文档文本内容
专题8.6 双曲线方程
重难点题型1 双曲线的定义与标准方程
1．（2025·甘肃平凉·模拟预测）设P 是双曲线C：
上一点，
，
是C 的左、右焦点，若
，则
（ ）
A．10 或4
B．13 或1
C．10
D．13
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值
【分析】先利用双曲线的定义得出
或
，再结合双曲线的性质
得出即可.
【详解】根据双曲线的定义，知
，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
双曲线的定义与标准方程
重难点题型2
双曲线方程的充要条件
重难点题型3
利用第一定义求双曲线的轨迹方程
重难点题型4
双曲线中焦点三角形的周长与面积及其它问题
重难点题型5
双曲线的渐近线
重难点题型6
双曲线中的最值与范围问题
重难点题型7
求双曲线的离心率与离心率的取值范围
重难点题型8
直线与双曲线的位置关系
重难点题型9
定点与定值问题
重难点题型10
双曲线中的探索性问题
因为
，所以
或
，
又
，所以
.
故选：D.
2．（2025·北京海淀·二模）已知
．若动点
满足
，则
的轨迹的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】利用双曲线定义求方程
【分析】由双曲线的定义即可得出答案.
【详解】∵
，动点
满足
，
∴动点
的轨迹为双曲线且为右支，
，
，
，
∴
的轨迹的方程为
，
故选：D.
3．（2025·贵州安顺·二模）已知
是双曲线
的左，右焦点，点
在双曲线上，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求
.
【详解】由题设，双曲线的实半轴长
，且
，
因为
，故
在右支上且
，
而
，故
，
由余弦定理可得：
，
故选：C.
4．（2025·四川宜宾·三模）复数
满足
，则在复平面内
对应的点的轨迹为（ ）
A．圆
B．双曲线的一支
C．椭圆
D．抛物线
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】双曲线定义的理解、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据复数的几何意义，可将条件转化为
，再结合双曲线的定义即可判断.
【详解】设
，
根据复数的几何意义知，
表示复平面内点
与点
的距离，
表示复平面内点
与点
的距离，
则
，
则由双曲线的定义可知，点
的轨迹为双曲线的左支，
故复平面内
对应的点的轨迹为双曲线的一支.
故选：B
5．（2025·浙江·一模）双曲线
（
，
）的左、右焦点为
，
，P 为双曲线上一点，
且满足
轴，
，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】因为
轴，所以
,再利用双曲线的定义即可求得答案.
【详解】因为
轴，所以
为通径的一半，故
，
在
中，因为
，所以
，
所以
，即
，可得
.
故答案为：
.
6．（2025·河南郑州·一模）已知双曲线
，双曲线C 上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到
另一个焦点的距离为 .
【答案】12
【难度】0.85
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、根据双曲线方程求a、b、c
【分析】根据双曲线定义求解.
【详解】由双曲线
，得
，
，
，
设其左右焦点为
，
，
则由双曲线的定义，得
，
可设
，则有
(舍去或12，
故P 在左支上，P 到另一个焦点的距离为12.
故答案为：
7．（2025·广东·一模）双曲线
的左，右焦点分别为
，点
在双曲线右支上，若
，
则
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】余弦定理解三角形、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】根据双曲线的定义求得
，再利用余弦定理求解.
【详解】因为点
在双曲线右支上，且
，
则
，又
，
在
中，由余弦定理可得
，
，
所以
.
故答案为：
.
8．（2024·黑龙江·二模）已知双曲线
的离心率为
，其左右焦点分别为
､
，过
作
的一条渐近线的垂线并交
于
两点，若
，则
的周长为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求双曲线中的弦长、根据离心率求双曲线的标准方程、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【分析】由离心率得出
，可得双曲线方程为
，然后由
求得
，再根据双曲线的
定义求得三角形周长．
【详解】由题意
，即
，化简和是
，
，
因此双曲线方程为
，右焦点为
，渐近线方程为
，
不妨设直线
方程为
，设
，
由
得
，
，
，
，
所以
，解得
，从而
，
由双曲线的定义可得
，
所以
，
从而
的周长为
，
故答案为：
．
【点睛】关键点点睛：在双曲线中弦
过焦点
，则焦点
的周长是
（其中
）．
重难点题型2 双曲线方程的充要条件
1．曲线
，则“
”是“曲线C 表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、根据方程表示双曲线求参数的范
围
【分析】曲线C 是双曲线则
与
异号，列出不等式求出m 的范围，即可进行判断.
【详解】曲线C 是双曲线，则
，解得
，故
是曲线C 是双曲线的必要不
充分条件.
故选：B
2．（2025·北京朝阳·一模）已知曲线
，则“
”是“
为焦点在
轴上的双曲线”
的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断方程是否表示双曲线
【分析】结合双曲线的标准方程，直接判断命题的充分性和必要性即可.
【详解】若
，则
，
所以
，即
，
所以
为焦点在
轴上的双曲线；
若
为焦点在
轴上的双曲线，
则对于
，即
，
可得
，即
且
，不一定得到
，
综上，“
”是“
为焦点在
轴上的双曲线”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2025·安徽黄山·一模）“
”是“
为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、解不含参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条
件
【分析】根据双曲线的标准方程以及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若
为双曲线方程，则
，
解得
或
，
故
是“
为双曲线方程”的充分不必要条件.
故选：A
4．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线
，则“
”是“曲线
的焦点在
轴
上”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、根据方程表示椭圆求参数的范围、判断命题的充分不必要
条件
【分析】根据充分条件、必要条件的定义及椭圆、双曲线的特征判断即可.
【详解】当
时曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，故充分性成立；
当
时曲线
表示焦点在
轴上的双曲线，
故由曲线
的焦点在
轴上推不出
，即必要性不成立；
所以“
”是“曲线
的焦点在
轴上”的充分不必要条件.
故选：A
5．（2025·山西·三模）已知曲线
表示双曲线，则
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.
【详解】又题意可知，
，解得
，
故
的取值范围是
．
故答案为：
6．（2024·浙江温州·一模）已知椭圆
和双曲线
的焦点相同，则
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据双曲线方程求a、b、c
【分析】根据双曲线方程可得
，且焦点在x 轴上，再结合椭圆方程列式求解即可.
【详解】对于双曲线
，可知其半焦距
，且焦点在x 轴上，
对于椭圆可得
，且
，解得
.
故答案为：
.
7．若曲线
是双曲线，则其焦距为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求双曲线的焦距、根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】
根据双曲线的方程可得
，即可求解.
