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第五章平面向量与复数
§5.4 平面向量中的综合问题
【考情分析·探规律】
考点
3 年考情（2021-2024）
命题趋势
平面向量中的综合
问题
2023·全国乙卷
2022·浙江
平面向量中的范围、最值问题是热
点问题，也是难点问题，此类问题综合
性强，体现了知识的交汇组合；其基本
题型是根据已知条件求某个变量的范
围、最值，比如向量的模、数量积、向
量夹角、系数的范围等。
【名师点拨】
平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合
性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、
最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等，解决思路是建立目
标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的
双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合。
【必练核心题型】
题型一 平面向量在几何中的应用
【典例】1.设P 是△ABC 所在平面内一点，若⃗AB·(⃗CB＋⃗CA)＝2⃗AB·⃗CP，且⃗
AB
2＝⃗AC
2－2⃗BC·⃗AP，则点P 是△ABC 的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【典例】2.△ABC 的外心O 满足⃗OA ＋⃗OB＋❑√2⃗OC＝0，|⃗AB|＝❑√2，则△ABC 的
面积为( )
A.2＋❑√2
2
B.1＋❑√2
2
C.❑√2
D.2
【变式训练】
变式1.在△ABC 中，若⃗OA·⃗OB＝⃗OB·⃗OC ＝⃗OC·⃗OA，则点O 是△ABC 的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
变式2.如图所示，在矩形ABCD 中，AB＝❑√3，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则
ED 的长为 .
题型二 和向量有关的最值问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值问题
【典例】1.已知⃗OA，⃗OB是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C 在以O
为圆心的´AB上运动.若⃗OC＝x⃗OA＋y⃗OB，其中x，y∈R，则x＋y 的最大值是(
)
A.❑√2
B.2
C.❑√3
D.3
命题点2 与数量积有关的最值问题
【典例】1.在△ABC 中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动
点，且PC＝1，则⃗PA·⃗PB的取值范围是( )
A.[－5，3]
B.[－3，5]
C.[－6，4]
D.[－4，6]
命题点3 与模有关的最值问题
【典例】1.已知a，b 是单位向量，a·b＝0，且向量c 满足|c－a－b|＝1，则|c|的
取值范围是( )
A.[❑√2－1，❑√2＋1]
B.[❑√2－1，❑√2]
C.[❑√2，❑√2＋1]
D.[2－❑√2，2＋❑√2]
【变式训练】
变式1.在△ABC 中，D 是AB 边上的点，满足AD＝2DB，E 在线段CD 上(不含端
点)，且⃗AE＝x⃗AB＋y⃗AC(x，y∈R)，则x＋2 y
xy
的最小值为( )
A.3＋2❑√2
B.4＋2❑√3
C.8＋4❑√3
D.8
变式2.(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c 均为单位向量，且|a＋b|＝1，则向
量a 与b 的夹角为 ，(a＋b)·(b－c)的最小值为 .
变式3.已知单位向量a，b 满足|3a－4b|＝m，则实数m 的取值范围是
.
【拓展训练】
四心问题
一、引理(“奔驰”定理)
如图1，O 是△ABC 内一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为SA，SB，SC，则SA⃗OA
＋SB⃗OB＋SC⃗OC＝0.
图1 与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理.
证明 如图，延长AO 与BC 相交于点D，
BD
DC ＝S△ABD
S△ACD
＝S△BOD
S△COD
＝−S△BOD
−S△COD
＝S△ABD−S△BOD
S△ACD−S△COD
＝SC
SB
，
记BD
DC ＝λ，则⃗BD＝λ⃗DC，即⃗OD－⃗OB＝λ(⃗OC －⃗OD)，
所以－(1＋λ)⃗OD＋⃗OB＋λ⃗OC＝0，
又⃗OD＝－|⃗OD|
|⃗OA |⃗
OA＝－
S A
SB＋SC⃗
OA，
所以
S A
SB＋SC(1＋SC
SB)⃗OA ＋⃗OB＋SC
SB⃗
OC＝0，
从而SA⃗OA＋SB⃗OB＋SC⃗OC＝0.
