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第27 讲数列通项公式的求法
（知识清单+6 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
累加法、裂项累加求通项
单选/填空题
5 分
等差、等比定义公式法
解答题
12 分
周期数列通项识别与求值
选择题
5 分
分式递推取倒数构造等差数列
解答题
12 分
Sn分段求通项、分类讨论
解答题
12 分
累乘法、奇偶隔项分类通项
解答题
12 分
一阶线性递推万能构造
解答题
12 分
【知识点01】数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号
n 之间
的对应关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关
系可以用一个式子来表示，那么这个式子
叫做这个数列的递推公式
数列{an}的
前n 项和
把数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之
和，称为数列{an}的前n 项和，记作Sn，即
Sn=a1+ a 2+ …
+ a n
【例1】写出数列2,5,8,11,…的一个通项公式。
【知识点02】公式法求数列通项公式
适用于题干明确数列为等差数列或等比数列，直接套用定义公式求解通项，是最基础、最常用的解题方法。
等差数列通项公式：an=a1+(n−1)d
等比数列通项公式：an=a1q
n−1(q≠0)
【例2】已知{an}为等差数列，a1=2，a5=14，求数列的通项公式。
【知识点03】数列通项公式的求法
已知数列前n项和Sn，求通项an，必须分段求解、最后验证合并，是高考高频考点、易错点。
核心分段公式：
an={
S1,
n=1
Sn−Sn−1,
n≥2
解题步骤：① 求a1= S1；② 求n≥2时an表达式；③ 验证n=1是否符合n≥2的式子，符合则合并，不符合则分段
书写。
【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn=n
2−n，求数列通项公式。
【知识点04】累加法（型如an+1−an= f (n)）
适用题型：递推公式为n后项减前项是关于的函数，即an+1−an= f (n)。
核心原理：逐项罗列、左右累加消去中间项
an−a1= f (1)+ f (2)+⋯+ f (n−1)=∑
k =1
n−1
f (k )
最终通项：an=a1+∑
k =1
n−1
f (k )
【例4】已知a1=1，an+1=an+2n+1，求an。
【知识点05】累乘法（型如
an+1
an
= f (n)）
适用题型：递推公式为n后项比前项是关于的函数，即an+1
an
= f (n)。
核心原理：逐项罗列、左右累乘消去中间项
an
a1
= f (1)⋅f (2)⋅⋯⋅f (n−1)
最终通项：an=a1⋅f (1)⋅f (2)⋅⋯⋅f (n−1)
【例5】已知a1=2，
an+1
an
= n+1
n
，求an。
【知识点06】构造等比数列法（一阶线性递推an+1= pan+q）
适用题型：一阶线性非齐次递推数列 an+1= pan+q( p≠1, p≠0,q≠0)。
构造技巧：设an+1+ λ = p(an+ λ)
展开对比系数得：λ =
q
p−1
构造后{an+ λ}为公比等于p的等比数列。
【例6】已知a1=1，an+1=3an+ 4，求数列通项an。
【知识点07】取倒数构造等差法（分式递推型）
适用题型：分式型递推 an+1=
pan
q an+r 。
解题技巧：等式两边取倒数，将分式递推转化为一次线性递推，构造等差数列求解。
【例7】已知a1=1，an+1=
an
3an+1，求an。
【知识点08】换元构造法（复合型递推）
适用题型：含有根式、复合型复杂递推式，通过换元简化结构，转化为等差、等比数列求解。
【例8】已知a1= 4，
❑√an+1= ❑√an+2，求an。
【题型一】数列的概念
【例1】（2026·浙江·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，则对
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）记
为数列
的前
项和．已知
，则满足
的正整数
的最大值为（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【变式2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若数列
满足
，则
_____.
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）Farey 序列是指把在0 到1 之间的所有分母不超过
的最简分数及0
（视为
）和1（视为：）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4 就是
．
则F－7 的项数为__________．
【题型二】累加法求数列通项
【例1】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列
满足
，
，则
的个位数字为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）若
，且
，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．
【变式2】（2026·湖北荆州·一模）已知数列
满足
，则
＝______.
