重点07 对数不等式与集合
目录
1
知识点01 对数与对数运算........................................................................2
2
知识点02 对数不等式................................................................................2
3
知识点03 对数与集合的交并补................................................................4
4
题型一、对数的运算.................................................................................5
5
题型二、对数不等式.................................................................................9
6
题型三、对数与集合的交并补...............................................................15
1 知识点01 对数与对数运算
(1)
对数的定义
一般地，如果a
x = N (a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x = loga N ( N >0)，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数
( N >0)．
(2)
常见对数
①一般对数：以a(a>0且a≠1)为底，记为loga
N( N >0)，读作以a为底N的对
数；
②常用对数：以10为底，记为lg N；( N >0)
③自然对数：以e为底，记为ln N；( N >0)
(3)
对数运算公式
①loga
1=0；其中a>0且a≠1
②loga
a=1；其中a>0且a≠1
③a
loga
N❑= N (其中a>0且a≠1，N >0)
④对数换底公式：logab= logcb
logc a
⑤loga( MN )= loga M + loga N
⑥loga
M
N = loga M - loga N
⑦loga
mb
n= n
m logab(m，n∈R)
⑧a
logab=b
⑨logaa
b=b
⑩logab=
1
logba
2 知识点02 对数不等式
(1)
底数a>1
【例题1】log2 x ≤1
对数要求真数大于0，故： x>0
换底，底数变为相同： log2 x ≤log22
底数a>1，不等号不用变方向，解得： x ≤2
最后令x>0和x ≤2取交集得到不等式得解集：0< x ≤2
【例题2】log2( x -2)≥0
对数要求真数大于0，故： x -2>0⇒x>2
换底，底数变为相同： log2( x -2)>log22
底数a>1，不等号不用变方向： x -2>2⇒x>4
最后令x>2和x>4取交集得到不等式得解集：x>4
【例题3】lg x>0
对数要求真数大于0，故： x>0
换底，底数变为相同：lg x>lg1
底数a>1，不等号不用变方向，解得： x>1
最后令x>0和x>1取交集得到不等式得解集：x>1
【例题4】lg x<1
对数要求真数大于0，故：x>0
换底，底数变为相同： lg x<lg10
底数a>1，不等号不用变方向，解得： x<10
最后令x>0和x>1取交集得到不等式得解集：0< x<10
【例题5】lg( x -2)>0
对数要求真数大于0，故： x -2>0⇒x>2
换底，底数变为相同： lg( x -2)>lg1
底数a>1，不等号不用变方向： x -2>1⇒x>3
最后令x>2和x>3取交集得到不等式得解集：x>3
【例题6】ln x ≥1
对数要求真数大于0，故：x>0
换底，底数变为相同：ln x ≥ln e
底数a>1，不等号不用变方向： x ≥e
最后令x>0和x ≥e取交集得到不等式得解集：x ≥e
【例题7】ln( x -1)≥0
对数要求真数大于0，故： x -1>0⇒x>1
换底，底数变为相同： ln( x -1)≥ln1
底数a>1，不等号不用变方向x -1≥1⇒x ≥2
最后令x>1和x ≥2取交集得到不等式得解集：x ≥2
(2)
底数0<a<1
【例题8】log1
2
x>0
对数要求真数大于0，故：x>0
换底，底数变为相同：log1
2
x>log1
2
1
底数0<a<1，不等号变方向： x<1
最后令x>0和x<1取交集得到不等式得解集：0< x<1
【例题9】log1
2
(x -1)>1
对数要求真数大于0，故： x -1>0⇒x>1
换底，底数变为相同：log1
2
(x -1)>log1
2
1
2
底数0<a<1，不等号变方向：x -1< 1
2 ⇒x< 3
2
最后令x>0和x<1取交集得到不等式得解集：1< x< 3
2
3 知识点03 对数与集合的交并补
【例题10】已知A ={x |2
x -16≤0}，B ={x|log2(x -1)≥1}，
则A ∩B =（ ）
A．[3,4 ]
B．
C．[-2,+∞)
D．[2,3]
【例题11】已知集合M ={x|log4 x<1}，N = {2,4}，则集合M ∩N是（ ）
A．{1,2}
B．{1,2,3}
C．{2}
D．{2,4}
【例题12】设集合M ={x|
1
x <1}，N ={x|log2(x -1)<1}，则（ ）
A．M ⊆N
B．M ∩N =∅
C．N ⊆M
D．M ∪N = R
【例题13】已知集合P ={x|log 1
3
x<-1}，Q ={x|2 x -12<0}，
则P∩Q =（ ）
A．(0,3)
B．(0, 1
3)
C．
D．(3,6)
4 题型一、对数的运算
1．求下列各式的值：
(1)log327；
(2)log 1
2
8；
(3)ln 1
e +lg ❑√10.
