文档文本内容
重难点25：三角函数中ω的值或范围问题
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、利用“周期性质”求ω.....................................................................3
题型二、利用“单调性”求ω.........................................................................5
题型三、利用“最值或值域”求ω.................................................................8
题型四、利用“零点个数”求ω...................................................................10
题型五、利用“对称性（对称轴/中心）”求ω..........................................13
题型六、利用“周期、单调、零点、对称性”等求ω...............................15
题型精析・方法突破提能力..............................................................................18
高考中求三角函数ω取值范围的题型主要围绕 “三角函数的图像性质” 展开，核心是利
用周期、单调性、最值、零点、对称性这五大性质建立不等式。
题型
1 ：利用 “周期性质” 求
ω范围
题型特征：
题干给出三角函数的周期约束（如 “周期大于π”“在[0,π ])内有 2 个周期”），
或结合图像中 “相邻关键点的距离”（如相邻对称轴、相邻对称中心、相邻零点）与周期
的关系。
解题关键：
（1）明确三角函数的周期公式：
正弦/余弦型：y = A sin(ωx +φ)或y = A cos(ωx +φ)，周期T = 2π
|ω| ；
正切型：y = A tan(ωx +φ)，周期T =
π
|ω| （ω≠0）。
（2）根据题干周期条件列不等式，求解|ω|的范围，再结合ω>0（高考常隐含
ω>0，若未说明需考虑正负）确定最终范围。
题型
2 ：利用 “单调性” 求
ω范围
知识网络・核心根基深扎牢
题型归纳
题型特征：
题干给出三角函数在某区间上的单调性（如 “在[0, π
2 ]上单调递增”“在( π
3 , π
2 ))
上单调递减”），需结合单调区间与 “ωx +φ” 的整体范围匹配。
解题关键：
（
1
）
确
定
“
ωx +φ”的区间：设给定区间为[a,b]，
则
ωx +φ∈[ωa+φ ,ωb+φ]（
ω>0)
时
，
区
间
方
向
与
x一致；ω<0时反向，高考多考ω>0）。
（2）匹配三角函数的单调区间：
正
弦
函
数
y =sin t 的递增区间：[−π
2 +2kπ , π
2 +2kπ ]，
递
减
区
间
：
[ π
2 +2kπ , 3 π
2 +2kπ ]（k ∈ℤ）；
余弦函数y =cost 的递增区间：[ π +2kπ ,2π +2kπ ]，递减区间：[2kπ ,π +2kπ ]（
k ∈ℤ）。
（3）列不等式：使[ωa+φ ,ωb+φ]完全包含于对应单调区间，求解ω。
题型
3 ：利用 “最值与值域” 求
ω范围
题型特征：
题干给出三角函数在某区间上的最值情况（如 “在[0,π ]上的最大值为1”“在
(−π
4 , π
4 )上的最小值为−1
2”），或值域约束（如 “值域为[−2,1]”，需结合ω影
响的 “整体范围” 匹配最值条件。
解题关键：
（1）确定 “ωx +φ” 的区间T æ »=[ω xmin+φ ,ω xmax+φ]（ω>0）；
（2）分析三角函数在T æ »上的最值是否满足题干条件：
若要求 “最大值为 1”（正弦/余弦函数的最大值），需保证T æ »内包含π
2 +2kπ（正
弦）或2kπ（余弦）；
若要求 “最小值为−1
2 ”，需保证T æ »内包含7 π
6 +2kπ或11π
6
+2kπ（正弦）等对应
角度。
（3）列不等式：通过 “是否包含关键角度” 或 “关键角度的边界” 求解ω。
题型
4 ：利用 “零点个数” 求
ω范围
题型特征：
题干给出三角函数在某区间上的零点数量（如 “在[0,2π ]内有 3 个零点”“在
(−π ,π )内有 4 个零点”），核心是利用 “周期内的零点数” 与 “区间长度” 的关
