文档文本内容
微专题拓展04 导函数与原函数的构造模型
目录
01 解题方法总结..............................................................................................................................2
02 重难点题型梳理......................................................................................................................... 3
题型一：双函数构造............................................................................................................................3
题型二：幂函数型构造........................................................................................................................5
题型三：指数型构造............................................................................................................................8
题型四：正余弦型构造......................................................................................................................10
题型五：正切型构造..........................................................................................................................15
题型六：对数型构造..........................................................................................................................17
题型七：不可还原原函数..................................................................................................................19
题型八：可还原原函数......................................................................................................................22
题型九：复杂构造题型......................................................................................................................25
题型十：抽象函数构造......................................................................................................................28
03 课后拓展精练............................................................................................................................32
1、对于
，构造
，
2、对于
，构造
3、对于
，构造
，
4、对于
，构造
5、对于
，构造
，
6、对于
，构造
7、对于
，构造
，
8、对于
，构造
9、对于
，构造
，
10、对于
，构造
11、对于
，构造
，
12、对于
，构造
13、对于
，构造
14、对于
，构造
15、
；
；
；
16、
；
．
题型一：双函数构造
【例题1】奇函数
和偶函数
的定义域均为
，当
时，
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
,
则
，
所以
为奇函数，故
.
因为当
时，
，
所以当
时，
，
故
在
上单调递增.
因为
为奇函数，所以
在
上也单调递增.
又
，
所以当
时
，
当
时
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A.
【例题2】设函数
，
在
上的导函数分别为
，
，且
，
，
则当
时，下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题可知
，
的正负无法判断，所以
与0 的关系无法判断，故AD 错误；
设
，
，所以
在
单调递增，
因为
，所以
，所以当
时，
，
即
，B 错误，C 正确．
故选：C
【变式1】设函数
，
在
上的导函数存在，且
，则当
时（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对于AB，不妨设
，
，则
，
，满足题意，
若
，则
，故A 错误，
若
，则
，故B 错误；
对于CD，因为
，
在
上的导函数存在，且
，
令
，则
，
所以
在
上单调递减，
因为
，即
，所以
，
由
得
，则
，故C 正确；
由
得
，则
，故D 错误.
故选：C.
【变式2】对于定义在
上的两个函数
，若
是奇函数，
是偶函数，且
当
时，
，则
时，下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】已知函数
是奇函数，函数
是偶函数，
则
为偶函数，
为奇函数，
又当
时，
，则当
时，
，
对于A 选项，
与
的大小关系无法确定，故A 错误；
对于B 选项，
，故B 正确；
对于C 选项，
，故C 错误；
对于D 选项，
与
的大小关系无法确定，故D 错误．
故选：B．
【变式3】设
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，当
时，
且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，又
分别是定义在
上的奇函数和偶函数，
所以
，即
为奇函数，
当
，有
，所以
在
上单调递减，
由奇函数的性质，
在
上单调递减，且
，
由
，则
，即
，
综上，
上
，
上
，
所以不等式
的解集是
.
故选：A
题型二：幂函数型构造
【例题3】已知定义在
上的函数
，满足
，其中
是
的导函数，若
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
，则
，
可知当
时，
是增函数.
又
，所以
，
在
上，不等式
的解集就是
的解集，
也即
的解集
.
【例题4】函数
是定义在
上的偶函数，其导函数为
，且当
时，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
，
因为
，可知函数
为的偶函数，
又因为
，
当
时，
，
若
，则
，即
；
若
，则
，
，可得
，
可知
在
内单调递减，则
在
内单调递增.
对于不等式
，
当
，即
时，可得
，符合题意；
当
，即
时，可得
，
即
，可得
，解得
，且
；
综上所述：不等式解集为
.
【变式4】已知函数
和
的定义域均为
，
为偶函数，且对任意
，
都有
恒成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，求导得
，因
，
则当
时，
，则
，故
在
上单调递增；
当
时，
，则
，故
在
上单调递减.
又
为偶函数，
，则
，即函数
是偶函数，
又
，则
，
则
（*），
由
可得
，则
，
将（*）两边同除以
，可得
，即
，
由
是偶函数可得
，又因函数
在
上单调递增，
可得
且
，解得
.