2．求下列各式的值：
(1)log525；
(2)log 1
3
27；
(3)log4
❑√2；
(4)2
log23.
3．求下列各式的值：
(1)log48- log 1
9
3- log❑√24；
(2)2
log65×3
log65；
(3)(lg50)
2+lg2×lg50
2+(lg2)
2.
4．求下列各式的值：
(1)log33
2；
(2)log35+ log3
3
5；
(3)log1050- log105．
5．计算求值：
(1)log4
25
9 +log23-log0.5
1
5.
(2)ln ❑√e+ log535- log514 + log254.
(3)(lg2)2+lg5×lg20+(
1
2)
log25
.
6．计算求值：
(1)lg 5
2 +2lg2+ log25×log54；
(2)2log525-3 log232+lg2+lg5；
(3)2
1+ log23- log43×log38+lg
1
1000.
7．计算下列各式：
（1） log35⋅log59-2
log25;
（2） (lg5)
2+lg5⋅lg20+ 1
2 lg16.
（3）log3
4√27+lg25+lg 4 -7
log72；
8．计算下列各式的值.
(1)lg ❑√5+lg ❑√20+lg 1
4 -lg25
(2)log3
❑√27+lg25+lg 4 -7
log73+log38⋅log4
3√3.
(3)log25log254 -lg50-lg2+ log22
9.
(4)lne+lg 5
2 +2lg2+3
log32.
9．计算下列各式：
(1)2log525-3 log264 .
(2)log216- log42+ log26- log23．
(3)计算2lg2+lg25-e
ln2.
(4)log327 -(lg 4+lg25)- log58⋅log25+7
log72.
5 题型二、对数不等式
1.解不等式：log2 x<1
2.解不等式：log2 x<2
3.解不等式：log2(x -1)<0
4.解不等式：log2( x -1)≥1
5.解不等式：log4 x<1
6.解不等式：ln x>0
7.解不等式：ln( x -1)≥0
8.解不等式：ln (1- x)<0
9.解不等式：ln( x -2022)>0
10.解不等式：ln (3-2 x)<0
11.解不等式：log2(x +1)≤1
12.解不等式：lg x<1
13.解不等式：log2(3- x)≤1
14.解不等式：lg(x
2+ x +8)>1
15.解不等式：ln 1
x >0
16.解不等式：log 1
2
(3 x - 4)>0
17.解不等式：log 1
3
x<-1
18.解不等式：log 1
5
( x -2)>0
19.解不等式：log 1
4
(x -1)≤2
20.解不等式：log 1
2
(- x)≤1
21.解不等式：log3( x +1)<1
22.解不等式：log 1
2
(3- x)≤0
6 题型三、对数与集合的交并补
1．已知集合A ={x|x +1≤0},B ={x|log2(x +2)<2},C ={x|x
2+2 x -3<0}，则
(∁R A)∩(B∩C)=（ ）
A．{x|-3< x ≤-1}
B．{x|-2< x ≤-1}
C．{x|-1< x<1}
D．{x|-1< x<2}
2．已知x∈R，则“-3≤x ≤4”是“lg( x
2-2 x +2)≤1”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知集合P ={x|log2 x>1},Q ={x| x -3
x +2 ≤0}，则(∁R P)∩Q =（ ）
A．[-2,2]
B．(-2,2]
C．[0,2]
D．(0,2]
4．集合A ={x∈N | 3
x ⩾1}，B ={x∈N|log2( x +1)≤1}，S⊆A，S∩B≠∅，
