文档文本内容
微专题拓展01 集合新定义问题
目录
01
题
解
方法总结.............................................................................................................................2
02
题
重难点
型梳理........................................................................................................................ 3
题型一：集合陌生定义........................................................................................................................3
题型二：集合创新运算........................................................................................................................4
题型三：集合拓展性质........................................................................................................................5
题型四：多知识点整合问题................................................................................................................7
03
拓展
课后
精练.............................................................................................................................9
集合创新题型主要分为三类，核心是依托旧集合知识，结合全新定义创设出题情境。其一为新概念题
型，通过重新定义集合或集合内要素，基于原有集合知识点创新出题；其二是新运算题型，题目给出专属
集合全新运算规则，需结合常规数学运算与逻辑推理完成解题；其三是新性质题型，依托集合原有性质衍
生全新性质，在新场景中结合旧性质推导论证。
这类题型均通过新定义、新运算、新模型搭建陌生情境，核心考查知识迁移与阅读理解能力。解题时
无需固有思维解题，需耐心研读题干，精准把握新定义、新规则的核心特征与性质，严格依照题目规则逐
条分析、运算、验证，灵活结合所学集合知识，完成陌生题型的解答。
题
集合
定义
型一：
陌生
例1．（多选题）（25-26 高三下·安徽阜阳·阶段检测）对于由
个正整数组成的集合
，设
为集合
中所有元素的和，定义：若对任意不大于
的正整数
，都存在
的子集
，满足
，则称集
合
是完全集合．下列说法正确的是（
“
”
）
A．
是完全集合
B．对于确定的正整数
，能使所有元素从小到大成等差数列的完全集合是唯一的
C．若
，则
是完全集合
D．若
是完全集合，且
，则
中的元素个数的最小值为10
例2．（多选题）（2026·福建厦门·二模）设正整数
，其中
，定义
．设集合
，从
中随机选取一个元素，
记为
，则（ ）
A．
B．
中的元素个数为36
C．
D．
例3．（多选题）（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合
，定义集合
的模
为该集合中所有元素的和，记作
，即
，则下列说法中正确的是（ ）
A．若集合
，则
B．若集合
，则
C．若集合
，则
D．记集合
，且
中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若
的最大值为
的最大值为
，则
变式1．（2026·山东·模拟预测）对于集合
，定义
，若
，则称
为
理想集．例如，
不是理想集，而
是理想集．
(1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由；
①
；②
；③
．
(2)若存在
个非空理想集
，
，
，
…
，且
，使得
，则称
是
可分的，记
．
（i）证明：
；
（ii）证明：
．
题
集合
新
型二：
创
运算
例4．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：
，设集合
，
，则
集合
的所有元素之和为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．5
例5．（多选题）（2026·福建厦门·模拟预测）已知
，
，
，
…
，
均为有限实数集，记
…
中的最大
元素为
，
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
中所有元素的平均数为191
D．
中所有元素的和为3008
例6．（2026·北京顺义·二模）已知集合
，集合
是集合
的一个含
个元素的子
集.若集合
满足如下两个性质，则称集合
为集合
的完美子集：
集合
①
的任意两个不同子集的元素之和不相等；
对任意
②
且
，令
，且集合
存在两个不同子集，它们的元素之和相等；
(1)若
，判断
是否为集合
的完美子集；
(2)若集合
为集合
的完美子集，证明：集合
的元素之和的最小值为16；
(3)若集合
为集合
的完美子集，证明：
.
变式2．（2026·北京昌平·二模）对于非空集合
，定义变换
，
中元素的个数分别记为
，
，
.
(1)设集合
，直接写出
，
，
的值；
(2)设集合
,
中所有元素的和记为
，求数列
的通项公式；
(3)设集合
与
同时满足下列两个性质：
①
，且
；
②
且
，其中
.
求
的最大值.
题
集合拓展
型三：
性质
例7．（2026·安徽合肥·一模）设集合
，满足下列性质的集合称为“TB 集合：集
”
合内至少含有2 个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则
的子集中有___________个“TB
集合”.
例8．（2026·北京西城·二模）给定正整数n（
），记集合
或
且
.对于由
中的三个元素组成的子集
，若满足
对于任意
，
均为偶数，则称该三元子集具有性质T.
(1)在
的子集中，写出一个具有性质T 的三元子集；（结论不要求证明）
(2)证明：在
的子集中，不可能选出10 个两两交集为空集，且具有性质T 的三元子集；
(3)在
的子集中，最多能选出多少个两两交集为空集，且具有性质T 的三元子集？说明理由.
