）应用琴生不等式可得：
,
而
，
则
.
即
,得证.
1．（2025·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学
家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：
，当且仅当
时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数
的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．20
【答案】A
【解析】由
，解得
，
所以函数
的定义域为
，
由柯西不等式得，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值为
.
故选：A.
2．已知实数
满足
，则
的最大
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，
则条件为
，所以
，
等号当
且
时取得，因此所求代数式的最大值为
．
故选：D
3．设
，对任意
，
，总存在
，使得
成立，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
．
由题意，
，
，
，且
，
由绝对值不等式，得
，
∴
，即
，因此
．
故选：C．
4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正
数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号成立，则函数
的最小值为 ．
【答案】49
【解析】因为正数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，此时
的最小值为49，
故答案为：49.
5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，函数
的最小值为 ．
【答案】8
【解析】因为
，
，
，
，则
，当且仅当
时，等号成立，
又
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为8.
故答案为：8.
6．（2025·四川德阳·模拟预测）已知
.
(1)解不等式
；
(2)若
为
的最小值，设
，求
的最小值.
【解析】（1）因为
，由
，得到
，即
，
当
时，原不等式等价于
，得到
，
当
时，原不等式等价于
，得到
，
当
时，原不等式等价于
，得到
，
综上，不等式
的解集为
.
（2）因为
，
所以
，得到
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
7．（2025·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，
柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设
，
，
，
，
…
，
，
，
，
，
…
，
，当且仅当
（
）或存在一个数
，使得
（
）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设
是棱长为
的正四面体
内的任意一点，点
到四个面的距离分别为
、
、
、
，求
的最小值；
(3)已知正数数列
满足：
存在
①
，使得
（
）；
对任意正整数
②
、
（
），均
有
.求证：对任意
，
，恒有
.
【解析】（1）柯西不等式的二元形式为：
设
，则
，
当且仅当
时等号成立.
（2）由正四面体
的体积
，
将正四面体
放入到棱长为为正方体
中，
则
,
得
，所以
，
又由柯西不等式得
，
所以
，
当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值为
.
（3）对
，记
是
的一个排列，
且满足
,
由条件
得：
②
.
于是，对任意的
，
都有
，
由柯西不等式得
，
所以
，
从而，对任意
，
，恒有
，
因为对任意
，
，
，
所以，对任意
，
，恒有
，
8．已知
．
(1)若
，解不等式
．
(2)当
时，
的最小值为3，正实数
满足
，证明：
．
【解析】（1）若
，不等式为
．
当
时，
，解得
，故
；
当
时，
，解得
，故
；
当
时，
，即
，显然不成立，不等式无解．
综上，不等式
的解集为
．
（2）当
时，
当
时等号成立．
由
得
，所以
．
由柯西不等式得
，
即
，当且仅当
，即
时取等号．
9．若
，
，
，则不等式
，当且仅当
时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，
称为该不等式的权，它的特点是分子的
幂指数比分母的幂指数高1 次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若
，证明二维形式的权方和不等式：
.
(2)已知
，
，求
的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数
，
满足
，求
的最大值.
由权方和不等式得
，
所以
的最大值是5.
【解析】（1）证明：
，当且仅当
时，等号成立.
因为
，所以
.
（2）
，
当且仅当
时，等号成立.
所以
的最小值为
..
（3）这种解法不正确.
原因如下：这种解法当且仅当
，即
时等号成立.
由
，消去
得
，因为
，所以本方程无实数解，
所以
，
的最大值不是5.
10．设
，求证：
．
【解析】证明：由幂函数的图像可知，
在
上为上凸函数，由琴生不等式，
则
，
且
，
，
不能同时相等，从而等号取不到．
∴
．
11．设
，
且
，求证：
等号成立当且仅当
．
【解析】若某个
为0，易知不等式成立．以下设
，令
，则
且
．考虑函数
，
由
，
，所以
是
上的严格上凸函数，应用琴生不等式可得：
，
即
，
易知等号成立当且仅当
，即
．
12．若a，b，c 为任意的正数，则有
．
【解析】利用函数
的凸性，在琴生不等式（3）中，取
，
，
，
，
，
可以算得：
．
由此推得：
．