【详解】
表示双曲线，则
，
因此
，
，
故答案为：
8．（2023·上海浦东新·三模）已知曲线
是焦点在
轴上的双曲线，则实数
的取值范围是
．
【答案】
．
【难度】0.94
【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.
【详解】
是焦点在x 轴的双曲线，
，即
；
故答案为：
.
重难点题型3 利用第一定义求双曲线的轨迹方程
1．（2024·广西柳州·一模）在平面直角坐标系中，点
的坐标分别是
，
，直线
，
相
交于点
，且它们的斜率之积是
，则点
的轨迹方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线的轨迹方程
【分析】设点
,由题意列出方程，化简整理即得点
的轨迹方程.
【详解】依题意，设点
，由
，
可得
，即得点
的轨迹方程为
.
故选：A.
2．动圆P 过定点M(0，2)，且与圆N：
相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、求双曲线的轨迹方程
【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P 的轨迹方程.
【详解】圆N：
的圆心为
，半径为
，且
设动圆
的半径为，则
，即
.
即点
在以
为焦点，焦距长为
，实轴长为
，
虚轴长为
的双曲线上，且点
在靠近于点
这一支上，
故动圆圆心P 的轨迹方程是
故选：A
3．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，N 是圆O：x2＋y2＝1 上任意一点，点F1关于点N 的对称点为M，线段
F1M 的中垂线与直线F2M 相交于点P，则点P 的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求双曲线的轨迹方程
【解析】连接
,可得点
为
的中点，故
，由线段
的垂直平分线与直线
相交于点
，
可得
，可得
，可得点
的轨迹为双曲线，可得其方程.
【详解】
连接ON，如图，
由题意可得|ON|＝1，且N 为线段MF1的中点，∴|MF2|＝2，
∵点F1关于点N 的对称点为M，线段F1M 的中垂线与直线F2M 相交于点P，
∴由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
||
∴
PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，
∴由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，故选：B
【点睛】关键点睛：连接ON，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，进而利用双曲线的定义，||PF2|－|
PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，即可判断求解，属于基础题
4．（2024·河南·一模）已知
为圆
：
上任意一点，
，若线段
的垂直平分线交
直线
于点
，则
点的轨迹方程为
A．
B．
C．
（
）
D．
（
）
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的轨迹方程
【分析】如图所示：连接
，根据垂直平分线知
，
，故轨迹为双曲线，计算
得到答案.
【详解】如图所示：连接
，根据垂直平分线知
，
故
，故轨迹为双曲线，
，
，
，故
，故轨迹方程为
.
故选：
.
【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.
5．（23-24 高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P 与两个定点
和
的连
线的斜率之积等于
，则点P 的轨迹方程为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知两点求斜率、求平面轨迹方程、求双曲线的轨迹方程
【分析】设点
，根据题意结合斜率公式分析求解.
【详解】设点
，
由已知得
，整理得
，
所以点P 的轨迹方程为
．
故答案为：
.
6．（2024·辽宁锦州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知双曲线
经过点
，点
与点
关于原点对称，
为
上一动点，且
异于
，
两点．若
的重心为
，点
，则
的最小值 ；
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求平面两点间的距离、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的轨迹方程、求双曲线中的最
值问题
【分析】根据给定条件，求出双曲线
的方程，再利用三角形的重心坐标公式求得动点
的轨迹方程，借
助两点间距离公式求出
的最小值.
【详解】由双曲线
经过点
，得
，解得
，
则双曲线
，显然
，设
，
由
的重心为
，得
，解得
，
又
，于是
，即
，
而
不共线，即
且
，因此
不满足上述方程，
于是
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最
值或范围．
重难点题型4 双曲线中焦点三角形的周长与面积及其它问题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线
，右焦点为
，直线经过
且与
轴垂直．若与
的两条渐近线分别交于
，
两点，则
的面积为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】求得右焦点
的坐标，渐近线方程，进而求得
的坐标，可求
的面积.
【详解】由双曲线
，可得右焦点为
，渐近线方程为
，
因为直线经过
且与
轴垂直，所以直线的方程为
，
所以直线与两渐近线的交点
的坐标分别为
，
所以
，所以
的面积为
.
故选：C.
2．（2025·江西·二模）过双曲线
的中心作直线与双曲线
交于
、
两点，设双曲线
的
右焦点为
，已知
，则
的面积为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】设双曲线的左焦点为
，连接
、
，根据双曲线的对称性得到
，设
，
，结合双曲线的定义及余弦定理求出
，再由面积公式计算可得.
【详解】设双曲线的左焦点为
，连接
、
，由双曲线的对称性可知四边形
为平行四边形，
由
，则
，
不妨设
在双曲线的右支上，设
，
，又
，
由双曲线的定义可得
，
在
中由余弦定理可得，
，
即
，解得
，
所以
.
故选：D
3．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系
中，已知点
，点
是平面内的一个动点，若
以
为直径的圆与圆
：
相切，记点P 的轨迹为曲线C，过曲线C 上一点Q 作直线分别与直
线
，
相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若
，
，
则
面积的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的轨迹方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】根据给定条件，求出点
的轨迹方程，再设出点
的坐标，并表示出点
，将三角形面积表
示为
的函数，借助对勾函数的性质求出范围.
【详解】依题意，以
为直径的圆的圆心为
，而点
在圆
外，且圆
圆心
，半径1，
由两圆相切，得
，整理得
，
设
，由
，得
，
而点
在
上，则
，整理得
，
直线
，
的倾斜角为
，则
，
的面积
，
对勾函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，因此
，
所以
面积的取值范围为
.
故选：D
4．（2025·江西南昌·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，P 为双曲线C 第一象限上
一点，
的角平分线为l，过点O 作
的平行线，分别与
，l 交于M，N 两点，若
，
则
的面积为（ ）
A．20
B．12
C．24
D．10
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】因为
，故
为
的中位线，
,由此得到
，再利用
得到
，推出
，结合角平分线定理
，找出
，进而得解；
【详解】如图，记l 与
轴交于点
，
由双曲线的定义，
，
,
因为
，
为
中点，故
为
的中位线，
,
,
易知，
,故
,故
，
由
的角平分线为l，由角平分线的性质得：
,
所以
,
故
为直角三角形，面积为
.
故选：C.
5．（2024·辽宁·模拟预测）（多选题）已知
是等轴双曲线C 的方程，P 为C 上任意一点，
，则（ ）
A．C 的离心率为
B．C 的焦距为2
C．平面上存在两个定点A，B，使得
D．
的最小值为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】双曲线定义的理解、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、求双曲线的焦距、求双曲线的
离心率或离心率的取值范围
【分析】根据等轴双曲线的离心率可判断A 的正误，根据
图象的对称轴可求
，从而可求，故可判
断BCD 的正误.
