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1.1 集合
1
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2
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3
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4
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考点一 集合中元素的互异性
【例1-1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意
.故选：D.
【例1-2】（2024 江苏宿迁）若
，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时，
，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当
时，则
，符合题意，
当
时，有
或
，已知当
时符合题意，
当
时，则
，符合题意，
故
的取值集合为
.
故选：C.
【例1-3】（2024·陕西宝鸡·一模）若集合
中只有一个元素，则实数
（ ）
A．1
B．0
C．2
D．0 或1
【答案】D
【解析】当
时，由
可得
，满足题意；
当
时，由
只有一个根需满足
，解得
.
综上，实数
的取值为0 或1.故选：D
【一隅三反】
1．（2023·北京海淀·模拟预测）设集合
，若
，则实数m=（ ）
A．0
B．
C．0 或
D．0 或1
【答案】C
5
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【解析】设集合
，若
，
，
或
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
所以
或.故选：C
2.（202,4·北京）已知集合
，且
，则a 可以为（ ）
A．－2
B．－1
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，∴
，∴
，
可知
，故A、C、D 错误；
，故B 正确.故选：B
3.（2024 浙江）已知
，
，若集合
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，解得
或
，
当
时，不满足集合元素的互异性，故
，
，
，故选：B.
考点二 集合间的关系（无参型）
【例2-1】（2023·北京）已知集合
，
，则（ ）
A．
⫋
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，则
⫋
.故选：A.
【例2-2】（2024·广东·一模）已知集合
，则（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由集合
，
，得
.故选：D
【一隅三反】
1．（2024·福建福州）已知集合
，则下列关系中，正确的是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为集合
，
对于A，因为
，故选项A 错误；
对于B，
是一个集合，且
，故选项B 错误；
对于C，因为集合
，所以集合
与集合
不存在包含关系，故选项C 错误；
对于D，因为集合
，任何集合都是它本身的子集，所以
，故选项D 正确，
故选：D.
2．（2023·宁夏银川）下列集合关系中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A：集合
为点集，含有元素
，集合
含有两个元素
，
，
所以
不包含于
，故A 错误；
对于B：
，故B 正确；
对于C：
，故C 正确；
对于D：因为
，所以
，故D 正确；故选：A
考点三 集合间的运算（无参型）
【例3-1】（2023·全国·高考真题）设全集
，集合
，则
7
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
.故选：A.
【例3-2】（2023·北京·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，
，
根据交集的运算可知，
.故选：A
【例3-3】（2023·全国·高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为整数集
，
，所以，
．故选：A．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为全集
，集合
，所以
，
8
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又
，所以
，故选：A.
2．（2024·陕西西安·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解不等式
得
，解不等式
得
，所以
.故选：
.
3．（2023·全国·高考真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；
故选：A.
4．（2024·四川成都·二模）如图，已知集合
，则阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
，
即阴影部分表示的集合为
，故选：B
9
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5．（2024·辽宁·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，所以
，故选：B
考点四 子集的个数
【例4-1】（2024·四川·模拟预测）已知集合
，则集合
的子集有（ ）个
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】D
【解析】
，故集合
的子集有
个.故选：D
【例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合
，则满足条件的集合
的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】由
可得
且
，根据
为
的真子集，
可得
或
或
，故满足条件的集合
的个数为3.
故选：A
【例4-3】（2024·湖南邵阳·二模）若集合
，集合
，则
的真子集
个数为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．31
【答案】B
【解析】由
,得
，故
；由
，得
，故
，
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则
，故
的真子集个数为
.故选：B.
【一隅三反】
1．（2024 内蒙古鄂尔多斯）已知集合
，则集合
的真子集个数为（ ）
A．
B．
C．7
D．8
【答案】C
【解析】由
，解得
，
，所以集合A 的真子集有
个.
故选：C.
2．（2024 广东广州）设集合
，则
的子集个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】令
，解得
或
，故
，则
的子集个数是
个.
故选：D
3．（2024·重庆·一模）已知集合
，
，则
的真子集个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，则
，
所以，
的真子集个数为
.故选：C.
