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2025春季学期九下数学 | 重难题型专练
构造直角求三角函数值（2025 春）
【例1】如图，延长RT△ABC 斜边AB 到点D，使BD＝
AB，连接CD，若tan∠BCD=1/3，则tanA＝（ ）
A．3/2
B．1
C．1/3
D．2/3
【分析】
若想利用tan∠BCD 的值，应把∠BCD 放在直角三角形
中，也就得到了Rt△ACD 的中位线，可分别得到所求
的角的正切值相关的线段的比．
【解答】
解：过B 作BE∥AC 交CD 于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．
∵AB＝BD，∴AC＝2BE．
又∵tan∠BCD=1/3，设BE＝x，则AC＝2x，
∴tanA=BC/AC=3x/2x=3/2，
【例2】在锐角三角形ABC 中，若tanA＝3，那么
cosA 的值为（ ）
A．1/3
B．3√10/10 C．√10/10 D．3/10
【分析】
构造直角三角形，由tanA＝3，表示出CD、AD，利用
勾股定理求出AC，再根据余弦的意义求出结果即可．
【解答】
解：如图，过点C 作CD⊥AB，垂足为D，
∵tanA＝3，
∴CD/AD=3，
设AD＝k，则CD＝3k，
在Rt△ACD 中，
AC=√AD²+CD²=√10K，
∴cosA=AD/AC=K/√10K=√10/10,
【例3】把一副三角板按如图方式放置，含30°角的
顶点D 在等腰直角三角板的斜边BC 的延长线上，∠E
＝90°，BC＝DE，则sin∠ADB 的值是（ ）
A．√3/4
B．√3/3
C．√2/4
D．√2/3
【分析】
作AF⊥BD 于F，由等腰直角△ABC 得AF 和BC 的关系
式；再由直角△AED 可得AD 和DE 的关系式；再结合
BC＝DE 从而计算得到答案．
【解答】
解：作AF⊥BD 于F，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°且∠BAC＝90°，
∴AF=1/2BC=1/2DE,
∵含30°角的顶点D 在等腰直角三角板的斜边BC 的
延长线上，
∴∠ADE＝30°，
∴cos∠AD=DE/AD=√3/2,
∴sin∠ADB=AF/AD=1/2，DE/AD=√3/4，
【例4】如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C＝90
°，AC＝6，D 是AC 边上一点，若tan∠DBA=1/5，
则tan∠CBD 的值为（ ）
A．5/6
B．2/3
C．1
D．√2/2
【分析】
首先过点D 作DE⊥AB 于E，可得△ADE 是等腰直角三
角形，由tan∠DBA=1/5，易得BE＝5DE＝5AE，又由
在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝6，可求
得AE，AD 的长，继而求得CD 的长，然后求得tan∠
CBD 的值．本资料更多版本+其他相关资料请关注公众
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【解答】
解：过点D 作DE⊥AB 于E，
∵tan∠DBA=1/5=DE/BE，
∴BE＝5DE，
∵△ABC 为等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，∴AE＝DE，
∴BE＝5AE，
又∵AC＝6，∴AB＝6√2，
∴AE+BE＝AE+5AE=6√2，
∴AE=√2，
∴AD=√2AE＝2，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4．
∵在Rt△BCD 中，∠C＝90°，CD＝4，BC＝AC＝6，
∴tan∠CBD=CD/BC=4/6=2/3,
