1
2.2.4 点到直线的距离
课程标准
学习目标
1.理解点到直线距离的概念;
2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，
并能运用到实际问题中:
3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。
1.重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点
到直线的距离公式的应用
2.难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式
知识点01 两点间距离公式
定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝√（x2−x1）
2+（y2−y1）
2
【即学即练1】（23-24 高二下·全国·课后作业）若A(−3,5),B(2,0)，则| AB|为 .
【答案】5√2
【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得|AB|=√(−3−2)
2+(5−0)
2=5√2，
故答案为：5√2.
【即学即练2】（24-25 高二上·全国·随堂练习）已知点( x , y)到原点的距离等于1，则实数x , y满足的
条件是（ ）
A．x
2−y
2=1
B．x
2+ y
2=0
2
C．√x
2+ y
2=1
D．x
2−y
2=0
【答案】C
【分析】由两点之间的距离公式列式即得.
【详解】依题意，由点P( x , y)到原点的距离等于1 可得，| PO|=√( x−0)
2+( y −0)
2=√x
2+ y
2=1，
故实数x , y满足的条件是√x
2+ y
2=1.
故选：C.
知识点02 点到直线的距离公式
1.点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离，d＝
2.点到特殊直线的距离公式
点P0(x0，y0)到x 轴的距离d＝|y0|，到平行于x 轴的直线y=a 的距离d＝|y0-a|,到y 轴的距离d＝|x0|,到
平行于y 轴的直线x=b 的距离d＝|x0-b|.
【即学即练3】（23-24 高二上·新疆·期末）点M (1,2)到直线3 x + 4 y −6=0的距离为（ ）
A．−2
B．2
C．−1
D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点M (1,2)到直线3 x + 4 y −6=0的距离d =|3×1+ 4×2−6|
√3
2+ 4
2
=1.
故选：D
【即学即练4】(多选)（23-24 高二下·全国·随堂练习）已知点M (1,4)到直线l:mx + y −1=0的距离为
3，则实数m等于（ ）
A．0
B．3
4
C．3
D．2
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意|m+ 4−1|
√m
2+1
=3，即4 m
2−3m=0,解得m=0或m= 3
4 .
故选：AB.
3
知识点03 两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.两条平行线之间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C1＝0 与Ax＋By＋C2＝0 间的距离d＝
【即学即练5】（23-24 高二上·北京房山·期末）两条直线l1: x−2 y −4 =0与l2: x−2 y +1=0之间的距
离是（ ）
A．5
B．1
C．√5
D．3√5
5
【答案】C
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得d =
|1+ 4|
√1
2+(−2)
2 =√5.
故选：C
【即学即练6】（22-23 高二上·广东肇庆·阶段练习）两平行直线2 x−y −1=0与4 x−2 y +3=0之间的
距离为 ．
【答案】√5
2 /1
2 √5
【分析】由两平行间的距离公式可求两直线间的距离.
【详解】由2 x−y −1=0，可得4 x−2 y −2=0，
所以2 x−y −1=0与4 x−2 y +3=0之间的距离为|−2−3|
√4
2+2
2 = √5
2 .
故答案为：√5
2 .
难点：将军饮马问题
示例1：（24-25 高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽
火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后
从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军
4
营所在的位置为A(−3,0)，若将军从山脚下的点B(−1,1)处出发，河岸线所在直线方程为x + y =1，则
“将军饮马”的最短总路程为 ．
【答案】√13
【分析】求出B(−1,1)关于直线x + y =1对称的点C(0,2)，结合图形，即可求解.
【详解】设点B(−1,1)关于直线x + y =1对称的点为C( x , y)，
则有¿，解得¿，所以C(0,2)，
则|PA|+|PB|=|PA|+|PC|，所以“将军饮马”的最短总路程为| AC |=√3
2+2
2=√13，
故答案为：√13.
难点：类比距离问题
示例2 ：（2024 高二下· 吉林· 竞赛）已知函数f (x)=√2 x
4−18 x
2+12 x +68+ x
2−x +1，则
（ ）
A．f (x)的最小值为8
B．f (x)的最小值为9
C．f (x)=8有1 个实根
D．f (x)=9有1 个实根
【答案】B
【分析】先设点的坐标，把函数转化为|PQ|+|PM|，再结合图形特征得出最小值即可.
【详解】P(x , x
2)是抛物线y = x
2上一点，
P
到
直
线
y = x−1
的
距
离
为
|PQ|= |x
2−x +1|
√(−1)
2+1
2 = √2
2 |x
2−x +1|=
√2
2 (x
2−x +1)，
5
P到点M (−3,5)的距离为|PM|=√(x +3)
2+(x
2−5)
2，
所以f (x)=√2 x
4−18 x
2+12 x +68+ x
2−x +1=√2(|PM|+|PQ|)
当M ，P，Q共线时，|PQ|+|PM|取最小值，
最小值为M (−3,5)到y = x−1的距离|−3−5−1|
√2
= 9√2
2
.
因为y =√2[
√2
2 (x
2−x +1)+√(x +3)
2+(x
2−5)
2]=√2(|PQ|+|PM|)，
且|PQ|+|PM|的最小值为9√2
2
，
所以y的最小值为9，且在交点P(−2,4)或P(1,1)处取到，
故选：B.