【详解】对于A，因为
是等轴双曲线，故其离心率为
，故A 正确.
对于B，因为
图象的对称轴为
和
，
由
可得
或
，故双曲线的顶点坐标为
，
故双曲线的实半轴长为
，故半焦距为
，
故焦距为4，故B 错误.
对于C，因焦点在直线
上，故设焦点坐标为
，
因为
，且双曲线的中心为原点，故
即
，
取
，由双曲线的定义可得
，
故C 正确.
对于D，由C 的分析可得
为焦点，则
，故D 正确，
故选：ACD.
6．（2024·广东广州·二模）（多选题）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦
点连线的夹角.设
为坐标原点，双曲线
的左右焦点分别为
，右顶点
到一条渐
近线的距离为2，右支上一动点
处的切线记为，则（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．双曲线
的离心率为
C．当
轴时，
D．过点
作
，垂足为
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或
离心率的取值范围、圆锥曲线新定义
【分析】由题意求出b 的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求出离心率，判断
B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出
，K 为
的中点，进而结合三角
形中位线以及双曲线定义求得
，判断D.
【详解】对于A，由双曲线
可知
，右顶点
，
其渐近线方程为
，右顶点
到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐近线
，则
，解得
，
故双曲线
的渐近线方程为
，A 正确；
对于B，由于
，
故双曲线
的离心率为
，B 错误；
对于C，
，当
轴时，将
代入
中，
得
，即得
，
由于P 在双曲线右支上，故
，C 正确；
对于D，连接
并延长交
的延长线于E，
由题意知，
为
的角平分线，结合
，
可知
，K 为
的中点，而O 为
的中点，
故
，D 正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线知识的综合应用，解答的关键是选项D 的判断，解答时要结合题中
所给性质，利用角平分线性质推出K 为
的中点，即可结合双曲线定义求得答案.
7．（2024·山西太原·一模）已知椭圆
，
为原点，过第一象限内椭圆外一点
作椭圆的
两条切线，切点分别为
.记直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，则
的最小值是 .
【答案】5
【难度】0.15
【知识点】求双曲线的轨迹方程、求椭圆的切线方程、求椭圆中的最值问题、求双曲线中的最值问题
【分析】设直线
的方程为
，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由
得到方程，
求出
，证明椭圆
在
处的切线方程为
，从而得到椭
圆在点
和
的切线方程，得到切点弦方程
为
，对照系数结合
得
到
的轨迹方程，计算出
，
，求出
，得到点
轨迹的渐近线，先得到
，设
，则
，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，即得结果.
【详解】因为
，故
不关于
轴对称且
的横纵坐标不为0，
所以直线
方程斜率一定存在，
设直线
的方程为
，
联立方程
，消去y 可得
，
则
，设
，
，
则
，
，
可得
，
且
，
，由
，可得
，
即
，解得
，
下面证明椭圆
在
处的切线方程为
，
理由如下：
当
时，故切线的斜率存在，设切线方程为
，
代入椭圆方程得：
，
由
，化简得：
，
所以
，
把
代入
，得：
，
于是
，
则椭圆的切线斜率为
，切线方程为
，
整理得到
，
其中
，故
，即
，
当
时，此时
或
，
当
时，切线方程为
，满足
，
当
时，切线方程为
，满足
，
综上：椭圆
在
处的切线方程为
；
可知：椭圆在点
的切线方程为
，
椭圆在点
的切线方程为
，
由于点
为
与
的交点，
故
，
，
所以直线
为
，
因为直线
的方程为
，对照系数可得
，
，
又
，故
，整理得
，
又
在第一象限，
故点
的轨迹为双曲线
位于第一象限的部分，
，同理可得
，
则
，
又由于
，
，
，故
，
设
，则
，
则两式联立得
，
由
得，
，
检验，当
时，
，又
，
解得
，满足要求.
故
的最小值为4
故
的最小值是5
故答案为：5.
【点睛】结论点睛：过圆
上一点
的切线方程为：
，
过圆
外一点
的切点弦方程为：
；
过椭圆
上一点
的切线方程为
；
过椭圆
外一点
的切点弦方程为
；
过双曲线
上一点
的切线方程为
；
过双曲线
外一点
的切点弦方程为
.
8．（2025·河南信阳·二模）已知正方形
的边长为
，两个点
，
(两点不重合)都在直线
的同
侧(但
，
与
在直线
的异侧)，
，
关于直线
对称，若
，则
面积的取值范围是
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】双曲线中的参数及范围、求双曲线的轨迹方程
【分析】建立平面直角坐标系，由
求出
点轨迹，由轨迹特征求
点到直线
的距离的取值范
围，可求
面积的取值范围.
【详解】以
为
轴，
为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
设
，
，所以
，
，
因为
，所以
，即
位于双曲线
的右支上，
渐近线方程为
或
，
设
点到直线
的距离为，又直线
与直线
：
的距离为
，
点
到直线
的距离为
，则
，
又
，
所以
面积的取值范围是
故答案为：
.
9．（2025·江西鹰潭·二模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在
的
左支上，过点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，则当
取最小值12 时，
面积的
最大值为 ．
【答案】18
【难度】0.65
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】先利用双曲线的定义判断出当且仅当
三点共线时
取得最小值为
，得出
，再利用基本不等式求出
，最后将
的面积表示为
即可.
【详解】由题意得
，故
，如图所示，
则
，当且仅当
三点共线时等号成立，而
到渐近线
的距离
，
所以
的最小值为
，所以
，即
，当
，
时，等号成立，
又
，故
，
所以
，
即
面积的最大值为18．
故答案为：18.
10．（2025·广东·一模）
分别为双曲线
的左、右焦点，
两点在双曲线上且关于原点对
称（点
在第一象限），直线
与双曲线的另一个交点为点
，若
，则
的面积为
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】由对称性可知
，由
得
，设直线
的方程为
，
联立
可得
，由弦长公式可得
，进而由点到直线的距离可得
到直线
的距离为
，进而可得
的面积.
【详解】
如图，由双曲线的对称性可知
，故
，
设直线
的方程为
，
，
由
得
，
由题意
，
，
，
整理得
，由
得
，
故直线
的方程为
，即
，则
，
由题意
，点
到直线
的距离为
，
则
，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键是结合双曲线的对称性，由题中条件转化为
，进而设直线
的方
程，联立方程后，利用弦长公式可得直线
的方程，进而可得.
