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微专题06 函数的零点、图象的交点与方程的根讲义
微专题教学内容
1、函数的零点
一般的，对于函数
，我们把方程
的实数根
叫作函数
的零点。
2、零点存在性定理
如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数
在区间
内必有零点，即
，使得
注：零点存在性定理使用的前提是
在区间
连续，如果
是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设
在区间
连续）
（1）若
，则
“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析
的性
质与图象，如果
单调，则“一定”只有一个零点
（2）若
，则
“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果
单调，那
么“一定”没有零点
（3）如果
在区间
中存在零点，则
的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影
响。如果
单调，则
一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在
单增连续函数，
是
的零点，且
，则
时，
；
时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若
为增（减）函数，则
也为增（减）函数
② 若
为增函数，则
为减函数；同样，若
为减函数，则
为增函数
③ 若
为增函数，且
，则
为增函数
（2）复合函数单调性：判断
的单调性可分别判断
与
的单调性（注意要
利用
的范围求出的范围），若
，
均为增函数或均为减函数，则
单调
递增；若
，
一增一减，则
单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数
的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
典例精讲
【典例1】
函数
的零点是 ．
【答案】
/0.5
【分析】
利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为
.
，令
可得
，解得
或
（舍），
故答案为：
.
会一题通一类
1.已知
是函数
的一个零点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题可得
，然后根据二倍角公式结合齐次式即得.
【详解】因为
是函数
的一个零点，
所以
，即
，故
，
则
．
故选：D．
2.函数
所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】C
【分析】分类求出函数的零点后可得正确的选项.
【详解】由
或
可得
或
或
或
，
故函数的零点之和为
，
故选：C.
【典例2】
函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】利用三角函数的性质求解即可.
【详解】令
，得
，则
；
故
，
，
所以
在
共有4 个零点，
故选： C.
会一题通一类
1.函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，求出零点即可判断.
【详解】函数
，由
，得
或
，
当
时，
，因此函数
在
上的零点个数为4.
故选：B
2.函数
的零点个数为
【答案】3
【分析】根据
的零点转化为
与
的图象的交点，由图即可
得出答案.
【详解】根据
的零点个数转化为
与
的图象的交点个数，
时，函数
取最大值
，
时函数
的值为
，
又因为
，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以
的零点个数为个.
故答案为：.
【典例3】
函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的零点存在定理判断.
【详解】因为
，
，
.
所以函数
的零点所在的区间为
，
故选：C
会一题通一类
1.函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】易知
为增函数，又
，
，故零点所在的区间是
.
故选：B.
2.已知函数
，则在下列区间中，函数
一定有零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象及零点存在定理判断即可.
【详解】在同一坐标系内，作
，
图象，如图，
由图象可排除AB 选项，
又
,
，
，
所以由零点存在定理及图象可知，函数
在
上无零点，在
上有零点，
所以C 错误，D 正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：结合函数图象可判断函数只有一个零点，再由零点存在定理判断零点所在区间.
【典例4】
函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据零点存在定理即可得
，解出实数
的取值范围为
.
【详解】由零点存在定理可知，若函数
在区间
上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足
，即
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
会一题通一类
1.已知函数
，若
恰有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题转化为
恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函
数图象即可确定
的取值.
【详解】
恰有两个零点,即
恰有两个实数根，由于
，所以
恰有
两个实数根等价于
恰有两个实数根，
令
，则
，
当
时，
，故当
此时
单调递增，当
，
此时
单调递减，故当
时，
取极小值也是最小值，且当
时，
，
当
时，
，且
单调递增，
在直角坐标系中画出
的大致图象如图：
要使
有两个交点，则
，
故选：D
2.已知函数
若函数
恰有4 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，结合已知，将问题转化为
与
有个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到
，所以要使
恰有4 个零点，只需方程
恰有3 个实根
即可，
令
，即
与
的图象有个不同交点.
因为
，
当
时，此时
，如图1，
与
有个不同交点，不满足题意；
当
时，如图2，此时
与
恒有个不同交点，满足题意；
当
时，如图3，当
与
相切时，联立方程得
，
令
得
，解得
（负值舍去），所以
.
综上，
的取值范围为
.
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
【典例5】
若函数
，关于
的方程
的根的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【分析】首先解得
或
，再根据函数
的图象，利用数形结合，即可求解.
【详解】由
得
，解得
或
，
画出
的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10 个交点．（图中只显示了6 个交点，当
或
时，
和
与图象还有4 个交点，）
故选：D.
