文档文本内容
第 08 讲 拓展三：三角形中面积问题
（含定值，最值，取值范围）(精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................4
高频考点一：求三角形面积（定值问题）.............................4
高频考点二：根据三角形面积求其它元素............................11
高频考点三：求三角形面积最值....................................18
高频考点四：求三角形面积取值范围................................24
角度1：普通三角形面积取值范围................................24
角度2：锐角三角形面积取值范围................................29
第四部分：数学文化题...............................................35
第五部分：高考新题型...............................................39
温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背
1、三角形面积的计算公式：
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
2、三角形面积最值：
核心技巧：利用基本不等式 ，再代入面积公式.
3、三角形面积取值范围：
核心技巧：利用正弦定理 ， ，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取
值范围，求面积的取值范围.
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·统考高考真题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ．
【详解】（1）由于 ， ，则 ．因为 ，
由正弦定理知 ，则 ．（2）因为 ，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，而 ， ，
所以 的面积 ．
2．（2021·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，
， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
3．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以
a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ，已知 ．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得 ，则，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
（2）由正弦定理得： ，则 ，则 ，
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：求三角形面积（定值问题）
典型例题
例题1．（2023·江苏南通·二模）记 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中， ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，即 （*），
又 ．所以 ，即 ，
又 ，所以 ，由（*）知， ，
所以 ；
（2）因为 ，由正弦定理，得 ．
又 ，所以 .
所以 的面积为 .
例题2．（2023·湖南常德·统考一模）如图，在 中，已知角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，角 的平分线交 于点 ，且 ， .
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ，则 ，则∠BAC=2θ，
由 ，
得： ，
即 ，化简得 ，
∴ ，解得： ，
又 ，∴ ，即 .
（2）在 ABD中，由余弦定理有 ，①
△在 ADC中，由余弦定理有 ，②
在△ABC中，由余弦定理有 ，③
△
得 ，
又 ，∴ ，
又 ，即 ，代入上式可解得 ，
∴ .
例题3．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形 中， ，
， ．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）如图，在 中，由正弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
而 ， ，故 ，
又 ，所以得到 ．
因为 ，故 ，故 ．
（2）因为 ，且 ，
故 ， 为等边三角形．
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
故梯形ABCD的面积 ．例题4．（2023·全国·模拟预测）设 ， ， 分别为 的内角 ， ， 的对边，且
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)20
【详解】（1）解法一：由 及正弦定理可得 ，整理
得 ．
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，又 ， ，
则 ，所以 ．
解法二：由 及余弦定理可得 ，
整理得 ．
因为 ，即 ．
（2）因为 ， ，即 ，两边同时平方，有 ，所以
， ．
又由（1）知 ，则 ，所以 ．
又 ，解得 ，所以 的面积为
练透核心考点
1．（2023·云南昭通·统考模拟预测）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足
.从① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个作为
已知条件.
(1)求角 的大小；
(2)点 在线段 的延长线上，且 ，若 ，求 的面积.【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 得： ；
若选① ，则有 ，由余弦定理得
；
若选② ，由 代入上式，得：
；
若选③ ，则 为直角三角形， ，
；
综上， ；
（2）
由（1）知 ， ， ，由余弦定理得：
，
，在 中，由正弦定理得：
，
， ，
；
综上， ， .
2．（2023·北京西城·统考一模）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点， ．
(1)求 的值；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ；
（2）由（1）得 ，
由题设， ，即 为等腰三角形，
所以 ，
，
所以 的面积 ．
3．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且 ，
(1)求角A的大小：
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)【详解】（1）解：根据题意 ，得 ，
由正弦定理得 ，即 ，
得 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ．
（2）由 ，得 ，又 ， ，
由余弦定理可得 ，解得 ，
所以 ．
4．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）设 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知
， .
(1)求C的值；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵A、B、C是 的内角，得 ，又 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
（2）由正弦定理 可得 ，
∵ ， ， ， ，∴ ，得 ，
∴由正弦定理可得 ，得 ， .
∴ 的面积为 .
5．（2023·福建莆田·统考二模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，D为 的中点，
且 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，在 中，由余弦定理可知：
，
在 中，由余弦定理可知：
，
因为 ，所以 ，
则 ，整理化简可得： ，
所以 .
