2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------
教考衔接十 直线与圆
--------------■高考命题·解读■-----------------
核心考点
五年考情
考点1.求圆的方程
2022·全国甲卷 2022·全国乙卷
考点2.直线与圆的位置关系
2022·新高考全国Ⅱ卷
2021·新高考全国Ⅱ卷
考点3.圆的弦长问题
2024·全国甲卷 2023·新课标Ⅱ卷
考点4.圆的最值问题
2025·全国一卷 2023·全国乙卷
2021·新高考全国Ⅰ卷
🎯【命题解读】（考前必看）
直线与圆是解析几何中的重要内容，高考主要考查直线与圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆，常见
命题方向：
（1）圆的方程主要考查定义和性质；
（2）直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系；
（3）直线与圆、圆与圆的综合问题.
从数据来看，高考对直线与圆的考查方式及题目难度变化不大. “直线与圆的” 相关考点考查覆盖求圆的
方程、圆心半径确定、直线与圆的位置关系、弦长、切线、对称及最值问题，几乎涵盖圆的全部核心知识点.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】 (人教A 版选择性必修第一册P58·T8)经过点P(0，－1)作直线l，若直线l 与连接A(1，－2)，
B(2，1)两点的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α 与斜率k 的取值范围，并说明理由.
【教材母题2】 (人教A 版选择性必修第一册P63·例4)已知△ABC 的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，
2)，求边BC 所在直线的方程，以及这条边上的中线AM 所在直线的方程.
【教材母题3】 (人教A 版选择性必修第一册P77·例6)已知△ABC 的三个顶点分别是A(1，3)，B(3，1)，C(－
1，0)，求△ABC 的面积.
【教材母题4】 (人教A 版选择性必修第一册P79·T10)已知△ABC 的顶点A(5,1),边AB 上的中线CM 所在直线
方程为2x-y-5=0,边AC 上的高BH 所在直线方程为x-2y-5=0.求:
（1）顶点C 的坐标;
（2）直线BC 的方程.
【教材母题5】 (人教A 版选择性必修第一册P91·例1)已知直线l：3x＋y－6＝0 和圆心为C 的圆x2＋y2－2y－
4＝0，判断直线l 与圆C 的位置关系；如果相交，求直线l 被圆C 所截得的弦长.
【教材母题6】 (人教A 版选择性必修第一册P94·例4)一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为
圆心，半径为20 km 的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km 处，港口位于小岛中心正北30 km 处.如果
轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
【教材母题7】 (人教A 版选择性必修第一册P84·例3)（一题多解）已知圆心为C 的圆经过A(1,1),B(2,-2)两点,
且圆心C 在直线l:x-y+1=0 上,求此圆的标准方程.
【🚀衔接高考】
(2022·全国甲卷) （一题多解）设点M 在直线2x+y-1=0 上,点(3,0)和(0,1)均在☉M 上,则☉M 的方程为
_ ___________
.
【教材母题8】 (人教A 版选择性必修第一册P87·例5)已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆
(x+1)2+y2=4 上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【🚀衔接高考】
(2020·全国Ⅲ卷)在平面内,A,B 是两个定点,C 是动点.若⃗AC·⃗BC=1,则点C 的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.抛物线 D.直线
【教材母题9】 (人教A 版选择性必修第一册P88 习题2.4T2(2))求满足过A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)三点的圆的方程,
并画出图形.
【🚀衔接高考】
(2022·全国乙卷)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
【🚀新题预测】
（1）（2026·辽宁辽阳模拟）已知直线
经过圆
的圆心，则
的最小值为( )
A.-1
B.
C.0
D.1
（2）（2026·湖北十堰模拟）已知函数
的图象上,相邻的一个最高点与一个最低点恰好都在
圆
上,则
的最小正周期为( )
A.4
B.
C.2
D.
【教材母题10】(人教A 版选择性必修第一册P98T3)求直线l:3x-y-6=0 被圆C:x2+y2-2x-4y=0 截得的弦AB 的长.
【🚀衔接高考】
(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0 与☉C:(x-1)2+y2=4 交于A,B 两点,写出满足“△ABC 面积为8
5”的m 的
一个值 .
【教材母题11】 (人教A 版选择性必修第一册P102·T10)求点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ 为任意
实数)的距离的最大值.
【🚀衔接高考】
(2020·全国Ⅲ卷)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A.1 B.❑√2
C.❑√3 D.2
【教材母题12】 (人教A 版选择性必修第一册P103·T20)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+
(m+1)y-7m-4=0.
（1）求证:直线l 恒过定点;
（2）直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短?并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长.
【🚀衔接高考】
（1）(2024·全国甲卷)已知b 是a,c 的等差中项,直线ax+by+c=0 与圆x2+y2+4y-1=0 交于A,B 两点,则|AB|的最小
值为( )
A.1 B.2
C.4 D.2❑√5
（2）(2020·全国Ⅰ卷)已知圆x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【教材母题13】 (人教B 版选择性必修第一册P113·例1) （一题多解）已知直线y=x+b,圆x2+y2=2,分别求直线
与圆相交、相切、相离时b 的取值范围.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·全国乙卷)已知实数x,y 满足 x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y 的最大值是( )
A.1+3 ❑√2
2
B.4 C.1+3❑√2 D.72
（2）(2022·新高考Ⅱ卷) （一题多解）设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB 关于y=a 对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1
有公共点,则a 的取值范围是 .
【教材母题14】 (人教B 版选择性必修第一册P121 习题2-3A·T4)若P(x,y)是圆C:(x-3)2+y2=1 上的任意一点,求
P(x,y)到直线x-y+1=0 的距离的最大值和最小值.
