文档文本内容
第27 讲数列通项公式的求法
（知识清单+6 典例精讲+5 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
累加法、裂项累加求通项
单选/填空题
5 分
等差、等比定义公式法
解答题
12 分
周期数列通项识别与求值
选择题
5 分
分式递推取倒数构造等差数列
解答题
12 分
Sn分段求通项、分类讨论
解答题
12 分
累乘法、奇偶隔项分类通项
解答题
12 分
一阶线性递推万能构造
解答题
12 分
【知识点01】数列的有关概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号
n 之间
的对应关系可以用一个式子来表示，那么
这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关
系可以用一个式子来表示，那么这个式子
叫做这个数列的递推公式
数列{an}的
前n 项和
把数列{an}从第1 项起到第n 项止的各项之
和，称为数列{an}的前n 项和，记作Sn，即
Sn=a1+ a 2+ …
+ a n
【例1】写出数列2,5,8,11,…的一个通项公式。
解析：观察数列各项与项数n的对应规律：
n=1,a1=2=3×1−1
n=2,a2=5=3×2−1
n=3,a3=8=3×3−1
n= 4 ,a4=11=3×4−1
归纳通用规律可得数列通项：
an=3n−1(n∈ℕ
∗)
答案：an=3n−1
【知识点02】公式法求数列通项公式
适用于题干明确数列为等差数列或等比数列，直接套用定义公式求解通项，是最基础、最常用的解题方法。
等差数列通项公式：an=a1+(n−1)d
等比数列通项公式：an=a1q
n−1(q≠0)
【例2】已知{an}为等差数列，a1=2，a5=14，求数列的通项公式。
解析：由等差数列通项公式得：a5=a1+ 4 d
代入已知数据：14 =2+ 4 d
解得公差：d =3
将a1=2，d =3代入通项公式：
an=2+(n−1)×3=3n−1
答案：an=3n−1(n∈ℕ
∗)
【知识点03】数列通项公式的求法
已知数列前n项和Sn，求通项an，必须分段求解、最后验证合并，是高考高频考点、易错点。
核心分段公式：
an={
S1,
n=1
Sn−Sn−1,
n≥2
解题步骤：① 求a1= S1；② 求n≥2时an表达式；③ 验证n=1是否符合n≥2的式子，符合则合并，不符合则分段
书写。
【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn=n
2−n，求数列通项公式。
解析：① 当n=1时：a1= S1=1
2−1=0
② 当n≥2时：
an
= Sn−Sn−1
¿
=n
2−n−(n
2−3n+2)
¿
¿
③ 验证：将n=1代入an=2n−2，得a1=0，与原式一致，可合并。
答案：an=2n−2(n∈ℕ
∗)
【知识点04】累加法（型如an+1−an= f (n)）
适用题型：递推公式为n后项减前项是关于的函数，即an+1−an= f (n)。
核心原理：逐项罗列、左右累加消去中间项
an−a1= f (1)+ f (2)+⋯+ f (n−1)=∑
k =1
n−1
f (k )
最终通项：an=a1+∑
k =1
n−1
f (k )
【例4】已知a1=1，an+1=an+2n+1，求an。
解析：由递推式得：an+1−an=2n+1
罗列式子：
a2−a1=3,a3−a2=5,…,an−an−1=2n−1
累加得：
an−a1
=3+5+⋯+(2n−1)
¿
=n
2−1
代入a1=1：an=n
2−1+1=n
2
答案：an=n
2(n∈ℕ
∗)
【知识点05】累乘法（型如
an+1
an
= f (n)）
适用题型：递推公式为n后项比前项是关于的函数，即an+1
an
= f (n)。
核心原理：逐项罗列、左右累乘消去中间项
an
a1
= f (1)⋅f (2)⋅⋯⋅f (n−1)
最终通项：an=a1⋅f (1)⋅f (2)⋅⋯⋅f (n−1)
【例5】已知a1=2，
an+1
an
= n+1
n
，求an。
解析：罗列比值：
a2
a1
= 2
1 , a3
a2
= 3
2 ,…, an
an−1
=
n
n−1
累乘消项：
an
a1
= 2
1 × 3
2 ×⋯×
n
n−1 =n
代入a1=2得：an=2n
答案：an=2n(n∈ℕ
∗)
【知识点06】构造等比数列法（一阶线性递推an+1= pan+q）
适用题型：一阶线性非齐次递推数列 an+1= pan+q( p≠1, p≠0,q≠0)。
构造技巧：设an+1+ λ = p(an+ λ)
展开对比系数得：λ=
q
p−1
构造后{an+ λ}为公比等于p的等比数列。
【例6】已知a1=1，an+1=3an+ 4，求数列通项an。
解析：由题意p=3，q = 4，计算构造参数：
λ =
4
3−1 =2