【题型1：平面两点之间的距离】
例1．（21-22 高二上·河北衡水·阶段练习）点M 1(2,−5)与M 2(5, y)之间的距离是5，则y=（ ）
A．−9
B．−1
C．−9或−1
D．12
【答案】C
【分析】由两点间距离公式计算．
【详解】由题意√(5−2)
2+( y +5)
2=5，即( y +5)
2=16，解得y =−1或y =−9．
故选：C．
6
变式1．（2023·江西上饶·模拟预测）已知a+b−7=0，c +d −5=0，则√(a+c)
2+(b+d )
2的最小值等于
（ ）
A．√3
B．6
C．4√2
D．6√2
【答案】D
【分析】令A(a,b)，B(c ,d )，得到点A，B分别在直线x + y −7=0，x + y −5=0上，设线段AB的中点
为M，则M(
a+c
2
, b+d
2 )，且点M在直线x + y −6=0上，将所求问题，转化为点M到原点的距离的2
倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】令A(a,b)，B(c ,d )，由已知可得点A，B分别在直线x + y −7=0，x + y −5=0上，
设线段AB的中点为M，则M(
a+c
2
, b+d
2 )，
M到原点的距离d =√(
a+c
2 )
2
+(
b+d
2 )
2
= 1
2 ×√(a+c)
2+(b+d)
2，
依题意点M在直线x + y −6=0上，
所以点M到原点的最小距离即为原点到直线x + y −6=0的距离，为|0+0−6|
√2
=3√2，
因此1
2 √(a+c)
2+(b+d )
2的最小值为3√2，因此√(a+c)
2+(b+d )
2的最小值等于6√2.
故选：D.
变式2．（23-24 高二下·全国·课后作业）已知点A的坐标(−8,12)，线段AB中点的坐标为(−1
2 ,2)，则B
点坐标为 ，| AB|为 .
【答案】 (7 ,−8) 25
【分析】设B 点的坐标为(x , y)，根据中点坐标公式列出关于x , y的方程组，解出方程组即可得B 点的坐
标.
【详解】设B 点的坐标为(x , y)，
∵点A 的坐标(−8,12)，线段AB中点的坐标为(−1
2 ,2)，
∴¿，解得¿，
即B点的坐标为(7 ,−8)，所以| AB|=25
故答案为：(7,−8)；25.
7
变式3．（20-21 高二·全国·课后作业）已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,−1)，B(−1,3)，C(3,0)．则
△ABC的形状为 ；△ABC的面积为 .
【答案】 直角三角形 5
【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可.
【详解】因为| AB|=√(−1−1)
2+[3−(−1)]
2=√20=2√5，
| AC |=√(3−1)
2+[0−(−1)]
2=√5，|BC |=√[3−(−1)]
2+(0−3)
2=√25=5，
所以| AB|
2+| AC |
2=|BC |
2，即△ABC是以A 为直角顶点的直角三角形．
由于△ABC是以A 为直角顶点的直角三角形，所以S△ABC = 1
2 | AB|⋅| AC |=5.
故答案为：直角三角形；5
变式4．（23-24 高二下·全国·课后作业）已知A(a,0),B(0,10)，且| AB|=17，则a= ．
【答案】±3√21
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解.
【详解】因为A(a,0),B(0,10)且| AB|=17，所以| AB|=√a
2+(0−10)
2=17，解得a=±3√21
故答案为：±3√21
变式5．（21-22 高二上·北京·阶段练习）已知点A (−√3,0),B (cosα ,sin α )，且|AB|=2，写出直线AB 的
一个方程
【答案】x−√3 y +√3=0(答案不唯一)
【分析】根据两点间的距离公式，求出cosα的值，然后写出点B的坐标，从而可求直线AB 的一个方程.
【详解】根据两点间的距离公式，得√(cosα +√3)
2+sin
2α =2，
即sin
2α +cos
2α +3+2√3cosα = 4。所以cosα =0，
所以sin α =1或sin α =−1，
当sin α =1时，A (−√3,0),B (0,1)，直线AB的方程为x−√3 y +√3=0；
当sin α =−1时，A (−√3,0),B (0,−1)，直线AB的方程为x +√3 y +√3=0.
故答案为：x−√3 y +√3=0.(答案不唯一)
变式6．（2021 高二上·全国·专题练习）已知点A (−2,−1),B (a,3)，且|AB|=5，则a的值为 .
8
【答案】1或−5
【分析】利用两点的距离公式计算即可得出答案.
【详解】由两点间距离公式得(−2−a)
2+(−1−3)
2=5
2，所以(a+2)
2=9，所以a+2=±3，即a=1或
a=−5.
故答案为：1或−5
变式7．（24-25 高二上·全国·课后作业）二元函数f (x , y)=( x +cos y)
2+(2 x +3+sin y)
2的值域为
．
【答案】[
14−6√5
5
,+ ∞)
【分析】把二元函数转化为两点间距离的平方，再转化为点到直线的距离为最小值即可得出值域.
【详解】由题意可知二元函数f (x , y)的几何意义为单位圆上一点A (−cos y ,−sin y)到直线y =2 x +3上一
点B距离的平方，最小值为圆心到直线距离减半径，圆心为O(0,0),d =
3
√1
2+2
2 = 3
√5
| AB|min
2 =(
3
√5 −1)
2
= 14−6√5
5
，则f (x , y)∈[
14−6√5
5
,+∞)．
故答案为：[
14−6√5
5
,+ ∞).
变式8.（2021 高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知A(−2,0)，B(0,4)，线段AB的垂直平分线为直线l．
(1)求直线l的一般式方程；
(2)若点C在直线l上，且| AC |=√10，求点C坐标．
【答案】(1)x +2 y −3=0
(2)(1,1)或(−3,3)
【分析】（1）由题意，求出线段AB的中点坐标及直线l的斜率kl=−1
k AB
，然后利用点斜式写出直线方
程，化简即可得答案；
（2）设点C坐标为(a,b)，由题意，列出关于a,b的方程组求解即可得答案.
【详解】（1）解：因为A (−2,0)，B (0,4)，所以线段AB的中点为(−1,2)，k AB= 0−4
−2−0 =2，
9
又线段AB的垂直平分线为直线l，所以kl=−1
k AB
=−1
2，
所以直线l的方程为y −2=−1
2
(x +1)，即x +2 y −3=0，
所以直线l的一般式方程为x +2 y −3=0；
（2）解：设点C坐标为(a,b)，
由题意有¿，解得¿或¿，
所以点C坐标为(1,1)或(−3,3).