系。
解题关键：
（1）明确三角函数的零点分布：
正弦型y =sin(ωx +φ)的零点：ωx +φ =kπ （k ∈ℤ），即x = kπ −φ
ω
，相邻零点间
距为π
ω（半个周期）；
余弦型y =cos(ωx +φ)的零点：ωx +φ = π
2 + kπ（k ∈ℤ），相邻零点间距同样为π
ω。
（2）确定区间内的零点数：设区间为[a,b]，计算“ωx +φ” 在区间内覆盖的 “
kπ （或π
2 + kπ ）的个数”，列不等式求解ω（注意 “闭区间包含端点零点”，开
区间不包含）。
题型
5 ：利用 “对称性（对称轴
/ 对称中心）” 求
ω范围
题型特征：
题干给出三角函数的对称轴或对称中心约束（如 “图像关于直线x = π
4 对称”“对称
中心为( π
6 ,0)”，或“在[0,π ]内有 2 条对称轴”），需结合对称性的代数条件。
解题关键：
（1）对称性的代数条件：
对称轴：对
y =sin(ωx +φ)，对称轴满足ωx +φ = π
2 +kπ（k ∈ℤ）；对
y =cos(ωx +φ)，对称轴满足ωx +φ =kπ （k ∈ℤ）；
对称中心：对y =sin(ωx +φ)，对称中心横坐标满足ωx +φ =kπ（k ∈ℤ）；对
y =cos(ωx +φ))，对称中心横坐标满足ωx +φ = π
2 + kπ （k ∈ℤ）。
（2）若题干给出 “某区间内的对称轴 / 对称中心个数”，需计算 “ωx +φ” 在
区间内覆盖的 “对称轴 / 对称中心对应的角度数”，列不等式求解ω。
【例题1】已知函数
的图象的两相邻对称轴之间的距离小
于
对任意
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换化简
，结合周期公式可求
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、利用“周期性质”求ω
典例探究
出
，由已知可得
的最大值为
，求出
的表达式，结合不等式即可求得
答案.
【详解】由于
，故
，
因为函数
的图象的两相邻对称轴之间的距离小于
，故
，
又
对任意
恒成立，故
，
即
，则
，则
，
结合
，可知
时，
取最小值2，即实数
的最小值为2，
故选：B
【1-1】若函数
的图象的两对称中心间的最小距离为
，则
等
于（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据余弦型函数的性质及周期公式求解即可.
【详解】因为函数
的图象的两对称中心间的最小距离为
，
所以
，则
，
所以
，解得
．
故选：A.
【1-2】已知函数
，集合
中恰有3 个元素，
则实数
的取值范围是（ ）
举一反三
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式将函数
转化为
，
集合
只含有个元素，表示
时在
上只有三解，求出
的根，从而得出
的范围.
【详解】因为函数
，
所以
，
因为集合
含有个元素，
所以
时在
上只有三解，即
，
解得：
或
，
故
或
，
要使其落在
上，
故只有
、
、
，其他值均不在
内，
故
，解得
，故
，
故选：C.
【1-3】已知函数
的图象向左平移
个单位后与原图象重合，
则ω 的最小值是（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出的最小值．
【详解】依题意知，
，∴
，∴
，
∴ω 的最小值为
．
故选：B.
【例题2】函数
在
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】求出函数
的单调减区间，利用
为前者的子集可求
的取值范围.
【详解】令
，故
，
所以函数
的减区间为
，
因为
在
上为减函数，
故存在
，使得
，因为
，
所以
，所以
，故
，
题型二、利用“单调性”求ω
典例探究
.则
的最大值为
.
故选：B.
【2-1】若函数
在
上单调递减，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】利用余弦函数在
上是单调递减的，结合相位的整体思想，即可得到不
等式求解
的范围，从而可判断选项.
【详解】令
，因为
，所以
，
因为函数
在
上单调递减，
所以函数
在
上单调递减，
根据余弦函数
在
上是单调递减的。
则有
，解得
，所以
的最大值为
．
故选：A.
