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第 08 讲 拓展三：三角形中面积问题
（含定值，最值，取值范围）(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：求三角形面积（定值问题）.............................4
高频考点二：根据三角形面积求其它元素............................11
高频考点三：求三角形面积最值....................................18
高频考点四：求三角形面积取值范围................................24
角度1：普通三角形面积取值范围................................24
角度2：锐角三角形面积取值范围................................29
第四部分：数学文化题...............................................35
第五部分：高考新题型...............................................39
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1、三角形面积的计算公式：
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式 ，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
2．（2021·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，
， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．3．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．（2023·江苏南通·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积．
例题2．（2023·湖南常德·统考一模）如图，在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，角 的平分线交 于点 ，且 ， .(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
例题3．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形 中， ，
， ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
例题4．（2023·全国·模拟预测）设 ， ， 分别为 的内角 ， ， 的对边，且
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
练透核心考点
1．（2023·云南昭通·统考模拟预测）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足
.从① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个作为
已知条件.
(1)求角 的大小；
(2)点 在线段 的延长线上，且 ，若 ，求 的面积.2．（2023·北京西城·统考一模）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点
， ．
(1)求 的值；
(2)求 的面积．
3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且 ，
(1)求角A的大小：
(2)若 ，求 的面积．
4．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知
， .
(1)求C的值；
(2)若 ，求 的面积.5．（2023·福建莆田·统考二模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，D为 的中点，
且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的面积．
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
典型例题
例题1．（2023·青海·校联考模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对应的边分别是 ， ， ，
若 的面积是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·北京海淀·统考一模）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在
且唯一确定，求 的值．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．例题3．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角 ， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且
．
(1)证明： ；
(2)若 为 的角平分线，交 于 点，且 ．求 的值．
例题4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，分别以 ， ， 为直径的三个半圆的面积依次为 ， ， ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，且 的面积为 ， ，求 ．练透核心考点
1．（2023·陕西汉中·统考二模）若三角形 的内角 所对的边分别为 ，且 ， ，
其面积 ，则边 =________．
2．（2023·河南安阳·统考二模）已知 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 的面积为 ， ，点D为边BC的中点，求AD的长．
3．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在 中， ， ，点 在边 上，
.
(1)求 的长；
(2)若 的面积为 ，求 的长.4．（2023·山东枣庄·统考二模）已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ，
△
，且 ．
(1)求A；
(2)若 ， ABC的面积为 ，求a．
△
高频考点三：求三角形面积最值
典型例题
例题1．（2023·江西南昌·统考一模）如图，一块三角形铁片 ，已知 ， ，
，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点 ， ， .如果过点 作一条直线
分别交 ， 于点 ， ，并沿直线 裁掉 ，则剩下的四边形 面积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2023·贵州·统考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
， ，则 面积的最大值为___________.
例题3．（2023·山西太原·统考一模）在 中， 分别为内角 的对边，点 在 上，
.
(1)从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求 ；
(2)在（1）的条件下，求 面积的最大值.条件①： ；
条件②： .
注：若条件①和条件②分别解答，则按第一个解㯚计分.
例题4．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在四边形 中，已知 ， ，
．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值．
练透核心考点
1．（2023·四川遂宁·统考二模） 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .若
，且 ，则 面积的最大值为___________.
2．（2023·全国·校联考二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的最大值.3．（2023·广西桂林·统考模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 外一点（ 、 在直线 两侧）， ， ，求四边形 面积的最
大值．
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若________．
在以下两个条件中任选一个补充在横线上：① ；② ，并解
答下列问题．
(1)求角A；
(2)若 ，求 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．高频考点四：求三角形面积取值范围
角度1：普通三角形面积取值范围
典型例题
例题1．（2023·河南新乡·统考二模）如图，在 中， ， 在 上， ， ，
．
(1)求 的值；
(2)求 面积的取值范围．
例题2．（2023春·山西·高一统考阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．
(1)若 ，求角 的值；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 面积的取值范围．例题3．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求角 ；
(2)若点 满足 ，且 ，求 面积的取值范围．
练透核心考点
1．（2023·山东临沂·统考一模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
2．（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
．
(1)若 ，求B的大小；
(2)若△ABC不是钝角三角形，且 ，求△ABC的面积取值范围．3．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且满足
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 的取值范围．
角度2：锐角三角形面积取值范围
典型例题
例题1．（2023·山东德州·统考一模）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求证： ；
(2)若 的角平分线交 于 ，且 ，求 面积的取值范围．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围.例题3．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且满足 ， .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求三角形 面积的取值范围.
练透核心考点
1．（2023·河北石家庄·统考一模）已知 内角 所对的边长分别为
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
2．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角 中，角A， ， 所对的边分别为 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的取值范围．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考阶段练习）在 中，a，b，c
分别为角A，B，C的对边，且 .
(1)求角A；
(2)若 为锐角三角形，边 ，求 面积的取值范围.
第四部分：数学文化题
1．（2023·江苏常州·校考一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔
子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为 ，则 ， ，
.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据
改图所揭示的几何性质，计算 （ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2．（2023·全国·模拟预测）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，他是由德国机械学家莱洛
首先发现的，故而得名．它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成
的一条封闭曲线，如图所示．现在我们要制作一个高为10的柱形几何体，其侧面与底面垂直，底面为一莱
洛三角形ABC，且正三角形ABC边长为2，则该几何体的体积为（ ）A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是
内的一点， 的面积分别为 ，则有 ．设O是
锐角 内的一点， 分别是 的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若O为 的垂心，则
4．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那
么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的
守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田
里划一块形为平面四边形 的麦田成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量
知 ， ．
(1)霍尔顿发现无论 多长， 都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，求出此
定值；若不正确，请说明理由.
(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记 与 的面积分别为 和
，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 的最大值．第五部分：高考新题型
1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）在① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问
题的横线上，并加以解答.问题： 的内角 所对的边分别为 ，且满足________.
(1)求A；
(2)若 ，且 ，求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
2．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
；
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，_________求 ．
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，
并完成解答（如果选择多个条件解答，按第一个解答记分）．3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．已知
．
(1)求角 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，求
的面积．
条件①： ， ；
条件②： ， ；
条件③： ， ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
4．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 的内角 所对的边分别为
.
(1)求 ；
(2) 为 内一点， 的延长线交 于点 ，___________，求 的面积.
请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.
① 的三个顶点都在以 为圆心的圆上，且 ；
② 的三条边都与以 为圆心的圆相切，且 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
