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第24 讲正弦定理、余弦定理的应用
（知识清单+6 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
正余弦定理边角互化、三角形边长与面积计算
单选/解答题
5 分/12 分
余弦定理、面积公式综合应用、基础求值
解答题
12 分
正余弦定理综合、周长与面积范围问题
解答题
12 分
余弦定理构造、边长取值范围求解
单选/填空题
5 分
正弦定理基础求值、解的个数判断
单选题
5 分
正余弦定理联动、面积最值综合压轴
解答题
12 分
【知识点01】正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a
sin A ＝
b
sin B ＝
c
sinC ＝2R
a2＝b 2 ＋
c 2 －
2 bc
cos
A ；
b2＝c 2 ＋
a 2 －
2 ca
cos
B ；
c2＝a 2 ＋
b 2 －
2 ab
cos
C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2 R sin
B ，
c＝2 R sin
C ；
(2)sin A＝a
2 R ，
cos A＝b
2＋c
2−a
2
2bc
；
cos B＝c
2＋a
2−b
2
2ac
；
cos C＝a
2＋b
2−c
2
2ab
sin B＝b
2 R ，sin C＝c
2 R ；
(3)a∶b∶c＝sin
A ∶
sin
B ∶
sin
C
【例1】在 △ABC 中，已知 A = π
6 ，B = π
3 ，a=2，求边长 b。
【知识点02】三角形解的判断
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
【例2】在 △ABC 中，a=3,b= 4 , A = π
6 ，判断三角形解的个数。
【知识点03】三角形中常用的面积公式
(1)S＝1
2aha(ha表示边a 上的高)；
(2)S＝1
2ab
sin
C ＝1
2ac
sin
B ＝1
2bc
sin
A ；
(3)S＝1
2r ( a ＋
b ＋
c ) (r 为三角形的内切圆半径).
【例3】在 △ABC 中，已知 a=3,b= 4 ,C = π
3 ，求三角形面积。
【题型一】正弦定理解三角形
【例1】（2026·重庆江北·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式1】（2025·江西萍乡·二模）在
中，
、
、分别是角
、
、
的对边，若
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·三模）在
中，
，
，
，角C 为钝角，则
________．
【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知
中，
，
，角A 的平分线与
交于点D，且
，则
__________．
【题型二】正弦定理求外接圆半径
【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
外接圆的半径为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．6
【变式1】（2026·海南海口·一模）在
中，已知
，
，
外接圆面积为
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且
，则
的外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）在
中，若
，
，则
外接圆的面积为
__________.
【题型三】正弦定理边角互化的应用
【例3】（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）
内角
的对边分别为
，已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·河北衡水·模拟预测）在
中，若
，
，则
_________.
【变式3】（2026·河北保定·三模）在
中，角
的对边分别为
．
(1)若
，求A；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围．
【题型四】三角形面积公式及其应用
【例4】（2026·陕西咸阳·三模）已知
的面积为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【变式1】（多选）（2026·陕西咸阳·一模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的周长为
D．
的面积为
【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在
中，
，
，
，则
____________，
的面积为____________．
【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
．已知
，
，
的平分线交
于点D．
(1)求b 的值；
(2)从下列条件中选择一个作为已知，使
存在，并求
的长．
条件①：
边上的高为
；条件②：
的面积为
．
【题型五】余弦定理解三角形
【例5】（2026·重庆·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【变式1】（2026·山东德州·三模）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
且
，三角
形面积为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·陕西咸阳·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
，则
______．
【变式3】（2026·安徽滁州·三模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
．
(1)求
;
