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第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
题型一：直线与圆的位置关系
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
角度2：切线问题
题型三：圆与圆的位置关系
角度1：圆与圆的位置关系
角度2：圆与圆的公共弦问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象 C l C C
l
l
直线与圆的 相交 相切 相离
位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
几何法（优先推荐）
图象
C l
d
r位置关 相交 相切 相离
系
判定方
法
； ； ；
。 。 。
圆心 到直线 的距 圆心 到直线 的距 圆心 到直线 的距
离： 。 离： 。 离： 。
圆与直线相交。 圆与直线相切。 圆与直线相离。
代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
① 直线 与圆 相交
② 直线 与圆 相切
③ 直线 与圆 相离
知识点二：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 外
C C 离 C C 切
1 2 1 2
相 内
交 切
C C C C
1 2 1 2内
含
C
C
2
1
2、圆与圆的位置关系的判定
几何法
设 的半径为 ， 的半径为 ，两圆的圆心距为 .
①当 时，两圆相交；
r
C 2 C
1
2
r
1
②当 时，两圆外切；
C C
1 r r 2
1 2
③当 时，两圆外离；
C C
1 2
r r
1 2
④当 时，两圆内切；
r
C
2
C
2
1
r
1
⑤当 时，两圆内含.C r
C 2 2
1
r
1
代数法
设 :
:
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次方程 ，求出其
① 与设设 相交
② 与设设 相切（内切或外切）
③ 与设设 相离（内含或外离）
知识点三：直线与圆相交
记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
弦长公式：
知识点四：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设 :
:
联立作差得到： 即为两圆共线方程
知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
第二部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：直线与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·山东·微山县第二中学高二期中）若直线 ： 与曲线 ：
有两个交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵直线l： 恒过定点
曲线C： 即：
∴曲线C表示：以（1，1）为圆心，1为半径的 的那部分圆.
∵直线l与曲线C有两个交点，
∴如图所示，
当过点M的直线与图中这部分圆相切时有1个交点，
此时 解得：
当过点M的直线也过点 时有2个交点，
此时∴
故选：B.
例题2．（2022·安徽省舒城晓天中学高二期中）不论 为何实数，直线 与
圆 恒有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，得 ，
则 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，解得 ，
所以直线 恒过定点 ，
因为直线 与圆 恒有公共点，
所以点 在圆内或圆上，
所以 ，即 ，解得 ，
综上， ，
故选：C.
例题3（2022·山西·平遥县第二中学校高二阶段练习）已知圆 ，直线
，则直线 与圆 的位置关系（ ）.
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【答案】A
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
所以直线和圆相切.
故选：A
例题4．（2022·全国·高二课时练习）直线 与圆 的位置关系是______．（相交、
相切、相离）
【答案】相切
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，所以直线和圆相切.
故答案为：相切
例题5．（2022·全国·高二课时练习）直线 与圆 的位置关系为
（ ）
A．相切 B．相交
C．相离 D．由 的取值确定
【答案】A
【详解】因为圆心 到直线的距离 ，即为圆的半径，所以可知直线与圆相切.
故选：A．
同类题型归类练
1．（2022·辽宁·高二期中）圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【详解】圆 的圆心为 ，半径为1，
所以圆心到直线 的距离 ，
所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
2．（2022·江苏徐州·高二期中）设 ， 为实数，若直线 与圆 相交，则点 与圆
的位置关系是（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定
【答案】B
【详解】根据题意 ，即 ，故点 在圆 外.
故选：B.
3．（2022·北京·北科大附中高二期中）直线 与圆 的位置关系是( )
A．相交但直线不过圆心 B．相切
C．相离 D．相交且直线过圆心
【答案】A
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为 ，半径 ，直线为 ，
∴ 到直线 的距离 ，∴圆与直线的位置关系为相交，
又 圆心 不在直线 上，
故选：A．
4．（2022·北京市昌平区前锋学校高二期中）直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
则直线与圆相切，
故选：B.