（2）由（1）可知： ，因为 ，在 中，由余弦定理可知：
，
整理可得： ，解得： ，因为 ，
所以 ，
则 ，所以 .
高频考点二：根据三角形面积求其它元素
典型例题
例题1．（2023·青海·校联考模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对应的边分别是 ， ， ，
若 的面积是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由余弦定理可得：
由条件及正弦定理可得：
，
所以 ，则 ．
故选：A
例题2．（2023·北京海淀·统考一模）在 中， ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在
且唯一确定，求 的值．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答
计分．
【答案】(1)(2)选②或③，
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得， ，
又 ，所以 ，得到 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，得到 ，
所以 .
（2）选条件①：
由（1）知， ，根据正弦定理知， ，即 ，
所以角 有锐角或钝角两种情况， 存在，但不唯一，故不选此条件.
选条件②：
因为 ，所以 ，
又 ，得到 ，代入 ，得到 ，解得 ，所以 ，
由余弦定理得， ，
所以 .
选条件③：
因为 ，所以 ，
由 ，得到 ，
又 ，由(1)知 ，
所以又由正弦定理得， ，得到 ，
代入 ，得到 ，解得 ，所以 ，
由余弦定理得， ，
所以 .
例题3．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角 ， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且
．
(1)证明： ；
(2)若 为 的角平分线，交 于 点，且 ．求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为 ，由正弦定理 得：
，又 ，
所以 ，整理得 ．
又 ，则 ，即 .
（2）因为 为 的平分线，且 ，
所以 ，则 ，
所以 ，可得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得，所以 ，
由正弦定理 得 .
例题4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考二模）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ，
， ，分别以 ， ， 为直径的三个半圆的面积依次为 ， ， ．
(1)若 ，证明： ；
(2)若 ，且 的面积为 ， ，求 ．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)1
【详解】（1）由题意知， ， ， ．
因为 ，即 ，
所以 ，所以 ．
（2）因为 ，即 ，
由余弦定理，得 ．
又 的面积为 ，即 ，
可得 ，则 ， ， ．
又因为 ，
而 ，
所以 ．
由正弦定理，得 ，
则 ，则 ， ．
练透核心考点
1．（2023·陕西汉中·统考二模）若三角形 的内角 所对的边分别为 ，且 ， ，
其面积 ，则边 =________．
【答案】 或
【详解】∵ 的面积 ，即 ，解得 ，
注意到 ，故 或 ，
若 ，由余弦定理： ，即 ；
若 ，由余弦定理： ，即 ；
综上所述： 或 .
故答案为： 或 .
2．（2023·河南安阳·统考二模）已知 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 的面积为 ， ，点D为边BC的中点，求AD的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ．
由余弦定理可得 ，
又 ，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
即 ，
又 ，则 ，所以 ．
所以 ， ．
所以 ，
所以 ．
在△ACD中，由余弦定理可得 ，
即 ．
3．（2023·北京石景山·统考一模）如图，在 中， ， ，点 在边 上，
.
(1)求 的长；
(2)若 的面积为 ，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，所以
在 中，因为
所以
在 中，由正弦定理得，所以 ；
（2） 的面积为 ，得
因为 ，所以
又因为 ，所以
在 中，由余弦定理得
所以 .
4．（2023·山东枣庄·统考二模）已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 ，
△
，且 ．
(1)求A；
(2)若 ， ABC的面积为 ，求a．
△
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）由 得 ，
又 ，所以 ．
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
即 ．又A为 ABC的内角，所以 ．
△
（2）由 得， ，
解得 ．
又根据余弦定理得 ，
所以 ．高频考点三：求三角形面积最值
典型例题
例题1．（2023·江西南昌·统考一模）如图，一块三角形铁片 ，已知 ， ，
，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点 ， ， .如果过点 作一条直线
分别交 ， 于点 ， ，并沿直线 裁掉 ，则剩下的四边形 面积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设
则
=
化简得：
，当且仅当 ，即 时取得等号，故
而
当 面积的最小时，剩下的四边形 面积的最大为
故选：A
例题2．（2023·贵州·统考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若
， ，则 面积的最大值为___________.