会一题通一类
1.若函数
，则方程
的实数根个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令
，则
，且
，当
时，结合图象可知，只有1 个解
，当
时，结合图象可知，只有1 个解
，当
时，结合图象可知，由3 个解
，从而得到答案.
【详解】
，
当
时，
，则
，
此时
在
上单调递减，
当
时，
，则
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
画出函数
和
的图象如下：
令
得，
故
，
令
，则
，且
，
当
时，结合图象可知，只有1 个解
，
当
时，结合图象可知，只有1 个解
，
当
时，结合图象可知，由3 个解
，
综上，方程
的实数根的个数为5.
故选：D
2.已知
，则方程
的实数根个数不可能为（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】A
【分析】作出
的图象，令
，由对勾函数的性质作出
的图象，再对
分类讨论，
将问题转化为关于
的方程
（具体到每种类型时
为常数）的解的个数问题.
【详解】因为
，
当
时
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，
当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
，
，
，
，
，
作出
的图象，如图所示：
令
，由对勾函数的性质可知
在
，
上单调递减，
在
，
上单调递增，且
，
，则
的图象如下所示：
①当
时，令
或
，
则关于
的方程
有两个实数解，关于
的方程
的方程也有两个实数解，
即此时对应
的个数为
，（以下处理方法类似）；
②当
时，令
或
或
，此时对应
的个数为6；
③当
时，
令
或
或
或
，
此时对应
的个数为；
④当
时，
或
或
或
，此时对应
的个数为；
⑤当
时，
或
或
，此时对应
的个
数为
；
⑥当
时，
或
，此时对应
的个数为3；
⑦当
时，
，此时对应
的个数为2.
综上可知，实数根个数不可能为5 个.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是作出
的图象，再对
分类讨论，将问题转化为关于
的方程
（具体到每种类型时
为常数）的根的问题.
【典例6】
函数
与函数
的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】分析函数
的性质，再按
分段并结合导数及零点存在性定理推理判
断.
【详解】令函数
，
，则
定义域为
，
，
是奇函数，
当
时，
；
由
为奇函数可得当
时，
，
而函数
是偶函数，且当
时，
，
则函数
与
的图象在
时无交点；
当
时，令
，求导得
，
函数
在
上单调递增，又
，
，因此
在
上只有一个零点，
所以函数
与
的图象交点只有一个.
故选：B
会一题通一类
1.曲线
与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】构造函数，利用导数探讨在区间
上的单调性，再利用零点存在性定理确定零点个数即可.
【详解】函数
在R 上单调递减，当
时，
；当
时，
，
由
，得
，因此曲线
与直线
的交点横坐标必在
上，
令
，
，求导得
，
由
，得
，存在
，使得
，
当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，因此函数
在
上各有一个零点，
所以曲线
与直线
的交点个数为3.
故选：C
2.当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.
【详解】作
图像，列表：
0
0
1
0
0
1
0
0
作
图像，列表：
0
0
2
0
0
2
0
在同一坐标系中画出图形，如下图所示，
则两个函数在
上有4 个交点.
故选：B.
3.已知函数
，若函数
与
的图象有三个交点，则a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数
与
的图象有三个交点，得到
有三个根，再分离参数得到
去分析
与
的交点个数.
【详解】因为函数
与
的图象有三个交点，所以
，
当
时，方程必然成立，
当
时，分离参数可得
，则
与
有两个交点，
若
，则
，若
，则
，如图所示，
结合图像，
要与
有两个交点，需满足
.
故选：C
学后测评
一、单选题
1．（2025·广东·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】令
，转化为求
，
图象交点个数即可.
【详解】令
，则
，
在同一直角坐标系中分别作出
，
的图象，如图所示，
观察可知，它们有3 个交点，即
有3 个零点.
故选：D.
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知曲线
与直线
无交点，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】由题意可得
无解，分
和
两种情况讨论可求解.
【详解】因为曲线
与直线
无交点，所以
无解，
所以
无解，所以
无解，
当
时，方程
无解，
当
时，方程为
，解得
，
故
时，曲线
与直线
无交点.
故选：C.
3．（2025·四川德阳·一模）若函数
有且只有1 个零点，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】先求出函数定义域，接着分析函数的奇偶性和单调性以及函数值的情况即可求解.
【详解】由题可得
，所以函数
定义域为
关于原点对称，
又
，所以函数
为偶函数，
又
为增函数，
和
均为
上的增函数，
所以函数
在
上单调递增，则函数
在
上单调递减，
所以
有最大值为
，又
时，
，
所以若函数
有且只有1 个零点，则
.
