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专题2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
教学目标
1.学生在初中已经掌握解一元二次方程的基础上，进一步深化对配方法的理解；
2.通过对一元二次方程实根个数的讨论，进一步深入理解分类讨论的数学思想；
3.引入换元法解一元二次方程的思想，体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法；
4.结合具体的实际应用问题，让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算，提升数
学抽象、数学运算的学科素养.
教学重难点
教学重点：配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别.
教学难点：对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化.
知识点01 一元二次方程的解集
一元二次方程
，其判别式Δ=b2−4ac
(1)当Δ=b2−4ac >0
时，方程的解为
，
(2)当Δ=b2−4ac=0 时，方程的解为x1=x2=−b
2a ；
(3)当Δ=b2−4ac <0 时，方程的解集为
.
【即学即练】关于x 的一元二次方程
的解为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】将原式分解因式得
，进而即可求解．
【详解】将
分解因式得
，解得
，
．
故选：C．
知识点02 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程
有两个根分别是x1, x2，则：
，
，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根分别为x1, x2，则：
，这一关系式也被称为韦达定理
.
【即学即练】若
，
分别是方程
的两个实根，试求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)4040
(2)
(3)
【分析】（1）根据韦达定理直接计算即可；
（2）将原式通分后，根据韦达定理直接计算即可；
（3）根据韦达定理直接计算即可；
【详解】（1）因为
，
分别是方程
的两个实根，
所以
，
所以
（2）由题意得，
（3）由题意得，
题型01 一元二次方程的解
【典例1】解下列一元二次方程
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)方程没有实数根
(2)
，
(3)①当
时，
，方程有两个相等的实数根，
；②当
时，
，方程有两个不相
等的实数根，
，
.
(4)①当
，即
，即
时，方程有两个不相等的实数根，
，
；
②当
时， 即
时，方程有两个相等的实数根，
；③当
时，即
时，方程没有实
数根.
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可得答案.
（2）利用一元二次方程根的判别式即可得答案.
（3）利用一元二次方程根的判别式对参数分类讨论即可得答案.
（4）利用一元二次方程根的判别式对参数分类讨论即可得答案.
【详解】（1）因为
，所以方程没有实数根.
（2）因为
，所以方程一定有两个不相等的实数根，
，
.
（3）因为
，
所以①当
时，
，方程有两个相等的实数根，
；
②当
时，
，方程有两个不相等的实数根，
，
.
（4）因为
，
所以①当
，即
，即
时，方程有两个不相等的实数根，
，
；
②当
时， 即
时，方程有两个相等的实数根，
；
③当
时，即
时，方程没有实数根.
【变式1】已知
，则方程
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分解因式求得方程的解，结合题意，即可得到方程的解集.
【详解】由方程
，可得
，解得
或
，
因为
，所以
，即方程的解集为
.
故选：C.
【变式2】方程
的解集为 .
【答案】
【分析】将方程左边因式分解可求得方程的根，得解.
【详解】由
，可得
，
解得
或
，
所以方程
的解集为
.
故答案为：
.
【变式3】方程
的解集为 .
【答案】
【分析】因式分解可化简得
，解一元二次方程即可得到结果.
【详解】由
得：
，
，
，解得：
，
方程
的解集为
.
故答案为：
.
【变式4】判断下列关于
的方程（其中
为常数）的根的情况，如果方程有实数根，写出方程的实数
根．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)方程没有实数根．
(2)有实数根，
，
(3)有实数根，
，
(4)答案见解析
【分析】先判断
的正负，含有参数则对
分类讨论，再求出分成的根.
【详解】（1）因为该方程的根的判别式
，所以方程没有实数根．
（2）因为该方程的根的判别式
，
所以方程一定有两个不相等的实数根，即
，
．
（3）该方程的根的判别式
．
①当
时，
，所以方程有两个相等的实数根，即
；
②当
时，
，所以方程有两个不相等的实数根，即
，
．
（4）该方程的根的判别式
．
①当
时，
，即
，方程有两个不相等的实数根，
即
，
；
②当
时，即
，方程有两个相等的实数根，
即
；
③当
时，即
，方程没有实数根．
一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解；
（2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常
数，则可以直接开平方求解；
（3）公式法：将一元二次方程中的系数
，
，
的值代入式子
中求解；
（4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0 即可求解。
题型02 一元二次方程的根的个数
【典例1】判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)有两个不相等的实数根，
，
(2)有两个相等的实数根，
，
(3)有两个不相等的实数根，
，
(4)有两个不相等的实数根，
，
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程
根的判别式和根与系数的关系．
各个小题均根据根的判别式判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，求出两根和与两根积．
【详解】（1）解：
，
，
，
，
△
，
方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：
，
，
；
（2）解：
，
，
，
，
△
，
方程有两个相等的实数根，
设方程的两个根为：
，
，
；
（3）解：
，
，
，
，
△
，
方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：
，
，
；
（4）解：
，
，
，
，
△
，
方程有两个不相等的实数根，
设方程的两个根为：
，
，
．
【变式1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数.