【2-2】已知函数
是奇函数，
是
图象的一
条对称轴，且
在区间
上单调，则
的可能取值有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．6 个
D．无数个
【答案】B
【分析】结合题意，根据余弦函数的奇偶性、对称性、单调性求解即可.
举一反三
【详解】因为函数
是奇函数，
所以
，而
，则
，
此时
，
由
是
图象的一条对称轴，
所以
，则
，
又
在区间
上单调，则
，即
，则
或6，
当
时，
，
由
，则
，因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递减，满足题意；
当
时，
，
由
，则
，因为函数
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，
即
在
上单调递减，满足题意.
综上所述，
或6.
故选：B.
【2-3】已知函数
在区间
上单调递增，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】C
【分析】以
为整体，结合正弦函数的单调性分析求解可得
，即可得结
果.
【详解】因为
，且
，则
，
若函数
在区间
上单调递增，
注意到
，则
，解得
，
所以
的最大值为1.
故选：C.
【例题3】已知函数
在区间
上的最小值为-3，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意，当
时，有
；当
时，有
，求解即可.
题型三、利用“最值或值域”求ω
典例探究
【详解】函数
在区间
上的最小值为
，
当
时，
，则有
，解得
；
当
时，
，则有
，解得
，
的取值范围是
.
故选：D
【3-1】已知函数
在区间
内有最大值，但无最小值，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出
的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论．
【详解】∵
，∴
时，
，
∵
在区间
内有最大值，但无最小值，
令
，结合
图象，
∴
，解得
．
举一反三
故选：B．
【3-2】已知函数
（
）在区间
内有且仅有一个
，使得
，则
的最大值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【答案】A
【分析】问题化为
在
内有且仅有一个最小值，结合余弦函数的性
质列不等式求参数范围.
【详解】由题设
在区间
内有且仅有一个最小值，此时
，
故
在
内有且仅有一个最小值，则
，
所以
，则
的最大值为11.
故选：A
【3-3】设函数
，若函数
的图象关于点
对称，
且在区间
上的值域为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知及函数的对称中心得
、
，即可得解析式，再由余弦函
数的区间值域，结合其图象得
，即可得解.
【详解】由函数
的图象关于点
对称，则
且
，
所以
，
，则
，即
，
当
，则
，此时
，
所以
，结合余弦函数的图象知
，可得
.
故选：B
【例题4】函数
在
上单调递增，且在
上恰有三个零
点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求函数
的单调递增区间及零点，由条件列不等式可求结论.
【详解】由
，
，
，
可得
，
所以函数
的单调递增区间为
，
，
因为函数
在
上单调递增，
题型四、利用“零点个数”求ω
典例探究
所以
，
所以
，所以
，
由
，
，
，
可得
，
，
所以函数
的零点的集合为
，
，
因为函数
在
上恰有三个零点，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以
的取值范围为
.
故选：D.
【4-1】已知函数
，函数
在
上有3 个不同
的零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
举一反三
【分析】函数
在
上有3 个不同的零点，即
有3
个不同的根，再结合正弦函数性质即可求解.
【详解】由题意知，函数
在
上有3 个不同的零点，即
有3 个不同的根，
所以
有三个根，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
故选：B.
【4-2】已知函数
，若
在区间
内没
有零点，则
的最大值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简
，结合正弦函数零点性质，即可求解．
【详解】
，
令
，
，
．
又函数
在区间
内没有零点，所以
，
解得
，
，
所以
，
，
，
，所以
的最大值是
．
故选：C．
【4-3】已知函数
，若
在区间
上单调递增，且在区间
上有且只有一个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简
的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得
的取值范围.
【详解】
.
，由于
在区间
上有且只有一个零点，
所以
，
而
，
其中
，而
，
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，
则
.
