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第 09 讲 二次函数的双参数问题与整体加绝对值问题
【典型例题】
例1．（2024·湖北·一模）记 ， 分别表示函数 在 上的最大值和最小值．
则 ．
例2．（2024·高三·北京丰台·期末）已知函数 ，当 时，记函数 的最大值为
，则 的最小值为（ ）
A．3.5 B．4
C．4.5 D．5
例3．（2024·高一·广东汕头·阶段练习）若实数 满足关系式 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例4．（2024·高三·广东深圳·阶段练习）若函数 在区间 存在零点，则
的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
例5．（2024·浙江宁波·一模）已知函数 ，若不等式 在 上恒成立，则满
足要求的有序数对 有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
例6．（2024·高三·江苏南通·开学考试）记函数 在区间 上的最大值为 ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．1
例7．（2024·高一·浙江湖州·期末）设 ，若 函数在区间 上有两个不同的零点，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
例8．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知函数 ，对一切 ，都有 ，
则当 时， 的最大值为 .
例9．（2024·高三·浙江台州·期末）若函数 在 上有零点，则 的最小值为
．例10．（2024·上海金山·一模）关于 的方程 在 上有实根，则 的
最小值为 .
例11．（2024·高三·江苏·单元测试）已知二次函数 的图象与x轴有两个不同
的公共点，且 ，当 时，恒有 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，且 ,求a的值；
(3)若 ，且 对所有 恒成立，求正实数m的最小值.
例12．（2024·高二·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数 .
（1）若对任意的实数 ，都有 ，求 的取值范围；
（2）当 时， 的最大值为M，求证： ；
（3）若 ，求证：对于任意的 ， 的充要条件是
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高二·浙江·期末）已知 ，对任意 ，均有 ，则当 时，
函数 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·四川达州·模拟预测）二次函数 的导数为 ，对一切 ， ，又
，则 的最小值是( )
A． B． C． D．
3．（2024·高三·河北张家口·阶段练习）二次函数 ，若 ，且函数 在上有两个零点，求 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知关于 的方程 有实根且实根均在区间
内，若 ， ，则实数 的最小值为
A．1 B． C． D．
5．（2024·高一·浙江湖州·期末）已知 ， ， ，若当 时，
恒成立，则 的最大值是（ ）
A．-6 B．-2 C．2 D．6
6．（2024·高三·全国·竞赛）对一切实数 ，所有的二次函数 的值均为非负实数.则
的最大值是（ ）.
A． B．
C．3 D．2
二、填空题
7．（2024·高一·山东日照·期末）设 表示函数 在闭区间 上的最大值．若正实数 满
足 ，则正实数 的取值范围为 ．
8．（2024·高二·江苏·专题练习）设二次函数 在 上至少有一
个零点，则 的最小值为 .
9．（2024·高三·浙江·阶段练习）已知 ，函数 .若函数 在区间 上有两个
零点，则 的取值范围是 .若其在区间 上至少有一个零点，则 的最小值是
.
10．（2024·上海徐汇·二模）设二次函数 ，（ 且 ）在 上
至少有一个零点，则 的最小值为 .
11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的方程 在区间 上有实根，那么
的最小值为 ．
12．（2024·高三·浙江杭州·阶段练习）若关于 的方程 在区间 上有实根,则
的最小值是 ．
13．（2024·高三·辽宁·竞赛）若关于 的方程 有实根，则 的最小值为 .
14．（2024·高三·全国·专题练习）已知关于 的方程 ，在 ， 上有实根，且
，则 的最大值为 .
15．（2024·浙江杭州·）已知对任意实数 ，二次函数 恒非负，且 ，则
的最小值是
三、解答题
16．（2024·高一·浙江·期末）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 在区间 上的最大值 的表达式；
（2）已知函数 在区间 上存在零点，且 ，求实数b的取值范围．
17．（2024·高一·四川雅安·阶段练习）设二次函数 ．
（1）当 时，求函数 在 上的最小值 的表达式；
（2）若方程 有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数 ，使得
．
18．（2024·高二·浙江杭州·期末）设函数 ．
(1)若 ，函数 在 的值域是 ，求函数 的表达式；
(2)令 ，若存在实数 ，使得 |与 |同时成立，求 的取值范围
19．（2024·高三·江苏南京·期中）设二次函数 .
（1）若 ，求 的解析式；（2）当 ， 时，对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设函数 在两个不同零点 ，将关于 的不等式 的解集记为 .已知函数 的最小值为
，且函数 在 上不存在最小值，求实数 的取值范围.
20．（2024·高三·河北·学业考试）已知二次函数 （ 且 ），其
对称轴为 ，函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)当 时，求函数 在区间 上的最小值和最大值；
(3)若函数 有两个零点 ， ，且 ，求证： ．
21．（2024·高一·江苏苏州·期中）已知二次函数 .
(1)若 的解集为 ，求不等式 的解集；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的最大值；
(3)若对任意 ， 恒成立，求 的最大值.
