文档文本内容
第24 讲正弦定理、余弦定理的应用
（知识清单+6 典例精讲+6 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
正余弦定理边角互化、三角形边长与面积计算
单选/解答题
5 分/12 分
余弦定理、面积公式综合应用、基础求值
解答题
12 分
正余弦定理综合、周长与面积范围问题
解答题
12 分
余弦定理构造、边长取值范围求解
单选/填空题
5 分
正弦定理基础求值、解的个数判断
单选题
5 分
正余弦定理联动、面积最值综合压轴
解答题
12 分
【知识点01】正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a
sin A ＝
b
sin B ＝
c
sinC ＝2R
a2＝b 2 ＋
c 2 －
2 bc
cos
A ；
b2＝c 2 ＋
a 2 －
2 ca
cos
B ；
c2＝a 2 ＋
b 2 －
2 ab
cos
C
变形
(1)a＝2Rsin A，
b＝2 R sin
B ，
c＝2 R sin
C ；
(2)sin A＝a
2 R ，
cos A＝b
2＋c
2−a
2
2bc
；
cos B＝c
2＋a
2−b
2
2ac
；
cos C＝a
2＋b
2−c
2
2ab
sin B＝b
2 R ，sin C＝c
2 R ；
(3)a∶b∶c＝sin
A ∶
sin
B ∶
sin
C
【例1】在 △ABC 中，已知 A = π
6 ，B = π
3 ，a=2，求边长 b。
解析：根据正弦定理：
a
sin A =
b
sin B
代入已知条件 a=2, A = π
6 ,B = π
3 ：
2
sin π
6
=
b
sin π
3
2
1
2
= b
❑√3
2
解得：b=2❑√3
答案：b=2❑√3
【知识点02】三角形解的判断
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin A<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
【例2】在 △ABC 中，a=3,b= 4 , A = π
6 ，判断三角形解的个数。
解析：已知 A = π
6 为锐角，先计算：
bsin A = 4×sin π
6 = 4× 1
2 =2
满足关系：2<3<4，即 bsin A <a<b
根据解的判定法则，此三角形有两解。
答案：两个解
【知识点03】三角形中常用的面积公式
(1)S＝1
2aha(ha表示边a 上的高)；
(2)S＝1
2ab
sin
C ＝1
2ac
sin
B ＝1
2bc
sin
A ；
(3)S＝1
2r ( a ＋
b ＋
c ) (r 为三角形的内切圆半径).
【例3】在 △ABC 中，已知 a=3,b= 4 ,C = π
3 ，求三角形面积。
解析：直接代入三角形面积公式：
S△ABC = 1
2 absin C
= 1
2 ×3×4×sin π
3
=6×
❑√3
2
=3 ❑√3
答案：S△ABC =3 ❑√3
【题型一】正弦定理解三角形
【例1】（2026·重庆江北·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理建立边角的等量关系，代入已知条件求解
的值
【详解】在
中，由正弦定理得
，交叉变形可得
，已知
，
因此
，结合题设
，将上述值代入
，可得：
，解得
【变式1】（2025·江西萍乡·二模）在
中，
、
、分别是角
、
、
的对边，若
，
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和定理求解即可.
【详解】因为
，则
为锐角，由正弦定理可得
，
所以
，故
，
因此
.
【变式2】（2026·甘肃嘉峪关·三模）在
中，
，
，
，角C 为钝角，则
________．
【答案】
【分析】根据给定条件求出角
，再利用正弦定理及平方关系求解.
【详解】在
中，由角C 为钝角，得角
是锐角，则
，
由
，得
，
，而
，
，
由正弦定理得
，而角C 为钝角，
所以
.
【变式3】（2026·云南昆明·模拟预测）已知
中，
，
，角A 的平分线与
交于点D，且
，则
__________．
【答案】
【分析】在△
中利用正弦定理求解出
，再在△
中利用正弦定理求解出
.
【详解】△
中，由正弦定理
得：
，
因为
为锐角，所以
，从而
，所以
，
从而
，△
中，由正弦定理
，所以
.