构造等比数列：an+1+2=3(an+2)
数列{an+2}为等比数列，首项a1+2=3，公比p=3
an+2=3⋅3
n−1=3
n
整理得通项：an=3
n−2
答案：an=3
n−2(n∈ℕ
∗)
【知识点07】取倒数构造等差法（分式递推型）
适用题型：分式型递推 an+1=
pan
q an+r 。
解题技巧：等式两边取倒数，将分式递推转化为一次线性递推，构造等差数列求解。
【例7】已知a1=1，an+1=
an
3an+1，求an。
解析：两边取倒数：
1
an+1
= 3an+1
an
=3+ 1
an
即：1
an+1
−1
an
=3
故{ 1
an
}是首项为1
a1
=1，公差d =3的等差数列。
1
an
=1+3(n−1)=3n−2
整理得：an=
1
3n−2
答案：an=
1
3n−2 (n∈ℕ
∗)
【知识点08】换元构造法（复合型递推）
适用题型：含有根式、复合型复杂递推式，通过换元简化结构，转化为等差、等比数列求解。
【例8】已知a1= 4，
❑√an+1= ❑√an+2，求an。
解析：令bn= ❑√an，则bn+1=bn+2
{bn}为等差数列，首项b1= ❑√a1=2，公差d =2
bn=2+(n−1)×2=2n
由bn= ❑√an得：an=bn
2= 4 n
2
答案：an= 4 n
2(n∈ℕ
∗)
【题型一】数列的概念
【例1】（2026·浙江·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，则对
，“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用累加法，结合题意可得，由
能推出
；举出反例，可得“
”推不
出“
”.由充分、必要条件的定义得出答案.
【详解】由
得：
，
，
，……，
，
不等式左右两边分别相加，得
，
消去两边相同的项得，
，
所以
；
取数列
满足，
，
，且对
且
有
.
满足
，
，但
.不满足
.
即“
”推不出“
”.
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）记
为数列
的前
项和．已知
，则满足
的正整数
的最大值为（ ）
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
【答案】C
【分析】由数列的递推公式判断数列的周期，结合数列的周期性进行求解即可.
【详解】由
，
所以数列
的周期为，
，
，
故
，
，
，
，
，
，
再往后计算减1 后加
再加
，以此类推，这样都大于
所以满足
的正整数
的最大值为
，
故选：C
【变式2】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）若数列
满足
，则
_____.
【答案】
【详解】由
得，
，
所以数列周期为3，故
.
【变式3】（2024·云南昆明·模拟预测）Farey 序列是指把在0 到1 之间的所有分母不超过
的最简分数及0
（视为
）和1（视为：）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4 就是
．
则F－7 的项数为__________．
【答案】19
【分析】根据Farey 序列构成的数列
的性质，利用列举法，即可求解.
【详解】根据题意Farey 序列构成的数列
，
可得
的各项为：
，
共有
项，所以
的项数为
.
故答案为：
.
【题型二】累加法求数列通项
【例1】（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列
满足
，
，则
的个位数字为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】A
【详解】由题设
，则
，
令
，得
，则
，
，
显然
也满足上式，
，则
，显然个位数字为2.
【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）若
，且
，则
（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题设可得
，进而利用累加法可得
，再结合
求出
，进而求解即可.
【详解】由
，得
，
则
，
由
，
，可得
，
又
，则
，
所以
.
【变式2】（2026·湖北荆州·一模）已知数列
满足
，则
＝______.
【答案】
【分析】利用累加法和等差数列的前
项和公式求解.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
.
【变式3】（2026·安徽淮北·一模）已知数列
满足
．
(1)设
，求证：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明.
（2）利用等比数列的通项公式和累加法求解.
