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1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之不等式与不等式组（一）
一．选择题（共11 小题）
1．（2026•齐齐哈尔）如果关于x 的分式方程2-m
x -3 -1= 2 x
3- x 的解为正数，那么实数m 的取值范围是（
）
A．m＞5 且m≠8
B．m＞1 且m≠7
C．m＞5
D．m＜5 且m≠﹣4
2．（2026•广东）若点P（2m﹣1，m）在第一象限，则m 的取值范围是（ ）
A．m＜- 1
2
B．m＜0
C．0＜m＜1
2
D．m＞1
2
3．（2026•广元）若关于x 的不等式组{
x +a＜3
b-2 x＜0的解集为- 1
2 ＜x＜1，则a+b 的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．1
2
D．- 1
2
4．（2026•黑龙江）在第25 届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，
某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300 元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20 元/个
钢笔15 元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（ ）
A．3 种
B．4 种
C．5 种
D．6 种
5．（2026•深圳）不等式组{
-2 x +1＜5
1
2 ( x -1)＜1的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026•新疆）不等式2x﹣3＞1 的解集为（ ）
A．x＜﹣1
B．x＞﹣1
C．x＜2
D．x＞2
7．（2026•乐山）下列各数是不等式x﹣1＞0 的解的是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
8．（2026•烟台）若整数m 使关于x 的一元一次不等式组{
x +3＞0
4 x -3＜m有且只有3 个整数解，且关于y 的
分式方程2- 3m
1- y = y + 4 m
y -1 的解为非负数，则符合条件的所有整数m 的和为（ ）
A．0
B．﹣1
C．﹣2
D．﹣3
9．（2026•遂宁）关于x 的不等式组{
2 x ≥x -3
- x +1＞k 的解集在数轴上的表示如图所示，则k 的值为（ ）
2
A．﹣2
B．﹣1
C．3
D．4
10．（2026•遂宁）已知点P（a+2，﹣1）是第三象限内一点，则a 的取值范围是（ ）
A．a＞2
B．a＞﹣2
C．a＜﹣2
D．a≤﹣2
11．（2026•达州）食盐的主要成分是NaCl，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在
1%～1.5%时，汤咸淡适中，味道最佳．小明向锅里倒入1000mL 水，要想烧出味美的汤，可放入盐（
）（水的密度是1g/cm3，1mL＝1cm3）
A．6g
B．12g
C．18g
D．25g
二．填空题（共7 小题）
12．（2026•吉林）不等式x+2＞5 的解集为 ．
13．（2026•广元）已知m＞n，比较大小：3m+5n 2m+6n．
14．（2026•黑龙江）关于x 的不等式组{
x -a＞1
1+ x ≤3 只有3 个整数解，则a 的取值范围是 ．
15．（2026•宜宾）不等式3x﹣2＞5x﹣4 的解集是 ．
16．（2026•眉山）若关于x 的不等式组{
3 x +1
2
-1≥x
x＜m
无解，且关于x 的分式方程1
x -1 + x -m
1- x =1的解为
正数，则符合条件的所有整数m 的值为 ．
17．（2026•连云港）不等式x﹣1＜0 的解集是 ．
18．（2026•凉山州）不等式组{
2 x -1＞x +1
x +8＜4 x -1的解集是 ．
三．解答题（共4 小题）
19．（2026•北京）解不等式组：{
3( x +1)＞x -3
3 x - 4
2
＜x -1 ．
20．（2026•陕西）解不等式组：{
x -2＜3
3 x +1
4
＞x -1
2
．
21．（2026•甘孜州）（1）计算：|-√2|+（2026﹣π）0﹣2cos45°．
（2）解不等式组：{
2 x -1≥x +1①
3 x -3
2
＜x ②．
22．（2026•齐齐哈尔）求不等式组{
2 x -1＞0①
1- x ≥2 x -8 ②的所有整数解．
3
4
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之不等式与不等式组（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共11 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
A
B
A
D
A
B
B
C
B
一．选择题（共11 小题）
1．（2026•齐齐哈尔）如果关于x 的分式方程2-m
x -3 -1= 2 x
3- x 的解为正数，那么实数m 的取值范围是（
）
A．m＞5 且m≠8
B．m＞1 且m≠7
C．m＞5
D．m＜5 且m≠﹣4
【考点】解一元一次不等式；分式方程的解．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列得关于m 的不等式，解不等式即可．
【解答】解：原方程去分母得：2﹣m﹣x+3＝﹣2x，
整理得：x＝m﹣5，
∵该方程的解为正数，
∴x＞0 且x﹣3≠0，
即m﹣5＞0 且m﹣5﹣3≠0，
解得：m＞5 且m≠8，
故选：A．
【点评】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解不等式及方程的方法是解题的关键．
2．（2026•广东）若点P（2m﹣1，m）在第一象限，则m 的取值范围是（ ）
A．m＜- 1
2
B．m＜0
C．0＜m＜1
2
D．m＞1
2
【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据点P（2m﹣1，m）在第一象限，可以得到{
2m-1＞0
m＞0
，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（2m﹣1，m）在第一象限，
∴{
2m-1＞0
m＞0
，
解得m＞1
2，
故选：D．
5
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
3．（2026•广元）若关于x 的不等式组{
x +a＜3
b-2 x＜0的解集为- 1
2 ＜x＜1，则a+b 的值是（ ）
A．1
B．﹣1
C．1
2
D．- 1
2
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先用a、b 表示出不等式组的解集，再由- 1
2 ＜x＜1 求出a、b 的值，进而可得出结论．
【解答】解：{
x +a＜3①
b-2 x＜0 ②，
由①得，x＜3﹣a，
由②得，x＞b
2，
∴不等式组的解集为：b
2 ＜x＜3﹣a，