5．（2022·福建南平·高二期中）直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
【答案】D
【详解】圆心坐标为 ，半径 ，圆心到直线 的距离
，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．
故选:D
题型二：圆的切线与弦长问题
角度1：弦长问题
典型例题
例题1．（2022·福建龙岩·高二期中）已知直线 关于直线 对称的直线 被圆
截得的弦长为 ，则实数 的值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】B
【详解】因为直线 与直线 的交点为 ,所以直线 经过点 ,
取直线 上一点 关于 对称的点为 在直线 上,
所以 ,所以 的直线方程为 ,
圆心 到直线 的距离为 ,圆的半径 ,所以 ,
解得 ,
故选:B.
例题2．（2022·云南省玉溪第一中学高二期中）已知圆 ，直线 经过点 ，则
直线 被圆 截得的最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由圆 的方程知圆心 ，半径为 ，
当圆被直线截得的弦最短时，圆心 与 的连线垂直于弦，
弦心距为： ，
所以最短弦长为： .
故选：C.
例题3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（文））直线 与圆 相交
于 ， 两点，且 ．若 ，则直线 的斜率为________．
【答案】
【详解】设直线 的方程为 ，即 ，圆心到直线 的距离为 ，
圆的半径 ，
因为 ，所以 ，
由 解得 ，
故答案为: .
例题4．（2022·四川·泸州市龙马高中高二期中（理））已知圆 经过坐标原点 和点 ，且圆心
在 轴上
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 ： 与圆 相交于 、 两点，求所得弦长 的值．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为 ；（2）由（1）可知：圆C半径为 ，设圆心（2，0）到l的距离为d，则 ，由垂径定理
得： ．
例题5．（2022·浙江温州·高二期中）在平面内， ， ， 为动点，若 ，
(1)求点 的轨迹方程；
(2)已知直线 过点 ，求曲线 截直线 所得的弦长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ， ， ，
，
得 .
（2） ，点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直
时，截得弦长CD最短，即， .
故最短弦长为 .
同类题型归类练
1．（2022·江苏·赣榆智贤中学高二阶段练习）已知圆的方程为 ，过点 的该圆的所有弦
中，最短弦的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】 整理为 ，故圆心为 ，半径为 ，
设 ，故当 与圆的弦垂直时，弦最短，
其中 ，
由垂径定理得： .
故选：B2．（2022·陕西·铜川市耀州中学模拟预测（文））若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所
在直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意，由圆心 且 ，而 ，
∴ ，直线 过 ，则 所在直线方程为 ，
∴整理得： .
故选：D.
3．（2022·山西吕梁·高二期中）在平面直角坐标系 中，圆 被直线 截得的弦长
2，则实数 的值为___________.
【答案】
【详解】因为 ，所以圆心 到直线的距离 ，所以 ，解得 .
故答案为：
4．（2022·江苏·高二专题练习）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
①过（－1，2）；②与直线 平行；③与直线 垂直．
问题：已知直线 过点M（3，5），且______．
(1)求 的方程；
(2)若 与圆 相交于点A、B，求弦AB的长．
【答案】(1)
(2)
（1）
选条件①：
∵直线 过点(3，5)及(－1，2)，
∴直线 的斜率为 ，
依题意，直线 的方程为 ，
即 ；
选条件②：
∵直线 的斜率为 ，直线 与直线 平行，∴直线 的斜率为 ，
依题意，直线 的方程为 ；
即 ；
选条件③：
∵直线 的斜率为 ，
直线 与直线 垂直，
∴直线 的斜率为 ，
依题意，直线 的方程为 ，
即 ；
（2）
圆心为(2，3)，半径为2，
圆心到直线 的距离为
∴ ．
5．（2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二阶段练习）圆 的圆心坐标为 ，且过点
（1）求圆 的方程；
（2）判断直线 与圆 的位置关系，说明理由.如果相交，则求弦长．
【答案】（1） ；（2）直线与圆 相交； .
【详解】（1）圆 的半径 ．故圆 的方程为 ．
（2）圆心 到直线 的距离 ，即 ，直线与圆 相交，可
知弦长为 ．
角度2：切线问题
典型例题
例题1．（2022·天津蓟州·高二期中）若过点 ，且与圆 相切的直线方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或【答案】D
【详解】圆 的圆心是 ，半径是 ，
把点 的坐标代入圆的方程 可知点P在圆 外，
当直线斜率不存在时，
直线为 ，不满足题意；
当直线斜率存在时，
设直线为 ，即 ，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即
，
解得 或 ，
切线为 或 ，
故选：D.
