重难点02 函数性质的灵活运用（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 函数的单调性的综合应用】......................................................................................................................3
【题型2 函数的最值问题】......................................................................................................................................4
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】......................................................................................................................4
【题型4 函数的图象问题】......................................................................................................................................5
【题型5 对称性与周期性的综合应用】..................................................................................................................6
【题型6 类周期函数】..............................................................................................................................................7
【题型7 抽象函数的性质及其应用】......................................................................................................................7
【题型8 函数性质的综合应用】..............................................................................................................................8
1、函数性质的灵活运用
函数及其性质是高考数学的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对
称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式
相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.对于选择题和填空题部分，重
点考查函数的图象、单调性、奇偶性，主要考察方向是：函数图象的识别、判断函数单调性及求最值、解
不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，复习时要加强
训练.
知识点
1 函数的单调性与最值问题的解题策略
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
(3)函数单调性的几条常用结论：
①若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
②若
和
均为增（或减）函数，则在
和
的公共定义域上
为增（或减）函数；
③若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
④若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
3．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
知识点
2 函数的奇偶性及其应用
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函
数，如
．
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶．
(4)复合函数
的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(5)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数
或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
知识点
3 函数的周期性与对称性的常用结论
1．函数的周期性常用结论(a 是不为0 的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2 a ；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2 a ；
(4)若f(x+a)=
，则T=2a；
(5)若f(x+a)=
，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线
对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点
对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点
对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
(2)若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
(3)若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，且
.
知识点
4 抽象函数的解题策略
1．抽象函数及其求解方法
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象
函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一
身，是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.
【题型1 函数的单调性的综合应用】
