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第 07 讲 抛物线 (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·浙江·湖州中学高二期中）抛物线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知 可得 ，且抛物线的开口向下，
故焦点坐标为 ，
故焦点坐标为 ，
故选：D
2．（2022·四川省绵阳江油中学高二期中（文））抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】抛物线 的准线方程是 .
故选：D
3．（2022·山西·高二期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线，如图2，已知该
卫星接收天线的口径 米，深度 米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点O为坐标原点，建立
如图2所示的平面直角坐标系xOy，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设抛物线方程为 ，
依题意 ，代入 得 ，所以抛物线方程为 .
故选：A
4．（2022·贵州·高二期中）设抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上， ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知 ， ，
所以 .
因为抛物线 的通径长 ，
所以 轴，
所以
故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C与双曲线 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物
线C的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知可知双曲线 的焦点为 ,
故设抛物线方程为 ，则 ，
故 ，所以抛物线方程为 ,
故选:D.
6．（2022·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，点 在
上， 于 ，若 ，则 （ ）
A．4 B．12 C． D．
【答案】B
【详解】由题知抛物线 ： ，开口向右， ，
记准线 与 轴交于点 ，因为 ，根据抛物线定义有： ，
因为 ，
所以 为正三角形，
所以 ，
所以
因为焦点到准线的距离为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
7．（2022·湖南益阳·高二期中）党的十八大报告指出，必须坚持在发展中保障和改善民生，不断实现人民
对美好生活的向往，为响应中央号召，某社区决定在现有的休闲广场内修建一个半径为4m的圆形水池来
规划喷泉景观.设计如下：在水池中心竖直安装一根高出水面为2m的喷水管（水管半径忽略不计），它喷
出的水柱呈抛物线型，要求水柱在与水池中心水平距离为 处达到最高，且水柱刚好落在池内，则水柱
的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：取一截面建系如图，设抛物线方程为 （ ），记最大高度为 ，依题意可知 ， 在抛物线上，故 ，
两式相除有 ，解得 .
故选：C
8．（2022·贵州·凯里一中高三阶段练习（理））已知 为抛物线 上一个动点， 为圆
上一个动点，那么点 到点 的距离与点 到 轴距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由于 为抛物线 上一个动点， 焦点坐标为 ，准线为 ， 为圆
上一个动点， ，圆心为 ，半径 ，那么点 到点 的距离与点 到
轴距离之和最小值可结合抛物线的定义， 到 轴距离为 到焦点距离减去 ，则最小值为抛物线的焦
点到圆心的距离减去半径和 ，故最小值为 = .
故选：B.
二、多选题
9．（2022·辽宁大连·高二期末）下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】解：对于A， 表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；
对于B， 表示焦点在y轴上的双曲线，故B不正确；
对于C， 表示焦点在x轴上的抛物线，故C正确；
对于D， 表示焦点在y轴上的抛物线，故D不正确；
故选：AC．
10．（2022·广东韶关实验中学高二阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射
后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 ，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点 射入，
经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线 射出，经过点Q．下列说法正确的是
（ ）．
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则PB平分
D．若 ，延长AO交直线 于点M，则M，B，Q三点共线
【答案】ACD
【详解】对于选项 ，若 ，则抛物线 , 的焦点为 ,
由已知条件得 ，直线 的方程为 ，可得 ， ，选项 正确；
对于选项 ,若 ，则抛物线 , 的焦点为 ,
由已知条件得 ，直线 的方程为 ，可得 ，
，选项 不正确；
对于选项 , 时，∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ 平分 ，选项 正确；
对于选项 ，若 ，则抛物线 , 的焦点为 ,
延长 交直线 于点 ，则 ，由 选项可知 ，则M，B，Q三点共线，故 正确；
故选： ．
11．（2022·安徽省泗县第一中学高二期中）已知抛物线 的焦点为 ，顶点为 ，点
在抛物线 上，若 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】AD
【详解】对 ：由题意可知 ，由 ，可得 ，故A正确；
对B：当 时， ，解得 ，即 ，故B错误；
对C： ，故C错误；
对D： ，故D正确；
故选：AD.