(2)若
是锐角三角形，
，延长
至点
，使
，求
的取值范围．
【题型六】余弦定理边角互化的应用
【例6】（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角
中，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．3 或5
C．5
D．3
【变式1】（2026·湖北十堰·一模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，
，则
（ ）
A．
B．20
C．16
D．
【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且a
b，则
______.
【变式3】（2026·甘肃张掖·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的取值范围．
【解题大招01】正弦定理“边角互化”技巧
在三角形等式中，若式子为齐次式（边次数相同、角正弦次数相同），可利用正弦定理
a=2 R sin A ,b=2 R sin B ,c =2 R sin C 实现边化角或角化边，消去外接圆半径 R，简化式子。
适用题型：判断三角形形状、化简边角等式、求角度。
【例1】在 △ABC 中，满足 asin B =bsin A，结合定理化简并分析边角关系。
【解题大招02】余弦定理“构造最值”技巧
已知三角形一边及对角，利用余弦定理结合基本不等式，可快速求解另外两边和、积、周长、面积的最值，是高考解
三角形压轴必考套路。
核心逻辑：余弦定理列式 → 构造 a
2+b
2≥2ab → 求最值范围。
【例2】在 △ABC 中，C = π
3 ，c =2，求ab 的最大值。
【解题大招03】两边一对角“解的个数快速判断”技巧
已知 a,b, A（两边一对角），无需画图，直接通过边长与高的大小关系秒杀判断解的个数：
h=bsin A（三角形最大高）
1. A 锐角：a<h 无解；a=h 一解；h<a<b 两解；a≥b 一解
2. A 钝角/直角：a>b 一解；a≤b 无解
【例3】在 △ABC 中，a=2,b=3, A = π
4 ，判断解的个数。
【解题大招04】面积公式联动正余弦定理综合技巧
解三角形解答题通用套路：正余弦定理解边长、角度 → 代入面积公式求面积 → 结合不等式求最值，三步秒杀综合
大题。
核心组合公式：
S = 1
2 absin C ,c
2=a
2+b
2−2abcos C
【例4】在 △ABC 中，B = π
6 ，b=2，求三角形面积最大值。
【解题大招05】三角形内角关系转化技巧
在 △ABC 中，A + B+C = π，利用内角和诱导公式化简三角式，是解三角形化简题的隐藏技巧：
sin ( A + B)=sin C ,cos ( A + B)=−cos C
sin ( A + B
2
)=cos C
2 ,cos ( A + B
2
)=sin C
2
【例5】在 △ABC 中，化简 sin ( A + B)+cos ( A + B)。
【解题大招06】外接圆半径速求技巧
已知任意一组边角，可通过正弦定理快速求三角形外接圆半径：
2 R =
a
sin A ⇒R =
a
2sin A
常结合面积拓展公式 S = abc
4 R 综合考查。
【例6】在 △ABC 中，a=2, A = π
6 ，求外接圆半径 R。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·宁夏·一模）在
中，已知
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·二模）在
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
3．（2026·湖南湘西·三模）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在
中，
，
，
，则“
有唯一解”的充分条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2026·陕西商洛·二模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
，则
______．
6．（2026·陕西西安·三模）在
中，角
的对边分别为
，已知
，
，
，则
的
面积为___________，
___________．
四、解答题
7．（2026·甘肃·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C 的大小；
(2)若边
，求
的面积S 的最大值．
8.（2026·青海西宁·二模）如图，在
中，
，
为
延长线上的一点，
，
．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
的面积．
【拔高选练】（共6 题）
1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，若
，则
的相反数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·河南·三模）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，
，则
（ ）
A．3
B．5
C．
D．
二、多选题
3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，D 为BC 的中点，
（
为锐角），
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的面积为
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2025·广东佛山·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
．其中
，当
__________．
（填一个符合条件的答案即可）时，
有唯一解．
5．（2026·陕西榆林·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
的面积为
，
，则
的周长为______．
四、解答题
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·江苏苏州·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江苏·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
二、多选题
3．（2026·河北邢台·三模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，S 为△ABC 的面积，
，
则下列判断正确的是（）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2026·湖南长沙·三模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a=3，且
则
的最小值为______.
四、解答题
5．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知
中，内角
的对边分别为
，满足
.
(1)求
；
(2)若
；
是
边上一点，且
，求
的值.