故选：C
4．（2025·重庆·模拟预测）已知
，若函数
存在两个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
，构造函数
得
，再构造函
数
，结合图象即可得答案．
【详解】由
，
，知
故
，
即
即
令
则上述式子即为
由于
，且
，
故
在
是单调递增函数，
故由
可得
即
，令
，
，
由
，得
，
当
时，
，
当
时，
，
故
，
，且当
时，
恒成立，
由此可得出
的大致图象如下：
由题意要求函数
存在两个零点，等价于函数
与
的图象有两
个交点，
由图可得：
．
故选：C．
5．（2025·河北·模拟预测）已知
为定义在
上的偶函数，当
时，
，若方程
恰有6 个不同的根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的性质和函数解析式画出图像，然后结合方程的6 个根求出结果即可.
【详解】设
，由于函数
为偶函数，且当
时，
，故
的大致图
象如图所示，
当
时，函数
的图象与直线
有四个交点，横坐标分别设为
，
，且
，
故四个方程
的根的个数分别为0，0，4，2，
故方程
恰有6 个不同的根，因此B 选项正确．容易验证
取其他值时，不符合题意．
故选：B.
6．（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数
，若函数
恰有5 个
零点，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.
【详解】由
恰有5 个零点，
则关于
的方程
恰有5 个相异实根，
令
，问题转化为满足
的
恰有5 个不同的解.
作出函数
的图象，如图所示，
由图易得：当
时，关于
的方程
仅有一个实根
，且
，
此时
仅有1 个实根，不合题意；
当
时，
仅有两个相异实根
，
而
各仅有1 个实根，不合题意；
当
时，
仅有3 个实根
，
且
各仅有1 个实根，
且两实根均小于
，则
有三个实根，必有
，
所以
.
又
，所以
，此时的5 个实根互不相等，
即
恰有5 个零点；
当
时，
仅有2 个相异实根
，且
，
此时
仅有1 个实根，
有2 个实根，不合题意.
所以实数的取值范围为
.
故选：C
二、多选题
7．（2025·四川乐山·模拟预测）已知函数
，
的零点分别为
，
，则下列
说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据函数单调性及零点存在定理判断
范围判断A，应用对数运算判断B，应用单调性判断C，
应用单调性及零点判断D.
【详解】函数
，
的零点分别为
，
，
因函数
在
上单调递增，且
，则
；
又
在
上单调递增，且
，
，则
，
所以
，故A 正确；
因
，故B 正确；
因为
，所以
，又因函数
单调递增，则
，故C 错误；
因函数
，
的零点分别为
，
，则
，
由
可得
，即
，即
，
又因为函数
在定义域上单调递增，且
，
则
，即
，故D 正确；
故选：ABD.
三、填空题
8．（2025·四川内江·一模）函数
的所有零点的和为 .
【答案】
【分析】根据函数零点的定义列出方程，再求解方程得到函数的零点，最后计算所有零点的和.
【详解】
，得
，
∴
，两边平方得
，
两边同乘以
，得
，
整理得
，
令
，则
，解得
或
.
当
时，
，解得
，
，不符合，
，不符合，
当
时，
，解得
（重根）.
∴将
代入，满足
，故函数只有一个零点
.
∴所有零点之和为
.
故答案为：
9．（2025·广东江门·模拟预测）函数
的零点个数为 ．
【答案】2
【分析】先求出函数的定义域，求导分析函数单调性及极值，分析函数的极限及最大值，进而利用零点存
在定理得出零点个数．
【详解】
的定义域为
，
函数
的定义域为
，
求导得
，令
，则
，
解得
，
，
，设
，
当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单调递减；
在
处取得极大值，
当
时，
，故
；
当
时，
，故
；
极大值
为最大值，
函数在
从
增至正极大值，穿过
轴一次，有一个零点；
在
从正极大值递减至
必穿过
轴一次，有另一个零点，
函数共有2 个零点．
故答案为：2．
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数
存在
，使得
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出函数的图象，依题意
即函数
与直线
的交点横坐标，利用函数解析式，
结合图象易得
，
，
，利用二次函数的性质即可求得
的取值范围.
【详解】作出函数的图象，设
，依题意，
，
且
，
，解得
，
，
故
，因函数
在
上单调递减，故
，
即
的取值范围是
.
故答案为：
.