则集合S的个数为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．8
5．已知集合A ={x|| x -1|>2}，B ={x|log4 x<1}，则A ∩B =（ ）
A．(3,4)
B．(-∞,-1)∪(3,4)
C．(1,4)
D．(-∞,4)
6．设A ={x| x
2- 4 x +3⩽0}，B ={x|ln(3-2 x)<0}，则A ∩B =（ ）
A．(1, 3
2 )
B．(1，3]
C．(-∞, 3
2 )
D．( 3
2，3]
7．设集合A ={y | y = log2 x ,0< x ≤8}，集合B ={x|2
x>1}，则A ∩B等于
（ ）
A．(0,3)
B．(0,3]
C．(-∞,3]
D．R
8．已知集合A =¿，B =¿，则(∁R A)∩B =
A．{x|-1≤x<3}
B．{x|-1≤x ≤9}
C．{x|-1< x ≤3}
D．{x|-1< x<9}
9．已知集合A =¿， B =¿，全集U=R,则(∁U A)∩B =
A．{x|-1＜x≤3}
B．{x|2≤x
3}
﹤
C．{x|x=3}
D．∅
10．已知集合A = {x|-2<ln x ≤2}，B = {-2,-1,0,1,2,3}，则A ∩B =（ ）
A．{-1,0}
B．{1,2}
C．{-1,0,1}
D．{1,2,3}
11．已知集合A =¿，B ={x|log2( x -1)≤3}，则(∁R A)∩B =（ ）
A．[3,9]
B．(1,9]
C．(1,3]
D．(1,3)
12．已知集合A =¿，B =¿，则A ∪B =（ ）
A．R
B．[-1,3)
C．(0,2)
D．(-1,2)
13．已知集合A ={x∈N|2
x -1<4}，集合B ={x|log3( x +1)<1}，则A ∩B =
（ ）
A．(-∞,3)B．(-1,3) C．{0,1}
D．{0,1,2}
14．已知集合M = {x|ln x>0}，N = {x|-1< x<5}，则M ∩N =（ ）
A．{x| x>0}
B．{x|0< x<5}
C．{x|1< x<5}
D．{x| x ≥5}
15．若集合A = {-1,0,1}，集合B =¿，则A ∩B等于（ ）
A．{-1,0,1}B．{0,1}
C．{1}
D．(-1,+∞)
16．设集合A =¿，B =¿，则A ∩B =（ ）
A．[-2,3]
B．[3,+ ∞)
C．(-∞,-2]∪(1,+ ∞)
D．(1,+∞)
17．已知集合A =¿，B ={x ∣log2 x <1}，则A ∩(∁R B)=（ ）
A．[-1,2)
B．[2,3]
C．[-1,0]∪[2,3]
D．[-1,3]
18．已知集合A =¿，B =¿，则A ∪B =（ ）
A．[-2,2]
B．[-2,3)
C．(-2,1]
D．[2,3)
19．已知集合P ={x|log❑1
3 x<-1}，Q ={x|2 x -12<0}，则P∩Q =（ ）
A．(0,3)
B．(0, 1
3)
C．(
1
3 ,6)
D．(3,6)
20．已知A ={x∈N *|- x
2+3 x⩾0}，B ={x|log 1
2
x⩽0}，则A ∩B =
A．[3，+ ∞)
B．[0，1]
C．[1，3]
D．{1，2，3}
21．如图，已知R 是实数集,集合
A ={x|log 1
2
(x -1)>0},B ={x| x (2 x -3)<0},则阴影部分表示的集合是( )
A．[0,1]
B．[0,1)
C．(0,1)
D．(0,1]
22．已知集合A = {0,1,2,3}，B =¿，则A ∩B的真子集的个数为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．7
23．已知 A ={x∈N| y =
6
x +2 , y ∈N),B ={x|log 1
2
x<-1}．则 A ∩B =
（ ）
A．(2,6]
B．{0,1}
C．(2,6)
D．{4}
