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微专题06 函数的零点、图象的交点与方程的根讲义
微专题教学内容
1、函数的零点
一般的，对于函数
，我们把方程
的实数根
叫作函数
的零点。
2、零点存在性定理
如果函数
在区间
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数
在区间
内必有零点，即
，使得
注：零点存在性定理使用的前提是
在区间
连续，如果
是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设
在区间
连续）
（1）若
，则
“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析
的性
质与图象，如果
单调，则“一定”只有一个零点
（2）若
，则
“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果
单调，那
么“一定”没有零点
（3）如果
在区间
中存在零点，则
的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影
响。如果
单调，则
一定小于0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在
单增连续函数，
是
的零点，且
，则
时，
；
时，
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若
为增（减）函数，则
也为增（减）函数
② 若
为增函数，则
为减函数；同样，若
为减函数，则
为增函数
③ 若
为增函数，且
，则
为增函数
（2）复合函数单调性：判断
的单调性可分别判断
与
的单调性（注意要
利用
的范围求出的范围），若
，
均为增函数或均为减函数，则
单调
递增；若
，
一增一减，则
单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数
的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
典例精讲
【典例1】
函数
的零点是 ．
会一题通一类
1.已知
是函数
的一个零点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.函数
所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【典例2】
函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
会一题通一类
1.函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【典例3】
函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1.函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知函数
，则在下列区间中，函数
一定有零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例4】
函数
在区间
上存在零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
会一题通一类
1.已知函数
，若
恰有两个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知函数
若函数
恰有4 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例5】
若函数
，关于
的方程
的根的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
会一题通一类
1.若函数
，则方程
的实数根个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2.已知
，则方程
的实数根个数不可能为（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【典例6】
函数
与函数
的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
会一题通一类
1.曲线
与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2.当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
3.已知函数
，若函数
与
的图象有三个交点，则a 的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
学后测评
一、单选题
1．（2025·广东·模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知曲线
与直线
无交点，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
3．（2025·四川德阳·一模）若函数
有且只有1 个零点，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
4．（2025·重庆·模拟预测）已知
，若函数
存在两个零点，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河北·模拟预测）已知
为定义在
上的偶函数，当
时，
，若方程
恰有6 个不同的根，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数
，若函数
恰有5 个
零点，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2025·四川乐山·模拟预测）已知函数
，
的零点分别为
，
，则下列
说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
8．（2025·四川内江·一模）函数
的所有零点的和为 .
9．（2025·广东江门·模拟预测）函数
的零点个数为 ．
10．（2025·河南·模拟预测）已知函数
存在
，使得
，则
的取值范围是 .
