文档文本内容
重难点专训03 图形类解三角形问题
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题
形
解
三角形
型一：平面四边
模型（含可求
六要素的
）................................................................................3
题
形
解
三角形
型二：平面四边
模型（不含可求
六要素的
）............................................................................7
题
三
型
：两次使用余弦定理...............................................................................................................................11
题
解三角形
问题
型四：
的中线
..........................................................................................................................15
题
解三角形
角
问题
型五：
中的
平分线
..............................................................................................................18
题
解三角形
问题
型六：
中的垂线
......................................................................................................................21
题
三角形
问题
型七：
的外心和外接圆
..............................................................................................................24
题
三角形
问题
型八：
的内心和内切圆
..............................................................................................................28
重难专题分层过关练..........................................................................................................................32
巩固过关...............................................................................................................................................................32
创新提升...............................................................................................................................................................40
一、解决图形类解三角形问题的方法：
（1）余弦定理迭代运用法
此方法聚焦三角形边角的定量关系，通过两次或多次套用余弦定理，建立边与角的方程组来突破难点。
核心是利用余弦定理用边表角或用角表边的双向转化特性，尤其适用于已知两边及夹角求第三边、或
“
”
“
”
已知三边求多个内角的复杂场景。例如在非特殊三角形中，若已知两条中线长度及夹角，可通过对两个小
三角形分别应用余弦定理，联立方程求解原三角形的边长。
（2）等积转化法
以面积守恒为核心逻辑，通过同一三角形不同面积表达式的等价转换简化问题，常与相似性质结合
“
”
使用。其本质是利用同底等高面积相等
分割面积和等于整体面积等性质，将边、高的关系转化为面积
“
”“
”
等式。典型应用包括：由中线构造等积三角形求面积比、利用直角三角形的双高（如斜边上的高）建立边
长关系，或通过面积桥证明线段比例。
（3）正余弦定理协同法
作为解三角形的基础工具组合，通过正弦定理的边角比例转换与余弦定理的边角定量计算形成互
“
”
“
”
补。正弦定理擅长处理已知两角一边
已知两边及一对角的情境，余弦定理则适用于已知两边及夹角
“
”“
”
“
”
已知三边的场景，二者结合可覆盖绝大多数斜三角形的边角求解问题，尤其在涉及多三角形嵌套的复杂
“
”
图形中效果显著。
（4）辅助线构造相似法
遵循条件集中原则，通过添加辅助线构造相似三角形，结合余弦定理实现边长比例的精准求解。辅
“
”
助线添加需紧扣已知条件：有中点可连中位线（构造相似比1:2 的三角形），有角平分线可作平行线（构
造等腰三角形与相似三角形），或延长中线至等长构造全等进而推导相似关系。通过相似的对应边成比例
特性，可将未知边与已知边建立关联，再用余弦定理补充定量计算。
（5）向量与余弦定理融合法
借助平面向量的工具性，将几何关系转化为向量运算，再结合余弦定理破解难题。核心是利用向量的
数量积公式，其本质与余弦定理同源但表达更灵活。适用场景包括：利用向量分解表示未知边、通过向量
垂直的数量积为零建立等式，或结合向量基本定理将边角关系转化为向量系数的方程组。
（6）坐标解析法
通过建立平面直角坐标系实现几何问题代数化，是数形结合的典型应用。操作关键在于合理定位顶
“
”
点坐标（如将直角顶点置于原点、让一边与坐标轴重合），再利用距离公式（求边长）、斜率公式（判垂
直/平行）、中点公式（找对称点）等工具挖掘几何性质。例如在直角三角形中，通过坐标表示顶点后，可
直接用勾股定理验证边长关系，或通过坐标运算求截面面积。
二、三角形的中线问题
如图，
中，
为
的中线，则有以下两种方法：
D
A
B
C
①向量法：
,平方即可；
②余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD 为BC 的中线换为
”
“
”，也可同样的原理进行求解
三、三角形的角平分线问题
如图
中，
平分
，则有以下两种方法：
①角平分线定理：
证明方法：（等面积法）
，得
注：
为A 到BC 的距离，
为D 到AB,AC 的距离.
②等面积法：
四、三角形的垂线问题
如图
中，
平分
，则有以下三个结论：
①等面积法：
；②
③
题型一：
形
解
三角形
平面四边
模型（含可求
六要素的
）
典例1-1．如图，在平面四边形ACBD 中，
，
，
，
，则CD
的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
典例1-2．在平面四边形
中，
，
，
，
，则
.
变式1-1．平面四边形
中，
，
，
，
，
，则
的面积为 .
变式1-2．在四边形
中，
，
，
，
．
(1)求
的周长
(2)求四边形
的面积．
题型二：
形
解
三角形
平面四边
模型（不含可求
六要素的
）
典例2-1．如图：四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，已知
，
，
，且
(1)求BO 的长；
(2)若
，求
的值．
典例2-2．如图，在平面四边形ABCD 中，
，
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)若
，
，求三角形ABD 的面积．
变式2-1．如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，则
.