【答案】 ##
【详解】由余弦定理及 ,得 ，
∴ ，
∵A是三角形内角，故A为锐角，∴ ，
∴ 的面积 ．
故答案为：
例题3．（2023·山西太原·统考一模）在 中， 分别为内角 的对边，点 在 上，
.
(1)从下面条件①、②中选择一个条件作为已知，求 ；
(2)在（1）的条件下，求 面积的最大值.
条件①： ；
条件②： .
注：若条件①和条件②分别解答，则按第一个解㯚计分.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）解：选择条件①： ，
由题意可得 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理 可得 ，
因为 ，则 ， ，故 ；
选择条件②： ，
由题意可得 ，
即 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
.
（2）解：由（1）得 ，则 ，即 ， ，
，
，
，
当且仅当 时， 的面积取最大值 .
例题4．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在四边形 中，已知 ， ，
．
(1)若 ，求 的长；
(2)求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由余弦定理，得 ，
∴ ，整理得 ,
解得 或 （舍去）．
∴ ，
而 ,故 ,
∴ ，
故在 中，
，∴ ；
（2）设 ,则在 中， ,
则 ，
所以
，
当 ，即 时， 面积取到最大值 .
练透核心考点
1．（2023·四川遂宁·统考二模） 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .若
，且 ，则 面积的最大值为___________.
【答案】 ##
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
所以， ，
因为 、 ，则 ，所以， ，故 ，
由余弦定理可得 ，
所以， ，则 .
当且仅当 时，等号成立，故 面积的最大值为 .
故答案为： .
2．（2023·全国·校联考二模）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，角 与角 的内角平分线相交于点 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（1）由正弦定理及 ，
得
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，故 .
（2）因为 为角 的平分线， 为角 的平分线，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
由余弦定理知 ，
所以 ，
故 ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立.
所以 ，
即 面积的最大值为 .
3．（2023·广西桂林·统考模拟预测）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
．(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 外一点（ 、 在直线 两侧）， ， ，求四边形 面积的最
大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，故 ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ．
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
又 ，由（1）可知 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵ ．
∴ ，
∴当 时，四边形 的面积有最大值，最大值为 ．
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若________．
在以下两个条件中任选一个补充在横线上：① ；② ，并解
答下列问题．(1)求角A；
(2)若 ，求 面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）若选①：因为 ，
所以由正弦定理得 ，
即 ，
又由余弦定理得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
选②：由 得 ，
则由正弦定理得 ，
因为A， ，所以 ，所以 ，
所以 ．
（2）由（1）可知 ，则由余弦定理得
，当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以 面积的最大值为 ．
高频考点四：求三角形面积取值范围
角度1：普通三角形面积取值范围
典型例题
例题1．（2023·河南新乡·统考二模）如图，在 中， ， 在 上， ， ，
．(1)求 的值；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）因为 ， ， ，
所以 ，
，
故 ，即 ，
则在 中，根据正弦定理可得， ；
（2）设 ，则 ，由 解得 ，
在 中， ，
则 ，
，
由 ，得 ，
则 ，
故 面积的取值范围为 ．
例题2．（2023春·山西·高一统考阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，且
．(1)若 ，求角 的值；
(2)若 外接圆的周长为 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以由余弦定理得 ，解得 ，
所以由正弦定理可得 ，
由 ，得 ，即 ，
又因为 ， ，且 ，
所以 ，解得 ．
由 知， 不是最大边，故 ．
（2）因为 外接圆的周长为 ，所以 外接圆的半径 ，
又因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 的面积 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
例题3．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角 的对边分别为 ．
(1)求角 ；
(2)若点 满足 ，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，且 ．
（2） ，
．
，
．
．
因为点 满足 ，所以 ,
．
练透核心考点
1．（2023·山东临沂·统考一模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）在 中，由已知及正弦定理得： ，即有 ，即 ，而 ， ，则 ，
所以 ．
（2）在 中，由余弦定理 得： ，
因此 ，即 ，当且仅当 时取等号，
又 ，
所以 面积的取值范围是 ．
2．（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，
．
(1)若 ，求B的大小；
(2)若△ABC不是钝角三角形，且 ，求△ABC的面积取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 .
