【题型突破04：抽象函数的综合问题】
1．（25-26 高一上·江苏南京·月考）函数f (x)和g(x)的定义域均为R，已知y = f (x)为偶函数，y = g(x)+1
为奇函数，对于∀x∈R，均有f (x)+ g(x)= x
2+ 4，则f (4)g(4)=（ ）
A．21
B．−21
C．121
D．0
2．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数 f (x) 及其导函数 f
′ (x) 的定义域均为 R ，若 x−f (x +2) 为
偶函数， f (1−2 x) 为奇函数，则 f
′ (2025)+ f
′ (2027)= .
3．（25-26 高三上·广东广州·期中）已知定义域为R的函数f (x)满足f (−x)=−f (x)，f (2+ x)+ f (4−x)=0，
当0≤x ≤3时，f (x)= x
2+ax，则f (8)=（ ）
A．−2
B．2
C．−3
D．3
4．（24-25 高二下·山西吕梁·期末）已知定义在R上的函数f ( x)和g( x)，满足f (3 x +3)为偶函数，
g(2 x +5)−1为奇函数，若f (1)+ g(1)=5，则f (5)−g(9)= ．
5．（20-21 高二下·福建福州·期末）若对∀x , y ∈R，有f ( x + y)= f ( x)+ f ( y)−4，函数
g( x)= 2sin x
cos x +1 + f ( x)在区间[−2021,2021]上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
6．（25-26 高一上·全国·期末）已知f (x)是定义在实数集R上的函数，在(0,+∞)内单调递增，f (2)=0，且
函数f (x−1)关于点(1,0)对称，则不等式xf (1−x)<0的解集是（ ）
A．(−∞,−2)∪(−1,0)∪(2,+∞)
B．(−∞,−2)∪(2,+∞)
C．(−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+ ∞)
D．(−∞,−1)∪(3,+∞)
7．（2025 高一上·江苏·专题练习）已知函数y = f (x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+ ∞)，对任意的
命题角度1：抽象函数的值（或值
命题角度2：抽象函数的单调性
x1, x2∈(0,+ ∞), x1≠x2，都有
x2f (x2)−x1f (x1)
x2−x1
>0，若函数y = f (x +1)的图象关于点(−1,0)成中心对称，
且f (1)= 4，则不等式f (x)> 4
x 的解集为（ ）
A．(−1,0)∪(0,1)
B．(−1,0)∪(1,+ ∞)
C．(−∞,−1)∪(0,1)
D．(−∞,−1)∪(1,+∞)
【多选题】8．（25-26 高三上·河南·月考）已知函数f (x)的定义域为(−1,1)，满足
f (x)+ f ( y)= f(
x + y
1+ xy)−1，当x∈(0,1)时，f (x)>−1，且f(
1
2)=0，则（ ）
A．f (0)=1
B．f(
4
5)=1
C．f (x)+1是奇函数
D．f (x)是增函数
9．（25-26 高一上·江西·月考）已知定义在(−∞,0)∪(0,+ ∞)上的函数f (x)满足f (xy)+ 1
2 = f (x)+ f ( y)，
且当x>1时，f (x)> 1
2，则下列说法错误的是（ ）
A．f (−1)= 1
2
B．f (x)为偶函数
C．若f (x +2)< 1
2，则x<−3或x>−1
D．f (−2024)>f (−2023)
10．（25-26 高三上·安徽·月考）已知f
′ (x)是定义在R 上的奇函数f (x)的导数，且g(x)= f
′ (x)−2e
x+2 x也
是定义在R 上的奇函数，则关于a 的不等式g(2a+1)+ g(a−5)<0的解集为（ ）
A．(−∞, 4
3)
B．(
4
3 ,+∞)
C．(−1, 4
3)
D．(
4
3 ,2)
11．（25-26 高一上·安徽黄山·期末）定义在R上的函数f (x)，g(x)满足f ( x)+ g(2−x)=5，
g( x)−f ( x−4)=3，且函数g(x +2)为偶函数，则f (1)+ f (2)+ f (3)+⋯+ f (2025)= ．
12．（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知定义域为R 的函数f (x)与g(x)满足：f (x)−g(x)= x，且f (x +1)
是奇函数，g(x +2)是偶函数，则f (2025)=（ ）
A．-1
B．2024
C．2025
D．2026
13．（25-26 高一上·江苏苏州·期中）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x +2)−2为奇函数，f (3 x +1)为偶
函数.若f (1)=0，则f (1)+ f (2)+⋯+ f (102)的值为 .
