第二章函数
§2.6 指数运算与对数运算
【考情分析·探规律】
考点
三年考情
（2021-
2024）
命题趋势
指数运算与对数运
算及指对互化
2024·全国甲
卷
2023·北京卷
2022·天津卷
2022·浙江卷
2022·全国乙
卷
2021·天津卷
理解有理数指数幂的含义，
了解实数指数幂的意义，掌握指数幂
的运算性质。理解对数的概念和运算
性质，知道用换底公式能将一般对数
转化成自然对数或常用对数，都是高
考命题的方向。
【知识梳理】
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)性质：①负数没有偶次方根.
②0 的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n 为大于1 的奇数).
⑤＝|a|＝(n 为大于1 的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分
数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0 的正分数指数幂等于0；0
的负分数指数幂没有意义.
3.有理指数幂的运算性质
aras＝a r ＋ s ；(ar)s＝a rs ；(ab)r＝a r b r ，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x＝logaN，
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM
＋
log
aN；
②loga＝logaM
－
log
aN；
③logaMn＝n log
aM(n∈R).
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
【名师点拨】换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n R
∈，且m≠0).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)分数指数幂a 可以理解为个a 相乘.( )
(3)log2x2＝2log2x.( )
(4)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)×
【解析】(1)由于＝＝4，故(1)错误.
(2)当<1 时，不可以，故(2)错误.
(3)log2x2＝2log2|x|，故(3)错误.
(4)当M＜0，N＜0 时，虽然MN＞0，
但loga(MN)＝logaM＋logaN 不成立，故(4)错误.
2.(多选)下列运算正确的有( )
A.lg 2＋lg 3＝lg 5
B.log3100＝10log310
C.4
lo g45＝5
D.log34·log43＝1
【答案】CD
【解析】lg 2＋lg 3＝lg 6,故A 错误；
log3100＝2log310,故B 错误；
4
lo g45＝5,故C 正确；
log34·log43＝1,故D 正确.
3.若a
2
5 ＝4
25(a>0 且a≠1),则loga2
5等于( )
A.25
4
B.2
C.1
5
D.5
【答案】C
【解析】由a
2
5 ＝4
25 ,得loga 4
25 ＝2
5 ,
∴loga(
2
5)
2
＝2
5 ,∴2loga2
5 ＝2
5 ,
∴loga2
5 ＝1
5.
4.27
2
3 ＋4
lo g43－lg 5－lg 2＝ .
【答案】11
【解析】27
2
3 ＋4
lo g43－lg 5－lg 2＝(3
3)
2
3＋3－(lg 5＋lg 2)＝32＋3－lg 10＝9＋3－
1＝11.
【名师点拨】
1.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(1)(
b
a)
−p
＝(
a
b)
p
(ab>0)；
(2)a＝(a
1
m)m,a
n
m＝(a
1
m)n(式子有意义)；
(3)1 的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝a
−1
2 a
1
2(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形,如(a
1
2 ＋b
1
2)(a
1
2 －b
1
2)＝a－b(a,b>0),
(a
1
2±b
1
2)2＝a±2a
1
2 b
1
2＋b(a,b>0),
(a
1
3 ＋b
1
3)(a
2
3∓a
1
3 b
1
3 ＋b
2
3)＝a±b(a,b>0).
2.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.
【必练核心题型】
题型一 指数运算
例1.(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)( )
A.a
4
6 ＝
3√a
2
B.
4√a
4＝a
C.(6
❑√2)
❑√2＝36
D.a
−2
3＝－
3√a
2
【答案】ABC
【解析】对于A,a
4
6 ＝a
2
3 ＝
3√a
2,故A 正确；
对于B,
4√a
4＝|a|＝a,故B 正确；
对于C,(6
❑√2)
❑√2＝6
❑√2×❑√2＝62＝36,故C 正确；
对于D,a
−2
3 ＝1
a
2
3
＝1
3√a
2 ,故D 错误.