4．（2023·山东·模拟预测）满足条件
的集合
有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
【答案】C
【解析】∵
，∴
或
或
或
，共4 个．故选：C．
考点五 集合间的关系求参
【例5-1】（2024 辽宁）已知集合
，若
，则由实数
的所有可能的取值组成的集
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合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
,满足题意.当
时，
，
若
，则
或
，即
或
综上所述，
的所有取值为
故选：D
【例5-2】（2023·全国·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
【例5-3】（2024·辽宁抚顺·一模）已知集合
，
，若
，则实数
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，即
，解得
，所以
，
又
且
，所以
或
，故符合题意的只有B 选项.选：B
【例5-4】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合
，集合
，若
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
或
，
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因为集合
，
，所以
，故选：A.
【例5-5】（2023·江苏镇江·模拟预测）若集合
,则能使
成立的
所有
组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时,即
,
时成立;
当
时,满足
,解得
;综上所述:
.故选:C.
【一隅三反】
1．（2023·四川绵阳·一模）集合
，
，且
，实数
的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或或
【答案】D
【解析】由集合
，且
，又由
，可得
，
当
时，此时集合
，满足
；
当
时，可得
，要使得
，则满足
或
，解得
或
，
综上可得，实数
的值为或或
.故选：D.
2．（2024·广东广州·一模）设集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，即
，此时
，
由
，得
，而
，所以
.故选：A
3．（2024·黑龙江·二模）已知
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【解析】因为
，
，
又
，所以
，故
.故选：A.
4．（2024·安徽阜阳·一模）设集合
或
，集合
，且
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
或
，
，且
，所以
，解得
，
即实数
的取值范围为
.故选：B．
5．（2024 陕西）已知集合
或
，
，若
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【解析】】当
时，
无解，此时
，满足题意；
当
时，
有解，即
，
若
，则
，所以要使
，需满足
，解得
；
若
，则
，所以要使
，需满足
，解得
.
综上，实数a 的取值范围为
.故选：A.
考点六 函数集合
【例6】（2024·广东·一模）已知集合
，
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，有
，即
，所以
；
由
令
，根据二次函数的性质有
，
所以
，又因为
，所以
，
；所以
.故选：D
【一隅三反】
1．（2024·河南·一模）集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．R
【答案】C
【解析】因函数
的定义域为R，值域为
，故
，
，故
.故选：C.
2．（2024·江西·二模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】易知
因为
，所以
，故
，故
.选：A.
3．（2023 春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知集合
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】要使函数
有意义，则有
，解得
或
，所以
或
，
由
，得
，所以
．故选：D.
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4.（2024 湖南）设集合A＝
，集合B＝
.则A
B＝
（ ）
A．
B．
C．
D．R
【答案】D
【解析】由
得
，所以
，
，
时，
，
，
，由勾形函数知
在
上递减，在
上递增，
时，
，
时，
，
时，
，所以
，
所以
，即
，
，所以
．故选：D．
考点七 点集
【例7-1】（2024·陕西榆林·二模）若集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对A：依题意可得
，故A 错误；
对B：
即为
与
的交点，即
，解得
或
，即
，故B 错误；
对C：
，故C 正确.对D：
，故D 错误；故选：C.
【例7-2】（2023·广东广州·模拟预测）已知集合
，则集合
的子集个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解析】集合B 中圆的半径为1，圆心
到集合A 中直线的距离
，
16
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所以直线与圆相交，有两个交点，所以集合
中有两个元素，其子集个数为4.故选：A.
【例7-3】（2024 湖北黄冈）已知集合
，
.若
，则实数
（ ）
A．3
B．
C．3 或
D．
或1
【答案】A
【解析】因为
，所以直线
与直线
没有交点，
所以直线
与直线
互相平行，
所以
，解得
或
，
当
时，两直线为：
，
，此时两直线重合，不满足，
当
时，两直线为：
，
，此时两直线平行，满足，所以
的值为，故选：A.
【一隅三反】
1．（2024 安徽合肥）已知集合
，
.若
，则实数
（ ）
A．-3
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】因为
，所以直线
与直线
平行，
所以
所以
. 经检验，当
时，两直线平行.故选：B.
