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《平面向量——神奇的等和线》（教案）
一、教学目标
1.知识目标：了解三点共线和等和线定理的概念和性质；
2.能力目标：学会用等和线解决共起点系数和的最值问题；
3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣，提高解决问题的能力。
二、教学重难点
教学重点：平面向量等和线的定义，用等和线解决系数和最值问题.
教学难点：等和线解决系数和最值问题.
三、教学过程
B
1.导入与推导：1.动画导入，三点共线的条件： P
推导平面向量中任意向量中系数和与平移直线的关系。
2. 概念讲解：
O A
等和线的定义的讲解：结合教材介绍等和线定义和性质
如图,平面内一组基底⃗OA
,
⃗OB及任一向量⃗OP
,
⃗OP
=
x⃗OA+ y⃗OB
P
B
P AB AB OP
若点 在直线 上或者在平行于 的直线上，设 与
AB与交点为Q ,则x+ y=k反之也成立。我们把直线AB A
O
以及与直线AB平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线AB时，k=1
②当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1)
③当等和线在直线延长线之外时，k∈(1,+∞)
④当等和线过O点时，k=0
四、例题讲解.
A
D
例1 .在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且
与BD相切的圆上.若⃗AP=x⃗AB+ y⃗AD ，则x+ y的最大值
C
为 . B
分析：
A D
1.等和线值为1的直线BD;
Q
2.在可行域内平移直线BD，确定取得的最大值点即为P 1
0
C
AP AP B
解：x+ y= = 1
==3
AQ AQ
1
P
0
P
1
学科网（北京）股份有限公司变式：如图,给定两个长度为1的向量⃗OA和⃗OB ,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的
弧^AB ̂ ̂(cid:4) 变动·若⃗OC=x⃗OA+y⃗OB
⃗
̂ ̂,则2x+ y的最大值为 .
分析：1..取OA中点D,⃗OC=x⃗OD+y⃗OB
2.确定等和线值为P的直线BD
3.在扇形OAB内平移BD，确定2x+ y取得最大值点为
|OE|
4.所以2x+ y= =|OE|
|OC|
解：在△0BD,|BD|²=|0D|²+|0B|²-2|0B||0D|cos120°
❑√7 ❑√21 ❑√21
,则0E= ，2x+ y 的最大值为0E=
BD=
2 14 14
用等和线的解题步骤
（1）选起点（共起点）
（2）定基线（平移确定等和线值为1的线）
（3）作平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域分析何处取得最大值和最小值；
（4）求值（通过移动点的位置，找到一个最容易得到它们比值的地方）.
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