【详解】（1）由
得：
，
即
，故
为等比数列；
（2）
，由（1）得
．即
，
于是
．
【题型三】累乘法求数列通项
【例3】（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列
满足
，则
（ ）
A．670
B．675
C．2025
D．4050
【答案】B
【分析】根据题意结合等差数列性质可得
，利用累乘法运算求解即可.
【详解】因为数列
为正项等差数列，
则
，即
，
可得
，
，
，
，
累乘可得
.
故选：B.
【变式1】（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第
项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一
项．若数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知得
，应用累乘及等比数列前n 项和公式求得
，即可得.
【详解】由
及已知，得
，
相乘可得
，故
.
故选：C
【变式2】（2024·广东江门·一模）物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以n 开头的数出现的
概率为
.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若
，则k 的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】C
【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.
【详解】
，
而
，故
．
故选：C．
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列
中，
，当
时，
，则数列
的通项公式为
______.
【答案】
【分析】根据累乘法求通项公式即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
，…，
，
累乘得
，
，
所以
，
，
由于
，所以
，
，
显然当
时，
满足
，
所以
，
故答案为：
.
【题型四】利用an 与sn 关系求通项或项
【例4】（2026·广东·模拟预测）已知数列
的前
项和
，第
项满足
，则正整数
（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【分析】利用
与
的关系求得
即可求解.
【详解】当
时,
，
当
时，
，
当
也满足，于是
(
),
,即
，得
，(
),则
.
【变式1】（2026·河南·三模）已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
______．
【答案】
【分析】得出
，求出公比为
，再根据
得出
即可求出.
【详解】因为
，所以
，
则
，则
，
得
，即等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
，得
，
则
.
【变式2】已知数列
的前
项和为
，且
，则
_________.
【答案】
【分析】通过已知条件推导出
为等差数列，进而求出
.
【详解】根据数列前
项和的性质，对任意
，
有
，代入
得：
，因为
，故
，
由
可得：
，
若存在
使得
，则
，
依此类推可得
，与
矛盾，
故对任意
都有
，
等式两边同除以
，整理可得：
，因此
是以首项为
，公差为
的等差数列，
由等差数列通项公式可得：
，
因此
.
【变式3】（2026·湖南长沙·三模）设
为数列
的前
项和，且
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，求数列
的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）由
，得
，
所以
，即
，
当
时，
，故
，
所以数列
是以3 为首项，3 为公比的等比数列，所以
．
（2）
，
，
当
时，
，故
，
当
时，
，故
，
当
时，
，
故
时，
，
故
，
，所以数列
的最大值为
.
【题型五】构造法求数列通项
【例5】（2026·广东汕头·三模）已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用数列递推公式推出数列
是等差数列，求出数列
的通项，即可求得答案.
【详解】因为
，所以
，
所以
是首项为1，公差为2 的等差数列，
所以
，所以
，
所以
．
【变式1】（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知正项数列
，满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，可求出
的值；令
，由
得
，
两式作差推导出数列
为常数列，求出数列
的通项公式，即可得解.
【详解】对任意的
，
，且
，
当
时，则有
，
即
，解得
或
（舍）；
当
时，由
①，
可得
②，
①
②得
，
整理可得
，
由题意知
，所以
，
又因为
，可得
，也满足等式
，
故当
时，等式
也成立，
故对任意的
，
，故数列
为常数列，
故对任意的
，则
，
所以
，故
.
【变式2】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列
满足
，则
的值为___________．
【答案】
/
【分析】根据
的递推关系式，构造
，得到数列
为等比数列，根据等比数列的通
项公式得到
的通项公式．
【详解】由题意得
，而
，
故
是以1 为首项，5 为公比的等比数列，
故
；故
；可得
．
【变式3】（2024·云南·二模）记数列
的前
项和为
，若
，则
_______________.
【答案】
/0.5
【分析】构造得
，从而得到
，则
，再利用等比数列求和公式代入计算即可.
【详解】由
，得
，
则
，
又
，则
，则
，
，
，
，
故答案为：
.
【题型六】由递推关系式求通项公式
【例6】（2026·山东泰安·三模）已知数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据递推公式求出
是等差数列，再求出
表达式，求解即可.
【详解】已知
，所以
，
因此数列
是首项为
，公差为的等差数列.
则
.
因此
.