【变式5】已知
是定义在R 上的偶函数，其导函数为
，且当
时，
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
；
又因为当
时，
，所以
；
因此可得
在
上单调递减，
又函数
是定义在
上的偶函数，所以
，
因此
也是定义在
上的偶函数，且在
上单调递增；
则不等式
可化为
,
因此
，可得
，
解得
或
.
即不等式
的解集为
.
【变式6】已知函数
是定义在
上的奇函数，
是
的导函数. 当
时，有
恒成立，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，求导得
，
已知
时，
，且
，因此
时
，
即
在
上单调递增.
又
是奇函数，因此
，
故
是偶函数，且
在
上单调递减.
由
得
，故
.
对原不等式
分两种情况讨论：
当
时，不等式两边同乘
，得
，
两边同除以
，得
，
因为
在
上单调递增，故
；
当
时，不等式两边同乘
，得
，
两边同除以
，得
，
因为
在
递减，故
.
综上，不等式的解集为
.
题型三：指数型构造
【例题5】（2026·重庆渝中·模拟预测）设定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设函数
，由于
，
得
，则
在
上单调递增，
，
则
，即
，
于是
，解得
．
【例题6】定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对任意
，
，所以不等式
的解集等价于不等式
的解集，
令
，由
，所以
，
所以不等式
的解集等价于不等式
的解集，
又对任意
，
，
所以
，
所以函数
在
上单调递增，由
，则有
，
所以不等式的解集为：
.
【变式7】已知函数
的导函数为
，若对任意的
，都有
，且
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数
，可得
，
因为
，可得
，所以
在
单调递减，
又因为
，可得
，
则不等式
，即
，可得
，
即
，所以
，即不等式
的解集为
.
【变式8】定义在
上的函数
的导函数为
，若对任意实数
，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，
则
，
因为
，所以
，所以
为定义在
上的减函数，
因为
为奇函数，
所以
，
，
，
，
即
，即
，
故
．
故选：C.
题型四：正余弦型构造
【例题7】已知奇函数
的定义域为
，其图象是一段连续不断的曲线，当
时，有
成立，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
当
时，有
成立，
此时
所以
在
上单调递增.
又
为奇函数，则
，则
为奇函数，
又
则
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增.
当
，恒有
可化为
，
即
，
由
在
上单调递增，
所以
，
故不等式
的解集为
.
【例题8】已知
为定义在
上的奇函数，
为其导函数，当
时，
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，因为
为定义在
上的奇函数，
则
， 所以
为定义在
上的偶函数.
当
时，
，
，由已知
，
所以
，
则
在
上单调递减，则对于不等式
，
当
时，
，不等式可化为
，即
，
又
在
上单调递减，解得
；
当
时，
，不等式可化为
，即
，
由
为偶函数，则
在
上单调递增，解得
，
所以不等式
的解集为
．
【变式9】已知函数
的定义域为
，其导函数
满足
，则关于x 的不等
式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，
，
因为
，
则
，
所以
在
上单调递增.
因为
，所以关于
的不等式
，
可化为
，即
因为
在
上单调递增，所以由
可得
，
由定义域知
，解得
.
即不等式
的解集为
【变式10】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知
为偶函数，
为
的导函数，当
时，
满足
，则当
时，不等式
的解集是___________．
【答案】
【解析】令函数
，则
，
所以函数
在
上单调递减，
又因为函数
为偶函数，
也是偶函数，所以函数
为偶函数，
根据偶函数的性质得函数
在
上单调递增.
而
，
，因为
，
所以
，
，
所以不等式等价于
或
，
因为函数
为偶函数，
所以不等式等价于
①或
②，
先解不等式组①，由
及函数
在
上单调递增.
所以
，得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
再解不等式
，所以
或
，
在
上
，则
，在
上
，则
；
同理在
上
，则
；在
上
，则
.
所以不等式组
在
上的解集为
；
不等式组
在
上的解集为
.
不等式
在
上的解集为
③.
所以不等式组①的解集为
.
再解不等式组②，由
及函数
在
上单调递增.
所以
，得
，解得
，
由③可得不等式
在
上的解集为
.
所以不等式组②的解集为
.
综合不等式组①②解集可得原不等式的解集为：
.
