文档文本内容
重难点2-2 函数性质的灵活应用
三年考情分析
考题统计
2026 年考向预测
近三年高考中，对函数基本性质
的考查以选择题和填空题为主，
是高考必考且重点考查的内容之
一．常将函数的单调性、奇偶
性、周期性与对称性结合在一起
考查，考查形式多样且综合性强.
2025 年新I 卷，第5 题,5 分
2025 年新Ⅱ卷，第10 题,6 分
2024 年新I 卷，第6 题,5 分
2024 年新I 卷，第8 题,5 分
2024 年新Ⅱ卷，第6 题,5 分
2024 年新Ⅱ卷，第11 题,6 分
从近几年高考命题来看，本节是
高考的一个重点，函数的单调
性、奇偶性、对称性、周期性是
高考的必考内容，重点关注周期
性、对称性、奇偶性结合在一
起，与函数图像、函数零点和不
等式相结合进行考查．
一、单调性的技巧
：
1、证明函数单调性的步骤
①取值：设
，
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
②变形： 变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或 变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
2、函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“ — — — ”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如 、 、 等，直接写出它们的单调区间．
秒杀技巧与性质一：若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
秒杀技巧与性质二：若
和
均为增(或减)函数，则在
和
的公共定义域上
为
增(或减)函数；
秒杀技巧与性质三：若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
秒杀技巧与性质四：若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
二、奇偶性的技巧
：
1、函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.
2、奇偶函数的图象特征.
函数
是偶函数
函数
的图象关于 对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于 中心对称.
3、若奇函数
在
处有意义，则有 ；
偶函数
必满足
.
4、偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性 ；奇函数在其定义域内关于原点对称
的两个区间上单调性 .
5、若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
，
，则
.
6、运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如
.
对于运算函数有如下结论：奇
奇= ；偶
偶= ；奇
偶= ；
奇
奇= ；奇
偶= ；偶
偶= .
7、复合函数
的奇偶性原来：内偶则 ，两奇为 .
秒杀技巧与性质五：常见的奇函数
①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
秒杀技巧与性质六：常见的偶函数：
①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
三、周期性的技巧
：
1、周期函数：
对于函数
，如果存在一个非零常数
，使得当
取定义域内的任何值时，都有 ，
那么就称函数
为周期函数，称
为这个函数的周期.
2、最小正周期：
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做
的
.
秒杀技巧与性质七：周期性的常用结论—对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝
,则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－
,则T＝2a(a>0)．(4)若
,则T＝6a(a>0)．
(5)若f(x＋a)＝
,则T＝2a(a>0)．(6)若f(x＋a)＝
,则T＝4a(a>0)．
四、对称性的技巧
：
1、对称轴：若函数
关于直线
对称，则 ．
2、对称中心：若函数
关于点
对称，则 ．
3、若
,则
图像关于直线 对称；
4、f (a+x)+f (b−x)=c ，函数y=f ( x)关于点 对称.
秒杀技巧与性质八：若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
秒杀技巧与性质九：若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函
数，且
；
秒杀技巧与性质十：若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是
周期函数，且
.
重难点题型【一】、函数的奇偶性
考向1 函数奇偶性的判断
1．（24-25 高二下·广东深圳·期末）设函数
，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·天津河北·模拟预测）已知函数
是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·重庆·模拟预测）（多选题）函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
考向2 利用函数奇偶性求参数值
5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若
为偶函数，则
（ ）．
A．
B．0
C．
D．1
6．（2025·浙江·一模）已知函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
7．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数
的图象关于y 轴对称，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
8．（2022·全国乙卷·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
9．（2025·广东广州·模拟预测）若函数
是奇函数，则实数
.
10．（2025·江西新余·模拟预测）若函数
为偶函数，则
.
考向3 利用函数奇偶性求解析式或函数值
11．（2025·河北·模拟预测）已知偶函数
的定义域为
，且当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若函数
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．0
D．2
13．（2024·广东佛山·一模）已知
是奇函数，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．4
14．（2025·湖南·模拟预测）已知
为
上的奇函数，当
时，
，则
的图象在
处的切线方程为 ．
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
是奇函数，则
．
重难点题型【二】、函数的周期性
1．（2025·福建泉州·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·湖南·模拟预测）已知函数
是周期为2 的偶函数，且当
时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
3．（2025·广东梅州·模拟预测）设
是定义在
上且周期为2 的奇函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
4．（2025·湖南·三模）已知函数
的定义域为R，且
，当
时，
，
则
的值为 ．
重难点题型【三】、函数的对称性
1．（2025·安徽·模拟预测）“函数
的图象关于直线
对称”是“函数
为偶函数”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数
的图象关于
对称，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·河北·模拟预测）（多选题）已知定义在
上的可导函数
是偶函数，且满足
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的图象关于点
中心对称
C．
的图象关于
对称
D．
4．（2025·福建福州·一模）（多选题）已知定义在
上的偶函数
和奇函数
满足
，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
是以8 为周期的周期函数
C．
D．
5．（2025·湖南长沙·三模）已知函数
的图象关于直线
对称，则
6．（2025·江西·三模）若函数
的图象关于直线
对称，则
．
重难点题型【四】、函数的单调性与奇偶性
1．（2025·广东肇庆·一模）已知
，若
成立，则x 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国·模拟预测）设函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
，若对
，
，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广东深圳·一模）已知
，则
的解集为 ．
5．（2024·陕西西安·三模）已知函数
，若
，则
的取值
范围为 ．
6．（2024·四川成都·二模）已知函数
，若
，则实数
的取值范围为
.