变式2-2．在①
， ②
面积
，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求
.
如图，在平面四边形
中，
，
，________，
，求
.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
题型三：两次使用余弦定理
典例3-1．如图，已知平面四边形ABCD 中，
，
，
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积．
典例3-2．如图，在四边形
中，
，
，
，
，
.
(1)求
；
(2)求四边形
的面积.
变式3-1．在
中，D 为边
上一点，满足
，且
.
(1)证明：
.
(2)若
，求
.
变式3-2．在平面四边形
中，
，
，对角线
与
交于点
，
是
的中点，
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
题型四：解三角形
问题
的中线
典例4-1．在
中，
，BC 边上的中线
，则下列说法错误的有（ ）
A．
为定值
B．
C．
D．
的最大值为
典例4-2．三角形三内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积等于
，
为
边的中点，当中线
的长最短时，求
边的长.
变式4-1．记
的内角
的对边分别为
.已知
为边
的中点，且
.
(1)求证：
；
(2)若
，求
的面积.
变式4-2．设
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
、
(1)求角
的大小；
(2)若
，且
，求
边上中线
的长．
题型
解三角形
角
问题
五：
中的
平分线
典例5-1．（多选）已知
的三个内角分别为
，
，
，
在线段
上，
且满足
平分
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例5-2．已知
中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，
，
的角平分线交AC
于点D，且
，则
的最小值为 ．
变式5-1．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
(1)求
；
(2)若
，
为
的角平分线，且
，求
的面积．
变式5-2．在
中，
平分
，则
的最小值为 ．
题型六：解三角形
问题
中的垂线
典例6-1．记斜三角形
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)过点
作
的垂线，与
的延长线相交于点
，若
，且
，求
.
典例6-2．在
中，内角
的对边分别是
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
边上的高.
变式6-1．设
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且有
，
(1)求角B；
(2)若AC 边上的高
，求
.
变式6-2．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
．
(1)求角
；
(2)设
是
的高，求
的最大值．
题型七：三角形
问题
的外心和外接圆
典例7-1．（多选）记
是
的外接圆，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积为
D．圆O 的周长为
典例7-2．已知点O 是△ABC 外接圆圆心，角A、B、C 所对的边分别为a，b，c，且有
，
若
，则实数λ 的值为 ．
变式7-1．在
中，内角
所对的边分别为
是
的外心，
，则
的面积为 ．
变式7-2．已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
的解析式；
(2)在
中，O 为
的外心，角A 所对边的长为a，若
的外接圆半径为1，且
，求
面积的最大值.
题型八：三角形
问题
的内心和内切圆
典例8-1．已知
中，
为
的内心，
，则
周长的最大值为（ ）
A．4
B．6
C．16
D．18
典例8-2．在锐角三角形
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)比较
与
的大小；
(2)求
的取值范围；
(3)若
，且
，求
的内切圆半径.
变式8-1．（多选）在直角
中，
且
．若
的内切圆半径为2，且与线段
相切于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8-2．在①
；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解
答.记
的内角
所对的边分别是
，已知__________.
(1)求
.
(2)设
为
的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足
，求
的面
积.
巩固过关
1．四边形
四个顶点在一个平面上，
，
，
，
，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．14
D．
2．已知
中，内角
的对边分别为
，
为
的外心，
，
，且有
．若
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
内切圆半径
C．
D．
3．四边形
内接于半径为
的圆，如图所示，其中
，
，则下列结论
正确的有（ ）
A．
B．
C．四边形
的面积为
D．
4．如图，已知平面凸四边形
中，
，
，
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，
那么
的最大值是 ．
5．在
中，角
的对边分别为
.
(1)证明：
；
(2)求
；
(3)若
，边
上的中线
，求边
的长.
6．如图，平面四边形
中，
，
，
．
的内角A，B，C 的对边分别为
a，b，c，且满足
．
(1)求
；
(2)求
内切圆半径的取值范围．
7．已知
，
，分别为
角
，
，
的对边，
.
(1)求
；
(2)若
，
，点
在边
上，且
是
的角平分线，求
.
8．已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，且
.
(1)求
；
(2)设BC 边上的高等于
，求
.
创新提升
1．已知凸四边形
满足
，则其内切圆半径的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知四边形ABCD 满足
，且其外接圆半径为
，四边形ABCD 的周长记为L，若
的面积
，则当L 取最大值时，四边形ABCD 的面积为（ ）
A．10
B．15
C．
D．
3．三角形
中，角
对的边分别为
，
，若
，则
边上的
高为（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角
的平分线，CB 与AD 相交于点O，
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的长；
(3)若
，求
的面积.