故原不等式的解集为
.
题型五：正切型构造
【例题9】定义在
上的函数
的导函数为
，都有
，下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
.
由
，得
，
则
，即
，
设
，则
，
可得
，则
在定义域
上单调递减，
对于A，可得
，则
，
得到
，即
，故A 错误，
对于B，可得
，则
，
得到
，即
，故B 错误，
对于C，可得
，则
，
而由两角和的正弦公式得
，
得到
，故C 正确，
对于D，可得
，则
，
而由两角和的正弦公式得
，
得到
，故D 错误.
故选：C
【例题10】定义在
上的函数
，
是它的导函数，且恒有
成立．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
，
则不等式
等价为
，
即
，
设
，
，
则
，
即函数
在
上单调递增，
则
，
，
，
，
即
，
，
，
，
则
，故A 正确；
，得不出
，故B 错误．
，故C 错误．
，故D 错误．
故选：A．
【变式11】（2025·高三·天津·周测）已知可导函数
是定义在
上的奇函数．当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
，则
则函数
在
上单调递增，又可导函数
是定义在
上的奇函数
则
是
上的偶函数，且在
单调递减，
由
，可得
，则
，
则
时，不等式
可化为
又由函数
在
上单调递增，且
，
，
则有
，解之得
故选：D
题型六：对数型构造
【例题11】定义在
上的函数
满足
，且
，则不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，
；
令
，则当
时，
；
所以
在
上单调递增；
因为
，
故
等价于
，即
，
因为
，
故
；
故
等价于
；
根据单调性可知
，解得
；
故
的解集为
．
【例题12】某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度
，定义浓度对应的代谢函数
，满足代谢变化
率
，已知原液浓度
时，
．现经过
小时后，发酵液浓度变为
，若要求
，求实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，则
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递增.
.
由
，所以
，
即
，因为
在
上单调递增，
所以
，即
，
所以
的取值范围是
.
【变式12】已知函数
定义域为
，
为其导函数，且满足对
，都有
．若
，则当
时，不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对
，都有
，即
，
构造函数
，其中
，
，
所以函数
在
上为减函数，
由
可得
，
又因为
，则
，
由
可得
，所以
，解得
，
故原不等式的解集为
.
题型七：不可还原原函数
【例题13】函数
满足：
，
，则当
时，
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
令
，则
，且
，
所以
，
令
，则
，
令
，解得：
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
则
，故
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
则当
时，
既无极大值，也无极小值.
故选：D
【例题14】定义在
上的函数
满足
，且
，则
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为
，且
，
所以
，①
令
，则
，
又
，记
，
所以
.
当
时，
，
递减；当
时，
，
递增.
结合①当
时，
，所以
的最小值为0，即
，
因为
，则
，（当且仅当
时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
【变式13】（2026·高三·辽宁大连·阶段检测）函数
满足：
，
．
则
时，
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为
，所以
,
令
，则
，
所以
，
令
，则
，
则当
时，
，当
时，
即函数
在
为增函数，在
为减函数，
所以
，
即
，即函数
在
为减函数，
即
时，
既无极大值，也无极小值，
故选D.
【变式14】设函数
满足：
，
，则
时，
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】
，
令
，则
，
所以
，
令
，则
，
即
，
当
时，
，
单调递增，而
，
所以当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增；
故
有极小值
，无极大值，故选B.
题型八：可还原原函数
【例题15】设函数
是定义在
上的连续函数，且在
处存在导数，若函数
及其导函数
满足
，则函数
A．既有极大值又有极小值
B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值
D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】令
，则
，
因为函数
在
处存在导数，所以
为定值，
，
，
所以
，
令
，当
时，
，
构建函数
，则有
，
所以函数
在
上单调递增，
当
，
，令
，解得
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，
，
所以当
时函数
必有一解，
令这一解为
，
，则当
时
，
当
时
，
综上所述，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递增，
所以
有极小值，无极大值．
【例题16】设函数
是定义在
上的连续函数，且在
处存在导数，若函数
及其导函数
满足
，则函数
A．既有极大值又有极小值
B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值
D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为
，
，
所以
，所以
，
因为函数
是连续函数，所以由
，可得
，
代入
，可得
，
所以
，
当
时，
，
令
，所以
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
所以当
时，
取得极小值即最小值
，
所以
，所以函数
在
上单调递增，
所以
既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【变式15】（多选题）（2026·高三·重庆沙坪坝·阶段检测）已知定义在
上的函数
满足
，
，且实数
对任意
都成立（
，
），
则（ ）
A．
B．
有极小值，无极大值
C．
既有极小值，也有极大值
D．
【答案】ABD
【解析】由题设
，则
，
所以
，故
，其中
为常数，
，
又
，则
，所以
，即
，
所以
，故
，则
，A 对；
由
且
，令
在
上递增，
，
，故
使
，即
，
上
，即
，
递减；
上
，即
，
递增；
所以
有极小值，无极大值，B 对，C 错；
由题设，
上
，即
，
因为
，
所以
，D 对.