【例1】（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)单调递增的是（ ）
A．y = x
3
B．y =| x|+1
C．y =−x
2+1
D．y =2
−| x|
【变式1-1】（2025·湖北荆门·模拟预测）已知函数f ( x)=
2
3
x+1
−x
3+2，则不等式f (m
2)+ f (m−2)<6的
解集为（ ）
A．(−1,2)
B．(−∞,−1)∪(2,+∞)
C．(−2,−1)
D．(−∞,−2)∪(1,+∞)
【变式1-2】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间[1,4)上单调递增的是（ ）
A．f (x)=
1
2−x
B．f (x)= x
e
x
C．f (x)= xln x
D．f (x)= x−ln x
2
【变式1-3】（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数f (x)= x⋅e|x)，a= f (log3
❑√5)，
b=−f(log3
1
2)，c = f (ln3)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【题型2 函数的最值问题】
【例2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数f (x +1)=2
x−2
−x，则f (x)在[−1,1)上的最大值为（ ）
A．3
2
B．15
4
C．0
D．1
【变式2-1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数f (x)，则“∀x∈(0,+∞)，f (x)≥2”是“f (x)在(0,+∞)
上的最小值为2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式2-2】（2025·新疆·三模）已知函数f (x)= ln|
x−1
x +1)−x
4 ，若f (x)在区间(m,m
2)上有最大值，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．(❑√2,❑√3)
B．(❑√2,2)
C．(2,3)
D．(❑√3,3)
【变式2-3】（2025·江西萍乡·二模）已知定义在R上的函数f (x)满足：f(
π
2 )= 1
2e，且∀x , y ∈R，都
有e
sin x⋅f ( y)−e
sin y⋅f (x) ≥(e
2sin x−e
2sin y)⋅f (x)⋅f ( y)恒成立，则f (x)的最大值为（ ）
A．1
2e
B．1
e
C．e
D．2e
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】
【例3】（2025·四川泸州·模拟预测）已知f (x)= a−2
x
2
x +1−2
是奇函数，则a=（ ）
A．2
B．−2
C．1
D．−1
【变式3-1】（2025·四川成都·模拟预测）设f ( x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f ( x)=2
x−3，则
f (−2)=（ ）
A．1
B．1
4
C．-1
D．−11
4
【变式3-2】（2025·重庆·三模）已知函数y = f ( x +1)是R 上的偶函数，对任意x1, x2∈[1,+ ∞)，且
x1≠x2
都有f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
>0，若a= f (log36)，b= f (lne
❑√2 )，c = f (e
ln 4
2 )，则a,b,c的大小关系是
（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．b<c<a
【变式3-3】（2025·湖南长沙·三模）已知函数f ( x)和g( x)的定义域均为R，且y = f (4 + x)为偶函数，
y = g( x + 4)+1为奇函数，若∀x∈R，均有f ( x)+ g( x)= x
2+1，则f (7)⋅g(7)=（ ）
A．575
B．598
C．621
D．624
【题型4 函数的图象问题】
【例4】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数f ( x)=(|4−x
2)−4)ln(4−x
2)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-1】（2025·天津·二模）函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−x
cos x
B．f (x)=e
x+e
−x
cos x
C．f (x)=e
x−e
−x
sin x
D．f (x)=e
x+e
−x
sin x
【变式4-2】（2025·安徽·三模）函数f (x)= x
3+sin x
e
x+e
−x
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-3】（2025·四川南充·三模）函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)= 10cos x
x
2+1
B．f (x)= 10sin x
x
2+1
C．f (x)= 10(e
x+e
−x)
x
2+2
D．f (x)= 10(e
x−e
−x)
x
2+2
【题型5 对称性与周期性的综合应用】
【例5】（2025·河北邢台·三模）已知定义在R上的函数f ( x)满足f ( x +2)为偶函数，f (4 + x)=−f (4−x)
，则下列说法错误的是（ ）
A．f ( x)的图象关于(4,0)中心对称
B．f ( x)的周期为8
C．f (2025)= f (1)
D．当x∈[0,2]时，f ( x)= x
2−2 x，则f (7)的值为−1
【变式5-1】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R 的奇函数f ( x)满足f ( x)+ f (2−x)=2，则（ ）
A．f (2)=0
B．f (10)=10
C．f ( x)的最小正周期为2
D．x =1是曲线y = f ( x)的一条对称轴
【变式5-2】（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数f ( x)满足f (2 x +1)为奇函数，且f ( x)的图象关于
直线x =2对称，则∑
i=1
2025
❑f (i)=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)，g(x)的定义域均为R，且f (1−x)+ g(x)=3，
g(3−x)−f (x)=1，y = g(x)的图象关于直线x =1对称，当x∈[0,1)时，f (x)= x