重难点题型5 双曲线的渐近线
1、（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线
的离心率
，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据a,b,c 齐次式关系求渐近线方程
【分析】根据双曲线离心率及
之间的关系，求出
即可得解.
【详解】∵
，则
，
∴
，
所以双曲线渐近线方程为
．
故选：D.
2．（2025·四川成都·一模）双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】已知方程求双曲线的渐近线
【分析】根据渐近线方程直接进行求解.
【详解】
的渐近线方程为
，
即
.
故选：A
3．（2025·河南·二模）已知双曲线
（
,
均为正整数）的左、右焦点分别为
，
，O 为坐
标原点，P 为C 右支上一点，
的周长为25，O 到直线
，
的距离分别为
，
，若
，
则C 的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】设
，根据双曲线的定义及焦点三角形的周长表示出
，
，再由面积公式
得到
，即可求出
、、
，从而得解.
【详解】设
，因为
，所以
①，
由双曲线的定义得
②，
由①②得
，
.
因为
与
的面积相等，所以
，又
，
则
，
所以
，整理得
，因为
，
所以
，又因为
为正整数，所以
，又
且
为正整数，
经验证得，
，
，
所以
，所以
的渐近线的方程为
.
故选：B
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
分别为双曲线
的左、右焦点，直线过
与
交于
两点，若
，
，则
的渐近线为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、双曲线向量共线比例问
题
【分析】由题意求得
，
，
，
，结合余弦定理
求得
即可.
【详解】
由
，即
，可得
．
设
，
，
，根据上述条件及双曲线的定义，可知
，
，
．
又因为
，所以
，
故
，
，
，
．
在
中，由
，
得
，得
，即
，
得
，故
的两条渐近线方程为
．
故选：A．
5．（2025·海南三亚·一模）已知
是抛物线
的焦点，双曲线
的两条渐近线分别与抛物线
交于异于原点的
两点，若
，则双曲线的渐近线方程是 .
【答案】
或
【难度】0.65
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、与抛物线焦点弦有关的几何性质、根据a,b,c 齐次式关系求渐近
线方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】分
、
在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过
作
交
轴于
点，结合抛物线定义、
，可得答案.
【详解】当
、
在焦点左侧时，
因为渐近线关于
轴对称，所以
，
过
作
交
轴于
点，
设
，则
，
，
由抛物线定义得
，
因为
，所以
，
所以
，因为
，
所以渐近线方程为
；
当
，
在焦点右侧时，
过
作
交
轴于
点，
所以
，设
，
则
，
，
由抛物线定义得
，
因为
，所以
，
所以
，因为
，
所以渐近线方程为
.
故答案为：
或
.
6．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线
的一条渐近线方程为
，则
；
离心率
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据渐近线与标准方程求解.
【详解】标准方程
的一条渐近线方程为
,
则
,
,
故
.
故答案为：
，
.
7．（2025·江西新余·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
双曲线上，且
，则
；若点
满足
，若
，则双曲线
的渐近线方程为 .
【答案】 2
【难度】0.65
【知识点】双曲线定义的理解、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】由双曲线的定义可结合第一空，由条件
确定
为
的内
心，再结合
得到
，进而可求解.
【详解】依题意，
，
，则
；则
；
先证在
中，若
，则
为
的内心．
由
，
可得：
，
整理得
．
又
，
所以
．
因为
，
分别为
，
方向的单位向量，故AO 与
的角平分线共线．
同理
与
的角平分线共线，
与
的角平分线共线，
故点
为
的内心．
所以由条件可知：点
为
的内心，设
的内切圆半径为，
则
，故
，故
，
而
，
故
，故
，则
，
，
故所求渐近线方程为
.
故答案为：2；
8．（2025 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
为坐
标原点，点
在双曲线
的一条渐近线上，且
，若
，则双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】利用线段之比可设两线段长，再利用焦点到渐近线的距离为
，结合余弦定理去求解其它线段长，
即可求解渐近线方程.
【详解】
由
，不妨设
，则
因为
，由焦点到渐近线的距离就是
，可知
在直角
中，
在
中，
则解得
故
所以
综上，渐近线方程为
，
故答案为：
.
重难点题型6 双曲线中的最值与范围问题
1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知双曲线
与椭圆
的焦点重合，离
心率互为倒数，设
分别为双曲线
的左，右焦点，
为右支上任意一点，则
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的焦点、焦距、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、利用双曲线定义求点到焦点的距
离及最值、根据离心率求双曲线的标准方程
【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出
，根
据双曲线的定义可得
，将其代入
，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】因为椭圆
的焦点为
，离心率为
，
所以可知双曲线
，解得
.
因为
为双曲线右支上任意一点，
所以
，即
，
又因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为．
故选：C
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，直线
与
的一条渐近线平行，若点
在
的右支上，点
，则
的最小
值为（ ）
A．
B．6
C．
D．8
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】由直线
与
的一条渐近线平行，可求得
，从而可求出，则可求出
的坐标，结合图形可知
，从而可求得答案.
【详解】因为双曲线
，所以双曲线的渐近线方程为
，
因为直线
与
的一条渐近线平行，
所以
，得
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
因为点
在
的右支上，
所以
，
所以
的最小值为
，
故选：C
3．（2023·宁夏中卫·一模）已知双曲线C：
的左右焦点为
，
，点P 在双曲线C 的右支上，
则
（ ）
A．－8
B．8
C．10
D．－10
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求双曲线的实轴、虚轴、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值
【分析】先由双曲线的方程求出其实半轴长
，然后利用双曲线的定义可求得答案.
【详解】设双曲线
的实半轴长为
，
则
，所以
，
因为双曲线C 的左右焦点为
，
，点P 在双曲线C 的右支上，
所以
，
故选：A
4．（2023·河南郑州·一模）设
，
为双曲线C：
的左、右焦点，Q 为双曲线右支上一点，点
P（0，2）．当
取最小值时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值
【分析】结合双曲线定义数形结合判断
取最小值时，
三点共线，联立直线及双曲线方程
解出Q 的坐标为
，即可求解
的值.