∵关于x 的不等式组{
x +a＜3
b-2 x＜0的解集为- 1
2 ＜x＜1，
∴b
2 =- 1
2，3﹣a＝1，
解得b＝﹣1，a＝2，
∴a+b＝2﹣1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
小找不到”是解题的关键．
4．（2026•黑龙江）在第25 届米兰冬奥会上，我国冰雪健儿取得了骄人的成绩．为了弘扬中华体育精神，
某中学开展“冰雪运动进校园”活动．学校计划用300 元购买笔记本和钢笔两种奖品，笔记本20 元/个
钢笔15 元/个．所有资金恰好用完，则购买方案有（ ）
A．3 种
B．4 种
C．5 种
D．6 种
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用．
【答案】B
【分析】根据总资金列出方程，再结合x，y 为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案．
【解答】解：设购买笔记本x 个，钢笔y 个，x，y 均为正整数，
由题意得20x+15y＝300，
两边同除以5 化简得4x+3y＝60，
6
整理得y =20- 4 x
3 ，
∵y 是正整数，4 与3 互质，
∴x 必须是3 的倍数，
又∵y＞0，
∴20- 4 x
3 ＞0，解得x＜15，
结合x＞0 可得，x 的取值为3，6，9，12，共4 种不同取值，
故有4 种购买方案，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用，掌握其相关知识点是解题的
关键．
5．（2026•深圳）不等式组{
-2 x +1＜5
1
2 ( x -1)＜1的解集在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：{
-2 x +1＜5①
1
2 ( x -1)＜1 ②，
解不等式①得x＞﹣2；
解不等式②得x＜3；
则不等式组的解集为﹣2＜x＜3，
解集在数轴上表示如下：
．
故选：A．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知以上知识是解题的
关键．
7
6．（2026•新疆）不等式2x﹣3＞1 的解集为（ ）
A．x＜﹣1
B．x＞﹣1
C．x＜2
D．x＞2
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1 的步骤计算即可得到解集．
【解答】解：移项得，2x＞1+3，
合并同类项得，2x＞4，
解得x＞2，
∴不等式的解集为x＞2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键．
7．（2026•乐山）下列各数是不等式x﹣1＞0 的解的是（ ）
A．2
B．1
C．0
D．﹣1
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．
【解答】解：由x﹣1＞0 得，x＞1，
显然只有A 选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
8．（2026•烟台）若整数m 使关于x 的一元一次不等式组{
x +3＞0
4 x -3＜m有且只有3 个整数解，且关于y 的
分式方程2- 3m
1- y = y + 4 m
y -1 的解为非负数，则符合条件的所有整数m 的和为（ ）
A．0
B．﹣1
C．﹣2
D．﹣3
【考点】一元一次不等式组的整数解；分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】解各不等式后根据题意确定m 的取值范围，然后解分式方程后根据题意求得m 的取值范围，
据此求得符合题意的整数m 的值，最后将它们相加并计算即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣3，
解第二个不等式得：x＜m+3
4
，
∵原不等式组有且只有3 个整数解，
8
∴这3 个整数解必然为﹣2，﹣1，0，
∴0＜m+3
4
≤1，
解得：﹣3＜m≤1，
将原分式方程去分母得：2y﹣2+3m＝y+4m，
整理得：y＝m+2，
∵该方程的解为非负数，
∴y≥0 且y﹣1≠0，
∴m+2≥0 且m+2﹣1≠0，
解得：m≥﹣2 且m≠﹣1，
综上，﹣2≤m≤1 且m≠﹣1，
则m 的整数解为﹣2，0，1，
那么﹣2+0+1＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等
式组，熟练掌握解不等式及方程的方法是解题的关键．
9．（2026•遂宁）关于x 的不等式组{
2 x ≥x -3
- x +1＞k 的解集在数轴上的表示如图所示，则k 的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣1
C．3
D．4
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据数轴和解一元一次不等式组的方法进行解答．
【解答】解：由2x≥x﹣3，得x≥﹣3，
由﹣x+1＞k，得x＜1﹣k，
所以不等式组的解集：﹣3≤x＜1﹣k，
由数轴得到：﹣3≤x＜2，
∴1﹣k＝2，
解得k＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，掌握数轴和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
10．（2026•遂宁）已知点P（a+2，﹣1）是第三象限内一点，则a 的取值范围是（ ）
A．a＞2
B．a＞﹣2
C．a＜﹣2
D．a≤﹣2
【考点】解一元一次不等式；点的坐标．菁优网版权所有
9
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意，得出关于x 的不等式，据此进行求解即可．
【解答】解：由题知，
因为点P（a+2，﹣1）是第三象限内一点，
所以a+2＜0，
解得a＜﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及点的坐标，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
11．（2026•达州）食盐的主要成分是NaCl，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在
1%～1.5%时，汤咸淡适中，味道最佳．小明向锅里倒入1000mL 水，要想烧出味美的汤，可放入盐（
）（水的密度是1g/cm3，1mL＝1cm3）
A．6g
B．12g
C．18g
D．25g
【考点】一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】设可放入xg 盐，根据当盐水的浓度在1%～1.5%时汤咸淡适中，可列出关于x 的一元一次不
等式组，解之可得出x 的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论．
【解答】解：∵水的密度是1g/cm3，1mL＝1cm3，
∴1000mL 水的质量为1000g．
设可放入xg 盐，
根据题意得：{
x ≥1%(1000+ x)