【题型二】正弦定理求外接圆半径
【例1】（2026·陕西榆林·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
外接圆的半径为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【详解】由于
，且
，所以
．
设
外接圆的半径为
，
因为
，所以
，可得
．
【变式1】（2026·海南海口·一模）在
中，已知
，
，
外接圆面积为
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径
，利用正弦定理
求出
，结合已知求出
，进而
求出
.
【详解】设
外接圆的半径
，
外接圆面积为
，
，解得：
，
由正弦定理
,
，
，
，即
，
，
，即
，
，
，
，则
，
，
.
故选：B
【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且
，则
的外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得
，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接
圆的半径，从而得到结果.
【详解】由
，
得
，所以
．
又因为
，结合正弦定理
（其中
为
的外接圆的半径），
所以
，解得
，
则
的外接圆的面积为
．
故选：B
【变式3】（2024·全国·模拟预测）在
中，若
，
，则
外接圆的面积为
__________.
【答案】
【分析】将给定等式消去角C，而求得A，再由正弦定理求出外接圆半径即可得解.
【详解】
中，因
，则
，
化简得
，而sinB>0，则tanA=1，
，
外接圆半径为R，由正弦定理得
，即R=1，
所以
外接圆的面积为
.
故答案为：
【题型三】正弦定理边角互化的应用
【例3】（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，
，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，
，由正弦定理可知
，即
，
所以
.
【变式1】（多选）（2026·云南昭通·模拟预测）
内角
的对边分别为
，已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】因为
，所以
，
由正弦定理可得
，又
，
所以
，
，
．
因为
，所以
，故
，
，
所以
．
【变式2】（2025·河北衡水·模拟预测）在
中，若
，
，则
_________.
【答案】
/
【分析】先由正弦定理得
，再由同角的三角函数关系式得
，再由大边对大角定理得
为锐角，进而
得到答案.
【详解】由正弦定理得
，又
，得
①，
再由
，得
②，
①②代入
，得
，得
，
所以
，即
或
.
又因为
，由大边对大角得
，所以
为锐角，
所以
.
故答案为：
.
【变式3】（2026·河北保定·三模）在
中，角
的对边分别为
．
(1)若
，求A；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解；
(2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围.
【详解】（1）已知
，且
，因此
，
由正弦定理
，结合
得
，
即
，展开
，
因为
，
，所以
，
又因为
，故
，所以可得
，即
，
因此
.
（2）已知
，
，由正弦定理
，
可得：
，又
，
再由正弦定理
，则
，
故三角形的周长：
因为
为锐角三角形，三个角均为锐角：
，可得
，即
，
所以
.
【题型四】三角形面积公式及其应用
【例4】（2026·陕西咸阳·三模）已知
的面积为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理及三角形面积公式求解即可.
【详解】由
及正弦定理得，
，
又
，所以
.
又
，即
，
所以
.
【变式1】（多选）（2026·陕西咸阳·一模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的周长为
D．
的面积为
【答案】BD
【分析】由正弦定理
得到
，再结合三角形面积公式逐项判断即可.
【详解】因为
，
，
，所以
由正弦定理可得：
，即
，
则
，得
，则
，
所以
，
所以
的周长
，
所以
的面积为
,
由上可知AC 错误，BD 正确，
故选：BD
【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在
中，
，
，
，则
____________，
的面积为____________．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和求出角
，通过角度恒等变换关联
，结合和差角公式得到正切乘积，再结合
正弦定理与面积公式求解三角形面积.
【详解】由
，
，可得
，即
，故
.
则
，
，所以
，
因此
.
又
，
联立
,
解得
，
，
则
.
由
，结合正弦定理与三角形面积公式，
.
【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
．已知
，
，
的平分线交
于点D．
(1)求b 的值；
(2)从下列条件中选择一个作为已知，使
存在，并求
的长．
条件①：
边上的高为
；条件②：
的面积为
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理边角转化，即可求解；
（2）选择条件①，不可以求出
的长，选择条件②，利用面积公式即可求出边，然后利用等腰三角形性质求
的长.