【详解】由双曲线定义得
,
故
如图示，当
三点共线，即Q 在M 位置时，
取最小值，
，故
方程为
，
联立
，解得点Q 的坐标为
(Q 为第一象限上的一点)，
故
故选：A
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）（多选题）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线
的右支上，若
，
的面积为，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
为锐角三角形，则
D．若
的重心为
，随着点
的运动，点
的轨迹方程为
（
）
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
【分析】本题考查双曲线，掌握双曲线的定义，理解双曲线的概念与性质．
【详解】A、由
，得
，
，则
，
，
，
当
时，
，由
，可得
，故A 不正确；
B、焦点
的面积公式
，将
代入可知
，故B 正确；
C、当
时，
，当
时，
，
因为
为锐角三角形，所以
，故C 不正确；
D、设
，
（
），则
（
），
由题设知
，
，则
，
所以点
的轨迹方程为
，故D 正确．
故选：BD.
【点睛】
6．（2025·河北唐山·三模）（多选题）已知点
，
分别为双曲线
的左、右顶点，点
，
是
右支上不同两点，若
且
的面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的渐近线方程为
B．点
为
的重心
C．
D．
为等边三角形
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】双曲线的对称性、求双曲线的顶点坐标、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线中三角形（四
边形）的面积问题
【分析】根据等轴双曲线求得渐近线判断A；根据重心的向量形式判断B；设
，
，根据
重心坐标性质得
，
关于
轴对称，进而求得
，根据
的面积求得
判断C，结合选项C
求得
，根据对称性可得
为等边三角形判断D.
【详解】由于双曲线
是等轴双曲线，故其渐近线为
，故A 正确；
由
知点
为
的重心，故B 正确；
设
，
，
，
，
由点
为
的重心知
，
，
故
，
关于
轴对称且
，
，
故
的面积
，解得
，故C 错误；
由C 可知，
，
关于
轴对称且
，
，
所以
，所以
，所以
，
因此
为等边三角形，故D 正确.
故选：ABD.
7．已知
，
分别为双曲线
的左右焦点，
为
的右支上一点，
，
若
的一条渐近线方程为
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由双曲线的离心率求参数的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、利用双曲线定
义求点到焦点的距离及最值
【分析】首先根据渐近线求出双曲线的离心率，再根据双曲线的定义和性质求出
，最后求
的范围.
【详解】设
，∵
的一条渐近线方程为
，
∴
.
设
，则
，
∴
，
∴
.
又
，∴
.
因此，
的取值范围是
.
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的性质，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.
8．设双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l 交双曲线左支于A，B 两点，则|BF2|＋|
AF2|的最小值为 ．
【答案】10
【难度】0.85
【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值
【解析】根据双曲线的定义转换求解即可.
【详解】由双曲线的标准方程
得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所
以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l 过点F1,且垂直于x 轴时,|AB|最小,所以(|
AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝
故答案为：10.
【点睛】本题主要考查了双曲线的定义的运用,需要利用定义将题中所给的线段进行转换再分析求解.属于
基础题型.
重难点题型7 求双曲线的离心率与离心率的取值范围
1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知双曲线
的左焦点为
，直线
与C 的右
支于点A，若C 的左支上存在点B 满足
，且
，则C 的离心率为
（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求直线与双曲线的交
点坐标、利用向量垂直求参数
【分析】取
的中点为
，连接
，根据中位线性质及向量运算得
，进而
，由
得
，从而
，利用双曲线的定义列方程化简即可求解离心率.
【详解】设双曲线
的右焦点为
，取
的中点为
，连接
，
因为
分别为
和
的中点，所以
，
因为
，且
，所以
，所以
，
所以
，由
可知
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
，在
中，
，
，
所以
，
由
得
，所以C 的离心率为
.
故选：D
2．（2025·江西吉安·模拟预测）已知双曲线
的实轴长等于8，等腰梯形
的四
个顶点均在双曲线上，边
都与
轴平行，其中
在
轴下方，且
；又等腰
梯形的高等于3，则双曲线的离心率=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据等腰梯形的性质，设出坐标，代入双曲线中，求出双曲线参数，求得离心率.
【详解】如图所示，
，等腰梯形的高等于3，设
，则
，实轴长等
于8，则双曲线
，
代入可得
，可得
，代入得
，
化简得
，解得
或
，因为
，所以
，代入得
，
双曲线中
，则离心率为
.
故选：A.
3．（2025·甘肃白银·三模）已知
是双曲线
在第一象限上的一点，点
与点
关
于原点
对称，过点
作
，与
的另外一个交点为
，连接
，与
轴交于点
，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设
为
的中点，设
，
，
，
，利用点差的方法
表示出
，结合题意继而表示出
，推出
，根据
即可求得
的关系，
从而可求双曲线离心率.
【详解】
如图，取
的中点
，连接
，
因为
为
的中点，故
，
设
，
，
，
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减可得，
，
即
，而
，
，
故
，即
，
又因为
，则
，即
，
所以
，即
，所以
，
又
，则
,
即
，故
，
所以
，而
，故
,
故
，则双曲线
的离心率为
.
故选：C.
4．（2025·云南昭通·模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，过点
作互相垂直
的直线，
，与
的右支交于
，
两点，
，若
与
的左支交于
点，且
，
，
三
点共线（
是坐标原点），则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设点
为双曲线的左焦点，设
，则
，根据双曲线的定义及对称性得到四边形
为矩形，应用勾股定理求参数，并列方程得到双曲线参数的齐次式，即可得离心率.
【详解】如图所示：设点
为双曲线的左焦点，不妨设
，则
，
由双曲线的定义可得
，
，易知
为
的中点，
由双曲线的对称性，知
为
的中点，故四边形
为平行四边形．
因为
，故四边形
为矩形，则
．
由勾股定理得
，即
，解得
，
故
，
．又
，
由勾股定理可得
，即
，整理可得
，
故该双曲线的离心率为
.
故选：D
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点P 在双
曲线上，且
，若
的内心为
，且
与
共线，则双曲线C 的离心率为
．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据
与
共线，求出点
的纵坐标，再根据
及双曲线的定义求出
，
，
从而可求出点
的坐标，代入双曲线方程即可得解.
【详解】设
，依题意可设
，所以
，则
，
由等面积可得
，化简得
，
又
，所以
，
，
因为
，点P 在双曲线上，且
，所以P 在双曲线的右支上，
所以
，
则
，解得
，所以
的坐标为
，
代入双曲线方程中，得
，解得
，
所以离心率为
．
所以双曲线C 的离心率为
.
故答案为：
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知为双曲线
（
，
）上的任意一点，过分别引其
渐近线的平行线，分别交
轴于点
，
，交
轴于点
，
，若
恒成立，
则双曲线离心率的取值范围为
【答案】
【难度】0.4
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】设点
，由双曲线的渐近线斜率为
，求出点与渐近线平行的直线方程，解
得点
坐标，进而得
，利用
恒成立即可求解.