故选：D
【例题5】将函数
的图象向左平移
后得到函数
的图象，若
的图象关于直线
对称，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【分析】根据条件确定函数的对称轴，由对称轴确定
的最小值.
【详解】由题意，函数
的一条对称轴为：
.
由
，
.
因为
，所以当
时，
取得最小值，为
.
故选：B
题型五、利用“对称性”求ω
典例探究
【5-1】已知点
在函数
的图象上，若
恒成立，且
在区间
上单调，则
（ ）
A．3
B．6
C．12
D．
【答案】A
【分析】由题可得
在
上单调递增，且
，得
，得解.
【详解】因为点
在函数
的图象上，所以
，
由
，则
，且
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，由余弦型函数的对称性易知
，
所以
，即
，故
.
故选：A.
【5-2】已知函数
的图象关于点
对称，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点
对称代入计算求解.
举一反三
【详解】由题意可得
，
则
，解得
.
因为
，所以
时，
取得最小值
.
故选：D.
【5-3】已知函数
，若f（x）在区间
上不单调，且曲线
的一个对称中心是
，则ω 的最小值是（ ）
A．20
B．16
C．13
D．7
【答案】C
【分析】根据函数的对称中心，列式求
的集合，再利用代入法求
的范围，结
合函数的图象，列式求解.
【详解】由条件可知，
，得
，
当
时，
，
由条件可知，
，得
，
，且
，
综上可知，
的最小值为13.
故选：C
【例题6】已知函数
在
单调，且
是
题型六、利用“周期、单调、零点、对称性”等求ω
典例探究
的一个零点，直线
是
图象的一条对称轴，则ω 的最大值为（ ）
A．18
B．17
C．14
D．13
【答案】D
【分析】由题意得
，故
.结合正弦型函数的周期
公式可得
.由
在
单调得
，结合
可得
.由于
最大时，对应
也最大，结合所求为
的最大值，则考
虑从最大的
开始代入验证，即可求解.
【详解】由题意得
，所以
.
又
，所以
，所以
.
因为
在
单调，所以
，即
.
结合
得
，解得
.
①当
，即
时，
，所以
，
.
因为
，所以
，此时
.
当
时，
，由正弦函数的性质可知函数
在
上不单调，所以
不符合题意；
②当
，即
时，
，所以
，
.
因为
，所以
，此时
.
当
时，
，由正弦函数的性质可知函数
在
上不单调，所以
不符合题意；
③当
，即
时，
，所以
，
.
因为
，所以
，此时
.
当
时，
，由正弦函数的性质可知函数
在
上单调递增，所以
符合题意.
综上，
的最大值为13.
故选：D.
【6-1】设函数
在区间
恰有三条对称轴、两个零点，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求得
，结合函数
在区间
恰有三条对
举一反三
称轴､两个零点，得出不等式
，即可求解.
【详解】由函数
，其中
，可得
，
因为函数
在区间
恰有三条对称轴､两个零点，
则满足
，解得
，所以
的取值范围为
.
故选：C.
【6-2】已知函数
（ω＞0），若f（x）在区间
上有且仅有3
个零点和2 条对称轴，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据三角函数恒等变换将三角函数化简成余弦型函数，根据自变量
的
取值范围求解出
的取值范围，进而根据已知条件结合三角函数图像求得
的取值范
围
【详解】函数
，
因为
，
所以
，
由于函数
在区间
上有且仅有3 个零点和2 条对称轴，
根据函数的图像：
所以
，整理得：
．
故选：D．
【6-3】已知函数
（
），若
在区间
内有且仅有3 个零
点和3 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
【详解】函数
．
当
时，令
，则
，
若
在
有且仅有3 个零点和3 条对称轴，
则
在
有且仅有3 个零点和3 条对称轴，
则
，解得
.
故选：A．
【突破提升训练・1】若函数
的最小正周期为
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】根据最小正周期得到方程，求出
.
【详解】因为
的最小正周期为
，所以
，得
.