（1）2x2－3x＋1＝0；
（2）4y2＋9＝12y；
（3）5(x2＋3)－6x＝0.
【答案】（1）原方程有两个不相等的实数根；（2）原方程有两个相等的实数根；（3）原方程没有实数
根.
【分析】（1）直接求判别式即可；（2）（3）先将方程化为一般方程，然后再利用判别式进行判断
【详解】解：（1）因为
＝(－3)2－4×2×1＝1>0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可化为4y2－12y＋9＝0，
因为
＝(－12)2－4×4×9＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
（3）原方程可化为5x2－6x＋15＝0，
因为
＝(－6)2－4×5×15＝－264<0，
所以原方程没有实数根.、
【点睛】此题考查判别一元二次方程根的情况，属于基础题
【变式2】已知关于
的一元二次方程
．
(1)若方程有一根为
，求
的值及另一根的值；
(2)若方程有两个不等实根，求实数
的取值范围；
(3)若方程有两个相等实根，求实数
的值及此时方程的根．
【答案】(1)
；方程另一个根为
；
(2)
；
(3)
，
【分析】此题考查一元二次方程的解，根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答．
（1）把已知的方程的根代入可求实数
的值及另一个根；
（2）根据根的判别式大于0，可求实数
的取值范围；
（3）根据根的判别式等于0，可求实数
的值，把
的值代入可求方程的根．
【详解】（1）解：因为方程有一根为
，
所以有
，
，
因为
，
又因为
，
所以
，
故方程另外一个根为
；
（2）
解：因为方程有两个不等的实数根，
所以
，
即
，
解得
；
（3）解：因为方程有两个相等的实数根，
所以
，
即
，
解得
，
故方程为
，
解得
．
【变式3】已知关于
的一元二次方程
，根据下列条件，分别求出
的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有实数根；
（4）方程无实数根．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
.
【分析】由条件利用一元二次方程根的判别式，求得相应的
取值范围．
【详解】解：关于
的一元二次方程
，
（1）若方程有两个不相等的实数根，则
，
．
（2）方程有两个相等的实数根，则
，
．
（3）方程有实数根，则
，
．
（4）方程无实数根，则
，
．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，
属于基础题．
一元二次方程根的个数问题
(1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围．
(2)对于一元二次方程
，其根的判别式为Δ=b2−4ac .
①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ=b2−4ac >0 ”；
②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ=b2−4ac=0 ”；
③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ=b2−4ac≥0 ”；
④“方程没有实根”的充要条件是“Δ=b2−4ac <0 ”．
题型03 利用根与系数的关系计算
【典例1】若
、
分别是一元二次方程
的两根，求下列代数式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）列出韦达定理，可得出
，即可得解；
（2）由
结合韦达定理可得解；
（3）利用立方和公式以及韦达定理可得解.
【详解】（1）解：对于方程
，
，由韦达定理可得
，
，
所以，
.
（2）解：
.
（3）解：
.
【变式1】已知关于
的一元二次方程
.
(1)若方程有实数根，求实数
的取值范围；
(2)若方程有两实根
，
，且满足
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的
判别式列出关于
的不等式，求解即可；
（2）根据一元二次方程的
判别式和根与系数的关系，结合已知条件，即可求解.
【详解】（1）∵方程有实数根，
∴
，∴
.
（2）∵方程有两实根
，
，
∴
，∴
，
且
，
，
∴
，
，
，
∴
，
或
，
∵
，∴
.
【变式2】已知
是方程
的两个不相等的实根，求值：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合一元二次方程的根与系数的关系，得到
，由
，即可求解；
（2）由
，即可求解；
（3）由
，即可求解.
【详解】（1）解：因为
是方程
的两个不相等的实根，
可得
，且
，
所以
.
（2）解：由（1）知：
，
则
.
（3）解：由（1）知：
，
则
.