例9．（25-26 高三下·北京海淀·开学考试）已知集合
.对集合A 中
的任意元素
，定义
，当正整数
时，定义
.（约定
）．
(1)若
，
，求
和
；
(2)若
满足
且
，求
的所有可能结果；
(3)是否存在正整数n 使得对任意
都有
？若存在，求出
n 的所有取值；若不存在，说明理由．
变式3．（25-26 高三下·北京·开学考试）设
为正整数，集合
，对于集合
中的任意两个元素
和
，定义
．若集合
中的元素
组成的序列满足
，则称
为
序列．
(1)若
，求
，并写出一个
使得
；
(2)当
时，是否存在一个
序列
，满足
，
，
？若存在，请写出
；若不存在，请证明；
(3)给定
，若
，
，
为
序列，且序列中元素两两不同，求
的最大值．
题型四：
合问题
多知识点整
例10．（2026·北京·二模）在平面直角坐标系
中，已知集合
，给出下列四个结论：
当
①
时，则
是一条直线；
当
②
时，点
到原点
的距离存在最小值，不存在最大值；
当
③
时，则所有满足
的点
所构成的区域面积为
；
当
④
时，已知集合
，则集合
；
其中所有正确的结论是_______．
例11．（2026·上海徐汇·二模）设
. 定义点
的
相伴集合为
且
，其中为正实数. 给出以下两个命题：
若
①
，则其
相伴集合
所对应平面图形的面积为2；
设
②
，若对任意实数
及任意
，集合
所对应平面图形与抛物线
均无公共点，则
.
则正确的选项是（ ）
A．
是真命题，
是真命题
①
②
B．
是假命题，
是假命题
①
②
C．
是真命题，
是假命题
①
②
D．
是假命题，
是真命题
①
②
例12．（25-26 高三下·北京·阶段检测）对于函数
，定义集合
，函数
在
上单调递增是“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
变式4．（2026·上海黄浦·二模）在空间直角坐标系
中，将点集
所表示的
立方体的表面满足
的部分记为S，同时满足“
与
”
“
或
的点
”
P 的集合所表示几何体的体积为______．
变式5．（25-26 高三下·江苏泰州·开学考试）已知无穷等比数列
的公比为
，设集合
，其中
为正整数．若
，且对于任意
，集合
是闭区间，则
的取值范围为________．
1．（24-25 高三上·陕西·期中）已知集合
，记
，则（ ）
A．
中有
个元素
B．
中的最大元素为2046
C．当
为偶数时，
中有
个元素
D．当
为奇数时，
中的元素之和为
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知集合
，
，设
整除
或
整除
，令
表示集合
所含元素的个数，则
________．
3．（25-26 高三下·江苏泰州·阶段检测）对于n 元由0，1 组成的有序数组，定义距离1 为两个数组对应位
置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2 为满足M 中每个数与N 中数的差值的绝
对值的最小值、N 中每个数与M 中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数. 若有两组
0，1 数组，另一组中间数组与二者的距离1 均为2，则两组原数组的距离1 的最大值为_________；若整数
集合A，B 的距离2 为3，B，C 的距离2 为2，则A，C 的距离2 的所有可能取值为_________．
4．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合
共有
个三元子集.任意一个三元子集
，定义
.则
__________.
5．（2026·天津滨海新区·模拟预测）若非空数集
满足：
，都存在
（其中
），使
得
，则称集合
是的理想集．记集合
“
”
，若集合
是的理想集，则
“
”
实数的取值范围为___________
6．（25-26 高三下·上海·阶段检测）已知集合
，且
，定义这个集合的复合乘
“
幂和：
”
，其中
，设
表示集合
的所有非空子集的复合乘幂和的总和
“
”
，
则
______．
7．（25-26 高三下·上海浦东新·期中）已知集合M 的元素均为正整数，定义集合M 的变项和为：将
“
”
M 中
每个元素m 都乘以
后再求和．若集合
，则集合A 的所有非空子集的变项和
“
”