【🚀衔接高考】
(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16 上,点A(4,0),B(0,2),则( )
A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2
C.当∠PBA 最小时,|PB|=3❑√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3❑√2
【🚀新题预测】
（1）（2026·福建厦门1 月检测）记曲线
，若直线
与
曲线C 相切，则
( )
A.
B.
C.
D.
（2）（2026·河北邢台1 月检测）已知直线
，Q 是圆
上的一
动点，则点Q 到直线l 的距离d 的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
【教材母题15】 (苏教版选择性必修第一册P67·T12)对于圆C:x2+y2=r2,直线l:ax+by=r2,分别根据下列条件,判断
直线l 与圆C 的位置关系:
（1）点P(a,b)在圆C 上;
（2）点P(a,b)在圆C 外.
【🚀衔接高考】
(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0 与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是( )
A.若点A 在圆C 上,则直线l 与圆C 相切 B.若点A 在圆C 内,则直线l 与圆C 相离
C.若点A 在圆C 外,则直线l 与圆C 相离 D.若点A 在直线l 上,则直线l 与圆C 相切
【教材母题16】 (湘教版选择性必修第一册P99·例6)证明圆C1:x2+y2-4x-16=0 与圆C2:x2+y2+2y-4=0 内切,并求
它们的公切线方程.
【🚀衔接高考】
(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16 都相切的一条直线的方程 .
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读1】(人教B 版选择性必修第一册P74 习题2-1CT2 拓展)曼哈顿距离
（1）定义:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为平面上两点,则定义|x2-x1|+|y2-y1|为“直角距离”、“折线距离”或“曼哈顿距离”,
记作d(P,Q)=|x2-x1|+|y2-y1|.
（2）性质:①已知直线AB,AC 平行于坐标轴,且|AB|=|AC|=m,则线段BC 上任意一点D(含端点)与点A 的曼哈顿距
离为定值.(线段BC 称为A 的“等曼哈顿距离线段”,简称“等曼线”.)
②动点P(x1,y1)到定点Q(x2,y2)的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形.(该正方形的对角线平行于坐标轴.)
③等曼线所在直线的斜率为-1 或1.
【🚀新题预测】
(2026·山东青岛模拟)设A(x1,y1),B(x2,y2)为平面上两点,定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|.已知点P 为抛物线
C:x2=2py(p>0)上一动点,点Q(3,0),d(P,Q)的最小值为2,则p= ;若斜率为3
2的直线l 过点Q,点M 是直线l 上
一动点,则d(P,M)的最小值为 .
【阅读2】 (人教A 版选择性必修第一册P89T9,湘教版选择性必修第一册P104 例2 拓展)阿波罗尼斯圆:平面内
到两个定点A,B 的距离之比为定值λ(λ≠1)的点M 的轨迹是圆.
【🚀新题预测】
(2026·辽宁沈阳模拟)已知O 是坐标原点,A(3,0),动点P(x,y)满足|PO|=2|PA|,则x + ❑√3 y
❑√x
2+ y
2的最大值为( )
A.1
2 B.
❑√3
2
C.1 D.❑√3
【阅读3】(人教A 版选择性必修第一册P89T10 拓展)圆的参数方程:若点P(x,y)是圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上的任
一点,则点P 的坐标(x,y)可写成{
x =a+r cosθ ,
y =b+r sinθ (θ 为参数).
【🚀新题预测】
(2026·山西太原模拟)过点P(a,b)作圆x2+y2=1 的切线PA,A 为切点,|PA|=1,则a+2b 的最大值是( )
A.❑√2 B.❑√3
C.❑√5 D.❑√10
【阅读4】(人教B 版选择性必修第一册P116T1、P113 例2,北师大版选择性必修第一册P39T5,湘教版选择性必
修第一册P97 例4,苏教版选择性必修第一册P72 问题与探究拓展)圆的极点、极线:
（1）点P(x0,y0)是圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 上的一点,则在P 处的切线方程为x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0.
（2）点P(x0,y0)是圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 外的一点,过点P 作圆C 的切线,切点为A,B,则AB 的直线方程为
x0x+y0y+D x + x0
2
+E y + y0
2
+F=0.
（3）点P(x0,y0)是圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 内一点,过P 作圆的弦AB,再作A,B 两点处的圆的切线,两切线交点为Q,
则Q 的轨迹为x0x+y0y+D· x + x0
2
+E· y + y0
2
+F=0.
【🚀新题预测】
(2025·保定模拟)已知圆O:x2+y2=4,直线l:x=4,P 为直线l 上的动点,过P 作圆O 的两条切线,切点分别为A,B,则直
线AB 恒过定点 .
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】 (人教A 版选择性必修第一册P52)在平面直角坐标系中,设直线l 的倾斜角为α.
（1）已知直线l 经过O(0,0),P(❑√3,1),α 与O,P 的坐标有什么关系?
（2）类似地,如果直线l 经过P1(-1,1),P2(❑√2,0),α 与P1,P2的坐标又有什么关系?
（3）一般地,如果直线l 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,那么α 与P1,P2的坐标有怎样的关系?
【探究2】(人教A 版选择性必修第一册P65)在方程Ax+By+C=0 中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线:
①平行于x 轴? ②平行于y 轴? ③与x 轴重合? ④与y 轴重合?
【探究3】(人教A 版选择性必修第一册P65)在方程Ax＋By＋C＝0 中，A，B，C 为何值时，方程表示的直线：
①平行于x 轴？②平行于y 轴？③与x 轴重合？④与y 轴重合？
【探究4】 (人教A 版选择性必修第一册P74)如图,已知点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0,如何求点P 到直线l 的距离?
【探究5】 (人教A 版选择性必修第一册P75)我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法
求点到直线的距离?
【探究6】 (人教A 版选择性必修第一册P86)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 中的D,E,F 满足什么条件时,这个方程表示
圆?