推论 若O 是△ABC 内的一点，且x⃗OA＋y⃗OB＋z⃗OC＝0，则SA∶SB∶SC＝x∶y∶z.
二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征
1.重心
(1)定义：三角形三条中线的交点.
(2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的
2 倍.
(3)向量特征：
定理1 G 是△ABC 的重心⇔⃗GA ＋⃗GB＋⃗GC＝0.
证明 由引理得G 是△ABC 的重心⇔SA＝SB＝SC⇔⃗GA ＋⃗GB＋⃗GC＝0.
推论1 P 是△ABC 所在平面内任意一点，⃗PG＝1
3 (⃗PA ＋⃗PB＋⃗PC)⇔G 是△ABC 的重
心.
证明 G 是△ABC 的重心⇔⃗GA ＋⃗GB＋⃗GC＝0⇔⃗PA －⃗PG＋⃗PB－⃗PG＋⃗PC －⃗PG＝
0⇔⃗PG＝1
3 (⃗PA ＋⃗PB＋⃗PC).
2.外心
(1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.
(3)向量特征：
定理2 O 是锐角△ABC 的外心⇔⃗OAsin 2A＋⃗OBsin 2B＋⃗OCsin 2C＝0.
证明 由O 是锐角△ABC 的外心，得|⃗OA|＝|⃗OB|＝|⃗OC|，
则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC，
于是SA∶SB∶SC＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C，
根据引理，得到⃗OAsin 2A＋⃗OBsin 2B＋⃗OCsin 2C＝0.
反之亦然(证明略).
推论2 P 是锐角△ABC 所在平面内任意一点，⃗
PO＝⃗PA sin 2 A ＋⃗PBsin 2B＋⃗PC sin 2C
sin 2 A ＋sin 2B＋sin 2C
⇔O 是锐角△ABC 的外心.
推论2 可仿照推论1 进行证明.
3.内心
(1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的内心到三边的距离相等.
(3)向量特征：
定理3 O 是△ABC 的内心⇔a⃗OA＋b⃗OB＋c⃗OC＝0.(其中a，b，c 分别是△ABC 的三个
内角A，B，C 所对的边长)
证明 设△ABC 的内切圆半径为r，O 是△ABC 的内心，则SA∶SB∶SC＝ar
2 ∶br
2 ∶cr
2
＝a∶b∶c.
根据引理得，O 是△ABC 的内心⇔a⃗OA＋b⃗OB＋c⃗OC＝0.
推论3 P 是△ABC 所在平面内任意一点，O 是△ABC 的内心⇔⃗
PO＝a⃗PA ＋b⃗PB＋c⃗PC
a＋b＋c
.
推论3 可仿照推论1 进行证明.
4.垂心
(1)定义：三角形三条高所在直线的交点.
(2)几何性质：三角形的垂心分每条高线所得的两条线段长的乘积相等.
(3)向量特征：
定理4 O 是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔⃗OAtan A＋⃗OBtan B＋⃗OCtan C＝0.
证明 O 是△ABC(非直角三角形)的垂心
⇔⃗OA·⃗OB＝⃗OB·⃗OC ＝⃗OC·⃗OA
⇔|⃗OA|·|⃗OB|cos(π－C)＝|⃗OB|·|⃗OC|cos(π－A)＝|⃗OC|·|⃗OA|cos(π－B)
⇔|⃗OA|∶|⃗OB|∶|⃗OC|＝cos A∶cos B∶cos C
⇔SA∶SB∶SC＝tan A∶tan B∶tan C，
由引理得，O 是△ABC(非直角三角形)的垂心⇔⃗OAtan A＋⃗OBtan B＋⃗OCtan C＝0.
