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模块01 集合与常用逻辑用语与、等式（测试卷）
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把
正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．已知全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
2．（2025·北京·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知全集
，集合
，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知
为全集
的两个不相等的非空子集，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·广东·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．R
6．（2025·陕西西安·模拟预测）若
，则（ ）
A．
是真命题，且
B．
是真命题，且
C．
是假命题，且
D．
是假命题，且
7．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量
，若
在上的投影向量相等，则
的
最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
8．（2025·浙江宁波·模拟预测）记数列
的前
项和为
，若存在实数
，使得对任意的
，都有
，则称数列
为“和有界数列”．已知
是等比数列且公比为
，则“
”是“
是和有界数列”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本大题共3 小题，每小题6 分，共计18 分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选
对的得6 分，选对但不全得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数
满足
，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（ ）
A．若
，则
的最大值为
B．若
，则
C．若
，
，则
的最小值为
D．若
，则
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义集合
且
，集合
中元素的个数为
.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
成立
D．记
表示不超过
的最大整数，且
，则
.
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共计15 分。
12．（2025·辽宁·二模）命题p:“
，
”是假命题，则m 的取值范围是 ．
13．（2025·河南·模拟预测）已知
，若
是
的充分不必要条件，则实数
的取值范围是 .
14．（2025·广东珠海·模拟预测）已知
是公差不为0 的等差数列，且
，
，
成等比数列，若
是数列
的
前
项和，则
的最小值为 ．
四、解答题：本题共5 小题（13+15+15+17+17 ）满分77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，点G 是
的重心，且
．
(1)若
，求
的值；
(2)求
的取值范围．
16．（2025·湖北·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C；
(2)若
边上的高
为
，求
的最小值．
17．（2025·湖北·三模）已知
.
(1)解关于
的不等式
(2)若不等式
的解集为
，求实数
的值.
18．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素
个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
19．（2025·四川·一模）已知定义在
上的函数
满足
，且
，有
．若存
在
，使得函数
是常函数，则称
是“
阶梯函数”．
(1)若
是“
阶梯函数”，且当
时，
，写出
的取值范围；
(2)已知
满足：①
；②
，有
．
（i）证明：
是“
阶梯函数”的必要条件是“
”；
（ii）若所有满足条件①②的函数
均为“
阶梯函数”，猜想
的取值范围并证明．