2+1，则
f (2024)+ g(2026)=（ ）
A．1
B．3
C．4
D．2025
【题型6 类周期函数】
【例6】（2024·云南昆明·二模）定义“函数y = f (x)是D上的a级类周期函数” 如下: 函数
y = f (x), x∈D，对于给定的非零常数 a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有
af (x)= f (x +T )恒成立，此时T为f (x)的周期. 若y = f (x)是[1,+ ∞)上的a级类周期函数，且T =1，当
x∈[1,2)时，f (x)=2 x +1,且y = f (x)是[1,+∞)上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．[
5
6 ,+ ∞)
B．[2,+∞)
C．[
5
3 ,+∞)
D．[10,+ ∞)
【变式6-1】（24-25 高一上·江西吉安·期末）设函数f (x)的定义域为R，且f (x + 4)=2f (x)，当x∈(0,4)
时，f (x)=2 x
2−8 x，若对于∀x∈(−∞,t )，都有f (x)≥−3
2
恒成立，则t 的取值范围是（ ）
A．(−∞,−7)
B．(−∞,−5)
C．(−∞,−3)
D．(−∞,−1)
【变式6-2】（2025·江西新余·一模）若函数y = f ( x)，x∈M对于给定的非零实数a，总存在非零常数T
，使得定义域M内的任意实数x，都有af ( x)= f ( x +T )恒成立，此时T为f ( x)的假周期，函数y = f ( x)是
M上的a级假周期函数，若函数y = f ( x)是定义在区间[0，+ ∞)内的3 级假周期函数且T =2，当
x∈[0,2)，f ( x)={
1
2 −2 x
2,0≤x ≤1
f (2−x),1< x<2)
，函数g( x)=−2ln x + 1
2 x
2+ x +m，若∃x1∈[6,8)，
∃x2∈(0，+∞)使g( x2)−f ( x1)≤0成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−∞, 13
2 ]
B．(−∞,12)
C．(−∞,39)
D．[12,+∞)
【变式6-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）定义在R上的函数f (x)满足f (x +1)= 1
2 f (x)，且当x∈[0,1)时，
f (x)=1−|2 x−1).当x∈[m,+∞)时，f (x)≤3
32
，则m的最小值为（ ）
A．27
8
B．29
8
C．13
4
D．15
4
【题型7 抽象函数的性质及其应用】
【例7】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数f (x)的定义域为R，且对任意的实数x，都有
f (x)= f (x−2)−f (4−x)，且f (0)=2，则下列说法错误的是（ ）
A．f (x)为偶函数
B．f (x)为周期函数且周期为12
C．f (4)=−1
D．∑
i=1
25
f (2i)=2
【变式7-1】（2025·江西九江·一模）定义在R上的函数f (x)满足：①对任意x∈R，都有
f (2+ x)= f (1)−f (−x)；②f (2 x)的图象关于直线x =1对称：③f (2)=1,f(
3
2)=
❑√2
2 ．则下列说法正确的
是（ ）
A．f (x +2)是奇函数
B．f (x +1)是偶函数
C．f(−1
2)=−
❑√2
2
D．∑
k =1
2025
f(
k
2)=0
【变式7-2】（2025·福建龙岩·模拟预测）已知函数f ( x)的定义域为Z，且满足
f ( x)+ f ( y)= f ( x + y)−2 xy +2,f (1)=2，则下列结论正确的是（ ）
A．f (4)=12
B．方程f ( x)= x有解
C．f(x + 1
2)是偶函数
D．f(x−1
2)是偶函数
【变式7-3】（2025·辽宁抚顺·一模）已知定义域为{x|x≠0))的函数f (x)满足
f (x + y)[f (x)+ f ( y))= f (x)f ( y)，f (1)=2，且当x∈(0,+∞)时，f (x)>0恒成立，则下列结论正确的是
（ ）
A．f(
2
3)=6
B．f (2 x)=2f (x)
C．f (x)为奇函数
D．f (x)在区间(0,+∞)是单调递增函数
【题型8 函数性质的综合应用】
【例8】（2025·山东德州·三模）已知函数f ( x)是定义在R上的增函数，且f ( x +1)−2为奇函数，对任意
的a∈[−3,2]，不等式f (2a+t )+ f (a
2−1)≤4恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A．(−∞,−5]
B．(−∞,0]
C．[0,+∞)
D．[−5,+∞)
【变式8-1】（2025·重庆·三模）已知定义域为 R 的连续函数 f (x) 满足： ① f (x +6) 为偶函数； ②
∀x∈R，f (2+ x)+ f (4−x)=0 ； ③ ∀x1, x2∈(0,3), f (x1)−f (x2)
x1−x2
>0 ． 则 f (2),f (5),f (121)
的大小顺序为（ ）
A．f (2)<f (5)<f (121)
B．f (2)<f (121)<f (5)
C．f (121)<f (2)<f (5)
D．f (5)<f (2)<f (121)
【变式8-2】（2025 高三上·四川成都·专题练习）已知函数f (x),g(x)的定义域均为R ,f (x)为偶函数，且
f (x)+ g(2−x)=1，g(x)−f (x−4)=3，下列说法正确的有（ ）
A．函数g(x)的图象关于x =1对称
B．函数f (x)的图象关于(−1,−2)对称
C．函数f (x)是以4 为周期的周期函数
D．函数g(x)是以6 为周期的周期函数
【变式8-3】（2025·重庆·模拟预测）已知函数y = f ( x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+ ∞)，对任意的x1，
x2∈(0,+ ∞)，x1≠x2
，都有x2f (x2)−x1f (x1)
x2−x1
>0，若函数y = f (x +1)的图象关于点(−1,0)成中心对称，
且f (1)= 4，则不等式f (x)> 4
x
的解集为（ ）
A．(−1,0)∪(0,1)
B．(−1,0)∪(1,+∞)
C．(−∞,−1)∪(0,1)
D．(−∞,−1)∪(1,+ ∞)
一、单选题
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R ,f (x +2)为偶函数，f (x +1)为奇函数，则
（ ）
A．f(−1
2)=0
B．f (−1)=0
C．f (2)=0