因为A，B，C为△ABC的内角，所以 或 .
因为 ，所以 （ 不合题意，舍去）.
所以 ，而 ，所以 .
（2）由（1）可知： 或 .
当 时，有 ，这与△ABC不是钝角三角形相矛盾，不合题意，舍去；
当 时， ，所以△ABC是直角三角形，所以 ，即 .
而 .因为 ，所以 （当且仅当 时等号成立）.
又 ，所以 ，所以 ，即△ABC的面积取值范围为 .
3．（2023·全国·高一专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且满足
．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 可得 ，
故 ，由正弦定理得 ，
即 ，
、 ，则 ，所以 ，故 .
（2）由正弦定理可得 ，则 ， ，
，
，则 ，所以 ，
故 .
角度2：锐角三角形面积取值范围
典型例题
例题1．（2023·山东德州·统考一模）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且．
(1)求证： ；
(2)若 的角平分线交 于 ，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ，由正弦定理得
又 ，所以
因为 为锐角三角形，所以 ， ，
又 在 上单调递增，所以 ，即 ；
（2）由（1）可知， ，所以在 中， ，
由正弦定理得： ，所以 ，
所以 ．
又因为 为锐角三角形，所以 ， ， ，解得 ，
所以 ，即 面积的取值范围为 ．
例题2．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ，因为 ，所以 .
（2）由（1）可知， ，故 ，因为 ，
所以
因为 ， ，
所以 ，故 ，所以 ，则 .
所以 ，
所以 面积的取值范围是 .
例题3．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且满足 ， .
(1)求 的取值范围；
(2)若 ，求三角形 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，且 都为锐角，所以 ，
，
所以 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
整理得 ，即有 ，
所以 ，即 ，所以 .在锐角三角形中， ,且 ，所以 ；
令 ，则 ， ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 为增函数，
又 ，所以 ，即 的取值范围是 .
（2）由（1）得 .
因为 ，由 ，得 ；
设三角形ABC的面积为 ,则
，
因为 ，所以 ，
设 ， ， ， ， 为减函数，
所以 ，所以 .
练透核心考点
1．（2023·河北石家庄·统考一模）已知 内角 所对的边长分别为.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，又 ，则 .
（2）法一： 为锐角三角形， ，则 ，
所以 ，可得 ，
又 ，则 ，故
由 ，即 而 ，
所以 ，故 面积的取值范围为 .
法二：由 ，画出如图所示三角形，
为锐角三角形，
点 落在线段 （端点 除外）上，
当 时， ，
当 时， ，
.2．（2023·四川凉山·统考一模）在锐角 中，角A， ， 所对的边分别为 ．
(1)求A；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，由 得 ．
（2）因为 ，
由正弦定理得 ，
由 可得 ，
所以 ，则 ，故 ，
所以 的面积 ．
即 面积的取值范围为 ．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校考阶段练习）在 中，a，b，c
分别为角A，B，C的对边，且 .
(1)求角A；
(2)若 为锐角三角形，边 ，求 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）法一：因为 .
由正弦定理得 ，
又 ，所以 .
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以， .
法二：因为 ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，
所以 .
又 ，所以 .
（2）由（1）得 ，
根据题意得 解得 .