【详解】（1）因为
，所以
，
又
，由正弦定理可得：
，
所以
．
（2）
若选①：因为
边上的高为
，
，
，
根据正弦函数可知
边上的高又等于
，
所以这样的三角形不存在；
若选②：
的面积
，解得
．
所以
，所以
为等腰三角形，
又
为
的平分线，所以
，即
．
【题型五】余弦定理解三角形
【例5】（2026·重庆·模拟预测）在
中，内角
的对边分别为
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在
中由余弦定理得：
，则
或
（舍）.
【变式1】（2026·山东德州·三模）已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
且
，三角
形面积为
，则
的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用三角形面积公式和余弦定理即可求解.
【详解】根据三角形面积公式
，代入已知
，
；
，解得：
，
根据余弦定理
，代入
，
，
对式子变形：
，代入
，
得：
，即
，所以
，
三角形周长为
.
【变式2】（2026·陕西咸阳·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，
，则
______．
【答案】
或
或
【详解】因为
，
，所以
、均为方程
的根，
对于方程
，两根
，
，
，
，
所以当
时，因为
，所以
为等边三角形，
则此时
或
，
当
时，
，
，所以由余弦定理
，
则
，则此时
.
【变式3】（2026·安徽滁州·三模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
．
(1)求
;
(2)若
是锐角三角形，
，延长
至点
，使
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对已知等式进行通分化简，再结合余弦定理即可求出角
；
（2）先利用几何法，通过作垂线确定锐角三角形中边
的取值范围；再在
中用正弦定理建立
与
的关
系，结合
的范围直接推导出
的取值范围.
【详解】（1）由
得
，
整理得
，所以
，
因为
，所以
．
（2）如图，分别作
，垂足为Q，
，垂足为B，与射线
交于点P．
当点
在线段
上（不含
，
）时，满足
是锐角三角形．
因为
，
，所以
，
，
故
．
在
中，因为
，
所以
，
由正弦定理得，
，得
，
故
的取值范围是
．
【题型六】余弦定理边角互化的应用
【例6】（2026·四川绵阳·模拟预测）在钝角
中，
，
，
，则
（ ）
A．2
B．3 或5
C．5
D．3
【答案】D
【分析】根据余弦定理求解即可.
【详解】在钝角
中，
，
，
，
则
，即
，
解得
或
.
当
时：
，
为钝角，符合要求；
当
时：
，
为锐角，此时三角形为锐角三角形，不符合要求.
故
.
【变式1】（2026·湖北十堰·一模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，
，则
（ ）
A．
B．20
C．16
D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
【详解】因为
，
，所以
.
由正弦定理可知，
，所以
，
，
又
，所以
，所以
.
由余弦定理知，
，所以
，即
.
又
，
所以
，所以
.
故选：D.
【变式2】（2026·安徽合肥·模拟预测）记△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且a
b，则
______.
【答案】1
【分析】利用余弦定理进行角化边，化简等式即可求得c.
【详解】根据余弦定理得：
，
即
，整理得
，
即
，因为
，所以
.
【变式3】（2026·甘肃张掖·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由正余弦定理转化为边的关系求解即可；
（2）根据余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为
，
由余弦定理及正弦定理可得，
，
即
，所以
.
（2）
，
当且仅当
时等号成立，
由
知，
，所以
.