【题型2：点到直线的距离】
例2．（23-24 高二上·新疆·期末）点M (1,2)到直线3 x + 4 y −6=0的距离为（ ）
A．−2
B．2
C．−1
D．1
【答案】D
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点M (1,2)到直线3 x + 4 y −6=0的距离d =|3×1+ 4×2−6|
√3
2+ 4
2
=1.
故选：D
变式1．（23-24 高二上·江苏南京·开学考试）已知直线l：x +my −2m−1=0，则点P(2,−1)到直线l距离
的最大值为（ ）
A．√5
B．√10
C．5
D．10
【答案】B
【分析】根据直线方程，可得直线过定点A (1,2)，即可求出结果.
【详解】直线l：x +my −2m−1=0，即x−1+m( y −2)=0，
由¿，得到x =1, y =2，所以直线过定点A (1,2)，
当直线l垂直于直线AP时，距离最大，此时最大值为|AP|=√(2−1)
2+(−1−2)
2=√10，
故选：B.
变式2．（23-24 高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知A (−3,−4)，B (6,3)两点到直线l:ax + y +1=0的距
离相等，求a 的值（ ）
A．1
3
B．−9
7
C．−1
3或−7
9
D．1
3或−7
9
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式列出关于a的方程求解即可．
【详解】因为点A(−3,−4),B(6,3)到直线l:ax + y +1=0的距离相等，
10
所以|−3a−4 +1|
√a
2+1
=|6a+3+1|
√a
2+1
，即|−3a−3|=|6a+ 4|，
化简得27a
2+30a+7 =0，解得a=−1
3或a=−7
9.
故选：C.
变式3．（多选）（23-24 高二上·全国·课后作业）直线x + y −1=0上与点P(−2,3)的距离等于√2的点的
坐标可以是（ ）
A．(−4,5)
B．(−1,2)
C．(−3,4)
D．(1,−5)
【答案】BC
【分析】设所求点的坐标为( x0, y0)，然后根据题意列方程组可求得结果.
【详解】设所求点的坐标为( x0, y0)，则x0+ y0−1=0，且√( x0+2)
2+( y0−3)
2=√2，
两式联立解得¿或¿，
所以所求点的坐标为(−1,2)或(−3,4)
故选：BC
变式4．（多选）（23-24 高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线l: y =ax−a+1，下列说法正确的是
（ ）
A．直线l过定点(−1,1)
B．当a=1时，l关于x轴的对称直线为x + y =0
C．直线l一定经过第四象限
D．点P(3,−1)到直线l的最大距离为2√2
【答案】BD
【分析】A.由l: y =ax−a+1=a(x−1)+1判断；B.由a=1时，直线方程为y = x判断；C.由a=1时，直线方
程为y = x判断；D.点P(3,−1)到定点的距离判断.
【详解】对于A，直线l: y =ax−a+1=a(x−1)+1，所以直线l过定点Q (1,1)，故A 错误；
对于B.当a=1时，直线方程为y = x，l关于x轴的对称直线为x + y =0，故B 正确；
对于C，当a=1时，直线方程为y = x，直线l不经过第四象限，故C 错误；
对于D，如图所示：
11
设PH ⊥l，由图象知：|PQ|≥|PH|，点P(3,−1)到直线l的最大距离为d =√(3−1)
2+(−1−1)
2=2√2，
故D 正确；
故选：BD
变式5．（多选）（23-24 高二上·湖南衡阳·期末）已知点P(1,3)与Q (−3,1)到直线l的距离相等，则l的方
程可以是（ ）
A．2 x + y =0
B．x−2 y −3=0
C．2 x +3 y −5=0
D．3 x−2 y +7 =0
【答案】ABD
【分析】根据点到直线的距离相等，可得l过PQ的中点，或l的斜率与PQ的斜率相等，进而两种情况进行
判断.
【详解】由题知，l过PQ的中点，或l的斜率与PQ的斜率相等，
又PQ的中点为(−1,2)，
则过点(−1,2)的直线为AD 选项；
又PQ的斜率为3−1
1−(−3) = 1
2，则B 选项符合条件.
故选：ABD
变式6．（24-25 高二上·上海·课后作业）若点P(−2,−1)到直线l：(1+3 λ) x +(1+2 λ) y =2+5 λ的距离为
d，则d 的取值范围是 ．
【答案】[0,√13)
【分析】先确定直线恒过定点A (1,1)，再计算| PA |，从而可得结论．
【详解】解：把直线l的方程化为( x + y −2)+ λ(3 x +2 y −5)=0，
由方程组¿
解得¿
所以直线l恒过定点A (1,1)，
其中直线l不包括直线3 x +2 y −5=0．
12
又|PA|=√(−2−1)
2+(−1−1)
2=√13，
且当PA与直线3 x +2 y −5=0垂直时，点P到直线3 x +2 y −5=0的距离为√13，
所以点P到直线l的距离d满足0≤d <√13，
故答案为：[0,√13)．
变式7．（24-25 高二上·上海·课后作业）已知点P(3,4)到直线l 的距离为5，且直线l 在两坐标轴上的截距
相等，则满足条件的直线共有 条．
【答案】3
【分析】结合点到直线的距离公式，分截距是否为0 进行讨论即可得解.
【详解】当截距不为0 时，由题意设所求直线为x + y =a,(a≠0)，
则|7−a|
√2
=5，解得a=7±5√2；
当截距为0 时，设原点为O(0,0)，则k PO= 4
3 ，注意到|PO|=√3
2+ 4
2=5，
所以此时满足题意的直线方程可以是y =−3
4 x；
综上所述，满足条件的直线共有3 条.
故答案为：3.