例题2．（2022·北京通州·高二期中）已知圆 与直线 相切，则（ ）
A． B．
C． ，或 D． ，或
【答案】A
【详解】将 化为标准形式为 ，所以圆心 ，半径 ，因为
与直线 相切， 当 时， 不合题意； 当 时，由
得， .
故选：A
例题3．（2022·上海市建平中学高二期中）已知圆 ，则过点 的圆的切线方程为
______.
【答案】
【详解】点 在圆 上,圆心为 ，
，所以切线的斜率 ，
则过点 的圆的切线方程为 ,
即 .故答案为： .
例题4．（2022·江苏·高二期中）已知圆 和圆 相
交于 两点．
⑴求直线 的方程，并求出 ；
⑵在直线 上取点 ，过 作圆 的切线 （ 为切点），使得 ，求点 的坐标．
【答案】（1） ， ；（2） 或 .
【详解】两圆方程相减得 即 ,此即为直线AB 的方程,由题意知:圆
圆心到直线的距离是 , .
(2)设 ,整理得 ,解得
从而
例题5．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高二阶段练习）已知两个定点 ， ，动点 满足
．
(1)求动点 的轨迹方程 ；
(2)若过点 作曲线 的切线，记其中的一个切点为 ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题，设点 的坐标为 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
整理得 ，
所以所求曲线 的轨迹方程为 ；
（2）由（1）知 ，圆心 ，半径 ，
点 ，则 ，
则切线 ．
同类题型归类练
1．（2022·江苏·扬州大学附属中学高二阶段练习）从圆 外一点 向圆引切线，则此
切线的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B【详解】
设切点为 ，圆心为 ，连接 ，则 ，
而 ，
故选：B .
2．（2022·全国·高二课时练习）直线 上一点向圆 引切线长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离为 .
所以切线长的最小值为 .
故选：B
3．（2022·全国·高二课时练习）若直线 与圆 相切，则 的值是（ ）
A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12
【答案】C
【详解】解：由题得圆的圆心坐标为 半径为1，
所以 或 .
故选：C
4．（2022·全国·高二课时练习）过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【详解】若切线的斜率不存在，则过 的直线为 ，
此时圆心 到此直线的距离为2即为圆的半径，故直线 为圆的切线.
若切线的斜率存在，设切线方程为： 即 ，故 ，解得 ，
故此时切线方程为： .
故选：B.
5．（2022·江苏·马坝高中高二期中）已知圆 经过 和 两点，且圆心在直线 上．
(1)求圆 的方程；
(2)从点 向圆C作切线，求切线方程．
【答案】(1)
(2) 或
【详解】（1）由题可知 ,所以线段 的中垂线的斜率等于1，
又因为 的中点为 ，
所以线段 的中垂线的直线方程为 ，
即 ，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于 ,所以圆 的方程为 .
（2）设圆 的半径为 ，则 ，
若直线的斜率不存在，因为直线过点 ，
所以直线方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离 ，
解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
所以切线方程为 或 .
题型三：圆与圆的位置关系角度1：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（2022·江苏·马坝高中高二期中）圆 与圆 的位置关系
为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【答案】A
【详解】圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径 ，
则 ，有 ，
所以圆 与圆 相交.
故选：A
例题2．（2022·北京教育学院附属中学高二期中）已知圆 ： 与圆 ：
，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．外切
【答案】B
【详解】由题意知，两圆心之间的距离 ，圆 与圆 的半径之和为 ，
， 两圆相离.
故选：B
例题3．（2022·上海市建平中学高二期中）若圆 和圆 外切，
则 ______.
【答案】4
【详解】圆 圆心为 ，半径为1，
圆 圆心为 ，
所以圆心距 ，
因为两圆外切，所以 ,所以 .
故答案为：4.
例题4．（2022·北京八中高二期中）若单位圆 与圆 相切，则实数
___________．
【答案】 或
【详解】若两圆外切，则圆心距 等于两圆半径之和 ，即 ；
若两圆内切，则圆心距 等于两圆半径之差的绝对值 ，即 ；
故 或 .故答案为： 或 .