2（2024·上海）已知
，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．0 或2
【答案】B
【解析】当
时，由
知，
，又
，所以
，不满足集合元素的互异
性；
当
时，由
知，
，又
，无解；
当
时，由
知，
，又
，无解；
当
时，由
知，
，又
，所以
，所以
；
综上，则
2.故选：B
17
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3（2023·安徽合肥·三模）已知集合
，集合
，则集合
的真子集个数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】联立
可得
，因为
，解得
，
所以，方程组
的解为
或
，所以，
，
所以，集合
的真子集个数为
.故选：C.
4．（2024·内蒙古通辽）已知集合
，则集合
的真子集的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】集合
，
所以集合
中的元素个数为9，故其真子集的个数为
个，故选:
5．（2024·河南新乡·二模）（多选）已知
，集合
，
，
，
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】
表示过定点
,且斜率为
的直线的点构成的集合，
表示过定点
且斜率为
的直线的点构成的集合，
表示圆心为
，半径为
的圆上的点构成的集合，
18
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表示圆心为
，半径为
的圆上的点构成的集合，
对于A，集合
中的直线平行，故
，故A 正确，
对于B，由于
，故
在圆
内，
故经过点
的直线与圆相交，
，故B 正确，
对于C，由于
，故
在圆
外，
故当经过点
的直线与圆相离时，此时
，故C 错误，
对于D，由于
，故两圆相交，
，D 错误，故选：AB
考点八 集合与其他知识综合
【例8-1】（2023·全国·高考真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3 ，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
，
于是有
，即有
，解得
，
所以
，
.
故选：B
【例8-2】（2024 河南信阳）点集
表示的曲线总长度等于（ ）
19
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知：
，解得
，
因为
，则
或
，
若
，且
，表示以
为端点的线段，
此时表示的曲线总长度为
；
若
，整理得
，表示以
为圆心，半径为1 的上半圆，
此时表示的曲线总长度为
；
综上所述：点集
表示的曲线总长度等于
.故选：C.
【一隅三反】
1．（2024·河南开封·二模）已知集合
，
则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
对A：
，故错误；
对B：
，故正确；对C：
，故错误；对D：
，故错误；故选：B
2．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点集
，则点集
所表示的区域的面积为 ．
【答案】
【解析】由
可得
，
因为
，所以
，
即点集
所表示的区域是以
为圆心，半径为1 的圆及其内部，其面积为
.
20
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故答案为：
3（2024 广西）已知是虚数单位，集合
（整数集）和
的关系韦恩图如图所示，则阴
影部分所示的集合的元素共有（ ）
A．3 个
B．2 个
C．1 个
D．无穷个
【答案】B
【解析】因为
，
，所以集合
，
因为阴影部分所示的集合为
，
，
所以
，阴影部分所示的集合的元素共有
个，故选B．
4（2024 北京）已知函数
的部分图象如图所示，将函数
的图象向右平
移
个单位长度，得到函数
的图象，若集合
，集合
，则
______．
【答案】
【解析】由图可知
周期
，∴
．
由
得
，∴
，
，
21
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∵
，∴k 取0，
，
∴
，
∴
，
∴
．
∴
，
，
∴
，∴
．
故答案为：
﹒
考点九 集合的新定义
【例9-1】（2024 河北）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A 和B 是全集
U 的子集，且无公共元素，则称集合
互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集
，则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为（
）
A．8
B．16
C．32
D．64
【答案】B
【解析】结合题意：因为
，所以
，
解得
，即
，
所以全集
，
由
可得
，所以
，
则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为
.
故选：B.
【例9-2】（2023·全国·模拟预测）定义：若集合
满足
，存在
且
，且存在
且
22
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，则称集合
为嵌套集合．已知集合
且
，
，
若集合
为嵌套集合，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所有
，由
，得
，如图，作出函数
的图象，
由图可知，不等式
的解集为
，所以
且
，
由
，得
，
当
，即
时，则
，不符题意；
当
，即
时，则
，由
，得
，根据嵌套集合得定义可得
，解得
；
当
，即
时，则
，由
，得
，根据嵌套集合得定义可得
，无解，
综上所述，实数
的取值范围为
.故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）定义
，若集合
，则A 中元素的个数为
（ ）
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A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解析】由题知y 的可能取值有
，
，
，0，1，2，3，则集合A 中有7 个元素.
故选：B.