变式8. （24-25 高二上· 上海· 课后作业）若恰有三组不全为0 的实数对(a,b)满足关系式
|2a+b+3|=|5a−3b+3|=t √a
2+b
2，求实数t 的所有可能的值．
【答案】5
2，11
5 ，11
53 √53．
【分析】化简得到|2a+b+3|
√a
2+b
2
=|5a−3b+3|
√a
2+b
2
=t，然后，根据情况，对t进行分类讨论即可求解.
【详解】由已知得t >0，
整理，得|2a+b+3|
√a
2+b
2 =|5a−3b+3|
√a
2+b
2
=t，
看成有且仅有三条直线满足，A (2,1)和B(5,−3）到直线l：ax +by +3=0（不过原点）的距离L相等．由
|AB|=√(5−2)
2+(−3−1)
2=5，
13
（1）当t =|AB|
2
= 5
2
，此时，易得符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线6 x−8 y −29=0以及直线AB
平行的两条直线8 x + 6 y +3=0和8 x +6 y −47 =0；
（2）当t <|AB|
2
= 5
2时，有4 条直线l会使得点A (2,1)和B (5,−3)到它们的距离相等，注意到l不过原点，
所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．
设点A到l的距离为d．
（1）作为增根被舍去的直线l，过原点和A、B的中点M(
7
2 ,−1)，其方程为2 x +7 y =0，此时，
t =d = 11
√53 < 5
2，符合；
（2）作为增根被舍去的直线l，过原点且以⃗AB为方向向量，其方程为4 x +3 y =0，此时，t = d = 11
5 < 5
2
，符合．
综上，满足题意的实数t为5
2，11
5 ，11
53 √53．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到|2a+b+3|
√a
2+b
2
=|5a−3b+3|
√a
2+b
2
=t，将问题转化为，
有且仅有三条直线满足，A(2,1)和B(5,−3)到直线l:ax +by +3=0（不过原点）的距离t相等，这是本题
的解题关键.
【方法技巧与总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
（2）点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
（3）直线方程Ax+By+C=0 中，A=0 或B=0 公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可
用数形结合求解.
【题型3：两条平行线之间的距离】
例3．（24-25 高二上·陕西西安·开学考试）直线l1：x−y +1=0与直线l2：2 x−2 y +3=0的距离是
（ ）
A．√2
4
B．√2
2
C．√2
D．1
【答案】A
14
【分析】将直线l2的方程化为x−y + 3
2 =0，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线l2：2 x−2 y +3=0化为x−y + 3
2 =0，
又直线l1：x−y +1=0，所以l1//l2，
所以直线l1与直线l2的距离是|1−3
2|
√1
2+(−1)
2 = √2
4
.
故选：A.
变式1．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）已知l1//l2,l1:2 x + y + 4 =0,l2:6 x +ay +2=0,则它们的距离为
（ ）
A．2√5
15
B．2√5
5
C．√5
5
D．2√5
3
【答案】D
【分析】根据平行可求a，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.
【详解】因为l1//l2，所以2a=6，故a=3，故l2:2 x + y + 2
3 =0.
故l1,l2之间的距离为|4−2
3|
√5
= 10
3√5 = 2√5
3
，
故选：D.
变式2．（23-24 高二上·天津和平·期末）设点P，Q 分别为直线3 x + 4 y −7=0与直线6 x +8 y +3=0上的
任意一点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．17
10
D．11
10
【答案】C
【分析】因为直线3 x + 4 y −7 =0与直线6 x +8 y +3=0平行，所以|PQ|的最小值为直线6 x +8 y −14 =0
与直线6 x +8 y +3=0距离，求解即可.
【详解】由直线3 x + 4 y −7 =0可得6 x +8 y −14 =0，
所以直线3 x + 4 y −7 =0与直线6 x +8 y +3=0平行，
所以|PQ|的最小值为直线6 x +8 y −14 =0与直线6 x +8 y +3=0距离，
15
所以d =|3−(−14)|
√6
2+8
2
= 17
10 .
故选：C.
变式3．（多选）（23-24 高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线m,n，直线m: x + y −1=0，直线
n:2 x +2 y +a=0，直线m,n之间的距离为√2，则a的值可以是（ ）
A．-8
B．-6
C．2
D．4
【答案】BC
【分析】由两条平行直线间的距离公式求解即可.
【详解】根据题意得直线m可化为2 x +2 y −2=0，
直线m,n之间的距离d =|a+2|
2√2 =√2，
所以|a+2|= 4，即a=2或−6.
故选：BC.
变式4．(多选)（23-24 高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线l1: x +√3 y +1=0,l2: x +√3 y −3=0.若
直线l被l1,l2截得的线段长为2√2，则直线l的倾斜角可能是（ ）
A．15
∘
B．75
∘
C．105
∘
D．165
∘
【答案】AC
【分析】根据平行线距离公式计算结合倾斜角定义即可求解.
【详解】直线l被l1,l2截得的线段长为2√2，
∵两平行直线的距离d = |1−(−3)|
√1
2+(√3)
2 =2,∴直线l和l1,l2的夹角为45
∘，
又直线l1,l2的倾斜角为150
∘，直线l的倾斜角可能是15
∘或105
∘.
故选:AC.
变式5．（23-24 高二上·安徽·期末）已知直线l1: y =kx +1，l2: y =k (x−2)，则直线l1，l2之间距离的最大
值为 ．
【答案】√5
【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.
【详解】由题意可知：直线l1: y =kx +1的斜率为k，过定点A (0,1)；
直线l2: y =k (x−2)的斜率为k，过定点B (2,0)；
16
可知l1//l2，所以两直线之间距离的最大值为|AB|=√5．
故答案为：√5.
变式6．（23-24 高二上·河南开封·期末）已知点A ,B分别是直线l1:2 x + y −2=0与直线l2:4 x +2 y +1=0
上的点，则|AB|的取值范围是 ．
【答案】[
√5
2 ,+ ∞)
【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出|AB|的最小值，从而得到答案.