【变式1】（2026·湖南长沙·三模）设数列{
}的前n 项和为
且
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
，所以
，
所以
，
所以
，
根据对勾函数的性质，
在
上单调递减，在
上单调递增，
又当
时，
，当
时，
，
又
，所以
的最小值为
.
【变式2】（2026·湖南岳阳·一模）已知数列
满足
，则数列
的前100 项和为__________.
【答案】
【分析】由
，变形为：
，利用等比数列的通项公式、前
项和公式即可得出．
【详解】因为
,可得
，
因为
,所以数列
是公比为，首项为的等比数列，
则
,
则数列
的前100 项和
,
故答案为：
【变式3】（2026·云南·模拟预测）已知等差数列
满足
，
，数列
满足
，
．
(1)求数列
前
项和
；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)
(2)
（
）．
【分析】（1）根据等差数列的性质，求出公差，进而求出通项公式，再利用等差数列前
项和公式求解即可；
（2）由已知条件易得
，由累加法结合等比数列前
项和公式求出
通项公式.
【详解】（1）解：（1）由
为等差数列，
，则
，解得
，
又
，所以
，
因此
，即
，
所以，数列
的前
项和为
；
（2）由（1）知
，又
，所以
，
则当
时，
，
当
时，
，也符合，
即
（
）．
【解题大招01】Sn 速求通项秒杀大招（无需分段繁琐计算）
已知数列前n项和 Sn= A n
2+ Bn+C，可直接秒写通项，无需分段推导：
① 若 C =0（无常数项）：数列为等差数列，直接秒杀：an=2 An+ B
② 若 C ≠0（有常数项）：n≥2时an=2 An+ B，a1= S1，通项分段
考场口诀：无常数直接代，有常数单独算首项
【例1】已知Sn=3n
2−2n，求an。
解：A =3，B =−2，无常数项，直接套用公式：
an=2×3n−2=6n−2
验证n=1：a1= 4，S1=3−2= 4，成立
答案：an=6n−2(n∈ℕ
∗)
【解题大招02】累乘法通用秒杀结论（消项规律一眼看穿）
形如
an+1
an
= f (n+1)
f (n)
，累乘后直接秒杀：an= f (n)
f (1) a1，无需逐项罗列。
【例2】已知a1=2，an+1
an
= n+1
n−1，求an。
解：整体消项后剩余首尾项：
an
a1
= n(n+1)
1×2
代入a1=2：
an=2× n(n+1)
2
=n(n+1)
答案：an=n
2+n(n∈ℕ
∗)
【解题大招03】分式递推专属秒杀（倒数构造模板）
针对 an+1=
an
k an+m，固定操作：取倒数→构造等差/等比，无需试凑。
若1
an+1
−1
an
=k，直接判定为等差数列，公差为k。
【例3】a1= 1
2 ，an+1=
an
3an+1，求通项。
解：取倒数：1
an+1
=3+ 1
an
{ 1
an
}为等差，d =3，1
a1
=2
1
an
=2+3(n−1)=3n−1
答案：an=
1
3n−1
【解题大招04】奇偶项递推秒杀大招（周期/分段一步出）
题型：an+1+an=kn+b 或 an+1−an=(−1)
n⋅f (n)
结论：an+2−an=常数，奇偶项各自成等差，直接分奇偶写通项，无需分步推导。
【例4】a1=2，an+1+an= 4 n，求an。
解：作差得：an+2−an= 4
奇数项：a1=2，公差4，an=2n
偶数项：a2=6，公差4，an=2n+2
分段通项：
an={ 2n,
n为奇数
2n+2,
n为偶数.
【解题大招05】周期数列秒杀识别大招
递推式含分式、正负交替、根式，优先验证周期；求出前3-4 项即可锁定周期T，直接取余求值、写通项。
【例5】已知a1=1，an+1=
1
1−an
，求周期及an。
解：枚举：a1=1，a2= 1
2 ，a3=2，a4=1
得周期T =3，根据余数直接写对应项，考场直接秒杀选择填空。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2025·广东广州·一模）数列1，
，
，
，
，…的一个通项公式
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式.
【详解】数列1，
，
，
，
，…，
可写为
，
，
，
，
…，
所以数列的一个通项公式
.
故选：D
2．（2026·广东东莞·三模）记
为数列
的前
项和，已知
，则
（ ）
A．18
B．54
C．81
D．162
【答案】D
【分析】结合前
项和
与通项
的关系式求解
，再根据数列的通项公式求出
.