【变式3】已知方程
的两个根为
、
，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据韦达定理及
计算可得；
（2）根据韦达定理及
计算可得；
（3）根据韦达定理及
计算可得；
（4）根据韦达定理及
计算可得.
【详解】（1）因为
、
是方程
的两个根，
所以
，
，所以
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
【变式4】已知
，
是方程
的两个实数根，且
．
(1)求k 的取值．
(2)求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据根的判别式和韦达定理可得
，代入已知条件计算即可求解；
（2）由
可得
，结合（1）即可求解.
【详解】（1）由题意知，
，
，
则
，
解得
，所以
的值为
；
（2）由
，
得
，
由（1）知，当
时，
，则
.
所以
的值为50.
【方法技巧与总结】
1.根与系数的关系
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作
用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之
积的形式，然后代入求值．
如果ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根分别为x1, x2，则：
，这一关系式也被称为韦达定理.
2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
题型04 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
【典例1】已知
是关于方程
的两个根，且
都大于1．若
，求实数
的值．
【答案】
【分析】根据根与系数的关系得到
，利用
，所以
解
此方程得到
，然后根据
都大于1 确定k 的值．
【详解】根据题意得
,
∵
∴
，
∴
∴
整理得
,解得
当
时,原方程为
,解得
(不符合条件舍去)，
当
时,原方程为
,解得
符合题意；
∴k 的值为7.
【变式1】已知一元二次方程
的两实根为
、
，且
．求实数m 的值．
【答案】或
【分析】利用根的判别式与韦达定理计算即可得.
【详解】由题意可得
，
且
，
，
则
，
即有
，解得
或
，
当
时，
，符合要求，
当
时，
，符合要求，
故
或
.
【变式2】已知
、
是关于
的方程
的两个实数根，根据下列条件，分别求出
的值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式结合韦达定理可得出关于
的等式与不等式，即可解得实数
的值；
（2）分析可知，原方程有两个相等的正根，结合判别式与韦达定理可求得实数
的值.
【详解】（1）因为
，由题意可得
，解得
.
（2）由题意可知
，解得
，
由韦达定理可得
，所以
、
的符号相同，且均不为零，
由
，则
，故
，故
，则
，
此时方程
有两个不等的正根，
故
，解得
.
【变式3】已知一元二次方程
的两实根为
、
，且
，求实数
的值.
【答案】
【分析】转化
，结合韦达定理以及判别式
，即得解
【详解】由题意，一元二次方程
的两实根为
、
故
解得
或
且
故
即
或
（舍去）
故实数
的值为
【变式4】关于
的方程
有两个实数根．
(1)若
，且方程的两根为
和
，求
的值．
(2)若方程两根的平方和为11，求实数
的值．
【答案】(1)3；(2)1．
【分析】(1)由题意结合韦达定理即可求得代数式的值；(2)由题意结合韦达定理和方程的判别式即可求得实
数
的值．
【详解】(1)当
时，方程即
，
由韦达定理可得：
，
，
则
．
(2)根据题意设方程的两根为
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
或﹣3(舍去)．
综上所述，实数
的值为1．
题型05 实根分布问题
【典例1】关于
的方程
满足下列条件，求
的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在
内，另一个根在
内；
(4)一个根小于
，一个根大于
；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】令
，设
的两个根为
，结合二次函数的图象与性质，列出相应
的不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：令
，设
的两个根为
，
则满足
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
（2）解：若方程
的一个根大于，一个根小于，
则满足
，解得
，即实数
的取值范围为
.
（3）解：若方程
一个根在
内，另一个根在
内，
则满足
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
（4）解：若方程
的一个根小于
，一个根大于
，
则满足
，解得
，所以实数
的取值范围为
.
【变式1】若方程
的两根满足一正一负，求出实数
的取值范围．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系即可求得结果.
【详解】设两根为
，由题意，得
，即
,故
,解得
．
故实数
的取值范围为
．
【变式2】已知
，
是方程
的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)
；（用含a 的代数式表示）
(2)写出一个“该方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件．
【答案】(1)
；
(2)
(答案不唯一).
【分析】（1）根据韦达定理可得
，进而即得；
（2）由方程有一个正根和一个负根可得
，然后根据充分条件，必要条件的定义即得.
【详解】（1）因为
，
是方程
的两根，
所以
，
所以
；
（2）若方程有一个正根和一个负根，则
，即
，
当
时，
，可得该方程有一个正根和一个负根，
而方程有一个正根和一个负根推不出
，
故“
”是“该方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件.