【详解】由2
4 = 1
2 ≠−2
1 可知直线l1//l2，所以当AB⊥l1且AB⊥l2时，|AB|有最小值，
其最小值为平行直线l1与l2的距离，直线l1的方程可化为4 x +2 y −4 =0，
所以|AB|min=|−4−1|
√4
2+2
2 = √5
2 ，即|AB|的取值范围是[
√5
2 ,+ ∞)．
故答案为：[
√5
2 ,+ ∞)
变式7．（23-24 高二上·上海松江·期末）已知P ,Q分别在直线l1: x−y +1=0与直线l2: x−y −1=0上，且
PQ⊥l1，点A (−4,6)，B (5,−1)，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为
【答案】10+√2/√2+10
【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到|AP|+|QB|最小值即可得解.
【详解】因为l1: x−y +1=0，l2: x−y −1=0，
所以直线l1与l2间的距离为|1+1|
√1+1 =√2，又PQ⊥l1，故|PQ|=√2，
过B (5,−1)作直线l垂直于l1: x−y +1=0，如图，
则可设直线l的方程为x + y +c =0，代入B (5,−1)，得5−1+c =0，则c =−4，
所以直线l的方程x + y −4 =0，
17
将B (5,−1)沿着直线l往上平移√2个单位到B
′点，设B
′ (a,−a+ 4)，
则√(a−5)
2+(−a+5)
2=√2，解得a= 4或a=6（舍去），则B
′ (4,0)，
连接A B
′交直线l1于点P，过P 作PQ⊥l2于Q，连接BQ，
有B B
′ // PQ ,|B B
′|=| PQ|，即四边形B B
′ PQ为平行四边形，
则| P B
′|=|BQ|，即有|AP|+|QB|=|AP|+|P B
′|=|A B
′|，
显然|A B
′|是直线l1上的点与点A ,B
′距离和的最小值，
因此|AP|+|QB|的最小值，即|AP|+|P B
′|的最小值|A B
′|，
而|A B
′|=√(−4−4)
2+(6−0)
2=10，
所以|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为|A B
′|+|PQ|= 10+√2.
故答案为：10+√2.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将|AP|+|QB|等价转化为|AP|+|P B
′|，从而得解.
【方法技巧与总结】
对两条平行直线之间的距离公式的理解
1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式.
2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y 的系数对应相等.
3.当两条直线都与x 轴（或y 轴）垂直时，可利用数形结合来解决.
【题型4：点与点、点与线的对称问题】
例4．（23-24 高二上·广东佛山·期中）点(2,1)关于直线x−y +1=0对称的点的坐标为（ ）
A．(−2,5)
B．(0,3)
C．(0,−1)
D．(−1,2)
【答案】B
【分析】设点(2,1)关于直线x−y +1=0对称的点的坐标为(a,b)，结合直线的垂直关系以及中点问题列出
方程组，即可求得答案.
【详解】设点(2,1)关于直线x−y +1=0对称的点的坐标为(a,b)，
则¿，解得¿，
故点(2,1)关于直线x−y +1=0对称的点的坐标为(0,3)，
故选：B
18
变式1．（22-23 高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数a取何值时，直线(2a−1) x +(−a+3) y −5=0
都过定点M，则直线2 x−y +3=0关于点M的对称直线方程为（ ）
A．x−2 y −6=0
B．x−2 y =0
C．2 x−y −9=0
D．2 x−y −3=0
【答案】D
【分析】先求出定点坐标，设直线2 x−y +3=0关于点M的对称直线方程为2 x−y +b=0，则
|2−2+3|
√5
=|2−2+b|
√5
，解方程即可得出答案.
【详解】由(2a−1) x +(−a+3) y −5=0可得：a(2 x−y)−x +3 y −5=0，
令¿，解得：x =1, y =2，
所以M (1,2)，设直线2 x−y +3=0关于点M的对称直线方程为：2 x−y +b=0，
则M (1,2)到直线2 x−y +3=0与2 x−y +b=0的距离相等，
所以|2−2+3|
√5
=|2−2+b|
√5
，解得：|b|=3，即b=3（舍去）或b=−3.
故直线2 x−y +3=0关于点M的对称直线方程为：2 x−y −3=0.
故选：D.
变式2．（21-22 高二·全国·单元测试）直线ax＋y＋3a－1＝0 恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0 关于点
M 对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．3x－2y－6＝0
D．2x＋3y＋6＝0
【答案】B
【分析】先求出定点M 的坐标，再设出与直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程，利用点到直线距离
公式求出答案.
【详解】由ax＋y＋3a－1＝0 得(x +3)a+( y −1)=0，
由¿，得¿，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程为2 x +3 y +C =0(C ≠−6)，
∴|−6+3−6|
√4+9
=|−6+3+C|
√4+9
，解得:C＝12 或C＝－6（舍去），
∴直线2x＋3y－6＝0 关于点M 对称的直线方程为2x＋3y＋12＝0．
故选：B．
变式3．（多选）（23-24 高二上·安徽淮北·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．直线x−y −3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2
19
D．点(0,1)关于直线y = x的对称点为(1,0)
【答案】AD
【分析】对于AB，根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解；对于C，求出直线与坐标
轴的交点坐标，从而求出三角形面积，对于D，设(0,1)关于直线y = x对称的点为(a,b)，得到¿，再解方程
即可判断.
【详解】对于A：任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角为90
°时斜率不存在，故A 正确；
对于B：直线的倾斜角为π
6 ，5
6 π时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B 错误；
对于C：直线x−y −3=0，令x =0，y = 3
−，令y =0，x =3，
故x−y −3=0与两坐标轴围成的三角形的面积是1
2 ×|−3|×3= 9
2，故C 错误；
对于D：设(0,1)关于直线y = x对称的点为(a,b)，
则¿，即(0,1)关于直线y = x对称的点为(1,0)，故D 正确.；
故选：AD
变式4．（23-24 高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线2 x−y −5=0与直线x +3 y +1=0交于点A，
则点A 关于直线x−y + 4 =0的对称点坐标是 .