2．（2024 广东佛山 ）（多选）设P 是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意
，都有
，且若
，则
，则称P 是一个数域．例如，有理数集Q 是数域．下列命题正确的是
（ ）
A．数域必含有0，1 两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集
，则数集M 一定是数域
D．数域中有无限多个元素
【答案】AD
【解析】因为P 是一个数集，且至少含有两个数，可知P 中必有一个非零实数，
对于选项A：当
时，
、
，故A 正确；
对于选项B：例如
，
，但
，不满足条件，故B 错误；
对于选项C：例如
，取
，
，但
，所以数集M 不是一个数域，故C 错误；
对于选项D：由选项A 可知：数域必含有0，1 两个数，
根据数域的性质可知：数域必含有
，必为无限集，故可知D 正确．故选：AD.
3.（2024·黑龙江哈尔滨·一模）设
表示不超过
的正整数集合，
表示k 个元素的有限
集，
表示集合A 中所有元素的和，集合
，则
；若
，
则m 的最大值为 ．
【答案】
22
【解析】当
时，
表示有2 个元素的集合，
，
因为
，且
有2 个元素，所以
或
或
，所以
；
24
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由
题
中
定
义
可
知
：
，
于
是
由
，
而
，即
，又因为
，所以m 的最大值为
，
故答案为：
；
一．单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】方法一：因为
，而
，所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．故选：C．
2．（2024·全国·一模）已知集合
，
，则
子集的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】由
，得
，解得
，所以
，所以
，
所以
子集的个数为
.故选：D
25
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3．（2024·江苏·一模）已知全集U 与集合A，B 的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】观察韦恩图知，阴影部分在集合A 中，不在集合B 中，所以所求集合为
.故选：A
4．（2024·河南·模拟预测）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】因为
或
，
，
所以
.故选：C.
5．（2024·广东广州·模拟预测）已知集合
，
，则
的真子
集的个数为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】C
【解析】由题意
，
，故
，故
，则
的真子集的个数为
，故选：C
6．（2024 辽宁沈阳）已知集合
满足
，那么这样的集合M 的个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【解析】因为
，所以集合
可以为：
，
26
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共8 个，故选：C.
7．（2024 河南濮阳）已知集合
，则集合
的子集个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【解析】由已知集合
，
联立
和
，可得
或
或
，则
，
故集合
的子集个数为
个，故选：D
8．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知集合
，
，若
中有且仅有三个整数，则
正数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可得
，
，
若
中有且仅有三个整数，则只能是
，
故
，解得
，故选：B．
二．多选题
9．（2024 山东）已知集合
，若集合A 有且仅有2 个子集，则a 的取值有
（ ）
A．-2
B．-1
C．0
D．1
【答案】BCD
【解析】因为集合
仅有
个子集，所以集合
中仅有一个元素，
当
时，
，所以
，所以
，满足要求；
当
时，因为集合
中仅有一个元素，所以
，所以
，此时
或
，满足要
求，故选：BCD.
10（2024·全国·模拟预测）非空集合A 具有如下性质：①若
，则
；②若
，则
下列
27
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判断中，正确的有（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【解析】对于A，假设
，则令
，则
，
令
，则
，
令
，不存在
，即
，矛盾，
∴
，故A 对；
对于B，由题，
，则
∴
，故B 对；
对于C，∵
，
，
，
∵
故C 对；
对于D，∵
，
，若
，则
，故D 错误．
故选：ABC．
11．（2024·辽宁辽阳·一模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】由题意得
，
故
，
，A 错误，B 正确；
由于
，故
，则
，C 正确；
28
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若
，则
能取到所有的正数，
即
，则
或
，
即
，D 正确，
故选：BCD
三．填空题
12．（2024·山东青岛·一模）已知集合
，
，则
的所有元素之和为 ．
【答案】0
【解析】由题知，
，所以
，所以
的所有元素之和为
.
故答案为：0
13．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知集合
，
，则
的
子集个数为 .
【答案】4
【解析】集合
表示直线
上点的集合，集合
表示圆
上点的集合.
圆
的圆心坐标为
，半径为3，点
到直线
的距离为
,
所以直线
与圆
相交，所以
共有2 个元素，所以
的子集个数为
.
故答案为：4.