【解题大招01】正弦定理“边角互化”技巧
在三角形等式中，若式子为齐次式（边次数相同、角正弦次数相同），可利用正弦定理
a=2 R sin A ,b=2 R sin B ,c =2 R sin C 实现边化角或角化边，消去外接圆半径 R，简化式子。
适用题型：判断三角形形状、化简边角等式、求角度。
【例1】在 △ABC 中，满足 asin B =bsin A，结合定理化简并分析边角关系。
解析：由正弦定理边角互化：
sin A sin B =sin Bsin A
式子恒成立，拓展经典题型：若 acos B =bcos A
边化角得：sin A cos B =sin Bcos A
sin ( A −B)=0
由三角形内角范围 0< A ,B<π，得 A = B
结论：三角形为等腰三角形
【解题大招02】余弦定理“构造最值”技巧
已知三角形一边及对角，利用余弦定理结合基本不等式，可快速求解另外两边和、积、周长、面积的最值，是高考解
三角形压轴必考套路。
核心逻辑：余弦定理列式 → 构造 a
2+b
2≥2ab → 求最值范围。
【例2】在 △ABC 中，C = π
3 ，c =2，求ab 的最大值。
解析：由余弦定理：
c
2=a
2+b
2−2abcos C
代入已知条件：
4 =a
2+b
2−ab
由基本不等式 a
2+b
2≥2ab：
4≥2ab−ab=ab
即 ab≤4，当且仅当 a=b=2 时取等号。
答案：ab 最大值为 4
【解题大招03】两边一对角“解的个数快速判断”技巧
已知 a,b, A（两边一对角），无需画图，直接通过边长与高的大小关系秒杀判断解的个数：
h=bsin A（三角形最大高）
1. A 锐角：a<h 无解；a=h 一解；h<a<b 两解；a≥b 一解
2. A 钝角/直角：a>b 一解；a≤b 无解
【例3】在 △ABC 中，a=2,b=3, A = π
4 ，判断解的个数。
解析：计算高：h=bsin A =3×
❑√2
2 ≈2.12
因为 a=2<h，不满足三角形构成条件。
答案：无解
【解题大招04】面积公式联动正余弦定理综合技巧
解三角形解答题通用套路：正余弦定理解边长、角度 → 代入面积公式求面积 → 结合不等式求最值，三步秒杀综合
大题。
核心组合公式：
S = 1
2 absin C ,c
2=a
2+b
2−2abcos C
【例4】在 △ABC 中，B = π
6 ，b=2，求三角形面积最大值。
解析：由余弦定理：b
2=a
2+c
2−2ac cos B
4 =a
2+c
2−❑√3ac≥2ac−❑√3ac
ac≤
4
2−❑√3 =8+ 4 ❑√3
面积公式：S = 1
2 ac sin B = 1
4 ac
S≤1
4 (8+ 4 ❑√3)=2+ ❑√3
答案：面积最大值为 2+ ❑√3
【解题大招05】三角形内角关系转化技巧
在 △ABC 中，A + B+C = π，利用内角和诱导公式化简三角式，是解三角形化简题的隐藏技巧：
sin ( A + B)=sin C ,cos ( A + B)=−cos C
sin ( A + B
2
)=cos C
2 ,cos ( A + B
2
)=sin C
2
【例5】在 △ABC 中，化简 sin ( A + B)+cos ( A + B)。
解析：由三角形内角和：A + B = π −C
sin ( A + B)=sin (π −C )=sin C
cos ( A + B)=cos (π −C )=−cos C
原式化简结果：sin C −cos C
【解题大招06】外接圆半径速求技巧
已知任意一组边角，可通过正弦定理快速求三角形外接圆半径：
2 R =
a
sin A ⇒R =
a
2sin A
常结合面积拓展公式 S = abc
4 R 综合考查。
【例6】在 △ABC 中，a=2, A = π
6 ，求外接圆半径 R。
解析：R =
a
2sin A =
2
2×sin π
6
=
2
2× 1
2
=2
答案：R =2
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·宁夏·一模）在
中，已知
，则
（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由余弦定理得：
.
2．（2025·江西·二模）在
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．
，
，
B．
，
，
C．
，
，
D．
，
，
【答案】D
【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可.
【详解】A：
，
，
，
为钝角且
，有一解，故A 错误；
B：
，
，
，
为锐角，
，则无解，故B 错误；
C：
，
，
，
为钝角且
，则无解，故C 错误；
D：
，
，
，
为锐角，
，因
，故有两解，故D 正确.