推论4 P 是△ABC(非直角三角形)所在平面内任意一点，O 是△ABC(非直角三角形)的垂
心⇔⃗PO＝⃗PA tan A ＋⃗PB tan B＋⃗PC tanC
tan A ＋tan B＋tanC
.
推论4 可仿照推论1 进行证明.
【典例】奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容
是：已知M 是△ABC 内一点，△BMC，△AMC，△AMB 的面积分别为SA，SB，SC，则SA·⃗
MA＋SB·⃗MB＋SC·⃗MC＝0.以下命题错误的是( )
A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M 为△ABC 的重心
B.若M 为△ABC 的内心，则BC·⃗MA＋AC·⃗MB＋AB·⃗MC＝0
C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M 为△ABC 的外心，则SA∶SB∶SC＝❑√3∶2∶1
D.若M 为△ABC 的垂心，3⃗MA＋4⃗MB＋5⃗MC＝0，则cos∠AMB＝－
❑√6
6
【限时训练】（限时：40 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·昆明模拟)设x>0，向量⃗AB＝(x2，－2x)在向量⃗AC＝(1，2)上的投影向量为λ⃗
AC(λ∈R)，则实数λ 的最小值为( )
A.－4
5
B.－4 ❑√5
5
C.－1
5
D.－
❑√5
5
2.已知点P 是边长为2 的正方形ABCD 所在平面内一点，若|⃗AP－⃗AB－⃗AD|＝1，则|⃗
AP|的最大值是( )
A.2❑√2－1
B.2❑√2
C.2❑√2＋1
D.2❑√2＋2
3.已知非零向量⃗AB与⃗AC满足(⃗
AB
|⃗AB|
＋⃗
AC
|⃗AC |)·⃗BC＝0 且⃗AB
|⃗AB|
·⃗CA
|⃗AC |
＝1
2，则
△ABC 的形状是( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
4.在△ABC 中，AC＝9，∠A＝60°，点D 满足⃗CD＝2⃗DB，AD＝❑√37，则BC 的长为(
)
A.3❑√7
B.3❑√6
C.3❑√3
D.6
5.在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上(包含端点)，且AC＝2，则(⃗PB＋⃗PD)·⃗
PA有( )
A.最大值为1
2，没有最小值
B.最小值为－1
2，没有最大值
C.最小值为－1
2，最大值为4
D.最小值为－4，最大值为1
2
6.在△ABC 中，D 为线段AC 的一个三等分点，AD＝2DC.连接BD，在线段BD 上任取
一点E，连接AE，若⃗AE＝a⃗AC＋b⃗AB(a，b∈R)，则a2＋b2的最小值为( )
A.13
4
B.5
2
C. 4
13
D.2
5
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.设点D 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的有( )
A.若⃗AD＝1
2 (⃗AB＋⃗AC)，则点D 是边BC 的中点
B.若⃗AD＝1
3(⃗
AB
|⃗AB|cos B
＋⃗
AC
|⃗AC |cosC)，则直线AD 过△ABC 的垂心
C.若⃗AD＝2⃗AB－⃗AC，则点D 在边BC 的延长线上
D.若⃗AD＝x⃗AB＋y⃗AC，且x＋y＝1
2，则△BCD 是△ABC 面积的一半
8.已知△ABC 的面积为3，在△ABC 所在的平面内有两点P，Q，满足⃗PA＋2⃗PC＝0，⃗
QA＝2⃗QB，记△APQ 的面积为S，则下列说法正确的是( )
A.⃗PB∥⃗CQ
B.⃗BP＝1
3⃗BA ＋2
3⃗BC
C.⃗PA·⃗PC<0
D.S＝4
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，则|a＋tb|(t∈R)的最小值为 ，此时t
的值为 .
10.(2025·长沙模拟)在Rt△ABC 中，AB⊥AC，AC＝❑√3，AB＝1，平面ABC 内动点P 满
足CP＝1，则⃗AP·⃗BP的最小值为 .