例题5．（2022·全国·高二课时练习）以 为圆心，以 为半径的圆 与圆 ： 内
含，则 的取值范围为______．
【答案】
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，所以圆心距 ，因为两圆内含
，所以 ，所以 或 ．所以r的取值范围为 ．
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·北京市昌平区第二中学高二期中）圆 与圆 的位置关系为
（ ）
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【详解】解:由题知 可化为,
,所以圆心为 ,半径为2,
,圆心为 ,半径为4,
所以圆心之间的距离为 ,
因为圆心距大于半径差的绝对值,小于半径和,
所以两圆相交.
故选:C
2．（2022·辽宁沈阳·高二期中）已知圆 ，圆 ，则圆 与圆
的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】A
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 .圆 的圆心为 ，半径为2，所以两圆圆心之间的距离为
，半径和为 .因为 ，所以两个圆相离.
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ： 与圆C ： ，若
1 2
圆C 与圆C 有且仅有一个公共点，则实数a的值为___________.
1 2
【答案】6或
【详解】C ： 的圆心为 ，半径为 ，圆C ： 的圆
1 2心为 ，半径为 ，由于两圆只有一个公共点，则两圆外切或者内切，因此
或 ，解得 或 ，
故答案为：6或
4．（2022·全国·高二专题练习）圆 与圆 的位置关系为
___________.
【答案】相交
【详解】 的圆心为 ，半径 ，
的圆心为 ，
所以圆心距 ，
可得 ，
所以 和 相交.
故答案为：相交
5．（2022·全国·高三专题练习）若圆 与圆 内切，则 _________.
【答案】1或121
【详解】圆 的半径 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 .
因为两圆内切，且圆心距离 ，
所以 或 ，解得 或 .
故答案为：1或121
角度2：圆与圆的公共弦问题
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高二期中）圆 ： 与圆 ： 的公共弦所在
的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为x2+y2-2x=0，x2+y2+4y=0，所以(x2+y2-2x)-(x2+y2+4y)=0，所以x+2y=0，即所求直线方程为x+2y=0.
故选：A
例题2．（2022·江苏·常州市第二中学高二期中）圆 ： 和圆 ：
的公共弦 的垂直平分线的方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 变形为 ，圆心为 ，
变形为 ，圆心为 ，
公共弦AB的垂直平分线即为直线 ，
即 ，整理得 .
故选：D
例题3．（2022·全国·高二专题练习）两圆 与 公共弦所在的直线方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为两圆 与 ，
所以两圆方程相减得
故选：D
例题4．（2022·四川·三台中学高二阶段练习（文））圆 与圆 的公共弦长
为
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【详解】两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为 ，圆 的半径 ，圆心 到直线
的距离 ，则弦长 ．故选 ．
例题5．（2022·广西·桂林市第一中学高二期中）已知两圆 和 相交于
两点，则直线 的方程是_________.
【答案】
【详解】 即 ，
，
两式相减得 ，
所以直线 的方程是 .
故答案为：
同类题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）已知圆 ： ，圆 ： 相交于P，Q两点，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】联立两圆得： ，即 ，将其代入圆 ： 中得： ，解
得： ， ，所以 ， ，故两圆交点坐标为 ，则
故选：B
2．（2022·全国·高二专题练习）设圆 ： 和圆 ： 交于 ， 两
点，则线段 所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意知： ①， ②，
∴由①- ②得，直线 的方程为 .
故选：A.
3．（2022·江西赣州·高二期中）已知两圆 与 交于 两点，则直线
的方程为___________.
【答案】
【详解】 ， ，
两式作差得 ，化简得 ，
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆 和圆 ，垂直平
分两圆的公共弦的直线的一般式方程为___________.
【答案】
【详解】圆 和圆
的圆心分别为： 和 ，
垂直平分两圆的公共弦的直线必过两圆圆心，所以直线方程为 ，
整理可得： .
故答案为： .
5．（2022·山东泰安·高二期末）圆 与圆 的公共弦长为______．
【答案】
【详解】圆 与圆
两式相减得，公共弦所在直线方程为：
圆 ，圆心为
到公共弦的距离为：
公共弦长为
故答案为：
