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第二章 函数与基本初等函数（高效培优综合训练）（全国通
用）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．下列各组函数中，
，
是同一函数的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
2．设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
是奇函数，则实数a 的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
4．设函数
在区间
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
5．函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等
是在地球上看到的星体亮度等
级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M 是假设把恒星放在距离地球10 秒差距（10 秒差距≈32.6 光年）时
的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等
和绝对星等M 满足
，其中
是与地
球的距离，单位为秒差距.若恒星A 距离地球约32.6 光年，恒星B 距离地球约326 光年，恒星A，B 的视星
等满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
，若
在
上有2 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
．若
的图象与曲
线
，且
恰有10 个交点，则实数
（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知定义在
上的函数
满足
，且
为偶函数，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数
的周期为2
B．函数
的图象关于
对称
C．函数
的图象关于
对称
D．函数
为奇函数
10．已知函数
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
11．已知定义域为
的函数
满足
，都有
，且
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
的解集为
D．
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．函数
的定义域为 .
13．已知函数
有最小值，则实数
的取值范围为 ．
14．设
，函数
的最小值为－1，则
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
已知函数
（
且
），
，
.
(1)求a，b 的值；
(2)若函数
，求
的值.
16．（15 分）
已知幂函数
为奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)求函数
（
）的值域．
(3)求函数
在区间
上的最小值.
17．（15 分）
舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自
不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的
关注程度.对于舆论事件出现起的前
天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于
，则认为本
次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3 天的舆论
场指数整理成如下表格：
天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①
；②
；
③
其中含
的项的系数均不为0.
(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4 天时的舆论场指数；
(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.
18．（17 分）
已知函数
（
，且
）．
(1)讨论
的奇偶性；
(2)若
，不等式
恒成立，求t 的取值范围．
19．（17 分）
如果函数
满足以下两个条件，我们就称函数
为
型函数.
①对任意的
，有
；
②对于任意的
，若
，则
.
(1)是否存在指数函数是
型函数？若存在，请求出该指数函数的解析式；若不存在，请说明理由；
(2)判断
型函数
在
上的单调性并说明理由；
(3)求证：对于
型函数
，恒有
（
为正整数）.