故选：D
【突破提升训练・2】若函数
的图象与直线
的相邻两个交点
的距离为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
【分析】依题意可得
的最小正周期
，即可求出
．
【详解】因为函数
的图象与直线
的两个相邻交点之间
的距离为
，
题型精析・方法突破提能力
所以
的最小正周期
，又
，所以
．
故选：C．
【突破提升训练・3】已知函数
的最小正周期为
，则
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由正切函数的周期性，可得答案.
【详解】由题意可得
，解得
.
故选：A.
【突破提升训练・4】设函数
，若
恒成
立，且在
上存在极值点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】C
【分析】化简得到
，根据
，求得
且
，结合三角函数的图象与性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数
，
因为
，可得
，解得
，
令
，可得
，
令
，解得
，
当
时，
取得最小值2，即
的最小值为
.
故选：C.
【突破提升训练・5】设函数
，若
，
满足
，
且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据
得出
，
分别为最大值点和最小值点，再结合
以及
可以得到答案
【详解】
，且
，
，
分别为最大值点和最小值点，
又
，
，
，整理得
，
又
，
，
，整理得
，
，
又
，
的最小值为4.
故选：B
【突破提升训练・6】已知函数
的图像向左平移
个单位后，得
到
的图像，若
，
的图像关于
轴对称，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的平移变换和对称性可得
，
再利用余弦函数的周期性列式求解即可.
【详解】由题意可得
，
因为
，
的图像关于
轴对称，
则
，
所以
，
，解得
，
，
又
，所以
的最小值为4，
故选：A
【突破提升训练・7】已知函数
，（
，
），
，
，且
在区间
上单调，则
的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据函数的单调性确定
的取值范围，再由两个函数的值列出方程组，求解
后分析即得
的最大值.
【详解】设函数
的最小正周期为
，
因为
在区间
上单调，所以
，即
，
又因为
，则有
，
又
，
，则得
，
消去
，可得
，即
，
因为
，所以
，可得
，
故当
时，
取得最大值为5，
当
时，
，
，
，
此时
，符合题意.
故选：B.
【突破提升训练・8】已知函数
，（
，
），
，
，且
在区间
上单调，则
的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】根据函数的单调性确定
的取值范围，再由两个函数的值列出方程组，求解
后分析即得
的最大值.
【详解】设函数
的最小正周期为
，
，
因
在区间
上单调，则
，因
，则有
，
又
，
，则得
，
消去
，可得
，即
，
因
，可得
，
故当
时，
取得最大值为5.
当
时，
，由
可得
，
此时
，符合题意.
故选：B.
【突破提升训练・9】已知直线
是函数
（其中
）的图象的一
条对称轴，且函数
在区间
上单调，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】由
是函数
的一条对称轴，可得
，再根据
在
区间
上单调，则
，可得
，运算可求得
的值.
【详解】由直线
是函数
的图象的一条对称轴，有
，可
得
，
又由函数
在区间
上单调，则
，可得
，
有
，有
，可得
，
.
故选：A.
【突破提升训练・10】已知函数
在
有且仅有
个极小值
点，且在
上单调递增，则ω 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定
的
取值范围即可.
【详解】对于函数
，极小值点为
.
，令
.
因为
有且仅有
个极小值点.
当
时，
；当
时，
；当
时，
.
所以
，解不等式得
.
因为
的单调递增区间为
.
对于
，令
，
则
.
因为
在
上单调递增，所以
.
当
时，
，当
时，
，
故
，则
且
.
解不等式得
.
综合以上两个条件，
的取值范围是
.
故选：D.
【突破提升训练・11】已知函数
在区间
上单调递减，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到
，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求
解.
【详解】由
，可得
，
要使得函数
在区间
上单调递减，
则满足
且
，解得
，即
的取值范围是
.
故选：D.
【突破提升训练・12】已知函数
，若
在区间
上单调
递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
计算出
的取值范围，根据正切函数的单调性可得出
，由此可得出关于
的不等式组，由此可得出实数
的取值范围.