故选：ABD
【变式16】已知定义在
上的函数
和函数
满足
，且
，则下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
则
，
，
，
则
，所以
，
即
，
．
构造函数
，
则
，
所以，函数
在
上单调递减，
，即
，
即
，因此，
.
故选：C．
【变式17】设定义在
上的函数
满足
，
，则
（ ）
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为
，故
，
故
，设
，则
，则
，
故
且故
，
设
，则
，
则
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
上为增函数，在
上为减函数，
故
，故
恒成立，故
既无极大值，也无极小值，
故选：D.
题型九：复杂构造题型
【例题17】已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，
，则不等式
的解集是______
【答案】
【解析】记
，则
，
因为
，
所以当
时，
，则
，
在
上单调递增；
当
时，
，则
，
在
上单调递减.
又
，即
，
所以
，
因为
，
所以
，解得
.
所以不等式
的解集是
.
【例题18】已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
即
，
令
，则
，
所以函数
是增函数，
对于A，由
，得
，故A 错误；
对于B，由
，得
，
所以
，故B 错误；
对于C，由
，得
，
所以
，故C 错误；
对于D，由
，得
，
所以
，故D 正确.
故选：D.
【变式18】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数
对任意
，
成立，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，
设
，
所以当
时，函数
单调递增.
A：因为当
时，函数
单调递增，所以
，
所以无法判断
之间的大小关系，故本选项说法不正确；
B：因为当
时，函数
单调递增，所以
，
显然无法判断
之间的大小，所以本选项说法不正确；
C：因为当
时，函数
单调递增，所以
所以本选项说法正确；
D：因为当
时，函数
单调递增，所以
所以本选项说法不正确.
故选：C
【变式19】已知定义在
上的函数
满足
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，
则
，
因为定义在
上的函数
满足
，即
，
所以
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
，
因为
，即
，
所以
，即不等式
的解集为
.
【变式20】定义在
上的函数
的导函数为
，且
恒成
立，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
．
设函数
，则
，
所以
在
上单调递减，从而
，
即
，即
．
题型十：抽象函数构造
【例题19】（2026·山东聊城·二模）函数
定义域为
，且满足
，若
是
偶函数，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，且
是偶函数，
所以
，
所以
，
单调递减，
则不等式
化简为
，
所以
，即
，
所以
或
.
故选：B.
【例题20】函数
是定义在
上的偶函数，其导函数为
，且当
时，
，则
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】定义函数
，则
，
由题意，当
时，
，即
，
当
时，有
，故
，即
在
上单调递增，
由于
是偶函数，则
也是偶函数，因此
在
上单调递减，
由于
，所以
，
代入不等式
，可化简为
，
由
的单调性，得
，解得
或
，
即
的解集为
，故A 正确.
【变式21】已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若函数
是偶函数，函数
也是偶函数，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意知
，两边同时求导
，即
是奇函数，
又
是偶函数，
则
，
可得
，
令
，
可得
，
易知
，当且仅当
时等号成立；
即函数
在
上单调递减，又
是奇函数，可得
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
因为函数
是偶函数，则
，
可知不等式
等价于
，即
，
即
，即可得
，解得
，
则不等式
的解集是
.