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
.
(1)若上述方程无正数根，求实数k 的取值范围；
(2)若上述方程的两根都是正数，求实数k 的取值范围；
(3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k 为整数，如果有直接写出实数k 的取值，如果不存在说明理由.
【答案】(1)
.
(2)
(3)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据根的情况得出判别式分类讨论，再应用根与系数关系列不等式组求解即可；
（2）根据两根都是正整数得出判别式及根与系数关系列不等式组求解即可；
（3）结合（1）（2）写出结论即可.
【详解】（1）由题意得
，
若
，化简得
，解得
，此时无实数根，满足题意；
若
，解得
，设此时两实数根分别为
，
则由题意得
，
，则
，
即
，解得
，所以
综上
.
（2）
，解得
，
由题意得
，
，即
，解得
.
（3）
，解得
，
两根恰有一个是正数,由题意得
或
，即
，解得
.
,且k 为整数,符合条件的k 不存在.
【变式4】已知关于
的一元二次方程
.
(1)当
时，设方程的两个实根分别为
，求代数式
的值；
(2)若该方程有两个异号实根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理求出
，代入即可；
（2）利用韦达定理，满足两根之积小于零即可.
【详解】（1）当
时，由韦达定理可得方程
的两个实根满足
，
，
所以
.
（2）若方程
有两个异号实根，
则
，解得
，
所以实数
的取值范围为
.
1．设
是关于
的一元二次方程
的两个不同实数根，则
的值是（ ）
A．
B．4
C．7
D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程
中
，
代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系求解是解决问题的关键．
【详解】解：
，
，
，
，
；
故选：C．
2．若
是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．6
D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：
一元二次方程
的两个根为
，
，则
，
．
【详解】解：∵
，
是方程
的两个实数根，
∴
．
故选：A．
3．若
，
是方程
的两个实数根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系
数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程
的两个根为
，
，则
，
．
【详解】解：∵
，
是方程
的两个实数根，
∴
，
，
∴
，
∴
，
，
，
故选：
．
4．已知关于x 的一元二次方程
有两个实数根
，
，若
，则m 的值为（ ）．
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解
的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系
数的对应关系是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程
，韦达定理指出两根
、
有
．
在方程
中，
，
，
，
∴
，
解得
．
故选：B
5．已知关于x 的一元二次方程
，则下列关于该方程根的判断，错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．两根互为相反数
C．两根异号
D．实数根的个数与实数b 的取值无关
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，先通过根的判别式可得实数根的个数与实数b 的取值
无关，再利用根与系数的关系可得
，则两根异号，熟练运用相关公式是解题的关键．
【详解】解：
，
该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b 的取值无关，故A,D 正确不符合题意；
，
两根异号，两根不一定互为相反数，故B 错误，符合题意，C 正确不符合题意，
故选：B．
6．已知关于
的一元二次方程
，则下列判断中不正确的是（ ）
A．若方程有一根为1，则
B．若
异号，则方程必有解
C．若
，则方程两根互为相反数
D．若
，则方程有一根为0
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的相关概念，熟练掌握一元二次方程的定义和解法是关键.
将
代入方程即可判断A，利用根的判别式可判断B，将
代入方程，根据直接开平方法解方程即可
判断C，将
代入方程，可判断D.