【详解】当
时，由于
，则
，
因为
在区间
上单调递增，则
，
所以，
，解得
，因此，
的取值范围为
.
故选：A.
【突破提升训练・13】已知
在区间
上的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出
，再根据
解方程即可.
【详解】因为
，即
，
又
，所以
，所以
，
所以
，
．
故选：A．
【突破提升训练・14】若函数
在
上为减函数，且在
上的
最大值为
，则
的值可能为
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由正切函数的性质，得到
且
，进而求解
的值，
得到答案．
【详解】由题意，函数
在
上为减函数，
可得
且
，解得
，
当
时，解得
，故选A．
【点睛】本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的
图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
【突破提升训练・15】已知函数
在
上的值域为
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用余弦函数的图象性质求解即可.
【详解】当
时，
，结合余弦函数的性质知，若
则该函数
值域会出现大于
的情况，则
.
时，由值域为
，
，
所以
，
所以
故选：A.
【突破提升训练・16】已知函数
在
上有且仅有2 个零点.
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据所给角的范围求出
的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不
等式得解.
【详解】当
时，
.
因为
在
上有且仅有2 个零点，
所以
，解得
.
故选：C
【突破提升训练・17】已知函数
的图象经过点
，
若
在
上有且只有两个最值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设可得
，即
，再由
及区
间最值、余弦型函数的图象列不等式求参数范围.
【详解】由函数
的图象经过点
，
所以
，由于
，则
，则
．
由
，可得
，
因为
在
上有且只有两个最值点，则
，
所以
.
故选：A
【突破提升训练・18】已知
.若
是函数
的零点，
直线
是函数
图象的对称轴，
在区间
上单调，则
的最大值是
（ ）.
A．14
B．9
C．10
D．6
【答案】B
【分析】根据已知可得，
为正奇数且
.结合
为
的零点，
为
图象的对称轴，求出符合题意的解析式，并结合
在
上单调，可得
的最大值.
【详解】解法1：由
得
，则
.
当
时，
只能取
，则
，
，
从而
，
是
图象的对称轴.
当
时，
，这个区间不含
中的任何一个，
故函数
在
上单调，符合题意.
当
时，
只能取
，则
，
，
从而
，
是
图象的对称轴.当
时，
，
这个区间含有
，则函数
在
上不单调，不符合题意.
当
时，
只能取
，则
，
，
从而
，
是
图象的对称轴.
当
时，
，这个区间不含有
中的任何一
个，
函数
在
上单调，符合题意.
当
时，
只能取
，则
，
，
从而
，
是
图象的对称轴.当
时，
，
这个区间含有
，则函数
在
上不单调，不符合题意.
综上，
的最大值为9.
解法2：根据函数
的图象特征知，它的一个零点和一条对称轴之间的最近距离为
周期的四分之一，
所以
，即
，可得
，其中
.
所以函数
的极值点为
.
由于
在
上单调，所以对于任意的
，
都有
，
即
.
当
时，
，存在
，不合题意；
当
时，
，对任意的
，符合题意.
解法3：从
，
入手来思考，
要取最大值，
可以结合选项，从
取值最大的选项开始，一一验证.
当
时，
，从单调区间的一个端点
往前推算，
靠近
的单调区间为
，
，容易看出
，不合
题意.
当
时，
，从单调区间的一个端点
往前推算，
靠近
的单调区间为
，
，容易看出
，符
合题意.
解法4：由
得
，则
，
从而
其中
.
由
，即
，可知
为正奇数
.
由
得
又由于
，所以
只能取
.
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
.
因为
是正奇数且不超过12，所以
.
当
时，
，
，
该区间含有
，则
在
上不单调，不符合题意.
当
时，
，
，
该区间不含有
中的任何一个，则
在
上单调，符合题意.
综上，
的最大值为9.
解法5：由题意知
，得
，即
，从而
①.
又由题意可得
其中
，则
.