【详解】由
可得当
时，
，
两式相减得
，整理得
.
又由
及
可得
，满足
.
故
是以2 为首项，3 为公比的等比数列，通项公式为
，
代入
得
.
3．（2025·全国·模拟预测）在数列
中，
，点
在直线
上，则
（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
【答案】B
【分析】根据题意可得
，故数列
是以首项为1，公比为2 的等比数列，根据等比数列的通项公式即可求
解.
【详解】∵点
在直线
上，∴
.
又
，∴数列
是以首项为1，公比为2 的等比数列，∴
.
故选：B.
二、多选题
4．（2024·云南·二模）记数列
的前
项和为
为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．存在常数A、B，使数列
是等比数列
D．对任意常数A、B，数列
都是等差数列
【答案】ABC
【分析】根据
与
的关系求得
可判断A；由
可判断B；取
可得
是公比为1
的等比数列，可判断C；当
时，根据等差数列定义验证，可判断D.
【详解】对于A，若
，则
，A 正确；
对于B，若
，则
，B 正确；
对于C，由
得
，
当
时，
，
所以，当
时，数列
是公比为1 的等比数列，C 正确；
对于D，由上知，当
时
，若
，则
，
此时，数列
不是等差数列，D 错误.
故选：ABC
三、填空题
5．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列
满足
，且对任意
，有
，则
______.
【答案】
【分析】利用累加法求得
.
【详解】依题意，
，
，
，
，
……
，
，
上述
个式子相加得
.
故答案为：
6．（2026·辽宁锦州·二模）已知数列
的前
项和为
，
是首项为1，公差为
的等差数列，则
________.
【答案】
【分析】先根据
为等差数列，求出
，再根据
的关系求出通项公式
，然后检验
是否符合即
可.
【详解】解：由
是首项为1，公差为
的等差数列，则
，所以
，
当
时，
，
当
时，
，
检验，当
时，
，所以该公式对
也成立，
所以
.
四、解答题
7．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的相邻两项
和
恰是方程
的两个根，且
．
(1)求
的值；
(2)记
为数列
的前n 项和，求
．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）因为
和
是方程
的两个根，由韦达定理可知
，
，由累加法求
得
，进而计算
即可；
（2）由
，可知
，数列
的偶数项为公差为
的等差数列，有等差数列的前n 项和公式
求解即可.
【详解】（1）因为
和
是方程
的两个根，
由韦达定理可知
，
，
因此
．
所以
，
，
，…，
，
由累加法得
．又因为
，所以
，因此
．
（2）由
，可知
，
而数列
的偶数项为公差为
的等差数列，
因此
，
因此
，因此
．
8．（2025·吉林延边·一模）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求
，
；
(2)证明：数列
为等比数列；
(3)求数列
的通项公式.
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）变形得
，即可证明；
（3）根据（2）的结论得
，再移项即可.
【详解】（1）
，
.
（2）由
得
，
且
，所以数列
是首项为2，公比为3 的等比数列.
（3）由（2）知数列
是首项为2，公比为3 的等比数列，
所以
，
即
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·重庆·三模）已知数列
的前
项和
，若
，则
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．14
【答案】B
【分析】利用
与
关系求出数列
的通项公式求解即可.
【详解】由
,当
时，
当
时，
，
当
时，
满足条件；
所以数列
的通项公式为
则
，解得
，
因为
，所以
．
2．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数
满足对任意实数
，都有
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
得到正整数域上的递推关系，通过累加法推导
的通项后代入求值.
【详解】令
，代入题设函数方程得：
，
将
代入化简，得递推关系：
，
当
时，有
，
则
，
，
，
故
，
故
，则
.
二、多选题
3．（2025·广西·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
，且
，则（ ）．
A．
不是等比数列
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】当
时，可求出
的值；当
时，由
得
，两式作差可得出
，可求出数列
的通项公式，逐项判断即可.
【详解】因为数列
的前
项和为
，
，且
，
当
时，
，
当
时，由
得
，
上述两个等式作差得
，可得
，但
，
所以数列
从第二项开始成公比为
的等比数列，
故当
时，
，所以
，
对于A 选项，数列
不是等比数列，A 对；
对于B 选项，
，B 错；
对于C 选项，
，C 对；
对于D 选项，
，D 对.