【答案】(−5,6)
【分析】先根据两直线相交联立方程组求出点A 的坐标；再设出对称点的坐标；最后列出关系式求解即可.
【详解】因为直线2 x−y −5=0与直线x +3 y +1=0交于点A，
所以联立¿，解得¿，即A (2,−1).
设点A (2,−1)关于直线x−y + 4 =0的对称点坐标为B (a,b)，
则AB的中点坐标为(
a+2
2
, b−1
2 )，k AB= b+1
a−2，
故¿，解得¿，即点A 关于直线x−y + 4 =0的对称点坐标是(−5,6).
故答案为：(−5,6).
变式5.（22-23 高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线l的倾斜角为135
∘，且经过点P(1,1)．
(1)求直线l的方程；
(2)求点A (3,4)关于直线l的对称点A
′的坐标．
【答案】(1)x + y −2=0
(2)(−2,−1)
【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线l的方程；
（2）设点A
′的坐标为(a,b)，由条件列方程求a,b即可.
20
【详解】（1）设直线l的斜率为k，
因为直线l的倾斜角为135
∘，
所以k = tan135
∘=−1，
所以直线l的方程为y −1=−1(x−1)，即x + y −2=0
（2）设点A
′的坐标为(a,b)，
则¿，解得a=−2,b=−1，
所以点A
′的坐标为(−2,−1)．
变式6．（23-24 高二上·江苏无锡·期中）已知直线l: x−2 y +1=0，点A (2,2).
(1)已知直线l与l
':ax−(a
2−3) y −1=0平行，求a的值；
(2)求点A (2,2)关于直线l的对称点A
′的坐标.
【答案】(1)3
(2)(
12
5 , 6
5)
【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解；
（2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果.
【详解】（1）由直线l平行直线l
′，可得a
2−3=−2a，解得a=3或−1，
当a=3时，直线l
′:3 x−6 y −1=0符合题意，
当a=−1时，直线l
′: x−2 y +1=0与直线l重合，不合题意，
所以a的值为3.
（2）设对称点A
′的坐标为(m,n)，则A A
′中点的坐标为(
2+m
2
, 2+n
2 )，
所以可得¿，解得¿，
所以A
′的坐标为(
12
5 , 6
5).
变式7．（23-24 高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线l1：ax +3 y −1=0，直线l1的一个方向向量的坐标为
(−2,6)，直线l2：4 x +by −2=0与直线2 x−y +5=0垂直
(1)求a，b 的值；
(2)已知点P(−1,−3)，求点P关于直线l2对称的点Q的坐标．
【答案】(1)a=9，b=8.
(2)(2,3).
【分析】（1）根据直线l1的方向向量求出a，根据直线l2：4 x +by −2=0与直线2 x−y +5=0垂直求出b.
（2）设出对称点的坐标，然后根据点关于直线对称联立求解即可.
21
【详解】（1）因为直线l1：ax +3 y −1=0的一个方向向量的坐标为(−2,6)，
所以−a
3 = 6
−2 ⇒a=9，
又因为直线l2：4 x +by −2=0与直线2 x−y +5=0垂直，
所以4×2+b×(−1)=0⇒b=8.
所以a=9，b=8.
（2）由（1）知直线l2：4 x +8 y −2=0即2 x + 4 y −1=0，
设点P(−1,−3)关于直线l2对称的点Q(x0, y0)，
则直线PQ的斜率为k PQ= y0+3
x0+1 =2⇒y0=2 x0−1，
线段PQ的中点为(
x0−1
2
, y0−3
2 )，
代入直线l2方程得(x0−1)+2( y0−3)−1=0⇒x0+2 y0−8=0，
联立¿，
所以点Q的坐标为(2,3).
变式8．（23-24 高二上·四川成都·期中）已知直线l过点P(2,−1)．
(1)若直线l与直线2 x + y +3=0垂直，求直线l的方程
(2)若已知直线l: x +2 y −2=0，点Q (−2,−1)关于直线l的对称点的坐标．
【答案】(1)x−2 y −4 =0
(2)(
2
5 , 19
5 )
【分析】（1）根据垂直关系得到斜率，结合点坐标得到直线方程.
（2）设出对称点，根据斜率的关系和中点坐标得到方程组，解得答案.
【详解】（1）直线l与直线2 x + y +3=0垂直，则kl= 1
2，
故直线l的方程为y = 1
2
(x−2)−1，即x−2 y −4 =0
（2）设点Q (−2,−1)关于直线l的对称点的坐标为M (x0, y0)，
则¿，解得¿，故对称点坐标为(
2
5 , 19
5 ).
22
【方法技巧与总结】
1.实质：该点是两对称点连线段的中点
方法：利用中点坐标公式
说明：平面内点A(x0, y0)关于P(a,b)对称点坐标为(2a−x0,2b−y0)平面内点A(x1, y1)，A'(x2, y2)关
于点
P(
x1+x2
2
, y1+ y2
2 )对称
2.实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0 的对称点(x’，y’)，则
2.当直线斜率不存在时：点(x0, y0)关于x=m 的对称点为（2m−x0，y0 ）
【题型5：直线关于点对称】
例5．（23-24 高二上·四川成都·期中）直线l：y =2 x−4关于点A(1,0)对称的直线方程为（ ）
A．y =2 x
B．y =−2 x
C．y =2 x−8
D．y =2 x + 4
【答案】A
【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解.
【详解】因为A(1,0)不在直线l：y =2 x−4上，
所以可设直线l：y =2 x−4关于点A(1,0)对称的直线方程为y =2 x +b，
则
|2−0−4|
√2
2+(−1)
2 = |2−0+b|
√2
2+(−1)
2，解得b=0或b=−4（舍去），
故所求直线方程为：y =2 x.