【变式3】（2026·安徽淮北·一模）已知数列
满足
．
(1)设
，求证：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式．
【题型三】累乘法求数列通项
【例3】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列
满足
，则
（ ）
A．670
B．675
C．2025
D．4050
【变式1】（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第
项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一
项．若数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·广东江门·一模）物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的
概率为
.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若
，则k 的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列
中，
，当
时，
，则数列
的通项公式为
______.
【题型四】利用an 与sn 关系求通项或项
【例4】（2026·广东·模拟预测）已知数列
的前
项和
，第
项满足
，则正整数
（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【变式1】（2026·河南·三模）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
______．
【变式2】已知数列
的前
项和为
，且
，则
_________.
【变式3】（2026·湖南长沙·三模）设
为数列
的前
项和，且
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的最大值．
【题型五】构造法求数列通项
【例5】（2026·广东汕头·三模）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列
，满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列
满足
，则
的值为___________．
【变式3】（2024·云南·二模）记数列
的前
项和为
，若
，则
_______________.
【题型六】由递推关系式求通项公式
【例6】（2026·山东泰安·三模）已知数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2026·湖南长沙·三模）设数列{
}的前n 项和为
且
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列
满足
，则数列
的前100 项和为__________.
【变式3】（2026·云南·模拟预测）已知等差数列
满足
，
，数列
满足
，
．
(1)求数列
前
项和
；
(2)求数列
的通项公式．
【解题大招01】Sn 速求通项秒杀大招（无需分段繁琐计算）
已知数列前n项和 Sn= A n
2+ Bn+C，可直接秒写通项，无需分段推导：
① 若 C =0（无常数项）：数列为等差数列，直接秒杀：an=2 An+ B
② 若 C ≠0（有常数项）：n≥2时an=2 An+ B，a1= S1，通项分段
考场口诀：无常数直接代，有常数单独算首项
【例1】
已知Sn=3n
2−2n，求an。
【解题大招02】累乘法通用秒杀结论（消项规律一眼看穿）
形如
an+1
an
= f (n+1)
f (n)
，累乘后直接秒杀：an= f (n)
f (1) a1，无需逐项罗列。
【例2】已知a1=2，an+1
an
= n+1
n−1，求an。
【解题大招03】分式递推专属秒杀（倒数构造模板）
针对 an+1=
an
k an+m，固定操作：取倒数→构造等差/等比，无需试凑。
若1
an+1
−1
an
=k，直接判定为等差数列，公差为k。
【例3】a1= 1
2 ，an+1=
an
3an+1，求通项。
【解题大招04】奇偶项递推秒杀大招（周期/分段一步出）
题型：an+1+an=kn+b 或 an+1−an=(−1)
n⋅f (n)
结论：an+2−an=常数，奇偶项各自成等差，直接分奇偶写通项，无需分步推导。
【例4】a1=2，an+1+an= 4 n，求an。
【解题大招05】周期数列秒杀识别大招
递推式含分式、正负交替、根式，优先验证周期；求出前3-4 项即可锁定周期T，直接取余求值、写通项。
【例5】已知a1=1，an+1=
1
1−an
，求周期及an。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2025·广东广州·一模）数列1，
，
，
，
，…的一个通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东东莞·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，则
（ ）
A．18
B．54
C．81
D．162
3．（2025·全国·模拟预测）在数列
中，
，点
在直线
上，则
（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
二、多选题
4．（2024·云南·二模）记数列
的前
项和为
为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．存在常数A、B，使数列
是等比数列
D．对任意常数A、B，数列
都是等差数列
三、填空题
5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列
满足
，且对任意
，有
，则
______.
6．（2026·辽宁锦州·二模）已知数列
的前
项和为
，
是首项为1，公差为
的等差数列，则
________.
四、解答题
7．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的相邻两项
和
恰是方程
的两个根，且
．
(1)求
的值；
(2)记
为数列
的前n 项和，求
．
8．（2025·吉林延边·一模）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求
，
；
(2)证明：数列
为等比数列；
(3)求数列
的通项公式.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·重庆·三模）已知数列
的前
项和
，若
，则
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．14
2．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数
满足对任意实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2025·广西·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，且
，则（ ）．
A．
不是等比数列
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2026·吉林延边·三模）若数列
满足
，
，则
______．
5．（2026·湖南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，若
，
，记
，则
的最大值为______．
四、解答题
6．（2026·浙江宁波·三模）设数列
的前
项和为
，当
时满足
．
(1)求
；
(2)令
，记
为
的前
项和，当
为何值时，
取最小值．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·三模）已知数列
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，若
，则
等于（ ）
A．2026
B．2025
C．0
D．1013
二、多选题
3．（2026·浙江·模拟预测）若数列
的前
项和
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
为等比数列
D．
三、填空题
4．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列
满足
，且对任意的
，满足
，则
___________．
四、解答题
5．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列
中，
，
.
(1)求
；
(2)求数列
的前n 项和
，并证明：
.