【详解】设点
，双曲线的渐近线斜率为
，
过点与一条渐近线平行的直线方程为
，
令
得
，令
得
，
同理过点与另一条渐近线平行的直线方程为
，
令
得
，令
得
，
所以
，
所以
，
，
由
恒成立，
所以
恒成立，所以
，即
，
所以
，
所以双曲线离心率的取值范围为
.
故答案为：
.
7．（2025·湖北荆州·模拟预测）过双曲线
右支上的点
作
的切线，
，
为双曲
线
的左右焦点，
为切线上的一点，且
若
，则双曲线的离心率为 .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】先设出
的坐标写出切线方程从而得到切线与
轴交点的横坐标，再利用双曲线第二定义表示出
的值，再根据
得到相似比即可求
的值进而求离心率.
【详解】设
，则切线的方程为
，
设切线与
轴交点为
，令
可得点
的横坐标
，
根据双曲线第二定义可得
，
由
，即
，
也即
，解得
，
则
，故
.
故答案为：
8．（2025·上海杨浦·模拟预测）设双曲线
的两个焦点为
，以
的实轴为直径的圆记作圆
，过
作圆
的切线
分别交
的两支于点
，若
，则
的离心率为 .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【分析】根据已知有
且点
位于双曲线的右支，应用正弦定理及双曲线的定义得
、
，再应用余弦定理得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】由题知，
、
两点位于双曲线的两支，且
，
且点
位于双曲线的右支，如图所示，
在
中，由正弦定理得
，
，
，
，
在
中，
，
即
，
化简得
，即
.
故答案为：
重难点题型8 直线与双曲线的位置关系
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线
的左顶点
，渐近线方程为
，直
线经过点
，与C 交于不与A 重合的两点P，Q，
(1)求双曲线C 的方程；
(2)求直线AP，AQ 的斜率之和；
(3)设在射线AQ 上的点R 满足∠APQ＝∠ARP，求直线PR 斜率的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.4
【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中的
最值问题
【分析】（1）由双曲线顶点以及渐近线方程，建立方程，可得答案；
（2）设出直线方程，联立方程写出韦达定理，利用两点斜率公式，可得答案；
（3）设出直线方程，联立表示每个点的坐标，根据距离公式以及圆的性质，可得答案.
【详解】（1）由双曲线的左顶点
，则
，
由双曲线的渐近线
，则
，即
，
所以双曲线
.
（2）设
，由
，已知直线斜率存在，
则直线方程可设为
，
设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，
联立
，消去
可得
，
由
，则
，
，
又因为
，
，所以
，代入
，
，
可得
，
所以直线
的斜率之和为
.
（3）设
，
，
，
联立
，解得
，同理可得
，
联立
，解得
，同理可得
，
所以
，
，
因为
，所以
为
外接圆的切线，且
，
所以
，由
，
，
则化简可得
，当
时取等号，
所以直线
的斜率的最大值为
.
2．（2025·湖南长沙·三模）已知动点
与定点
的距离与它到定直线
的距离的比
是常数
，
(1)求动点
的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点
作轨迹的切线与两直线
分别交于
、
两点，证明：三角形
的面积是定
值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线中的定值问题、圆锥曲线的统一定义
【分析】（1）由题意得
，化简即可；
（2）设点M 坐标为
，设曲线在点M 处的切线方程为
，与双曲线方程联立求得切
线方程，分别与直线
和
联立可求得
的横坐标，计算可求解.
【详解】（1）根据题意得
，则可得
，
将上式两边平方，得
，
整理得
，所以
，
所以
（2）设点M 坐标为
，设曲线在点M 处的切线方程为
，
与双曲线方程联立
，消去
，可得
，
整理得
，
所以
且
，
解得
，代入
，得
，
所以切线方程为
，
与
联立得
，与
联立得
，
故
.
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线
的中心为坐标原点，过点
，其中一条渐近线的方程为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设双曲线
的左、右顶点分别为
，过点
的直线交双曲线
于
、
两点.直线
与直线
交于点
，证明：
三点共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c 求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位
置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题
【分析】（1）根据渐近线方程及顶点坐标列式计算求解双曲线；
（2）分直线的斜率为
及直线的斜率不为
设直线方程，再联立得出韦达定理，应用斜率公式计算得出
即可证明.
【详解】（1）由题意知
且
，
所以
，所以
的方程为
.
（2）由题意知
，
，
当直线的斜率为
时，：
，此时
三点共线显然成立，
当直线的斜率不为
时，设：
，
，
，
联立
可得
，
由题意得
，
，
所以
，
，
因为直线
的方程为
，
令
，得
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
所以
，故
三点共线，
综上：
三点共线.
4．（2025·河北保定·三模）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，且点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的方程；
(2)已知双曲线
的右焦点为
，点
，斜率为1 的直线与双曲线
交于不同的两点
，
，且
为
线段
的中点，若
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理
求参数
【分析】（1）根据渐近线得
，再结合点在双曲线上得基本量，故可得双曲线方程；
（2）设直线的方程为
，，联立直线方程和双曲线方程消元后得中点坐标，结合垂直关系可求
，
故可得直线方程.
【详解】（1）双曲线
的一个渐近线方程为
，
得
，即
，
因为点
在双曲线
上，所以
，即
，
解得
，
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）由（1），得
.
设直线的方程为
，
，
，
联立
消去
，得
，
，
所以
，
，即
.
因为
，所以
，又
，
，
所以
，即
，解得
，
所以直线的方程为
，即
.
重难点题型9 定点与定值问题
1．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知双曲线
过点
，
，
分别为圆
的两条切线，且分别交双曲线
于点
.
(1)证明：直线
的斜率为定值；
(2)当
时，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的
面积问题、双曲线中的定值问题
【分析】（1）过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关
系，进而求出直线PQ 的斜率；
（2）由
，
可求出斜率，进而可求出P、Q 的坐标，进而得到PQ 的方程，令
，
，利用三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）
将
的坐标代入
，得
，
所以双曲线
的方程为
.
由题意可知，直线
的斜率均存在且不为0，
设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
，
.
由
消去
，整理得
.
由
，得
，
由
，得
.
由题意
，解得
，
，
所以
，同理
.
由题意，
，得
.因为
，所以
，
故
，
所以直线
的斜率
，
即直线
的斜率为定值
.
（2）不妨设
，因为
，
，所以
，
由（1）知，
，
，
所以直线
的方程为
，即
，
当
时，
，
所以
.