故选：A
变式1．（22-23 高二上·福建福州·期中）已知点P(2,1)，直线l：x−y −4 =0，则点P到直线l的距离为
23
，直线l关于点P对称的直线方程为 ．
【答案】 3√2
2
/3
2 √2 x−y +2=0
【分析】利用点到直线距离公式求点P到直线l的距离，设直线l上任一点P1(x1, y1)关于点P(2,1)的对称点
P1
' (x , y)，确定P1, P1
′的坐标关系，利用代点法求对称直线方程．
【详解】点P(2,1)，直线l：x−y −4 =0，
则点P到直线l的距离为|2−1−4|
√2
= 3√2
2
，
设直线l关于点P(2,1)的对称直线为l
'，
则直线l上任一点P1(x1, y1)关于点P(2,1)的对称点P1
′ (x , y)一定在直线l
'上，
¿，解得¿，
将(x1, y1)代入直线l的方程可得，x−y +2=0．
所以直线l关于点P对称的直线方程为x−y +2=0.
故答案为：3√2
2
；x−y +2=0.
变式2．（23-24 高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是A (4,0)，B (6,5)，C (0,3)，边BC 上
的高所在直线为l．
(1)求直线l 的方程；
(2)求直线l 关于点B 对称的直线l
′的方程．
【答案】(1)3 x + y −12=0；
(2)3 x + y −34 =0.
【分析】（1）应用两点式求斜率k BC，再由直线垂直得kl=−3，应用点斜式写出直线l 的方程；
（2）由直线平行设直线l
′的方程为3 x + y +m=0(m≠−12)，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即
可得直线l
′的方程．
【详解】（1）因为点B (6,5)，C (0,3)，所以k BC = 1
3，
因为l⊥BC，所以kl=−1
k BC
=−3，且直线l 经过点A (4,0)，
所以直线l 的方程为y =−3( x−4)，即3 x + y −12=0．
（2）设直线l
′的方程为3 x + y +m=0(m≠−12)，
24
由点B (6,5)到直线l 和直线l
′的距离相等，
所以|3×6+5−12|
√10
=|3×6+5+m|
√10
，解得m=−34，
所以直线l
′的方程为3 x + y −34 =0．
变式3．（22-23 高二·全国·课后作业）已知点A的坐标为(−4,4)，直线l的方程为3 x + y −2=0，求：
(1)点A关于直线l的对称点A
′的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l
′的方程．
【答案】(1)(2,6)
(2)3 x + y +18=0
【分析】
（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可.
【详解】（1）设A
′ (m,n)，由题意可得¿，解得¿，
所以点A
′的坐标为(2,6).
（2）在直线l上任取一点P(x , y)，设P(x , y)关于点A的对称点为P
′(x0, y0)，
则¿，解得¿，
由于P
′ (−8−x ,8−y)在直线3 x + y −2=0上，则3(−8−x)+(8−y)−2=0，即3 x + y +18=0，
故直线l关于点A的对称直线l
′的方程为3 x + y +18=0.
变式4．（21-22 高二上·江苏连云港·期中）已知直线l经过两条直线2 x +3 y +8=0和x−y −1=0的交
点，且________，若直线m与直线l关于点(1,0)对称，求直线m的方程．试从以下两个条件中任选一个补充
在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线3 x +2 y +8=0
垂直；②在y轴上的截距为1
2．
【答案】选①，2 x−3 y =0；选②，5 x−2 y −11=0.
【分析】选①可设直线l的方程2 x−3 y +c =0，求出交点并代入即可求出直线l 的方程，在直线上取两
点，再利用点的对称即可求解；选②，由点斜式即可求出直线l 的方程，在直线上取两点，再利用点的对
称即可求解.
【详解】因为方程组¿的解为¿，
所以两条直线2 x +3 y +8=0和x−y −1=0的交点坐标为(−1,−2)．
若选①，可设直线l 的方程为2 x−3 y +c =0，
点(−1,−2)代入方程2 x−3 y +c =0可得c =−4，即l：2 x−3 y −4 =0．
25
在直线l 上取两点(−1,−2)和(2,0)，
点(−1,−2)关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2)，
点(2,0)关于点(1,0)对称的点的坐标为（0，0），
所以直线m 的方程为2 x−3 y =0．
若选②，可得直线l 的斜率k =
1
2 −(−2)
0−(−1) = 5
2
，
所以直线l 的方程为y = 5
2 x + 1
2．
在直线l 上取两点(1,3)和(−1,−2)，点(−1,−2)关于点(1,0)对称的点的坐标为(3,2)，
点(1,3)关于点(1,0)对称的点的坐标为(1,−3)，
所以直线m 的方程为y −2= 2+3
3−1 ⋅(x−3)，即5 x−2 y −11=0．
变式5．（23-24 高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,0)和点(
12
5 , −6
5 )重合，
点(7,3)和点(m,n)重合，则m+n=（ ）
A．34
5
B．36
5
C．28
3
D．32
3
【答案】A
【分析】根据两点关于折线对称，先求出折线方程，再根据(7,3)与(m,n)关于折线对称求出m,n即可.
【详解】设点O(0,0)和P(
12
5 , −6
5 )，线段OP中点为点M,
折线即为线段OP的中垂线，
则0+ 12
5
2
= 6
5
，0+(−6
5)
2
=−3
5
，所以M(
6
5 ,−3
5)，
直线OP的斜率为
−6
5 −0
12
5 −0
=−1
2，则折线斜率为2，
所以折线方程为：y =2(x−6
5)−3
5 ⇒y =2 x−3，
由题知(7,3)与(m,n)关于折线对称，
则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，
所以¿化简得¿，
26
解得¿，所以m+n= 34
5 .