【详解】A．若方程有一根为1，把x=1 代入原方程，则
，故A 正确；
B．若a、c 异号，则
，∴方程必有解，故B 正确；
C．若
，方程变为
，若方程有解，则
，此时两根和为0，互为相反数，但若
、
同号，方程无实数根，故C 错误；
D．若
，则方程变为
，必有一根为0．故D 正确．
故选：C．
7．已知关于x 的一元二次方程
的两实数根为
，且满足
，则
的值为
（ ）
A．
B．6
C．4 或
D．
或6
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程．根据一元二次方程根
与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程可求出m 的值，即可求解．
【详解】解：
关于x 的一元二次方程
的两实数根为
，
，
，
，
，
，即
，
解得
或
，
，
，
故选：A．
8．如果关于
的一元二次方程
（
均为常数，
）有两个实数根，且其中一个根
比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程
（
均为常数）为
“邻根方程”，下列选项符合
满足的数量关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根据题意，设方程的两个根分别为
，利用根与系
数的关系建立方程组，消去
即可得到
满足的数量关系，熟记一元二次方程根与系数关系，理解题中
新定义方程概念是解决问题的关键．
【详解】解：设关于
的一元二次方程
（
均为常数，
）有两个实数根为
，
①，
②，
则由①得
，将其代入②得
，
化简可得
，
故选：C．
9．（多选）已知关于x 的一元二次方程
，下列说法正确的是( )
A．二次项系数是1，一次项系数是9
B．二次项系数是1，常数项是9
C．方程只有一个实数根
D．若
，
是该方程的两个根，则
．
【答案】BCD
【分析】首先将原式化为一般式，然后根据一元二次方程的定义以及解的定义进行分析即可．
【详解】解：原方程一般式为：
，
∴二次项系数是1，一次项系数是
，常数项是9，故A 错误，B 正确；
∵
，
∴方程有两个相等的实数根，即方程有一个实数解，故C 正确；
若
，
是该方程的两个根，则
，故D 正确．
故选：
．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义及其解的定义，解题的关键是理解一元二次方程的一般式，一元二
次方程
的根与
有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当
时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程无实数根．
10．（多选）关于
的方程
有两个不相等的实数根
，
，则下列结论一定正确
的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．当
时，
【答案】BC
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程
根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
由题意知，
，则
，
，
，求解可判断B、
C 的正误；当
时，
，
，可判断A 的正误；当
时，
，可判断D 的正误．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵方程
有两个不相等的实数根，
∴
，
，
，
∴
，
，B、C 正确，故符合要求；
当
时，
，
，A 错误，故不符合要求；
当
时，
，
∵
，
∴
，D 错误，故不符合要求；
故选：BC．
11．若关于
的方程
的两根分别是
，
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
，若
是该方程的两个实数根，则
，由此可得
，再代值计算即
可得到答案．
【详解】解：∵关于
的方程
的两根分别是
，
，
∴
，
∴
，
故答案为：
．
12．已知关于
的一定二次方程
，有两个实数根
．设
则
的最大值为
【答案】
【分析】题考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根
据题意得出
，
，解得：
，将
，代入函数关系
式，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】解：∵关于
的一定二次方程
，有两个实数根
．
∴
，
解得：
∴
∵
，
随的增大而增大，
∴当
时，
取得最大值为
故答案为：
．
13．已知关于
的一元二次方程
（
为常数）．
(1)当
时，该方程根的判别式
_____；
(2)求证：无论
取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(3)若该方程有两个实数根
，且
，求
的值．
【答案】(1)13
(2)见解析
(3)
，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；
（1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可；
（2）证明出
即可；
（3）首先由根与系数的关系得到
，
，然后将
展开整体代入求
解即可．
【详解】（1）解：当
时，
∴
∴
；
（2）证明：
，
无论
取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（3）解：由根与系数的关系，得
，
．
，
．
，即
．
解得
，
．
14．已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：无论
取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为
，求
的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解
题的关键：
（1）求出判别式的符号进行判断即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴
；
∴无论
取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）由题意，得：
，
∴
．
15．已知关于x 的一元二次方程
．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为6，求m 的值和方程的另一个根．
【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析
(2)
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式
，根据
判断
的正负，进而确定根的情况．
（2）将已知根代入方程求出
的值，再利用韦达定理（一元二次方程两根之和与系数的关系）求出另一
个根 ．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和韦达定理的应用，熟练掌握根的判别式判断根的情况以及韦达
定理求根与系数关系是解题的关键．
【详解】（1）解：对于一元二次方程
，其中
，
，
．
根的判别式
，
则
．
，
，
，即
．
当
时，一元二次方程有两个不相等的实数根，
原方程有两个不相等的实数根．
（2）解：
是方程
的一个根，
把
代入方程得
，
即
，
，
解得
．
设方程的另一个根为
，
在方程
中，
，
，
已知一个根是
，则
，
．
16．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x 的一元二次方程
（a≠0）的两个
实数根为x1，x2，则
，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定
理”．例：已知一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：∵一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程
的两根为
，
，则：
____，
_____；
(2)一元二次方程
的两个根为
，
，求
的值；
(3)若
，
是关于x 的方程
的两个实数根且
，求m 的值．
【答案】(1)6，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系；
（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出
，
，然后将
进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出
，
，然后求出
的值，然后结合
求解即
可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程
的两根为
，
，
则：
，
；
（2）解：∵一元二次方程
的两个根为
，
，
∴
，
，
∴
；
（3）解：∵
，
是关于x 的方程
的两个实数根
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
解得：
或
，
∵
，
解得：
，
∴
不符合题意，
.