D．f (4)=0
2．（2025·河北·模拟预测）已知f (x)= x
2−mx，g(x)=(x +m)e
x，两个函数图象至少有一个在区间(−1,2)
上不单调，则m的取值范围是（ ）
A．(−2,4)
B．(−3,0)
C．(−3,−2)
D．(−3,4)
3．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数y = f (x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A．y = f (|x))
B．y = f (x
2)
C．y = x⋅f (x)
D．y = f (x)+ x
4．（2025·河北邢台·三模）函数f ( x)=e
x
x
2 −1
x 的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·云南·模拟预测）已知f (x)是定义在R 上的奇函数，且f (1)=1，若对任意的x1，x2∈(0,+ ∞)
，均有f (x1)−f (x2)
x1−x2
>1成立，则不等式f (x−1)+1> x的解集为（ ）
A．(0,1)∪(2,+ ∞)
B．(−2,0)∪(2,+∞)
C．(−∞,−2)∪(0,1)
D．(−2,−1)∪(0,1)
6．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R 的函数f ( x)，其图象关于直线x =1对称，已知f ( x +2)−1为
奇函数，且f (1)=0，则∑
k =1
2025
❑f (k )=（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
7．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数f ( x)及其导函数f
′( x)的定义域都是R，若函数f ( x)是偶函数，
f
′( x)+e
x+ x也是偶函数，且f (a)>f (3a−1)，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(−∞, 1
2)
B．(
1
2 ,+ ∞)
C．(
1
4 , 1
2)
D．(−∞, 1
4)∪(
1
2 ,+ ∞)
8．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为R的函数f ( x)，g( x)满足f (2−x)+ f (x)=2，g(4−x)= g(x)
，g(2)=3，若f (x)= g(2+ x)+ 4，则下列说法错误的是（ ）
A．f ( x)的图象关于y 轴对称
B．−8为f ( x)的一个周期
C．f (2023)=−1
D．∑
k =1
22
❑f (k )=16
二、多选题
9．（2025·陕西商洛·模拟预测）若函数 f (x)= x
❑√x
2−1
，则（ ）
A．f (❑√3)= ❑√6
B．f ( x)的定义域为 (−∞,−1]∪[1,+∞)
C．f ( x)是奇函数
D．f ( x)的最小值为 0
10．（2025·宁夏银川·三模）已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)=−f(x + 3
2),f (−1)=1,f (0)=−2，且
f(x−3
4)为奇函数，则（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f (x)为偶函数
C．f (x)是周期为3 的周期函数
D．f (0)+ f (1)+…+ f (30)=−2
11．（2025·山东泰安·模拟预测）函数f ( x)对于任意的x , y ∈R，满足
f ( x−y)−f ( x + y)= f ( x−1)f ( y −1)，且f (0)=2，则（ ）
A．y = xf ( x)为偶函数
B．4是函数f ( x)的一个周期
C．点(2025,0)是f ( x)图象的对称中心
D．∑
i=0
2026
f (i)=0
三、填空题
12．（2025·山西朔州·模拟预测）已知函数f ( x)是定义在R上周期为4 的奇函数，若f (1)=1，则
f (2)+3 f (399)= ．
13．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数f (x)满足对∀x∈R都有f (x)+ f (−x)=0成立．当x ≥0时，
f (x)= x
2+2 x，则不等式f (f (x))+ f (x +1)<0的解集为 ．
14．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数f (x)的图象关于(2,0)中心对称，且f (x)在[2,+∞)上单调递减，
若f (3−2a)+ f (4 a+5)>0，则实数a 的取值范围为 ．
四、解答题
15．（2025·山东济南·三模）已知函数f ( x)= x + m
x
，且f (1)=2.
(1)求m的值;
(2)判断函数f ( x)在(1,+ ∞)上是增函数还是减函数，并证明.
16．（24-25 高一上·全国·课堂例题）已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且当x ≤0时，
f (x)= x
2+2 x.现已画出函数f (x)在y轴及其左侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数y = f (x)的图象；
(2)根据图象写出函数y = f (x)的递增区间；
(3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合.
17．（2025·上海·三模）设a>0且a≠1，已知函数f (x)=loga(x +2),g(x)=loga(2−x)．
(1)判断f (x)+ g(x)是否为偶函数，并说明理由；
(2)令函数ℎ(x)= f (x)+ g(x)，解关于x的不等式ℎ(2 x−3)>ℎ(3 x−1)．
18．（2025·上海·三模）已知f (x)= ax−b
4−x
2 ，函数y = f (x)是定义在(−2,2)上的奇函数，且f (1)= 1
3.
(1)求f (x)的解析式；
(2)判断y = f (x)的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
19．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数f (x)= ax−b
1+ x
2 是定义在[−1,1)上的奇函数，且f (1)=−1
.
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)判断函数f (x)在[−1,1)上的单调性，并用定义证明；
(3)解不等式f (2t )+ f (t −1)>0.
