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第 1 讲 函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题
【方法技巧与总结】
1、不动点与稳定点
【一阶不动点】对于函数 ，定义域为 ，如果存在 ，使得 ，则称 是函数
的一阶不动点，简称不动点．
①不动点是方程 的解
②不动点是 与 图像交点的横坐标
【二阶周期点】对于函数 ，定义域为 ，如果存在 ，使得 且 ，则
称 为函数 的二阶周期点
①二阶周期点是方程组 的解
②二阶周期点是 图像上关于 对称（不在 上）的两点的横坐标
【二阶不动点】对于函数 ，定义域为 ，如果存在 ，使得 则称 为函数
的二阶不动点，简称稳定点
①稳定点是不动点和二阶周期点的并集
②稳定点是 图像上关于 对称的两点的横坐标以及 与 的交点的横坐标
2、两函数的对称问题转化为函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）问题，常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，利用数形结合的方法求解
【典型例题】
例1．（2024·山东青岛·高三统考开学考试）将函数 的图象绕点 逆时针旋
转 ，得到曲线 ，对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图象，则 最大时的正切值为
（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数 ，将函数 的图象绕原点
逆时针旋转 角后得到曲线 ，若曲线 仍是某个函数的图象，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
例3．（2024·江西·校联考模拟预测）已知函数 与函数 的图像上恰有两对关于x
轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数 与函数
的图像上恰有两对关于 轴对称的点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·全国·高三专题练习）对于连续函数 ，若 ，则称 为 的不动点．设
，若 有唯一不动点，且 ， ，则 ．
例6．（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得
，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 为该函数的一个不动点，现新定义：若 满足
，则称 为 的次不动点，有下面四个结论
①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点
②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点
③当 时，函数 在 上仅有一个不动点和一个次不动点．
④不存在正整数m，使得函数 在区间 上存在不动点，其中，正确结论的序号为
．
例7．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数 ，如果存在点
，使得 ，那么我们称函数 为“不动点”函数，而称 为该函数的不动点．类比给出新定
义：若不动点 满足 ，则称 为 的双重不动点．则下列函数中，① ；②
；③ 具有双重不动点的函数为 ．（将你认为正确的函数的
代号填在横线上）【过关测试】
一、单选题
1．（2024·安徽池州·高三统考期末）设 是含数1的有限实数集， 是定义在 上的函数，若 的图
象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中 的取值只可能是
A． B．1 C． D．0
2．（2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）设 是含数3的有限实数集， 是定义在 上的函
数，若 的图象绕原点逆时针旋转 后与原图象重合，则在以下各项中， 的可能取值只能是
（ ）
A． B．3 C．-3 D．0
3．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，
以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展
示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：
如图②，平面上有两定点 ，两动点 ，且 绕点 逆时针旋转到 所形成的角记为
，设函数 ，其中 令 ，作
，随着 的变化，就得到了点 的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点 的轨迹（考
虑蝴蝶的朝向）最有可能为（ ）A． B．
C． D．
4．（2024·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知函数 与函数 的图像上
恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·贵州六盘水·高三校考期末）已知函数 是自然对数的底数 与
的图象上存在关于 轴对称的点，则实数a的取值范围是( )
A． B．C． D．
6．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）若函数 ，（ ， 为自然对数的底
数）与 的图象上存在两组关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是
A． B． 4
x
p
C． D．
7．（2024·湖北·校联考二模）已知函数 （ 为自然对数的底数）与 的图
象上存在两组关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．（2024·全国·高三专题练习）函数 定义在 上，已知 的图象绕原点旋转 后不变，
则关于方程 的根，下列说法正确的是（ ）
A．没有实根 B．有且仅有一个实根
C．有两个实根 D．有两个以上的实根
9．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 与函数 的图象
上至少存在一对关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·青海海南·高三校联考期末）已知函数 与函数 的图象上存在
关于 轴对称的点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 与 的图象上存在关于 轴对
称的点，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
12．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家
鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个实数 ，使得 ，
那么我们称该函数为“不动点”函数， 为函数的不动点.设函数 ， .若
在区间 上存在不动点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使得 ，则称
为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在
上均存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·河南开封·统考一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数
，存在点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数 为
“不动点”函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2024·全国·高三专题练习）对于函数 ，若 ，则称x为 的“不动点”，若
，则称x为 的“稳定点”，记 ， ，则下列说法错误的
是（ ）
A．对于函数 ，有 成立
B．若 是二次函数，且A是空集，则B为空集
C．对于函数 ，有 成立
D．对于函数 ，存在 ，使得 成立
16．（2024·全国·高三专题练习）对于函数 ，若 ，则称 为函数 的“不动点”；若
，则称 为函数 的“稳定点”．如果函数 的“稳定点”恰是它的
“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．17．（2024·全国·高三专题练习）若存在一个实数 ，使得 成立，则称 为函数 的一个不动点.
设函数 为自然对数的底数 ，定义在R上的连续函数 满足
，且当 时， 若存在 ，且 为函数 的
一个不动点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
18．（2024·安徽六安·高三六安一中校考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要
的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，
存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 为该函数的一个不动点，
依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）
A．函数 有3个不动点
B．函数 至多有两个不动点
C．若函数 没有不动点，则方程 无实根
D．设函数 ( ，e为自然对数的底数)，若曲线 上存在点 使
成立，则a的取值范围是
19．（2024·全国·高三专题练习）将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ，
得到曲线 ，若曲线 仍然是一个函数的图像，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·新疆克孜勒苏·高三统考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成
一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满
足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下
列函数是“不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024·广东珠海·高三校考期末）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得
名于荷兰数学家布鲁伊·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个定点 ，
使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称 为该函数的不动点，则下列说法中正确的
有（ ）A．函数 是“不动点”函数
B．函数 的不动点为 和3
C．函数 的导函数是“不动点”函数
D．函数 的导函数不是“不动点”函数
22．（2024·全国·高三专题练习）（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成
一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满
足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下
列函数是“不动点”函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
23．（2024·全国·高三专题练习）设函数 ．
（1）该函数的最小值为 ；
（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角 得到曲线 ．若对于每一个旋转角 ，曲线
都是一个函数的图象，则 的取值范围是 ．
24．（2024·浙江温州·统考一模）将函数 的图像绕原点顺时针方向旋转角
得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图像，则
的取值范围是 .
25．（2024·四川攀枝花·高一统考期末）已知函数 与 的图象上存在关于
轴对称的点，则实数 的取值范围是 ．
26．（2024·全国·高三专题练习）曲线 绕坐标原点逆时针旋转 后得到的曲线的方程为 ．
27．（2024·宁夏银川·高三校考阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学（一个数学分支）里
一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数 ，存在一个点 ，使
得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的有 （填写序
号）
①
②③
④