又因为
，所以
.
当
时，
，
②.
由①②可得
，
的最大值为9.
故选：B.
【突破提升训练・19】函数
（
且
在
上单调，且
，若
在
上恰有2 个零点，则
的取值最准确的范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
结合函数单调性，即可确定
的一个对称中心为
，即可求得
；利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得
，求出
，再结合函数零点个数，列出不等式求得
，综合，
即可求得
的取值范围.
【详解】因为函数
在区间
上单调，
且满足
，而
，
,
即
的一个对称中心为
，故
；
而
，故
在区间
上单调，
设函数的最小正周期为T，则
；
函数
在区间
上恰有2 个零点，则
恰好为第一个零点，
相邻两个零点之间相距半个周期
，
故
，即
，
解得
，结合
，
可得
的取值范围为
，
故选：B.
【突破提升训练・20】已知函数
在
上恰有4 个不同的零点，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在同一坐标系中，作出函数
的图象，即可根据交点个
数列不等式求解.
【详解】由
可得
，
在同一坐标系中作出
的图象如下：
要使
在
上恰有4 个不同的零点，则
且
，解得
，
故选：B
【突破提升训练・21】已知函数
在区间
上单调递减，且
在区间
上只有1 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合余弦函数的单调性与零点列式计算即可得.
【详解】当
时，
， 则
，
当
时，
，则
，
即有
，解得
.
故选：C.
【突破提升训练・22】已知函数
经过
点，且
在
上只有一个零点
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】运用代入法，结合余弦型函数的性质、函数零点的定义进行求解即可.
【详解】因为
经过
点，
所以
，因为
，所以
，
即
，令
，
因为
，所以
，
因为
在
上只有一个零点
，
所以有
，所以
的最大值为
，
故选：C
【突破提升训练・23】若函数
(
)在区间
上单调递减，
且在区间
上存在零点，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得
，由余弦函数的
零点可得
，即可得解.
【详解】当
时，
，
又
，
，
函数
(
)在区间
上单调递减，
，即
，解得
；
令
，则
，即
，
由
，可得当且仅当
时，
，
又函数
(
)在区间
上存在零点，
，解得
；
综上，
的取值范围是
.
故选：D.
【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.
【突破提升训练・24】已知函数
，将
的图象先
向左平移
个单位长度，然后再向下平移1 个单位长度，得到函数
的图象，若
图象关于
对称，则
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换先化简，由图象的平移变换得
，又
，即
，结合
即可求解.
【详解】由题意有
，
由
的图象先向左平移
个单位长度，然后再向下平移1 个单位长度，
得到函数
，
故
，
所以
，
，
，由于
，所以
．
故选：A.
【突破提升训练・25】已知函数
的图象关于直线
对称，
则
的取值可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】依题意可知
取最值，由此列出不等式求解即可.
【详解】
，由题意可得
，
解得
，当
时，
.
故选：C
【突破提升训练・26】已知函数
的图象关于直线
对称，则
的取
值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】由正弦型函数的对称性知
，即可求解.
【详解】由题意，
，得
，
当
时，
，
故选：B.
【突破提升训练・27】若函数
关于
对称，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】根据正弦函数的对称性可得
，再将
代入求解即可.
【详解】函数
关于
对称，则其对称轴满足
，
为整数，
将
代入，得
，解得
，又因为
，所以当
时，
取得最小值为3，
因此，
的最小值为3，所以B 正确.
故选：B.
【突破提升训练・28】已知函数
（
），
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式化简函数，由正弦函数的图像的性质及已知条件得到函数对
称轴，即可求得
的最小值.
【详解】
，
∵
，要求
的最小值，则函数周期
，即
.
∴函数
关于
对称，
，即
，
∴
的最小值为
，
故选：B.
【突破提升训练・29】若函数
的图象的一个对称中心的横坐标为
1，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正切型函数的性质，结合题意，可得
的表达式，赋值即可得答案.