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知等轴双曲线
的焦点分别在
轴上，
经过
，
的焦距
为
．
(1)求
的方程；
(2)
为直线
上一点，相互垂直且斜率均存在的直线
交于
点，与
交于
两点，
与
交于
两点．设直线
与关于直线
对称，证明：
①直线
与
关于直线
对称；
②
．
【答案】(1)
，
(2)①证明见解析 ；②证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线中存在定点满足某条件问题
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）（i）假设方程，由
与关于直线
对称可得
方程，由
可得
方程，依题意只需证明
即可；
（ii）由对称性可得
，故只需证明
即可，将线段化为坐标运算，
结合韦达定理证明即可.
【详解】（1）设：
代入
得：
，故
设：
，而
，故：
（2）（ⅰ）设
，
与关于直线
对称，故
所以
，而
，所以
，
因为
所以
与
关于直线
对称
（ⅱ）由对称性：设
与
交于
两点，则：
下试证：
，
设：
，
，
，
，
故：
，
同理：
要证原式成立，即证：
．
所以：
，同理，用
替换
得：
所以即证：
，
代入数据即证：
，这显然成立，
所以：
成立
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线
过点
分别为圆
：
的两条切线，且分别交双曲线
于点
．
(1)求双曲线
的离心率；
(2)证明：直线
的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线中的定值问题
【分析】（1）根据点在双曲线上，将点的坐标代入双曲线方程求出
的值，再利用双曲线的离心率公式
（对于双曲线
）来计算离心率.
（2）通过联立直线方程和双曲线方程，利用韦达定理求出交点坐标，再根据已知条件得出斜率关系，进
而求出直线PQ 的斜率.
【详解】（1）解：将
的坐标代入
，得
，
所以双曲线
的离心率
．
（2）证明：由题意知，直线
的斜率都存在且不为0，
设直线
的方程为
，直线
的方程为
．
由
消去
，整理得
．
由
，得
，
由
，得
．
由题意
，解得
，所以
，
所以
，同理
．
由题意，
，得
．
因为
，所以
，故
，
所以直线
的斜率
，即直线
的斜率为定值
．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线
的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，其一条渐近线方
程为
，且点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的方程；
(2)已知
，
，过点
的直线与双曲线
的右支交于
两点，直线
与直线
交于点
.
（ⅰ）证明：直线
恒过定点；
（ⅱ）若直线
与直线
交于点
，直线
与直线
交于点
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
；
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
.
【难度】0.65
【知识点】根据a、b、c 求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、双曲线中的直线过定点
问题
【分析】（1）先根据点
与渐近线
的位置关系确定双曲线
的焦点在x 轴上，再利用
待定系数法求解双曲线
的方程即可；
（2）（ⅰ）设直线
的方程为
，
，
，与双曲线
方程联立，利用韦达定理得
到
，
，写出直线PM 的方程，令
得点A 的坐标，写出直线
的方程，
令
即可求出定点；（ⅱ）先说明直线BP 也过定点
，即
，根据题意判断出参数
的取
值范围，表达出
面积
，利用换元法求最小值即可.
【详解】（1）因为点
在渐近线
上方，所以双曲线
的焦点在x 轴上，
设双曲线
的方程为
（
，
）.
由题知
，解得
，
，
故双曲线
的方程为
；
（2）（ⅰ）证明：因为两点P，Q 在双曲线C 的右支，所以直线
与x 轴不重合，设直线
的方程为
，
，
.
联立方程
得
，
则
，
，
，
直线PM 的方程为
，
令
，得点A 的坐标为
，
所以直线
的方程为
，
令
，得直线
与x 轴交点的横坐标
.
故直线
恒过定点
.
（ⅱ）由（ⅰ）同理可得，直线BP 也过定点
，
因为直线
与直线BP 交于点D，所以
.
因为过点N 的直线与双曲线C 的右支交于P，Q 两点，
所以
或
或
，即
.
.
令
，则
，
，
因为函数
在
上单调递增，故
，
故
的面积的最小值为
.
重难点题型10 探索性问题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知双曲线C：
的两条渐近线分别为：
和
：
，右焦点坐标为
，
为坐标原点.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设M，N 是双曲线C 上不同的两点，Q 是
的中点，直线
，
的斜率分别为
，
，证明：
为定值；
(3)直线
与C 的右支交于点
，
（A₁ 在
的上方），过点
，
分别作
，的平行线，交于
点
，过点
且斜率为2 的直线与C 的右支交于点
，
（
在
的上方），再过点
，
分别作
，
的平行线，交于点
，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点
，
，
，记
的
坐标为
.证明：
共线.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c 求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题、双曲线中的动点在定直线上问题
【分析】（1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于
的方程，计算即可求得方程；
（2）设
，
，
，利用点差法可证得结论；
（3）设斜率为2 且与双曲线右支相交于
，
两点的直线方程为
，
，与双曲线
方程联立方程组，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线
的方程，以及直线
的方程，然后联立
两直线方程，即可表示出
的坐标，即可证明.
【详解】（1）由已知得
解得
，
故双曲线C 的标准方程为：
；
（2）设
，
，
，
因为M，N 为双曲线C 上的两点，所以
，
两式相减得：
，
整理得，
，
则
，得证.
（3）设斜率为2 且与双曲线右支相交于
，
两点的直线方程为
，
，
联立：
，整理得：
，
因为该方程有两个正根，则
，解得：
或
（舍），
设
，
，由韦达定理得：
，
，
直线
的方程为：
，
因为
，所以
，①
直线
的方程为
，
因为
，所以
，②
联立①②得
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
，
则
都在直线
上，
故
共线.
2．（2025·河北邢台·二模）已知双曲线
的离心率为2，过点
的直线与
相交于
两点，且当的斜率为0 时，
．
(1)求
的方程；
(2)是否存在，使得
两点关于直线
对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由；
(3) 与直线
交于点
，设
，问：
是否为定值？若为定值，求出
该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)
为定值0
【难度】0.4
【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定
值问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）由双曲线
的离心率为2，得到
，再由直线的方程为
，代入双曲线的方程，
求得
，结合
，进而得到竖曲线
的方程；
（2）设直线的方程为
，联立方程组，由
，且
，求得
的范围，以及
和
，假设存在，使得
两点关于直线
对称，得到
，进而得到线段
的中点坐标为
，结合中点不在直线
上，得出结论；
（3）解：设
，求得
和
，根据题意，求得
和
，化
简得到
，即可得到答案.
