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微专题拓展08 利用导数解决不等式整数解问题
目录
01 解题
方法总结.............................................................................................................................2
02
题
重难点
型梳理........................................................................................................................ 3
题型一：直接构造法............................................................................................................................3
题型二：参变分离法............................................................................................................................4
题型三：函数分拆法............................................................................................................................5
题型四：虚设零点法............................................................................................................................6
题型五：端点探路法............................................................................................................................7
03
拓展
课后
精练.............................................................................................................................9
利用导数解决整数问题，关键在于结合函数单调性与整数取值范围进行推理，以下是具体方法总结：
（1）求导分析单调性：对目标函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，确定函数的增减区间和
极值点。
（2）确定关键点取值：计算函数在整数点或关键点（如极值点、边界点）的函数值，明确函数在这
些点的取值范围。
（3）结合整数条件推理：根据题目要求的整数条件，结合函数单调性和关键点取值，推理出自变量
的整数取值范围。例如，若函数在某区间单调递增，且已知某整数点的函数值，则可推断出该点附近满足
条件的整数解。
（4）验证与调整：对推理出的整数解进行验证，确保其满足题目条件。必要时，通过调整参数或进
一步分析函数性质，缩小或扩大整数解的范围。
题型一：直接构造法
例1．（2026·高三·湖北·开学考试）已知定义在
上的函数
，若满足不等式
的
整数解的个数恰好为2 个，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．已知
是函数
的导函数，且对任意的实数
都有
（是自然对数的底数），
，若不等式
的解集中恰有三个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．已知函数
，若有且只有两个整数
使得
，且
，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式1．已知函数
的导函数为
，且对任意的实数
都有
（是自然对数
的底数），
，若不等式
的解集中恰有两个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．已知函数
的导函数为
，且对任意的实数
都有
（是自然对
数的底数），且
，若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：参变分离法
例4．（2026·高三·河南南阳·期中）设函数
，若存在唯一整数
使得
，则实数λ
的取值范围是__________.
例5．已知函数
，若关于x 的不等式
的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取
值范围是______．
例6．（2026·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设函数
，若存在唯一的整数
使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式3．已知函数
，若存在唯一整数，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4．设函数
，若存在唯一的整数
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式5．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数
，若存在唯一的整数
，使得
，
则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题
数
型三：函
分拆法
例7．在关于
的不等式
（其中
为自然对数的底数）的解集中，
有且仅有两个大于2 的整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例8．设函数
，其中
，若存在唯一的整数
，使得
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例9．定义在
上的函数
满足
，
（
为
的导函数），若存在唯一
的整数
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式6．已知函数
，若不等式
的解集中有且仅有一个整数，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7．若不等式
（其中
）的解集中恰有一个整数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式8．已知
是函数
的导函数，且对任意实数
都有
，
，若不等式
（其中
）的解集中恰有三个整数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：虚设零点法
例10．已知函数
，
.
(1)若
，
（i）求函数
在
处的切线方程；
（ii）求证：
是函数
的极小值点；
(2)若
，
恒成立，求整数
的最大值.
例11．已知函数
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若对任意
，有
恒成立，求整数
的最小值．
例12．已知函数
，
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
对任意
恒成立，求整数
的最小值．
变式9．（2026·江苏·模拟预测）已知函数
．（其中是自然对数的底，
，
）．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若直线
是函数
图像的切线，求a 的值；
(3)当
时，若
恒成立，求整数a 的最大值
．
变式10．（2026·高三·安徽·阶段检测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若对定义域内的任意x，
恒成立，求整数m 的最小值.
题型五：端点探路法
例13．（2026·福建宁德·二模）已知函数
.
(1)若
在
处取得极值，求
的值，并指出它是极大值还是极小值；
(2)当
时，证明：
；
(3)当
时，若
，求整数
的最小值.
例14．已知函数
，对
，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
例15．
对一切的
恒成立，试求出整数
的最大值．
1．已知函数
，若
的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
，设
，若
只有一个零点，则实数
的取值范围是______；
若不等式
的解集中有且只有四个整数，则实数
的取值范围是______．
3．已知定义域为R 的函数
，若不等式
（其中
）的解集中恰有两个整
数，则
的取值范围是______．
4．（2026·高三·河南许昌·期中）已知函数
，若关于
的不等式
的解
集中有且仅有2 个整数，则实数
的最大值为______.
5．（2026·高三·吉林白城·期中）已知定义域为
的函数
满足：
（c 为常数），
，则
的单调递增区间是______；若不等式
（其中
）的解集中恰有两个
整数，则a 的取值范围是______.
6．已知不等式
的解集中有且只有
个整数,则实数
的取值范围是________.
7．（2026·高三·江苏淮安·期中）设定义在
上的函数
的导函数为
，已知
，
且
，若关于
的不等式
的解集中恰有一个整数，则实数
的取值范围是______.
8．若关于x 的不等式
的解集中恰有2 个整数，则
的取值范围是______．
9．已知函数
，若有且只有两个整数
使得
，且
，
则
的取值范围是______
10．（2026·高三·上海宝山·期中）若不等式
的解集中仅有2 个整数，则实数k 的取
值范围是______．
11．（2026·辽宁锦州·模拟预测）若关于x 的不等式
的解集中恰有2 个整数，则k 的取
值范围是______．
12．（2026·云南·三模）设函数
，若存在唯一整数
，使得
，则
的取值范
围是________.
13．不等式
的解集中整数解的个数为______.
14．（2026·高三·江苏苏州·阶段检测）已知函数
，若存在唯一的整数
，使得
，则实数a 的取值范围是__________．
15．（2026·高三·江苏徐州·阶段检测）设函数
，其中
，若存在唯一整数
，使得
，则
的取值范围是__________．
16．已知函数
，其中
，若存在唯一的整数
，使得
，则实数
的取
值范围是____.
17．已知定义在
上的函数
.
(1)求函数
在
上的最大值；
(2)若对于任意的
，
恒成立，求整数
的最大值.
18．已知定义在
上的函数
．
(1)求函数
的最大值；
(2)若对于任意的
，
恒成立，求整数a 的最大值.
19．（2026·高三·天津滨海新区·阶段检测）已知函数
.
(1)若
，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性：
(3)若对定义域内的任意
，都有
恒成立，求整数
的最小值.
20．已知函数
(1)若对任意的
，且
，总存在
，使得
成立，求实
数
的取值范围
(2)若
为整数，当
时，
恒成立，求
的最大值；