【变式22】已知
是定义在
的偶函数，当
时，
，且
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知
时，
，
所以构造函数
，则
，
当
时，
，所以
，
因此
在
上单调递减，
因为
是偶函数，则
，
即
是奇函数，图象关于原点对称，
所以
在
上也是单调递减，
因为
，则
，
由
是奇函数可得：
，
等价于
或
，
当
时，则
，
，
当
时，
，即
，
因为
在
上单调递减且
，所以有
；
当
时，
，即
，
因为
在
上单调递减且
，所以有
，
同时要满足
，所以
；
当
时，
，
，则
，即
，
因为
在
上单调递减且
，
所以当
时，有
，
所以合并得解集：
.
1．已知定义域为
的函数
的导函数为
，且满足
，
，则当
时，
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令函数
，则
.
，所以
是减函数.
因为
，
所以
.
因为
，所以
.
2．已知
的定义域为
，
为
的导函数，且满足
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
， 则
，
因为
，所以
，
所以
在
上单调递减， 又因为
时，
所以不等式
等价于
，
即
，
所以
，解得
，
所以不等式的解集为：
.
3．已知函数
是定义在
上的偶函数，
为
的导函数，且
，且当
时，
，则
解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
故当
时，
，即
在
上单调递减，
由函数
是定义在
上的偶函数，
则
，
故函数
是定义在
上的奇函数，
则
在
上单调递减，
由
，则
，
，
则当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
时，
，则
，
综上可得：
的解集是
.
4．已知
是定义在
上的函数，其导函数是
，且当
时总有
，且
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
，
则当
时，
单调递增，
，即
，又
，
，解得
．
5．已知函数
和
的定义域均为
，
为偶函数，且对任意
，都有
恒成立，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
.
因为对任意
，都有
恒成立，
所以当
时，
；当
时，
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
因为
为偶函数，所以
为偶函数，
由
，得
，
所以不等式
等价于
，
即
，解得
或
.
所以其解集为
．
6．定义在R 上的函数
满足
，且对任意
，
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对任意
，
，
设
，求导得：
，即
为增函数，
，故
，
可化为
，即
，
因
为增函数，所以
，解得
，
则不等式
的解集为
.
7．定义域为R 的可导函数
的导函数为
，满足
，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．(−∞,2)
B．(2,+∞)
C．(−∞,0)
D．(0,+∞)
【答案】D
【解析】设
，则
，
因为
，所以
，所以
是减函数，
又
，
，所以
．
8．定义在
上的函数
，对任意实数
都有
，
．若
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可知,设
，则
所以，函数
最小正周期为3，
由
可得，
设
(C 为常数)，则
，那么
，
在
上单调递增，
，
，
由
可得，
，
即
，又
在
上单调递增
所以，
，故选A.
9．已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据条件
，构造函数
，
求导得：
.
当
时，
，
，故
，
因此
在
上单调递增；
是
上的奇函数，故
，
因此
是
上的奇函数，则
在
上也单调递增.
由
得
，由奇函数性质得
.
当
时，
，
，
故
，结合单调性得
；
当
时，
，
，
故
，结合单调性得
；
当
时，
，不满足
，
所以
的解集为
.
10．设定义在
上的函数
的导函数为
，若
，
，则不等式
（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，则
，
因为
，所以
，
故
在
上单调递减，
因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
故不等式
的解集为
.
11．已知函数
的导函数为
，若对任意的
，都有
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
等价于
，
构造
，
，原不等式即为
，
因为
，则
，
可知
在定义域
内单调递增，且
，
则不等式
的解集为
，
所以不等式
的解集为
.
12．已知定义在
上的函数
，
是
的导函数，满足
且
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数
，
，
求导得：
， 由题
，且
，
因此
，即
在
上单调递减，
又
，因此
，
则不等式
等价于
，
两边同除以
得：
.
因为
在
上单调递减，所以
，解得
，
即解集为
.
13．已知定义在
上的函数
，
是
的导函数，满足
.且
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
，即
令
，
；
则
，
在
上单调递减；
，
；
，
，
，得
，即
；
在
上单调递减，且
，
，解得
；
不等式
的解集为
.
14．已知定义在
上的函数
的导函数为
，若
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令
，则
，
因为
，所以
，即函数
在
上单调递增，
由
可得
，当
时，即
时，必有
，
对于
，等价于
，
故可得
，解得
或
，
即不等式
的解集是
.
