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11.1.3 多面体与棱柱
课程标准
学习目标
（1）了解多面体的定义及其分类；（重点）
（2）理解棱柱的定义和结构特征；（重点）
（3）了解多面体表面积的概念，知道棱柱表面积的
计算公式，能用公式解决简单的实际问题.（难点）
（1）了解多面体的定义及其分类并掌握棱
柱的定义和结构特征；
（2）在棱柱中构造恰当的特征图形，研究
其中的线段数量关系和位置关系.
知识点01 多面体
1、多面体的定义：一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体。
2、多面体的有相关概念：
（1）多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面；
（2）多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱；
（3）多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点；
（4）多面体的面对角线：连接在同一个面上的两个顶点的不是棱的线段；
（5）多面体的体对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段；
（6）截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包括它的内部）.
2、凸多面体：把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，称这样的多
面体为凸多面体.
2
3、正多面体：各个面都是全等的正多边形且过各顶点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体.
【即学即练1】（21-22 高一上·陕西渭南·月考）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印
信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图
）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图
是
一个棱数为
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上．则该半正多面体共有 个
面．
知识点02 棱柱
1、棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这
样的多面体称为棱柱。
2、棱柱的构成元素及相关概念
（1）底面：有两个互相平行的面称为棱柱的底面，它们是全等的多边形；
（2）侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；
（3）侧棱：相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱；
（4）顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
【注意】
（1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组
对面都可以作为底面。
（2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止
位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面
3、棱柱的高与侧面积
过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一底面的垂线所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高。棱柱
所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积。
4、棱柱的分类：
（1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；
（2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；
其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱；
侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体。
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5、特殊的四棱柱：
底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体，不难看出，
底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学习过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体，它们之间
的关系如下：
【即学即练2】（23-24 高二上·广东惠州·月考）下列说法不正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．正方体是平行六面体
C．长方体是平行六面体
D．平行六面体是四棱柱
【题型一：多面体的概念与性质】
例1．（23-24 高二上·上海·期中）如果一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚
集的棱的条数都相等，这个多面体就叫做正多面体.下列几何体中，所有棱长均相等，同一表面的角都相等，
则 是正多面体.（写出所有正确的序号）
变式1-1．（23-24 高一下·全国·课后作业）一个凸多面体的面数为8，各面多边形的内角和为
，则它的
棱数为（ ）
A．24
B．22
C．18
D．16
4
变式1-2．（23-24 高一下·河南·期中）多面体欧拉定理是指：若多面体的顶点数为
，面数为，棱数为，
则满足
. 已知某
面体各面均为五边形，且经过每个顶点的棱数为3，则
（ ）
A．6
B．10
C．12
D．20
变式1-3．（22-23 高一下·重庆九龙坡·月考）如图，
是一种碳原子簇，它是由60 个碳原子构成的，其
结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32 面体，这60 个
原子在空间进行排列时，形成一个化学键最
稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两
个等性杂化轨道的最大值之间的夹角
满足：
，式中
分别为杂化轨道中
轨道所占的百
分数.
中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无
轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为
，它
表示参与杂化的
轨道数之比为
，由此可计算得一个
中的凸32 面体结构中的五边形个数和两个
等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧与总结】
1、多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分；
2、多面体至少有4 个面；
3、已知正多面体顶点数V、面数F、棱数E 之间满足关系：V+F-E=2.
【题型二：判断几何体是否为棱柱】
例2．（23-24 高一下·广东佛山·月考）下列几何体为棱柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5
变式2-1．（23-24 高二上·四川内江·月考）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）
B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）
D．（3）（4）（6）（7）
变式2-2．（23-24 高一下·全国·课后作业）下列几何体不属于棱柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3．（23-24 高一下·全国·课后作业）关于如下图所示的4 个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱
B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱
D．只有①②④是棱柱
【方法技巧与总结】
根据棱柱的结构特征进行判断，但需要注意一个误区：由两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多
面体不一定是棱柱，如下图，棱柱还需满足各侧棱互相平行且相等。
【题型三：棱柱的结构特征与分类】
例3．（22-23 高一下·黑龙江鸡西·期中）一个棱柱至少有（ ）个面
A．2
B．3
C．4
D．5
6
变式3-1．（23-24 高一·全国·单元测试）满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ）
A．底面是矩形
B．有一个侧面与底面垂直
C．有一个侧面是矩形
D．相邻两个侧面是矩形
变式3-2．（22-23 高一下·河北石家庄·月考）下列命题正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
变式3-3．（22-23 高一下·河南南阳·月考）（多选）下列说法不正确的是（ ）
A．底面是矩形的四棱柱是长方体
B．有两个面平行，其余四个面都是平行四边形的几何体叫平行六面体
C．棱柱的各个侧面都是平行四边形
D．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
【方法技巧与总结】
有关棱柱的结构特征问题，要进口棱柱的结构特征进行有关说法辨析
（1）两个底面互相平行；（2）其余各面是平行四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边互相平行；
求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征。
【题型四：棱柱中的相关计算】
例4．（22-23 高一·全国·课后作业）长方体
中，
，
，则此
长方体的对角线长是（ ）
A．2
B．
C．
D．
变式4-1．（23-24 高一·全国·课后作业）已知正四棱柱的侧棱长为
，它的体对角线长为
，则这
个正四棱柱的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（23-24 高一下·全国·单元测试）（多选）用一张长、宽分别为
和
的矩形硬纸折成正四
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棱柱的侧面，则此正四棱柱的对角线长可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-3．（22-23 高一下·河南拓城·月考）底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为
，体对角线长
为
，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【方法技巧与总结】
求棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形或矩形。
若棱柱是斜棱柱，则常过定点作底面的垂线来构造直角三角形；若棱柱为直棱柱，则可直接应用垂直关系，
将问题转化为直角三角形或矩形中求解，即最终都将问题挡在一个“合适”的平面图形中求解。
【题型五：棱柱表面的最短距离问题】
例5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，在长方体
中，
，一小虫
从顶点
出发沿长方体的表面爬到顶点
，则小虫走过的最短路线的长为 .