12．（2022·浙江·高三阶段练习）已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过焦点
的直线 交抛物线 于 两点，则（ ）
A． 的准线方程为
B．若 ，则
C．若 ，则 的中点到 轴的距离为4
D．
【答案】ABD
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 解得 ，所以抛物线方程为 ，
所以准线方程为 ，所以A正确;
由抛物线的定义得
由 ,所以 .所以B正确;
设 ，
联立 整理得 ，
由韦达定理得 ，
所以 ，解得 ，
，所以C错误;
,
由抛物线定义知，
所以 ,
当且仅当 时取得等号，所以D正确.
故选: ABD.
三、填空题
13．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知抛物线 的准线方程为 ，则实数 _________．
【答案】
【详解】由 可得 ，则其准线为： ，得 .
故答案为：
14．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）已知抛物线 ： ， 的焦点
为 ，点 在 上，且 ，则点 的横坐标是______．
【答案】5
【详解】抛物线 ： 的焦点 ，准线方程为 ，设点 的横坐标为 ，则有 ，
所以 ．
故答案为：5
15．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三期中）设 为抛物线 的焦点， 为该抛物线上不同
的三点，若点 是 的重心，则 __________.
【答案】6
【详解】因为 为抛物线 的焦点，则 ，准线方程为 ，设 ，
如图所示，因为 为三角形的重心，则重心坐标为 ，即 ，所以 ，
因为 为该抛物线上不同的三点，分别过 作准线的垂线，垂足分别为为 ，则由抛物线
的定义可得，
， , ，所以 .
故答案为：6
16．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲
述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为
“股”，设点F是抛物线 的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线
AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若 的“勾” ，“股” ，则抛物线的
方程为__．
【答案】
【详解】由题意可知， ， ，
可得 ，
所以 ，
由抛物线的定义得 ，
所以 是等边三角形，
所以 ，
所以抛物线的方程是 .
故答案为： .
四、解答题17．（2022·江苏·高二单元测试）① 为抛物线 上的点，且 ；②焦点到准线的距离是1．在
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．
已知抛物线 的焦点为 ，______，若直线 与抛物线 相交于A、 两点，求弦长
．
【答案】 ．
【详解】若选①：
在抛物线 上，且 ，
，则p＝1；
若选②：
∵焦点到准线的距离是1，∴p＝1；
故抛物线 的方程为 ．
联立 ，可得 ，
设 ， ，则 ， ，
．
18．（2022·江苏省响水中学高二期中）已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右顶点
重合，过点 的直线 与抛物线交于 两点.
(1)求抛物线方程；
(2)若 ，且 在 轴的下方， 在 轴的上方，求 的面积．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）由双曲线 的右顶点为 ，
即可得抛物线 的焦点 ，
所以抛物线的方程为 ．
（2）过点 的直线 与抛物线交于 两点，设 ， ，
由 ，有 ，即 ，由 ，解得 ，有 ， ，
直线 的斜率 ，则直线 的方程为 ，直线与 轴相交于点 ，
所以 的面积
B能力提升
19．（2022·辽宁·营口开发区第一高级中学高二阶段练习）已知抛物线C： 的焦点为F，
是抛物线C上的点，且 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，且 的中点为 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由抛物线的定义知 ，解得 ，则抛物线的方程为
故：答案为 .
（2）由线段 的中点为 知直线 的斜率存在且不为0，
设直线 ， ，联立直线与抛物线方程，
有 ，即 ，所以有 ，
且 ，则
所以 ，即
所以直线 ， ，
点 到直线 的距离 .
所以 .
故：答案为 .
20．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 和抛物线，椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，且椭圆 上有一点 满足 ，抛物
线 的焦点为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过 作两条互相垂直的直线 和 ，其中直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 交抛物线 于 ， 两
点，求四边形 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）由题意可知，抛物线 的焦点为 ，
因为抛物线 的焦点为 ，所以椭圆 的半焦距 ，
又椭圆 有一点 满足 ，
所以椭圆 的离心率 ，所以 ， ，
则求得椭圆 的方程是 ．
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 即为 轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件；
当直线 的斜率为 时， ， 为椭圆长轴两端点，
直线 轴， ，四边形 的面积 ；
当直线 的斜率 时，设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
联立直线 与椭圆 ，消去 可得 ，
则 ， ．
则弦长
，
设 ， ， ， ，联立直线 与抛物线 ，
消去 可得 ，则 ，
由抛物线的定义，弦长 ，
由于 ，则四边形 的面积 ，令 ，则 ，
即 ，令 ，则 ，
可知 时， ，则 单调递增，则 （3） ，
综上，当直线 斜率 时，四边形 面积有最小值8．