x ≤1.5 %(1000+ x)，
解得：1000
99 ≤x≤3000
197 ，
∴x 的值可以为12．
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组
是解题的关键．
二．填空题（共7 小题）
12．（2026•吉林）不等式x+2＞5 的解集为x ＞
3
．
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【答案】x＞3
【分析】根据一元一次不等式的解法，移项，合并同类项即可得解．
10
【解答】解：移项得，x＞5﹣2，
合并同类项得，x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一
点而出错，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
13．（2026•广元）已知m＞n，比较大小：3m+5n ＞ 2m+6n．
【考点】不等式的性质．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】＞．
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵m＞n，
∴3m﹣2m＞6n﹣5n，
∴3m+5n＞2m+6n．
故答案为：＞．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
14．（2026•黑龙江）关于x 的不等式组{
x -a＞1
1+ x ≤3 只有3 个整数解，则a 的取值范围是 ﹣
2 ≤
a ＜﹣
1
．
【考点】一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2≤a＜﹣1．
【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，根据不等式组只有3 个整数解确定不等式组的整数解，
进而可确定a 的取值范围．
【解答】解：{
x -a＞1①
1+ x ≤3 ②，
解不等式①得x＞a+1，
解不等式②得x≤2，
∵关于x 的不等式组只有3 个整数解，
∴该不等式组的整数解为0，1，2，
∴﹣1≤a+1＜0，
∴﹣2≤a＜﹣1．
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关
11
键．
15．（2026•宜宾）不等式3x﹣2＞5x﹣4 的解集是x ＜
1
．
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜1．
【分析】根据一元一次不等式的方法求解即可．
【解答】解：3x﹣2＞5x﹣4
3x﹣5x＞﹣4+2，
﹣2x＞﹣2，
∴x＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16．（2026•眉山）若关于x 的不等式组{
3 x +1
2
-1≥x
x＜m
无解，且关于x 的分式方程1
x -1 + x -m
1- x =1的解为
正数，则符合条件的所有整数m 的值为 ﹣
1 ，
1
．
【考点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；分式方程的解．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用．
【答案】﹣1，1．
【分析】先解不等式组求得m 的取值范围，再解分式方程确定m 的最终范围，然后求得m 的整数解即
可．
【解答】解：解第一个不等式得：x≥1，
∵原不等式组无解，
∴m≤1，
将原方程去分母得：1+m﹣x＝x﹣1，
整理得：x= m+2
2
，
∵分式方程的解为正数，
∴x＞0 且x﹣1≠0，
则m+2
2
＞0 且m+2
2
-1≠0，
解得：m＞﹣2 且m≠0，
综上，﹣2＜m≤1 且m≠0，
则m 的整数解为﹣1，1，
故答案为：﹣1，1．
【点评】本题考查解一元一次不等式，解一元一次不等式组，分式方程的解，熟练掌握解方程及不等
12
式的方法是解题的关键．
17．（2026•连云港）不等式x﹣1＜0 的解集是x ＜
1
．
【考点】解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜1．
【分析】将原不等式移项即可．
【解答】解：x﹣1＜0，
移项得：x＜1，
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
18．（2026•凉山州）不等式组{
2 x -1＞x +1
x +8＜4 x -1的解集是x ＞
3
．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＞3．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤解答即可．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞x+1 得x＞2．
解不等式x+8＜4x﹣1 得x＞3，
故不等式组的解集为x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共4 小题）
19．（2026•北京）解不等式组：{
3( x +1)＞x -3
3 x - 4
2
＜x -1 ．
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3＜x＜2．
【分析】解各不等式得出对应的解集后求得它们的公共部分即可．
【解答】解：解第一个不等式得：x＞﹣3，
解第一个不等式得：x＜2，
故原不等式组的解集为﹣3＜x＜2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．
20．（2026•陕西）解不等式组：{
x -2＜3
3 x +1
4
＞x -1
2
．
13
【考点】解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣3＜x＜5．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：解不等式x﹣2＜3 得，x＜5，
解不等式3 x +1
4
＞x -1
2
得，x＞﹣3，
所以不等式组的解集为﹣3＜x＜5．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
21．（2026•甘孜州）（1）计算：|-√2|+（2026﹣π）0﹣2cos45°．
（2）解不等式组：{
2 x -1≥x +1①
3 x -3
2
＜x ②．
【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）2≤x＜3．
【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；
（2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：（1）原式=√2+1-2× √2
2
=√2+1-√2
＝1；
（2）解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜3，