例2.(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)( )
A.0.25
1
2 ＋(
5√π )
0－2－1＝0
B.(
27
8 )
−2
3 －(
49
9 )
0.5
＋(0.008)
−2
3× 1
25＋(π－1)0＝1
9
C.(2
3√a
2·❑√b)(－6❑√a·3√b)÷(－36√a·
6√b
5)＝1
D.若x
1
2 ＋x
−1
2 ＝❑√6,则
x＋x
−1
x
2＋x
−2−2
＝1
3
【答案】BD
【解析】对于A,0.25
1
2 ＋(
5√π )
0－2－1＝0.5＋1－1
2＝1,A 错误；
对于B,(
27
8 )
−2
3 －(
49
9 )
0.5
＋(0.008)
−2
3× 1
25＋(π－1)0＝(
3
2)
−2
－7
3 ＋(
1
5)
−2
× 1
25＋1
＝4
9 －7
3＋25× 1
25＋1＝4
9 －7
3＋2＝1
9 ,B 正确；
对于C,原式＝(2a
2
3 b
1
2)(－6a
1
2 b
1
3)÷(－3a
1
6 b
5
6)＝[2×(－6)÷(－3)] a
2
3 ＋1
2 −1
6·b
1
2 ＋1
3 −5
6
＝4ab0＝4a,C 错误；
对于D,当x
1
2 ＋x
−1
2 ＝❑√6时,( x
1
2 ＋x
−1
2 )
2＝x＋2＋x－1＝6,得x＋x－1＝4,由( x ＋x
−1)
2
＝x2＋2＋x－2＝16,得x2＋x－2＝14,所以
x＋x
−1
x
2＋x
−2−2
＝
4
14−2 ＝1
3 ,D 正确.
【解题技巧】
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂,以便
利用法则计算,还应注意：
①必须同底数幂相乘,指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【变式训练】
变式1.计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)(
1
4)
−1
2·
❑√(4 ab
−1)
3
(0.1)
−1·(a
3·b
−3)
1
2 ；
(2)0.125
−1
3 －(
9
8)
0
＋[(−2)
2]
1
2 ＋(❑√2×
3√3)
6.
【解析】(1)(
1
4)
−1
2·
❑√(4 ab
−1)
3
(0.1)
−1·(a
3·b
−3)
1
2
＝4
1
2·(4 ab
−1)
3
2
10a
3
2 b
−3
2
＝2· 8a
3
2 b
−3
2
10a
3
2 b
−3
2
＝8
5.
(2)0.125
−1
3 －(
9
8)
0
＋[(−2)
2]
1
2 ＋(❑√2×
3√3)
6
＝[(
1
2)
3
]
−1
3－1＋2＋2
1
2 ×6×3
1
3 ×6
＝2＋1＋8×9＝75.
题型二 对数运算
例1.(多选)下列运算中正确的是( )
A.lo g37
lo g35＝log75
B.(
8
27)
−1
3 ＝3
2
C.x＝ln ex
D.(
1
2)
−lo g26
＋ln(ln e)＝6
【答案】BCD
【解析】对于A, lo g37
lo g35＝log57,故A 错误；
对于B,(
8
27)
−1
3 ＝(
3
2)
3× 1
3 ＝3
2 ,故B 正确；
对于C,x＝ln ex,故C 正确；
对于D,(
1
2)
−lo g26
＋ln(ln e)＝2
lo g26＋ln 1＝6＋0＝6,故D 正确.