故选：D
3．（2026·湖南湘西·三模）在
中，内角
的对边分别为
，已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数关系式以及正弦定理求解即可.
【详解】因为
，所以
，所以
，
在
中，由
以及正弦定理得：
，得
．
二、多选题
4．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在
中，
，
，
，则“
有唯一解”的充分条件可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由正弦定理求得
，根据充分条件的规定，依次对各选项逐一判断即得.
【详解】由正弦定理可得
，即
．
对于A，当
时，
，可得
，故得
，解唯一，故A 正确；
对于B，当
时，
，因
，则
，角
有两解，解不唯一，故B 错误；
对于C，当
时，则
，则
，故
，则
，解唯一，故C 正确；
对于D，当
时，
，因
，则
，角
有两解，解不唯一，故D 错误.
故选：AC．
三、填空题
5．（2026·陕西商洛·二模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
，则
______．
【答案】2
【详解】由余弦定理知：
，则：
，
由余弦定理得：
，
即
，解得
或
（舍），
．
6．（2026·陕西西安·三模）在
中，角
的对边分别为
，已知
，
，
，则
的
面积为___________，
___________．
【答案】
【分析】先由同角三角函数关系，求出
的值，再代入三角形面积公式，求出三角形的面积；最后用余弦定理求
出
，进而求得.
【详解】因为
，所以
．
因为
，
，所以
的面积为
．
在
中，由余弦定理得
，
所以
．
四、解答题
7．（2026·甘肃·模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C 的大小；
(2)若边
，求
的面积S 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解.
（2）利用余弦定理及基本不等式求出
的最大值，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，则
，
而
，因此
，即
，又
，
所以
.
（2）由（1）知
，而
，由余弦定理
，
得
，则
，当且仅当
时取等号，
，
所以
的面积S 的最大值为
.
8.（2026·青海西宁·二模）如图，在
中，
，
为
延长线上的一点，
，
．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求出
，结合三角形内角和及外角性质求出
，最后在
中利用正弦定理求出
的长；
（2）利用余弦定理求出
的长，进而求出
，确定
的形状，然后根据面积公式求解.
【详解】（1）在
中，根据正弦定理可得
，
即
，
由
为钝角，得
为锐角，所以
，
所以
，
所以
．
（2）因为
，
在
中，由余弦定理得，
，
解得
，则
，
则
，在
中，
，
所以
的面积为
【拔高选练】（共6 题）
1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，若
，则
的相反数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理进行边化角，利用两角和差的正弦公式结合正弦函数的图像得到
的等量关系式，利用二倍
角的余弦公式求出
，从而得到所求.
【详解】因为
，
所以
，
即
，
即
，而
为三角形内角，
则
或
(舍，因为
与题设矛盾)，
解得
，即
，则
的相反数为
.
2．（2026·河南·三模）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，
，则
（ ）
A．3
B．5
C．
D．
【答案】D
【分析】由余弦定理以及二倍角公式求解即可.
【详解】由
得
，所以
，
又由余弦定理
，得
，
解得
或
，若
，则
，得
，
又由
且
，得
，与
矛盾，
若
，由余弦定理得
，
，所以
.
二、多选题
3．（2026·云南昭通·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，D 为BC 的中点，
（
为锐角），
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的面积为
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】A.由面积公式求解；B.由余弦定理求解；C.根据三角函数三者关系求解；D.根据中线公式求解.
【详解】由
为锐角，所以
，A 错误；
由
，
为锐角，得
，由余弦定理得
，则
，B
正确；
由题意，可得
，则
，
，所以C 正确；
由
，得
，则
，D 正确．
三、填空题
4．（2025·广东佛山·模拟预测）在
中，角
所对的边分别为
．其中
，当
__________．
（填一个符合条件的答案即可）时，
有唯一解．
【答案】
（答案不唯一）.
【分析】当
或
时，
有唯一解，求解即可.
【详解】当
或
时，
有唯一解．
则
或
，
故答案为：
（答案不唯一）.