【详解】由函数
的性质知，
其图象的对称中心的横坐标满足
，
因为点
是函数图象的一个对称中心，
所以
，
又
，故当
时，
，
所以
的最小值为
，
故选：C．
【突破提升训练・30】已知函数
图象的一条对称轴和一个对
称中心的最小距离为
，则下列说法错误的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．
是函数的一个零点
C．
D．
【答案】C
【分析】化简
的解析式，根据
的对称轴和对称中心的最小距离求得
，根
据三角函数的周期性、零点、最值、对称轴等知识确定正确答案.
【详解】
，
，
由于
图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为
，
所以
，所以
，
A 选项，函数
的最小正周期为
，A 选项正确.
B 选项，
，所以
是函数的一个零点，B 选项错误.
C 选项，
，所以C 选项错误.
D 选项，
，所以
，D 选项正确.
故选：C
【突破提升训练・31】将函数
图象向左平移
个单位长度，再将其图象
上所有点的横坐标变为原来的
倍，得到函数
的图象.若函数
在区间
上恰有8 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换的知识求得
，由
在区间
上的零点
个数列不等式，从而求得
的取值范围.
【详解】将函数
图象向左平移
个单位长度，
得
，
再将其图象上所有点的横坐标变为原来的
倍，得到函数
，
由
，可得
，
即
，
显然当
时，零点在
内，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
综上可得，
.
故选：B
【突破提升训练・32】将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
，纵坐标不变，所得图象在区间
上恰有两个零点，且在
上单调
递增，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的伸缩可得函数解析式，再利用整体法判断零点及单调性情况，可
得不等式，解不等式即可得解.
【详解】将函数
图象上所有点的横坐标变为原来的
可得
，
设
，
当
时，
，
由函数在
上恰有两个零点，
则
，解得
，
又当
，
，
则
，
，
函数在
上单调递增，
所以
，解得
，
综上所述
，
故选：C.
【突破提升训练・33】已知函数
，
是函数
的一个零点，且
是其图象的一条对称轴.若
在区间
上单调，则
的最大值
为（ ）
A．18
B．17
C．14
D．13
【答案】D
【分析】由已知可得
，结合
，得到
（
），再由
是
的一个单调区间，可得
T，即
，进一步得到
，然后对
逐一取值，分类求解得答案．
【详解】由题意，得
，∴
，
又
，∴
（
）．
∵
是
的一个单调区间，∴
T，即
，
∵
，∴
，即
．
①当
，即
时，
，
，∴
，
，
∵
，∴
，此时
在
上不单调，
∴
不符合题意；
②当
，即
时，
，
，∴
，
，
∵
，∴
，此时
在
上不单调，
∴
不符合题意；
③当
，即
时，
，
，∴
，
．
∵
，∴
，此时
在
上单调递增，
∴
符合题意，
故选：D
【突破提升训练・34】已知函数
，若
在区间
内有
且仅有4 个零点和4 条对称轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简函数
，再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即
得.
【详解】函数
，当
时，
，
由
在区间
内有且仅有4 个零点，得
，解得
，
由
在区间
内有且仅有4 条对称轴，得
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：C
【突破提升训练・35】设函数
的图象在区间
上恰有三条对称轴、
函数
在
上恰有两个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对称轴满足的条件，结合在区间
上恰有三条对称轴，可得
，结合区间
上恰有两个零点，知
，从而可得
的取
值范围.
【详解】由
，得
．
根据函数
的图象在区间
上恰有三条对称轴，知
，得
．
根据函数
在区间
上恰有两个零点，知
，得
．
综上，
的取值范围为
．
故选：C
【突破提升训练・36】若函数
在
上有且仅有三个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用整体思想,求出
的所在区间;再根据正切函数的性质确定区间右端
点
所处位置,解出
的取值范围.
【详解】当
时,
.
原条件等价于
在
上有且仅有三个零点.
进而可确定
,解得
.
故答案为：