在 中，由正弦定理得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
所以
所以 的取值范围是 .第四部分：数学文化题
1．（2023·江苏常州·校考一模）意大利数学家斐波那契于1202年写成《计算之书》，其中第12章提出兔
子问题，衍生出数列：1，1，2，3，5，8，13，….记该数列为 ，则 ， ，
.如图，由三个图（1）中底角为60°等腰梯形可组成一个轮廓为正三角形（图（2））的图形，根据
改图所揭示的几何性质，计算 （ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【详解】从图（2）可得到正三角形的面积等于三个等腰梯形的面积加上小正三角形的面积，
所以 ，
整理可得 ，
由此可推断出 也可构成以下正三角形，
所以 ，
整理可得 ，所以
故选：B
2．（2023·全国·模拟预测）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，他是由德国机械学家莱洛
首先发现的，故而得名．它是分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成
的一条封闭曲线，如图所示．现在我们要制作一个高为10的柱形几何体，其侧面与底面垂直，底面为一莱
洛三角形ABC，且正三角形ABC边长为2，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 为等边三角形，
所以 ，
则莱洛三角形ABC的面积 ，
则该柱形几何体的体积 ，
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是
内的一点， 的面积分别为 ，则有 ．设O是
锐角 内的一点， 分别是 的三个内角，以下命题不正确的有（ ）
A．若 ，则O为 的重心
B．若 ，则C．若 ， ，则
D．若O为 的垂心，则
【答案】C
【详解】对于A：如下图所示，
假设 为 的中点，连接 ，则 ，故 共线，即 在中线 上，
同理可得 在另外两边 的中线上，故O为 的重心，即A正确；
对于B：
由奔驰定理O是 内的一点， 的面积分别为 ，
则有 可知，
若 ，可得 ，即B正确；
对于C：
由 可知， ，
又 ，所以
由 可得， ；
所以 ，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知， ，则
，
同理， ，
因为O为 的垂心，则 ，
所以 ，同理得 ，
，
则 ，
令 ，由 ，则 ，
同理： ，
，
综上， ，
根据奔驰定理得 ，即D正确.
故选：C
4．（2023春·河北保定·高一河北省唐县第一中学校考阶段练习）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那
么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的
守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿想在一望无际的麦田
里划一块形为平面四边形 的麦田成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量
知 ， ．
(1)霍尔顿发现无论 多长， 都为一个定值，试问霍尔顿的发现正确吗？若正确，求出此
定值；若不正确，请说明理由.
(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和有关，记 与 的面积分别为 和
，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出 的最大值．
【答案】(1)正确，1
(2)
【详解】（1）在 中，由余弦定理得： ，
即 ，
在 中， ，
即
因此 ，即 ，
所以 ．
（2）因为 ，，
于是得
由（1）知 ，
因此
，
在 中， ，
在 中， ，则 ，
由 ，得 ，
即有 ，
从而当 时， ，
所以 的最大值是 ．
第五部分：高考新题型
1．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）在① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问
题的横线上，并加以解答.问题： 的内角 所对的边分别为 ，且满足________.
(1)求A；
(2)若 ，且 ，求 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选择①， ,
由正弦定理，得 ,而 ,故 ,
.
选择②， ,
由正弦定理，得 ，整理得 ，
又 而 .
选择③， ，
由正弦定理，得 ，
即 ，即 ,
又 ，
所以 ,故 .
（2）由若 ，且 ，可得 ，
故 ，即 ，
故 .
2．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
；
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，_________求 ．
请在① ；② ；③ 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，
并完成解答（如果选择多个条件解答，按第一个解答记分）．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，由 得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．（2） 的面积为 ，所以 ．
由（1）知 ，所以 ，
若选①： ．
根据余弦定理知，
所以 ，解得
若选②：
根据余弦定理知
解得
若选③：
则 ，即
因为 ，所以 ，
所以 ，结合 ，可得 ，
所以 ．
3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．已知
．
(1)求角 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，求
的面积．
条件①： ， ；
条件②： ， ；
条件③： ， ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 ，所以 .因为 ，所以 .
（2）选①：由余弦定理 可得， .
即 ，此时 ，无解，不合题意.
选②：由余弦定理可得 ，整理得 ，
解得 或 （舍），即 .
满足 存在且唯一确定，则 的面积为 .
选③： ，由正弦定理可得 .
由余弦定理 可得， ，即 .
解得 ，
当 时， ，不合题意；
所以 ，满足 存在且唯一确定，
则 的面积为
4．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 的内角 所对的边分别为
.
(1)求 ；
(2) 为 内一点， 的延长线交 于点 ，___________，求 的面积.
请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.
① 的三个顶点都在以 为圆心的圆上，且 ；
② 的三条边都与以 为圆心的圆相切，且 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在 中，因为 ，所以 ，由正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，
化简，得 ，因为 ，所以 .
（2）选条件①：
设 的外接圆半径为 ，
则在 中，由正弦定理得 ，即 ，
由题意知： ，
由余弦定理知： ，
所以 .
在 中，由正弦定理知： ，
所以 ，
从而 ，所以 为等边三角形，
的面积 .
选条件②：
由条件知： ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
由（1）可得 ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 的面积 .