14．（2024 上海·阶段练习）已知
，集合
，若集合A 恰有8 个子集，则n 的可
能值的集合为
【答案】
【解析】由题意易知，
，均是集合
中的元素，
又集合
恰有8 个子集，故集合
有且只有三个元素，则
，
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又
，
当
时，
，此时集合
只有两个元素，不满足题意；
当
时，
，
此时集合
有且只有三个元素，满足题意；
当
时，
，
此时集合
有且只有三个元素，满足题意；
当
时，易知集合
中不只三个元素，不满足题意；
综上，
可取的值是4 或5，即n 的可能值的集合为
.
故答案为：
.
四．解答题
15（2024 北京东城·期末）已知集合
，
.
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的取值范围；
(3)若将题干中的集合
改为
，是否有可能使命题
：“
，都有
”为真命
题，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
或
(3)不可能，理由见解析
【解析】（1）若
，则
，
又
，
所以
，
解得
；
（2）因为
，
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所以
或
，
解得
或
；
（3）若
，
，
对
，都有
，则
，
所以
，该不等式无解，
故命题
：“
，都有
”为真命题不可能.
16．（2023 北京）已知函数
的定义域为集合
，又集合
，且
.
(1)试确定
的值；
(2)求参数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由已知得集合
，集合
，
因为
，
，
所以
，
或
，
且
，则
，
故
.
（2）由题可知
.
①当
时，
；
②当
时，
，
31
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所以
，因为
，
所以
矛盾，不合题意；
③当
时，
，因此要
，
只需
，满足题意.
综上所述，可知
的取值范围为
.
17．（2024 辽宁·阶段练习）已知集合
.
(1)求
；
(2)若对任意的
恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，
由
，得
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以
.
（2）当
时，因为
单调递减，所以
，
因为对任意的
恒成立，
所以当
时，则
恒成立，即
，即
，
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因为
，所以解得
；
当
时，则
恒成立，即
，
因为
，所以解得
.
综上，
的取值范围是
.
18．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）集合
，将集合A 中的元素按
由小到大的顺序排列成数列
，即
，
，数列
的前n 项和为
．
(1)求
，
，
；
(2)判断672，2024 是否是
中的项；
(3)求
，
．
【答案】(1)
，
，
(2)672 是数列
的项，2024 不是
中的项
(3)
，
【解析】（1）
，
，
．
（2）
，
故
，则672 是数列
的项；
．
令
，则
，故
，
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故2024 不是
中的项．
（3）当
时在集合A 中有
个元素，
当
时在集合A 中有
个元素，
……
当
时在集合A 中有
个元素，
则集合A 一共有
个元素，
故
有
项，
当
时在集合A 中的
个元素中最小的元素是
，
最大元素是
（
），
故
的元素在
中最大项是
（
），最小项是
；
令
，则
共有
项，
则
恰好是
的元素在
中的最大项，
则
；
令
，则一共有
项，
记
表示集合A 中
的元素之和，则
，
因为集合A 中
的元素有
个，
这些元素中含
的个数是
，含
的个数都是
，
故
，则：
，
，
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，
，
，
故
．
故
，
．
19．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组
表示，在三维空间中点的坐
标可用三个有序数组
表示，一般地在
维空间中点A 的坐标可用n 个有序数组
表示，并定义n 维空间中两点
，
间的“距离”
．
(1)若
，
，求
；
(2)设集合
．元素个数为2 的集合M 为
的子集，且满足对于任意
，都存在唯一的
使得
，则称M 为“
的优集”．证明：“
的优集”M 存在，且M
中两不同点的“距离”是7．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【解析】（1）解：因为
，
，
，则
，
所以
.
（2）证明：定义：对任意
，规定
，
对任意
，
，
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由于
，
，
，容易得
，
所以
，得结论：
，
，
构造
有2 个元素，由
为整数，
当
时，则满足M 为“
的优集”的定义，
当
时，则
，满足M 为“
的优集”的定义，
所以存在
为“
的优集”，
若M 中的两个点
，
有一个位置相同，不妨设为第一个位置，
则设
，
，
则取
，则有
，
，显然矛盾，
所以M 中的两个点每一个位置均不同，即
，显然
，
即“
的优集”M 存在，且M 中两不同点的“距离”是.
36