5．（2026·陕西榆林·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
的面积为
，
，则
的周长为______．
【答案】
/
【详解】由正弦定理得
，
结合
，
得
，即
，
，
，
，
由
的面积为
可知，
，得
，
由
，知
，
，
，
的周长为
．
四、解答题
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的
关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出
，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·江苏苏州·模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正弦定理角化边得到
，再由三角形面积公式、基本不等式即可求解.
【详解】根据正弦定理
（
为
外接圆半径），
得
，
代入已知等式：
，
整理得：
，即
，
又
的面积公式为
，
将
代入得：
，
因此：
，当且仅当
时，取等号，
即
面积的最大值为
.
2．（2026·江苏·一模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】由已知
结合余弦定理得到
，设
，求出的范围得到
，求出
，求出
，令
， 则
，令
，则
，由
的范围
得
的范围，则
转化为函数
，令
，函数
转化为
，
利用二次函数的图像和性质得到
，即
的最大值， 从而得到
的最大值.
【详解】因为
， 所以
，
解得：
，即：
，
又
，则
，
则
，
设
（边长比值为正），则
，
将其代入
得：
，即
，
又
， 则
，即
，
即
，即
，即
，故
，
将
、
代入
表达式，
得到
，
，
，
即
，
由正切定义
（
，
，比值符号为正），
故：
，
令
， 因为
，
，
，
设
，
令
，则
，由
得
，
则
转化为函数
，
拆分化简：
，
令
，由
得
，
函数
转化为
，
该二次函数开口向下，对称轴为
，且
，
在定义域内可取到最大值，
将
代入得：
，
即
的最大值为
，又因
为三角形内角，
，
故
的最大值为
.
故选项B 正确.
二、多选题
3．（2026·河北邢台·三模）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，S 为△ABC 的面积，
，
则下列判断正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】A，利用三角形面积公式
代入第一个已知等式，结合正弦定理将角的正弦值转化为对应边；B，
利用正、余弦定理和二倍角公式化简第二个已知等式，再结合前两步得到的边角关系，求解即可；C、D，分别设出
a、b 和c 的比例关系，再根据余弦定理，换元计算即可.
【详解】A，由
，得
，即
①，
则由正弦定理，得
，故A 错误；
B，由
，
得
，
则由正弦定理，得
，即
，
由余弦定理，得
，得
②，
×
①②，得
，
即
，
则
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
则由正弦定理，得
，故B 正确；
C，由A 选项得
，可设
，
，则
，
由
及余弦定理，得
，
即
，
所以
，
所以
，
所以
，所以
，故C 正确；
D，由C 选项知
，
所以
，
所以
，故D 正确．
三、填空题
4．（2026·湖南长沙·三模）在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知a=3，且
则
的最小值为______.
【答案】
【分析】先利用三角恒等变换化简目标式，结合正弦定理、余弦定理，依据已知条件将式子统一为关于
的函数，再
借助二次函数性质求出最值，并验证取等条件.
【详解】在
中，已知
，
.
因为
，
，
所以
.
设
外接圆半径为
，由正弦定理可得
，
，
，
所以
，且
，
所以
.
由余弦定理
，代入
以及
，化简得
，即
.
所以
，于是
.
，结合
，可得
.
联立化简
.
将
代入，
，则
，
原目标式化为
.
令
，由边长约束得
.
函数
是开口向下的二次函数，对称轴为
，
当
时，
取得最大值
，此时
取得最小值.
因此
.
当
即
时，
，
，三边
满足三角形三边关系，等号成立.
综上，原式的最小值为
.
四、解答题
5．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知
中，内角
的对边分别为
，满足
.
(1)求
；
(2)若
；
是
边上一点，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦定理求出
的余弦值，从而得到角
的大小；
(2) 利用正弦定理把边化为角求解.
【详解】（1）因为
，即
，
由余弦定理得
，
因为
，所以
；
（2）因为
，
由正弦定理
，得
，
即
，所以
所以
，又
，得
，所以
，所以
，
因为
，所以
，
，
在
中，
，
则
，
在
中，
，
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