的总和为______．
8．（2026·北京延庆·一模）若非空实数集X 中存在最大元素M 和最小元素m，记
．
已知
①
，
，且
，则
；
已知
②
，
，则存在实数a，使得
；
已知
③
，若
，则对任意
，都有
；
已知
④
是等比数列
的前n 项和，
，则存在等比数列
，使得
．
其中所有不正确的命题是______．
9．（2026·山东德州·模拟预测）已知
，
，
为集合
的非空子集，满足：
①
，
；
②
，
中元素均为奇数，
中元素均为偶数；
③
，
，
中所有元素的和分别记为
，
，
，且
．则正整数
的最小值为________．
10．（2026·陕西·模拟预测）已知集合
，
，集合
，
将集合
中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为
，
是数列
的前
项和，则
______.
11．（2026·北京东城·二模）已知集合A = {1,2,⋅⋅⋅,n}(n≥2)，
.将M 中的
个不
同元素排成一列，得到序列：(x1, y1),(x2, y2),⋅⋅⋅,(xn
2, yn
2)，其中
称为该序列的第项
(i =1,2,⋅⋅⋅,n
2)，若该序列的相邻项满足|xi+1- xi|+|yi+1- yi|=1(i=1,2,⋅⋅⋅,n
2-1)，则称该序列为
序列.若
序列中的项(xi, yi)(i∈{2,3,⋅⋅⋅,n
2-1})满足xi-1= xi= xi+1或yi-1= yi= yi+1，则称该项
具有性质
.
(1)已知
，
，
，
为
序列，写出x，y，z，w 的值；
(2)求证：
序列中存在具有性质
的项；
(3)求证：Γ 11序列中具有性质
的项的个数不少于10.
12．（25-26 高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列
：
，对任意的
，记
，令集合
，
；记集合
．
(1)若
：1，
，
，直接写出
和
；
(2)若
，且满足
，求集合
的元素个数的最小可能值；
(3)若
，证明：集合
中至少含有46 个元素．
13．（2026·北京房山·二模）由
个实数组成的有序数组
称为
维向量．
维向量
，
，当且仅当xi= yi
时，
．对任意
，定义：
；
．设集合
为偶数．令集合
存在
，使
得
，
．
(1)写出集合
的所有元素；
(2)判断
与
是否属于集合
，并说明理由；
(3)若
，求证：“
的充要条件为
”
“
为偶数，且
b1+b8=b2+b7=b3+b6=b4+b5 ．
”
14．（25-26 高二下·北京·期中）已知
是一个
行
列的数表，其中
且
，且对任意
，都有
. 对于
且
，定义
，
表示有限集合
的元素个数.
(1)若
，写出
的值；
(2)当
时，若
恒成立，求证：k ≥m
3 ；
(3)对给定的
，设
的最大值为
，求
的最大值和最小值.
15．（2026·北京海淀·一模）对于正整数m，n（
，
），集合
.给定集合M 的一个子集A，对于M 中的元素
，若存在
且
，
，使得集合
与A 的交集所含元素个数为0 或4，则称
为A 的一个同形点
“
”.
(1)当
时，写出集合
的所有同形点；
“
”
(2)当A 只有一个元素时，求其同形点的个数；
“
”
(3)若M 的任意子集都有同形点，求
“
”
的最小值.
16．（25-26 高三下·上海浦东新·期中）对于定义在区间
上的函数
，定义集合
．对任意闭区间
，设函数
在区间
上的最大值
为
，最小值为
，记
．
(1)若
，判断函数
是否属于集合
，并求
的值；
(2)若
，且
，求函数
的解析式；
(3)若
，令
．证明：
是单调函数的充要条件是：对任意
，
恒成立．
17．（2026·山东济南·二模）给定正整数n，数集
满足对于任意
，都存在
，使得
．
(1)若
，
，且
，求
；
(2)证明：对于任意
，都有
；
(3)若
，
，且
，求数集
中所有元素的和．（用含有
的式子表示）
18．（25-26 高三下·河北·开学考试）已知
，
，
，其中
，
．
(1)设
，证明：
．
(2)求
中所有元素之和．
19．（2026·北京石景山·一模）已知集合
，其中
，若对于任意
的
，总有
，则称集合
具有性质
．由
中的元素构成两个相应的集合：
其中
是有序数对．集合
和
中的元素
个数分别为
和
．
(1)检验集合
与
是否具有性质
，并对其中具有性质
的集合，写出相应的集合
和
；
(2)对任何具有性质
的集合
，证明：
；
(3)判断
和
的大小关系，并证明你的结论．
20．（2026·河北石家庄·一模）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)记函数
的极小值点为
，若
满足
，设集合
，
，其中
表示不大于
的最大整数.
（i）求
和
的表达式，并判断1，2，3，4，5，6 与集合
的关系（参考数据：
）；
（ii）定义：若集合
满足：
，且
，则称集合
是正整数集的一个互补覆盖，
“
”
求证：集合
是正整数集的一个互补覆盖
“
”.
21．（2026·北京密云·一模）已知集合
.对于
，定义
与
的差为
，
；定义
与
之间的距离为
.
(1)若
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)证明：
三个数中至少有一个是偶数.