15．（2026·青海西宁·二模）已知定义域为
的函数
的导函数为
，且
，则不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，
由
，可得
，又
，所以
，
则
在
上单调递增.
将原不等式两边同时除以
得：
，即
，所以
，
由
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
且
，所以
，
综上，不等式
的解集为
.
16．已知定义在
上的连续函数
为奇函数，
的导函数为
．若对任意
，都有
，且
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令
，因为
是奇函数，即
，
，
是奇函数；
又当
时，
，
在
上单调递增，
在
上单调递增；
是定义在
上的连续函数，所以
在
上单调递增；
又
，
，
对于不等式
，又
，所以
，
所以不等式
等价于
，即
，
所以
，且
，即不等式
解集为
．
17．若函数
满足
，
，则当
时，
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】构建函数
，则
，利用导数考虑
的符号可得
的极小值点.
，
，则
且
，
当
时，
，故
在
上是增函数，
又
，
令
，则
为
上的增函数，
，故
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
在
上有极小值，无极大值，故选B.
18．设函数
满足
则
时，
A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值
D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】
函数
满足
，
，令
，
则
，
由
，得
，令
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，
的最小值为
.
又
在
单调递增，
既无极大值也无极小值，故选D.
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则.
19．已知定义在
上的函数
，
是
的导函数，满足
且
，则不
等式
的解集是________．
【答案】
【解析】令
，
，
故
在
上单调递增，
已知
，则
，
不等式
等价于
，即
，
在
上单调递增，
故
，
解得
或
，解集为
．
20．已知定义域为
的函数
满足
，且
，则不等式
的解集是
________．
【答案】
【解析】设
，则
.
因为
，
所以
，即
在
上单调递减.
又
，
则
，
即不等式
的解集
.
21．（2026·吉林长春·三模）已知函数
及其导数
的定义域都是
，若函数
是偶函数，函数
也是偶函数，则不等式
的解集是__________.
【答案】
【解析】由题意知
，两边同时求导
，即
是奇函数，
又
是偶函数，
则
，
可得
，
令
，
可得
，
易知
，当且仅当
时等号成立；
即函数
在
上单调递减，又
是奇函数，可得
，
当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
因为函数
是偶函数，则
，
可知不等式
等价于
，即
，
即
，即可得
，解得
，
则不等式
的解集是
.
22．已知定义在
上的函数
的导数为
，若对任意的
满足
，且
，则
不等式
的解集是____________．
【答案】
【解析】因为对任意的
满足
，即
，
令
，则
，
所以
在
上是单调递减函数，
因为
，
，
所以
，
所以
，即不等式
的解集是
.
23．设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，
，并且
，
则不等式
的解集为________.
【答案】
【解析】由条件
，构造函数
，定义域为
.
对
求导得：
，
因为
，且已知
，
所以
，即
在
上单调递增.
由
得
，
所以原不等式
可转化为
，
所以
，解得
，
因此不等式
的解集为
.
24．设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，
，并且
，
则不等式
的解集为_________．
【答案】
【解析】函数
是定义在
上的可导函数，且
，
所以令
，所以
，
所以函数
是定义在
上单调递增，且
，
所以
，
所以
，解得
，
所以不等式
的解集为
25．设函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，
，并且
，
则不等式
的解集为________.
【答案】
【解析】构造函数
，其定义域为
，
而
，
由
，且
，得
，
所以
在
上单调递增.
由
，得
，
则不等式
等价于
，
所以
，解得
，
即不等式
的解集为
.
26．若函数
的定义域为
，满足
，
，都有
，则关于x 的不等式
的解集为______．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以构造函数
，则
，
所以
在
上单调递增，因为
，所以
，
所以不等式
，即
，所以
，
因为
在
上单调递增，所以
，所以不等式的解集为：
.
27．已知定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
的解集为
___________．
【答案】
【解析】设
，
，则其导数
，
而当
时
，所以
，即
在
上为减函数，
又由
，
为定义在
上的奇函数，则
，
则
，
所以
在区间
上，
，在区间
上，
，
则在区间
上，
，在区间
上，
，
又由
是定义在
上的奇函数，则
，
且在区间
上，
，在区间
上，
，
综合可得：不等式
的解集为
．