【详解】（1）解：设双曲线
的焦距为
，
因为
的离心率为2，所以
，即
，所以
，
当直线的斜率为0 时，直线的方程为
，代入
，得
，
所以
，解得
，所以
的方程为
．
（2）解：显然直线的斜率存在，设直线的方程为
，即
，
联立方程组
，整理得
，
设
，
可得
，且
，
解得
，且
，
又由
，
，①
假设存在，使得
两点关于直线
对称，则与直线
垂直，所以
，
所以
，且
，则
，
因此线段
的中点坐标为
，
又因为
，即点
不在直线
上，
所以不存在，使得
两点关于直线
对称．
（3）解：设
，
由
在直线
上，可得
，即
；②
又由
在直线上，可得
，③
因为
，可得
，
即
，解得
，
同理：由
，可得
，
结合①②③，得
，
所以
为定值0．
3．（2025·福建福州·模拟预测）已知直线
，直线
，动点M 到x 轴的距离小于它到y 轴的距
离，过M 分别作和
的垂线，垂足分别为D，E，O 为坐标原点，若四边形
的面积为
，设动点
M 的轨迹为曲线C．根据上述运算回答下面问题：
(1)求C 的方程；
(2)若C 交x 轴正半轴于点A，C 上一点B 和直线
上一点Q 满足
是以
为底的等腰直角三角形．
（ⅰ）求直线
的斜率：
（ⅱ）若B 在第一象限，记点B 关于的对称点为K，点B 关于原点的对称点为
，若动点M 不与
，B
重合，设动直线
与直线
相交于点P，动直线
与直线
相交于点
，求证：
成
等比数列．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
或
；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】等比数列的定义、求平面轨迹方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的
定值问题
【分析】（1）设
，得到四边形
为矩形，求得
和
，进而得到
，即可求解；
（2）（ⅰ）解法一：设
，求得
，①当B 在第一象限时，作
轴，求得
，求得
直线BQ 的斜率；②当B 在第二象限时，作
轴，求得
，得到直线BQ 的斜率③当B 在第三象
限时，由对称性，得到直线
的斜率；④当B 在第四象限时，由对称性，得到直线
的斜率，进求得
的斜率；
解法二：设直线AB 的方程为
，则直线
的方程为
，联立方程组，求得
，根据
，求得
的值，进而求得
的斜率；
解法三：设
，根据
，求得
，结合
，求得
，所以
，分类讨论，进而求得
的斜率；
（ⅱ）证明：设
，求得直线OK 的方程为
，分
和
，以及
且
，三种情
况讨论，求得
的坐标，化简得到
，结合P，K，
，O 四点共线，得到
，
即可得证.
【详解】（1）解：如图所示1，设
，
因为M 到x 轴的距离小于它到y 轴的距离，所以
，故
，
又因为的斜率为1，
的斜率为
，故
，四边形
为矩形，
因为
到直线的距离
，故
，同理
，
所以四边形
的面积为
，所以
，
所以
，所以C 的方程为
．
（2）（ⅰ）解法一：设
，令
，代入
，得
，
①当B 在第一象限时，如图2 所示，由于
是以
为底的等腰直角三角形，
易知Q 在x 轴上方，
，
作
轴，垂足为S，则
，故
，故
，
又因为
则
，即
，
从而
，故
，直线
的斜率
．
②当B 在第二象限时，如图3 所示，由于
是以
为底的等腰直角三角形，
易知Q 在x 轴下方，
，
作
轴，垂足为S，则
，故
，故
，
又
，则
，即
，
从而
，故
，直线
的斜率
；
③当B 在第三象限时，由对称性知，直线
的斜率3；
④当B 在第四象限时，由对称性知，直线
的斜率
；
综上可知，直线
的斜率为
或
．
解法二：令
，代入
，可得
，
易知直线AB 的斜率存在且不为零，故可设直线AB 的方程为
，
则直线
的方程为
，则
，
联立方程组
，整理得
，故
，
所以
，
由
，得
，
即
，故
，所以
或
，
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
当
时，
，所以
，直线
的斜率
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
综上可知，直线
的斜率为
或
．
解法三：令
，代入
，可得
，
设
，则
，
由
，可得
，故
，
由
，可得
，所以
，
所以
，
即
，易知
，所以
，即
，所以
，
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
：
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
；
当
时，
，所以
，
直线
的斜率
，
综上可知，直线
的斜率为
或
．
（ⅱ）证明：设
，依题意可得
，所以直线OK 的方程为
，
①若
，则直线MB 的方程为
，直线
的方程为
，
此时点
，所以
，
因为P，K，
，O 四点共线，所以
，所以
成等比数列；
②若
，则直线
的方程为
，直线MB 的方程为
，
此时点
，所以
，
因为P，K，
，O 四点共线，所以
，所以
成等比数列；
③若
且
，
，
直线MB 的方程为
，
联立方程组
，解得
，
同理可得直线
的方程为
，
联立方程组
，解得
因为
在双曲线上，所以
，
所以
，
所以
，
因为P，K，
，O 四点共线，所以
，
所以
成等比数列．
4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
，二者相交于
，离心
率为
．
(1)求
的方程；
(2)记
在第一象限交于
，第二象限交于
，第三象限于
，第四象限交于
．
（i）如图1，过点
的直线交
于
，过点
的直线
交
于
，斜率分别为
，
，
的中点
分别为
，
．求证：当
时，
(所有直线斜率均存在) ；
（ii）如图2，
为
上的动点，连接
交
于
，连接
交
于
．连接
交
于
，连接
交
于
，求证：
轨迹为双曲线，并给出轨迹方程．
【答案】(1)
，
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，轨迹方程为
【难度】0.4
【知识点】求平面轨迹方程、求双曲线的轨迹方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问
题
【分析】（1）由题意可得
，
，计算即可得解；
（2）（i）由题意可得
，
，分别联立曲线
，结合韦达定理可得
的横坐标，则可计算出
的纵坐标，从而可用
表示出
的斜率，结合
计算即可
得证；（ii）设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
，分别联立直线
、
、
与曲线
、
、
，结合韦达定理计算出
、
、
的坐标，从而可得出
、
、
、
间的关系，
并可用
表示出
，再设
，结合
、
两点坐标可得
，
，则可得
所满足关
系式，即为
轨迹.
【详解】（1）由题意可得
，且
，即
，
故
，解得
，则
，
故
，
；
（2）（i）由题意可得
，
，
联立
，消去
有
，
故
，则
，
，故
，
联立
，消去
有
，
故
，则
，
，故
，
由
，故
，故
；
（ii）设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
，
则
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
则
，
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
则
，
设
，则
，
，
故有
，
即有
，
化简可得
，故
轨迹为双曲线，
且轨迹方程为
.