例2.(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是( )
A.lg2＋lg5−lg8
lg50−lg 40
＝1
B.lg 4＋lg5−1
2lg0.5＋lg8＝2
C.lg 14－2lg 7
3＋lg 7－lg 18＝0
D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2
【答案】AC
【解析】lg2＋lg5−lg8
lg50−lg 40
＝
lg 10
8
lg 50
40
＝1,A 成立；
lg 4＋lg5−1
2lg0.5＋lg8 ＝
lg20−1
lg0.25＋lg8 ＝1＋lg2−1
lg2
＝1,B 不成立；
lg 14－2lg 7
3＋lg 7－lg 18＝(lg 7＋lg 2)－(2lg 7－2lg 3)＋lg 7－(2lg 3＋lg 2)＝0,C
成立；
(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝1,D 不成立.
【解题技巧】
解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、
逆用及变形应用.
【变式训练】
变式1.(多选)设a,b,c 均为不等于1 的正实数,则下列等式中不成立的是( )
A.logab·logca＝logcb
B.logab·logcb＝logca
C.loga(b＋c)＝logab＝logac
D.loga(bc)＝logab·logac
【答案】BCD
【解析】对于A,logab·logca＝lgb
lga·lga
lgc ＝lgb
lgc ＝logcb,故A 正确；
对于B,logab·logcb＝lgb
lga·lgb
lgc ,而logca＝lga
lgc ,故B 错误；
对于C,若loga(b＋c)＝logab＝logac,则b＋c＝b＝c,故b＝c＝0,显然不符合要求,故
C 错误；
对于D,loga(bc)＝logab＋logac,故D 错误.
变式2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=
.
【答案】e
【解析】f(ln 2)f(ln 4)=aln 2aln 4=aln 2+ln 4
=a3ln 2=(a
ln 2)
3=8,
∴aln 2=2,∴a=e.
题型三 指对运算的应用
例1.(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价
问题.某银行统计得到如下Logistic 模型：P(x)＝
e
−0.97＋0.127 x
1＋e
−0.97＋0.127 x ,其中x 是客户
年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预测值,如果某人年收入是10 万元,
那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)( )
A.0.35
B.0.46
C.0.57
D.0.68
【答案】C
【解析】由题意得ln 1.35≈0.3,所以e0.3≈1.35,所以P(10)＝
e
−0.97＋1.27
1＋e
−0.97＋1.27 ＝
e
0.3
1＋e
0.3
≈1.35
2.35≈0.57.
例2.(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898 年
Peukert 提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流
I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ 为与蓄电池结构有关的常数
(称为Peukert 常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A 时,放电时间
为60 h；当放电电流为25 A 时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert 常数λ
约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.1.12
B.1.13
C.1.14
D.1.15
【答案】D
【解析】由题意知C＝7.5λ×60＝25λ×15,
所以(
25
7.5)
λ
＝(
10
3 )
λ
＝60
15＝4,
两边取以10 为底的对数,得λlg 10
3 ＝2lg 2,
所以λ＝2lg2
1−lg3≈2×0.301
1−0.477≈1.15.
【解题技巧】
利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数,利用待定
系数法确定参数的值,然后解决问题.
【变式训练】
变式1.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间
的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699,则231
是( )
A.9 位数
B.10 位数
C.11 位数
D.12 位数
【答案】B
【解析】记231＝M,
则31×lg 2＝lg M,
则lg M＝31×(1－lg 5)≈9.331,
则M≈109.331∈(109,1010),
故231是10 位数.
变式2.区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域,在区块链技术中,若密
码的长度设定为256 比特,则密码一共有2256种可能,因此为了破解密码,最坏情
况需要进行2256次运算.现在有一台机器,每秒能进行2.5×1011次运算,假设机
器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参
考数据：lg 2≈0.301,100.658≈4.5)( )
A.4.5×1065秒
B.4.5×1083秒
C.4.5×1017秒
D.4.5×107秒
【答案】A
【解析】由题意知所需时间t＝
2
256
2.5×10
11(秒),
∴lg t＝256lg 2－(lg 2.5＋11)
＝256lg 2－(lg 10
4 ＋11)＝258lg 2－12≈65.658,
∴t≈1065.658＝100.658×1065≈4.5×1065(秒).
