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第 08 讲 函数与方程(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
高频考点二：函数零点个数的判断
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
高频考点四：比较零点大小关系
高频考点五：求零点和
高频考点六：根据零点所在区间求参数
高频考点七：二分法求零点
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点对于一般函数 ，我们把使 成立的实数 叫做函数 的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
2、函数的零点与方程的根之间的联系
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与 轴的交点的横坐标
即方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．
3、零点存在性定理
如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数
在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
4、二分法
对于在区间上连续不断且 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区
间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程
的近似解就是求函数 零点的近似值．
5、高频考点技巧
①若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数，则 f(x)至多有一个零点；
②连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；
③函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交
点；
④函数 有零点 方程 有实数根 函数 与 的图象有交点
，其中 为常数.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））函数 的零点所在的区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B易知 在 上单调递增，且 ， ，
所以 的零点所在的区间为 ．
故选：B.
2．（2022·江苏·南京师范大学附属中学江宁分校高一期中）用二分法研究函数 的零点时，
第一次计算，得 ， ，第二次应计算 ，则 等于（ ）
A．1 B． C．0.25 D．0.75
【答案】C
解：因为 ， ，所以 在 内存在零点，
根据二分法第二次应该计算 ，其中 ；
故选：C
3．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数 的两个零点分别为 ，则
___________.
【答案】
解：依题意令 ，即 ，
所以方程 有两个不相等实数根 、 ，
所以 ， ，
所以 ；
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若在 上存在 ，使 ，求实数 的取
值范围．
【答案】
因为在 上存在 ，使 ，
所以有 ，解得 ．故实数 的取值范围为 .
5．（2022·辽宁抚顺·高二期末）已知函数 ，则 ________，函数
的零点为________．
【答案】
依题意， ，由 得 ，即 ，解得 ，或 ，无解，
所以数 的零点为 .
故答案为： ；
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数零点所在区间的判断
典型例题
例题1．（2022·天津红桥·一模）函数 的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
函数 是 上的连续增函数,
,
可得 ,
所以函数 的零点所在的区间是 .
故选：C
例题2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二学业考试）函数 的零点所在的区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
易知 为增函数，又 ，
，故零点所在的区间是 .
故选：B.
题型归类练
1．（2022·海南·嘉积中学高一期末） 零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意知： 在 上连续且单调递增；
对于A， ， ， 内不存在零点，A错误；对于B， ， ， 内不存在零点，B错误；
对于C， ， ，则 ， 内存在零点，C正确；
对于D， ， ， 内不存在零点，D错误.
故选：C.
2．（2022·广东汕尾·高一期末）函数 的零点所在区间为( )
A． B． C． D．
【答案】B
∵f(x)定义域为R，且f(x)在R上单调递增，
又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，
∴f(x)在(1，2)上存在唯一零点.
故选：B.
3．（2022·河南驻马店·高一期末）已知函数 ，则函数 的零点所在区间为（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】B
解：函数 在 上为增函数，
又 （1） ， （2） ，
函数 在区间 上有一个零点，
故选： ．
高频考点二：函数零点个数的判断
典型例题
例题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））函数 的零点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
由于函数 在 上是增函数，且 ，
故函数在 上有唯一零点，也即在 上有唯一零点.
故选：B.
例题2．（2022·全国·高一专题练习）函数 与函数 的图像的交点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B作出函数 与函数 的图像，如图所示
由图像可知，函数 与函数 的图像的交点的个数有 个，
故选：B
题型归类练
1．（2022·广东深圳·高一期末）已知函数 ，则方程 的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
解：令 ，得 ，
则方程 的解的个数即函数 与函数 的图象的交点的个数．
作出函数 与函数 的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程 的解的个数为2个．
故选：C
2．（2022·河南·林州一中高一开学考试）函数 的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个【答案】C
由 得： ，即 ，解得 ，即 ，
所以函数 的零点个数为2.
故选：C
3．（2022·全国·高一）函数 的定义域为R，在 上大致图像如图所示，则函数 的
零点个数为________．
【答案】7##7个
由图知函数 在 上的零点个数为4，
又 ，故函数 是定义在R上的偶函数，
又当 时， ，有4个零点，
根据对称性，当 时，函数 ，有3个零点，
故函数 的零点个数为7.
故答案为：7.
4．（2022·全国·高一课时练习）函数 的零点有______个．
【答案】3
∵ ，
∴由 得 或1或2．
所以函数 的零点有3个.
故答案为：3.
5．（2022·福建三明·高一期末）函数 的零点个数为___．
【答案】2
当x≤0时， ，
∵ ，故此时零点为 ；
当x＞0时， 在 上单调递增，当x＝1时，y＜0，当x＝2时，y＞0，故在(1,2)之间有唯一零点；
综上，函数y在R上共有2个零点.
故答案为：2.
高频考点三：根据零点个数求函数解析式中的参数
典型例题
例题1．（2022·湖北宜昌·高一期中）函数 ，若函数 有两个零点，则实
数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
作出函数 的图象，
令 ，可得 ，
画出直线 ，可得当 时，直线 和函数 的图象有两个交点，
则 有两个零点．
故选：B．
例题2．（2022·广东·信宜市第二中学高一开学考试）若直线 与函数 的图象有且只有一个
公共点，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
画出两个函数在同一坐标系下的图象，若两个函数图象有且只有一个公共点，
则 或 ， 或 .
故选：D．
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 在区间 内有零点，则正数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题得 ，且函数在定义域内 单调递增（增+增=增），
所以 ，得 .