重难点题型【五】、函数的奇偶性与周期性
1．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数
是
上的偶函数，若对于
，都有
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
2．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
3．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
4．（2024·湖北黄冈·一模）已知
是定义在R 上的奇函数，
为偶函数.当
时，
，则
.
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数
是定义在
上的偶函数，且
为奇函数，记
为
的导函数，若
，则
在点
处的切线方程为 ．
6．定义在
上的奇函数
满足
为偶函数，且当
时，
，则
.
重难点题型【六】、函数的对称性与周期性
1．（2025·宁夏吴忠·二模）定义在
上的函数
满足
，且
，当
时，
，当
时，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南·模拟预测）设
是定义在
上的奇函数，
，
，则
（ ）
A．0
B．-1012
C．-2
D．1010
3．（2025·辽宁·三模）已知定义在R 上的函数
满足
为奇函数，且
的图象关于直线
对称，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
4．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）已知定义在
上的偶函数
满足
，当
时，
，函数
，则
与
的图象所有交点的横坐标之和为
.
5．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
为偶函数，
为奇函数，则
．
6．关于函数
，有如下四个命题：
①若
，则
的图象关于点
对称；
②若
的图象关于直线
对称，则
；
③当
时，函数
的极值为
；
④当
时，函数
有两个零点．
其中所有真命题的序号是 ．
一、单选题
1．（2025·广东清远·一模）设函数
，则函数
为（ ）
A．奇函数，且在
单调递增
B．奇函数，且在
单调递减
C．偶函数，且在
单调递增
D．偶函数，且在
单调递减
2．（2025·天津·二模）已知函数
的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南许昌·三模）下列函数中，值域为
且为奇函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．（2025·广东广州·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足
，则
（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
6．（2025·广东·模拟预测）已知
是定义域为R 的奇函数，当
时，
，则当
时，
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2024·山东济宁·三模）已知函数
为偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·江西景德镇·三模）已知函数
是奇函数，则
时，
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·全国一卷·高考真题）已知
是定义在
上且周期为2 的偶函数，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2005·福建·高考真题）
是定义在R 上的以3 为周期的奇函数，且
．则方程在
在区间
内解的个数的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．7
D．5
11．（2025·山东·模拟预测）函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．
B．ln2
C．0
D．1
12．（2025·山东泰安·二模）定义在
上的奇函数
在
上单调递增，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·河北石家庄·一模）已知函数
，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 高二上·云南·开学考试）定义在
上的偶函数
满足
，且
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知
是定义域为
的奇函数，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数
是
上的奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
17．（2025·山东滨州·二模）已知定义域为
的函数
为偶函数，
为奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025·山东青岛·一模）已知函数
的定义域为
，若
为偶函数，且
，
，则
（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
19．（23-24 高三上·江苏南京·期末）已知定义在
上的函数
满足
，当
时，
，则方程
所有根
之和为（）
A．10
B．11
C．12
D．13
二、多选题
20．（2025·湖南·模拟预测）若函数
的定义域都为
，且
为奇函数，
为偶函数，
则（ ）
A．
是偶函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是奇函数
21．（2025·陕西榆林·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，
，则下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
关于
对称
C．
的周期为2
D．
22．（2025·广西·模拟预测）已知函数
是定义在
上的奇函数，且
在
内单调递减，则
函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2025·云南昆明·一模）已知函数
，则（ ）
A．
在定义域上单调递减
B．曲线
关于点
对称
C．当
时，
D．
三、填空题
24．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
25．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数
为偶函数，则实数
的值为 ．
26．（2025·广东深圳·模拟预测）若函数
的图象存在对称轴，则
的最小值为
．
27．（2025·宁夏银川·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，
在
上单调递减，且
，则不等式
的解集为 .
28．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函数，
当
时，
，则
.
29．（2023·广东·二模）设奇函数
的定义域为
，且
是偶函数，若
，则
.
30．（2025·甘肃·模拟预测）已知奇函数
的图象关于直线
对称，且
，则
.