故选：ACD.
三、填空题
4．（2026·吉林延边·三模）若数列
满足
，
，则
______．
【答案】
【分析】根据题意，得到
，利用叠加法求得
，得到
的表达式，即可求解.
【详解】由数列
满足
，即
，
可得
，
各式相加，可得
，
因为
，所以
，即
，
所以
，可得
.
5．（2026·湖南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，若
，
，记
，则
的最大值为______．
【答案】
【分析】借助
与
的关系结合等比数列定义可得数列
的通项公式，即可得
表达式，再借助作商法得到
的单调性后即可得解.
【详解】当
时，
，则
，
即
，又
，则
，
故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
即
，则
，则
，
解不等式
，即
，
由
，故
或
，
即当
或
时，
，当
时，
，
故
的最大值为
.
四、解答题
6．（2026·浙江宁波·三模）设数列
的前
项和为
，当
时满足
．
(1)求
；
(2)令
，记
为
的前
项和，当
为何值时，
取最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先对递推关系式变形，累加可得答案；
（2）求出
的通项公式，判断单调性，结合
中项的符号可得答案.
【详解】（1）
，叠加得
，
．
（2）
，
因为
，且
，所以
与
均为增函数，所以
递增，
而
，
故
时，
时，
，于是
时，
最小．
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2025·江苏苏州·三模）已知数列
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定的递推公式，变形计算判断AB；裂项，结合累加法求通推理判断CD.
【详解】对于A，由
，得
，
，则
，A 错误；
对于B，由
，得
，当
时，
，B 错误；
对于CD，由
，得
，则
，
即
，则当
时，
，
，因此
，
，
，
，而
，C 正确，D 错误.
故选：C
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，若
，则
等于（ ）
A．2026
B．2025
C．0
D．1013
【答案】D
【分析】根据
，结合已知条件，得到数列
的递推关系.利用累乘法求得
，代入2027 求得
；或先求出
，再求得
.
【详解】因为
，所以
即
.
所以
.
因为
，所以
.
所以
……
.
由累乘法得：
.
所以
，
，
，
所以
.
方法二：
因为
，所以
.
两式相减，得
，即
.
由
，得
.
所以
.
所以
.
故选：D.
二、多选题
3．（2026·浙江·模拟预测）若数列
的前
项和
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
为等比数列
D．
【答案】ABD
【分析】对于A：根据
与
的递推关系推导
、
的通项公式；对于B：由上可知
为等差数列，由等差中项性
质可得结果；对于C：
不为等比数列；对于D：
，构造函数，利用定义法证明该函数恒
大于0.
【详解】对于A：当
时，
；
当
时，
，相减得
，
所以数列
是等比数列，进而得
，
，
所以
，A 选项正确；
对于B：因为
，所以数列
是以1 为公差的等差数列，
所以由等差中项性质可得
，故B 选项正确；
对于C：
，
不为常数，所以
不是等比数列，故C 选项错误；
对于D：
，
当
时，
则
；
当
时，令
，
则
，
所以
单调递增，所以
，即
，
综上：
，故D 项正确.
故选：ABD.
三、填空题
4．（2026·内蒙古赤峰·三模）设数列
满足
，且对任意的
，满足
，则
___________．
【答案】
【分析】利用不等式的性质可得
，进而得
，利用累加法即可求解.
【详解】一方面，
，
另一方面，
，故
，
则
，所以不等式必取等号，故
．
通过累加法，可以得到
，
故
．
四、解答题
5．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知数列
中，
，
.
(1)求
；
(2)求数列
的前n 项和
，并证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得
，化简得
，得到数列
是首
项为
，公比为的等比数列，进而求得数列
的通项公式；
（2）由（1）得
，利用等比数列的求和公式，求得
，根据
，得到
，结合等比数列的求和公式，即可得证.
【详解】（1）解：由数列
满足
，
因为
，
所以
，
设
，即
，
所以
，解得
，所以
，
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，所以
，
即数列
的通项公式为
.
（2）解：由（1）知：
，
所以
，
下面证明：
，
因为
，当为奇数时，
；
当为偶数时，
，所以
，
又因为当
时，
；
当
且
时，
，则
，所以
，
若
，可得
，此时满足
，
若
且
，可得
，
因为
，所以
，
综上可得：对于任意
，都有
.