变式5-1．（22-23 高一下·贵州安顺·期末）已知正三棱柱
的所有棱长都是2，点
在棱
上
运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．
变式5-2．（23-24 高一上·云南大理·开学考试）如图，在底面为正三角形的直三棱柱
中，
，
，点
为
的中点，一只小虫从
沿三棱柱
的表面爬行到
处，则小
虫爬行的最短路程等于 ．
8
变式5-3．（22-23 高一下·广东·期末）如图，有一底面边长为
，高为
的正六棱柱形粮仓，侧面
的中心点为
，此时一只蚂蚁正在
处，它要沿棱柱侧面到达
所经过的最短路程是
.
【方法技巧与总结】
立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何
图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决。常用解题步骤如下：
（1）将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；
（2）将所求问题转化为平面上的线段问题；
（3）结合已知条件求得结果。
【题型六：判断正方体截面多边形】
例6．（23-24 高一下·陕西西安·期中）有一封闭透明的正方体形容器，装有容积一半的有颜色溶液，当你
任意旋转正方体，静止时液面的形状不可能是（ ）
A．三角形
B．正方形
C．菱形
D．正六边形
变式6-1．（22-23 高一下·浙江衢州·期末）用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（
）
①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆
A．①②③
B．①②④
C．①②③④
D．①②③④⑤
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变式6-2．（23-24 高一下·全国·课后作业）若正方体的一个截面恰好截这个正方体为等体积的两部分，则
该截面( )
A．一定通过正方体的中心
B．一定通过正方体一个表面的中心
C．一定通过正方体的一个顶点
D．一定构成正多边形
变式6-3．（22-23 高三上·广东清远·期末）（多选）已知棱长为2 的正方体
的中心为
，
用过点
的平面去截正方体，则（ ）
A．所得的截面可以是五边形
B．所得的截面可以是六边形
C．该截面的面积可以为
D．所得的截面可以是非正方形的菱形
【方法技巧与总结】
一个正方体的截面会有以下几种情况（如图）
一、单选题
1．（23-24 高一下·全国·课后作业）一个多面体的面至少为（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
2．（22-23 高一下·重庆万州·月考）下列图形中，不是棱柱的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高一下·陕西商洛·期末）关于平行六面体，下列结论正确的是（ ）
A．平行六面体有12 个顶点
B．正方体不是平行六面体
C．平行六面体有12 条棱
D．平行六面体的每个面都是矩形
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4．（23-24 高一下·福建厦门·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
5．（23-24 高一下·全国·课后作业）正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，
面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体.如图，正二十面体是由20 个等边三角形所组成的正
多面体.已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数
，则正二十面体的顶点的个数为（ ）
A．30
B．20
C．12
D．10
6．（22-23 高一下·辽宁锦州·月考）某同学为表达对“新冠疫情”抗疫一线医护人员的感激之情，亲手为
他们制作了一份礼物，用正方体纸盒包装，并在正方体六个面上分别写了“致敬最美逆行”六个字，该正
方体纸盒水平放置的六个面分别用“前面､后面､上面､下面､左面､右面”表示.如图是该正方体的展开图.若
图中“行”在正方体的左面，那么在正方体右面的字是（ ）
A．最
B．美
C．逆
D．敬
7．（22-23 高二上·内蒙古包头·期末）长方体
中，
分别为棱
中点，则
两点的距离为（ ）
A．
B．
C．3
D．
8．（23-24 高一下·全国·课后作业）正四棱柱的体对角线长是
，全面积是
，则满足这些条件的
正四棱柱有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．无数个
二、多选题
9．（22-23 高一下·安徽池州·期中）如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.
如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60 个顶点，每个顶点发出的棱有3 条，设其顶点数V，面数F 与
棱数E，满足
（Euler's formula），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（ ）
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A．共有20 个六边形 B．共有10 个五边形
C．共有90 条棱 D．共有32 个面
10．（23-24 高一下·河北廊坊·月考）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（ ）
A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形
B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形
C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形
D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形
11．（22-23 高一下·新疆·月考）长方体
的棱长
，则从
点沿长方
体表面到达
点的距离可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（22-23 高一下·河北张家口·月考）如图所示，长方体
分别为棱
的中点.
用平面
把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是 .（填：棱柱､棱锥､棱台其中一个）
13．（22-23 高一下·湖北武汉·月考）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它
体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到
一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有 条.
14．（22-23 高二上·上海静安·期末）在棱长为
的正方体
中，
，
分别是正方形
、正方形
的中心，则过点
，
，
的平面截正方体的截面面积为 ．
四、解答题
15．（22-23 高一上·江西抚州·月考）已知一个直四棱柱的底面边长为5cm 的正方形，侧棱长都是8cm，回
答下列问题：
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（1）这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？
（2）将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？
16．（23-24 高一下·全国·课后作业）如图，一个三棱柱的底面是边长为
的正三角形，侧棱
底面
，
．有一只小虫从点
沿三个侧面爬到点
，求小虫爬行的最短路程．
17．（22-23 高一下·辽宁沈阳·月考）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E 是CC1，BC
的中点，AE=DE.求:
（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