所以不等式组的解集为2≤x＜3．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知
实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
22．（2026•齐齐哈尔）求不等式组{
2 x -1＞0①
1- x ≥2 x -8 ②的所有整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1
2 ＜x ≤3，不等式组的所有整数解是1，2，3．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：解不等式①，得x＞1
2，
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解不等式②，得x≤3，
所以不等式组的解集为1
2 ＜x ≤3，
则不等式组的所有整数解是1，2，3．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式
组的步骤是解题的关键．
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考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，
又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算
加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0 指数）运算、根式运算、特殊
三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运
算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
3．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
4．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0 的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产
生增根，增根是令分母等于0 的值，不是原分式方程的解．
5．不等式的性质
（1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm 或a
m ＞b
m；
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③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm 或a
m ＜b
m；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要
变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
【规律方法】
1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等
号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0 进行分类讨论．
2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．
6．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点
含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a 代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a 的范
围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
7．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同
类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1 可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不
等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形
式．
8．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题
的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等
关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
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9．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组
的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些
解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下
一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对
结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
11．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
12．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a 和b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x 轴（横轴），竖直数轴叫y 轴（纵轴），x 轴一般取向右为正方向，y 轴一
般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x 轴，又属于y 轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限
第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
13．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
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sin30°= 1
2； cos30°= √3
2 ；tan30°= √3
3 ；
sin45°= √2
2 ；cos45°= √2
2 ；tan45°＝1；
sin60°= √3
2
；cos60°= 1
2； tan60°=√3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
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