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习（文））方程 的解都在 内，则 的取值范围为_______.
【答案】5≤k＜10
【解析】
由题意，可知：f（x）＝2x+3x在[1，2）内是增函数，
又f（1）＝21+3×1＝5，f（2）＝22+3×2＝10．∴5≤k＜10．
故答案为5≤k＜10
高频考点四：比较零点大小关系
典型例题
例题1．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））已知函数 ， ，
的零点分别是 ，则 的大小顺序是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
由已知条件得
的零点可以看成 与 的交点的横坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横
坐标， 的零点可以看成 与 的交点的横坐标，
在同一坐标系分别画出 ， ， ， 的函数图象，如下图所示,
可知 ，
故选： .
例题2．（2022·广东云浮·高二期末）已知函数 的零点分别为
，则 的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由题可得 即为 的图象分别与 ， ， 的交点的横坐标，
如图，画出函数图象，由图可得， .
故选：A.
题型归类练
1．（2022·河南洛阳·高一期末（文））已知函数 ， ， 的零点分别
为 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
解：依题意令 ，即 ，
同理可得 ， ，
则函数的零点转化为 、 、 与 的交点的横坐标，
在平面直角坐标系上画出函数图象如下：
由图可得 ， ， ，即 .
故选：D
2．（2022·辽宁·高一期末）已知函数 ， ，且 ，则
____________ （填>，<，≥，≤）.
【答案】
由 得 ， .
由 得 ， .
画出 的图象如下图所示，
由图可知 , .
所以 ，
故答案为：高频考点五：求零点和
典型例题
例题1．（2022·江西萍乡·二模（文））已知函数 ，则 的所有零点之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
时，由 得 ，
时，由 得 或 ，
所以四个零点和为 ．
故选：D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的零点之和为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
函数
当 时， ，设其零点为 ，则满足 ，解得 ；
当 时， ，设其零点为 ，则满足 ，解得 ；
所以零点之和为
故选:A.
题型归类练1．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（文））已知函数 ，若
满足 ，则 的取值范围为_______．
【答案】
画出 的图象，易得 ，且当 时， 的最大值为 ，当 时 解
得 ，故 ，故
故答案为：
高频考点六：根据零点所在区间求参数
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ，若 ， ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
函数 ，若 ， ，
可得 ，解得 或 ，则实数 的取值范围是 ，
故选：A．
例题2．（2022·江苏省如皋中学高一期末）设 为实数，函数 在 上有零点，则实数
的取值范围为________．
【答案】
因为 在 单调递增，且有零点，
所以 ，解得 ，
故答案为：题型归类练
1．（2022·全国·高一专题练习）已知函数 的零点在区间 上，则 的取值范围为
____．
【答案】
解：因为函数 在区间 上单调递增，
所以函数 在区间 上单调递增，
因为函数 的零点在区间 上，
又当 时， ， ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，且 ）在 上的最大值为2.
（1）求a的值；
（2）若函数 存在零点，求m的取值范围.
【答案】（1）3；（2） .
（1）当 时，函数 在 上单调递增，
因此 ，解得 ；
当 时，函数 在 上单调递减，
因此 ，（舍去）.
综上可得，实数 的值为 .
（2）由（1）知函数 ，
因为函数g（ 存在零点，即关于x的方程 有解，
设 ，
令 ，所以 ，即 的值域为 .
所以m的取值范围为 .
高频考点七：二分法求零点
典型例题例题1．（2022·江西新余·高一期末）若函数4m2−4+m2−4k2
=0在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分
4k2+1
法逐次计算，列表如下：
1 1.5 1.25 1.375 1.3125
-1 0.875 -0.2969 0.2246 -0.05151
那么方程 的一个近似根（精确度为0.1）可以为（ ）
A．1.3 B．1.32 C．1.4375 D．1.25
【答案】B
由 ， ，且 为连续函数，由零点存在性定理知：区间 内存在零
点，故方程 的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可.
故选：B
例题2．（2022·安徽·安庆市教育教学研究室高一期末）在用二分法求方程 在 上的近似
解时，构造函数 ，依次计算得 ， ， ， ，
，则该近似解所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
根据已知 ， ， ， ， ，
根据二分法可知该近似解所在的区间是 ．
故选：C.
题型归类练
1．（2022·江苏·扬州中学高一期中）利用二分法求 的零点时，第一次确定的区间是 ，第
二次确定的区间是___________.
【答案】(1，1.5)##(1， )
由题可知f(1)＝－1＜0，f(2)＝6＞0，
∵f( )＝f(1.5)＝1.375＞0，∴f(x)零点应该在(1，1.5)上．
故答案为：(1，1.5).
2．（2022·福建漳州·高一期末）用“二分法”求函数 零点的近似值时，若第一次所取的区间是
，则第三次所取的区间可能是__________.（只需写出满足条件的一个区间即可）
【答案】 或 或 或 （写一个即可）由第一次所取的区间是 ，取该区间的中点 ，所以第二次所取的区间 或 ，
区间 的中点 ，区间 的中点 ，
所以第三次所取的区间可能是 或 或 或 .
故答案为： 或 或 或 （写一个即可）.
3．（2022·上海浦东新·高一期末）若函数4m2−4+m2−4k2 =0在区间 内的一个零点的近似值用二分法逐次
4k2+1
计算列表如下：那么方程 的一个近似解为 _________（精确到0.1）．
【答案】1.3
由题可得 ， ，
所以函数零点所在区间
由题：0.1，所以其近似解为1.3.
故答案为：1.3