14．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数f (x)的定义域为R，且f (x +2)−2为奇函数，f (x +1)为偶函数．
若f (1)=0，则f (1)+ f (2)+⋅⋅⋅+ f (102)的值为 ．
命题角度3：抽象函数的奇偶性与周期
15．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)的定义域为R，且
f ( x + y)+ f ( x−y)= f ( x)f ( y),f (1)=1，则∑
k =1
2025
❑f (k )=（ ）
A．－3
B．－2
C．0
D．1
【多选题】16．（25-26 高一上·云南·期中）已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，f (x−2)为偶函数，
g(x)+ g(4−x)=0，f ( x)= g( x−2)+ 4，g(1)=1，则（ ）
A．f (−7)=−5
B．f ( x)= f ( x +24)
C．g(x)的图象关于点(2,0)对称
D．f (x)的图象关于点(4,4)对称
17．（2026·陕西宝鸡·一模）已知函数f (x)，g(x)的定义域为R，且g(x)+ f (−x +2)=1，
f (x)−g(x +1)=1，若y = f (x)的图像关于直线x =1对称，则以下说法正确的有 ．
①g(−x)=−g(x) ②∀x∈R ,f (x)= f (x + 4)
③g(−3
2)=0 ④f (x +2026)+ f (−x−2025)=2
【多选题】18．（25-26 高一上·福建漳州·月考）函数f (x)对∀x∈R，f (x +2)= f (4−x)，且f (x +6)为
奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若x∈(0,3)时f (x)=2
x，则f (8)= 4 B．f (x)的周期为6
C．f (x)的图象关于(−6,0)中心对称
D．f (2025)+ f (3)=0
【多选题】19．（25-26 高三上·江西赣州·期中）已知函数f (x),g(x)的定义域均为R，且
g(x)=2f (x +1)−2，2f (x)+ g(x−3)=2．若y = f (x)的图象关于直线x =1对称，且f (1)=3，现有四个
结论其中结论正确的为（ ）
A．g(0)= 4
B．4 为g(x)的周期
C．g(x)的图象关于点(2,0)对称
D．g(3)=0
【多选题】20．（25-26 高一上·重庆·期中）已知f ( x)的定义域为R ,f (1+ x)= f (1−x)，且f ( x +2)为奇
函数，则（ ）
A．f ( x)关于x =1对称
B．f ( x)为偶函数
C．f (4)=0
D．
f (7−2 x)= f (3+2 x)
【多选题】21．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数f (x)及其导函数g(x)的定义域均为R.且f (x)为非
常数函数，f (x)+ f (x +2)=6，g(2 x +1)为奇函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．g(1)=0
B．g(x +2)= g(2−x)
命题角度4：抽象函数的对称性
命题角度5：抽象函数与导数
C．f (x +3)= f (x)
D．∑
i=1
100
f (i)=300
22．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知函数f (x)的定义域为R，且满足y = f(x + 3
2)−2为奇函数，f (x)
的导函数为g(x)，函数y = g(x−1)的图象关于点(2,1)中心对称，则f(
3
2)+ g(2024)=（ ）
A．3
B．−3
C．1
D．−1
23．（25-26 高三上·山东德州·月考）已知函数f ( x)的定义域为R，其导函数为g( x)，若函数f (2 x +2)为
偶函数，函数g( x−1)为偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数f ( x)关于x =2轴对称
B．函数f ( x)关于(−1,f (−1))中心对称
C．若f (−2)=1,f (5)=−1，则g(26)+ f (16)=−2
D．若当−1≤x ≤2时，f ( x)=e
x +1−1，则当14≤x ≤17时，f ( x)=e
17−x−1
【多选题】24．（25-26 高三上·贵州·月考）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域均为R，记g(x)= f
′ (x)．
若f (1−x)为偶函数，g(x +3)为奇函数，则（ ）
A．g(x)的图象关于点(1,0)对称
B．g(x)的周期为2
C．g(2025)=0
D．f (x)的图象关于直线x =3对称
25．（25-26 高三上·福建三明·月考）已知函数f (x)及其导函数f
′ (x)的定义域为R，若f
′ (2)=8，函数
f (2 x +1)和f
′ (x +2)均为偶函数，则∑
i=1
2025
f
′ (i)的值为 .