故选：A
变式6．（23-24 高二上·全国·单元测试）已知点A (0,1)，________，从条件①、条件②、条件③中选
择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点A关于直线l1的对称点B的坐标为(2,−1)；条件
②：点B的坐标为(2,−1)，直线l1过点(2,1)且与直线AB垂直；条件③点C的坐标为(2,3)，直线l1过点(2,1)
且与直线AC平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：x−2 y +2=0关于直线l1的对称直线的方程．
【答案】(1)x−y −1=0
(2)2 x−y −5=0
【分析】（1）计算直线l1的斜率，根据两直线的平行或垂直关系得到斜率，根据点斜式方程得到直线l1方
程.
（2）先计算直线l1，l2的交点；再在直线l2上取一点，求其关于l1对称的点；最后根据交点和对称点得到直
线方程.
【详解】（1）选择条件①：
因为点A (0,1)关于直线l1的对称点B的坐标为(2,−1)，
所以l1是线段AB的垂直平分线，线段AB的中点坐标为(1,0)．
因为k AB= −1−1
2−0 =−1，
所以直线l1的斜率为1.
所以直线l1的方程为y = x−1，即x−y −1=0．
选择条件②：
因为k AB= −1−1
2−0 =−1，直线l1与直线AB垂直，
所以直线l1的斜率为1.
又因为直线l1过点(2,1)，
所以直线l1的方程为y −1= x−2，即x−y −1=0．
选择条件③，
因为k AC = 3−1
2−0 =1，直线l1与直线AC平行，
所以直线l1的斜率为1.
27
又因为直线l1过点(2,1)，
所以直线l1的方程为y −1= x−2，即x−y −1=0．
（2）联立方程组¿，解得¿，
故l1，l2的交点坐标为(4,3)，
设A (0,1)关于l1：x−y −1=0对称的点为M (x , y).
则¿，解得¿.
因为A (0,1)在直线l2：x−2 y +2=0上，
所以直线l2关于直线l1对称的直线经过点(2,−1)，(4,3)，代入两点式方程得y +1
3+1 = x−2
4−2，即
2 x−y −5=0，
所以l2：x−2 y +2=0关于直线l1的对称直线的方程为2 x−y −5=0．
【方法技巧与总结】
实质：两直线平行
法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自
关于A 对称的点，然后求出直线方程）
法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等）
【题型6：直线关于直线对称】
例6．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知直线l：ax +by +c =0与直线l
′关于直线x + y =0对称，则l
′
的方程为（ ）
A．bx +ay −c =0
B．bx−ay +c =0
C．bx +ay +c =0
D．bx−ay −c =0
【答案】A
【分析】根据对称性的性质，用−x代y，以−y代x进行求解即可.
【详解】因为直线l：ax +by +c =0与直线l
′关于直线x + y =0对称，
所以在方程ax +by +c =0中，用−x代y，以−y代x，得−ay −bx +c =0，
化简，得bx +ay −c =0，
故选：A
变式1．（24-25 高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l 的倾斜角为θ，则直线l 关于直线y = x对称
的直线l
′的倾斜角不可能为（ ）
A．θ
B．π
2 −θ
C．π−θ
D．3 π
2 −θ
28
【答案】C
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线l
′的倾斜角为α，则α ,θ∈[0,π )，
因为直线l和直线l
′关于直线y = x对称，
所以直线l和直线l
′也关于直线y =−x对称 ，
所以α +θ =π
2
或α +θ =3π
2
，
对于A，当θ =π
4 时，α =π
4 =θ，所以A 正确，
对于B，当θ =0时，α =π
2 =π
2 −θ，所以B 正确，
对于C，若α = π −θ，则(π −θ)+θ =π
2
不成立，且(π −θ)+θ =3π
2
也不成立，所以C 错误，
对于D，当θ =2π
3 时，α = 5 π
6 =3π
2 −θ，所以D 正确.
故选：C
变式2．（多选）（23-24 高二上·山西太原·期中）已知直线l1: x + y =0,l2:2 x−3 y −6=0，则下列说
法正确的是（ ）
A．直线l1与l2相交于点(
6
5 ,−6
5)
B．直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积为6
5
C．直线l2关于原点O 对称的直线方程为2 x−3 y +6=0
D．直线l2关于直线l1对称的直线方程为3 x−2 y +6=0
【答案】AC
【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正
确答案.
【详解】由¿解得x = 6
5 , y =−6
5 ，所以交点坐标为(
6
5 ,−6
5)，A 选项正确.
直线l2:2 x−3 y −6=0与x轴的交点为(3,0)，与y轴的交点为(0,−2)，
直线l1过原点，由图可知，直线l1、l2和x轴围成的三角形的面积为1
2 ×3× 6
5 = 9
5，
所以B 选项错误.
由上述分析可知，直线l2关于原点O 对称的直线过点(−3,0),(0,2)，
29
所以直线l2关于原点O 对称的直线方程为y −2=
2−0
0−(−3)
(x−0),2 x−3 y +6=0，
所以C 选项正确.
点(3,0)关于直线x + y =0的对称点是(0,−3)；
点(0,−2)关于直线x + y =0的对称点是(2,0)，
所以直线l2关于直线l1对称的直线方程为x
2 + y
−3 =1，
即3 x−2 y −6=0，所以D 选项错误.
故选：AC
变式3．（多选）（23-24 高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线l1:ax−y +1=0,l2: x +ay +1=0，
a∈R，以下结论正确的是（ ）
A．无论a 为何值，l1与l2都互相垂直
B．当a 变化时，l1表示过定点(0,1)的所有直线
C．无论a 为何值，l1与l2都关于直线x + y =0对称
D．若l1与l2交于点M，则|MO|（O 为坐标原点）的最大值是√2
【答案】AD
【分析】对A：讨论a=0与a≠0时对应直线的位置关系即可；
对B：讨论斜率不存在时的情况，即可判断；
对C：讨论l1与x + y =0平行的状态，即可判断；
对D：点M的轨迹为圆，数形结合即可求|OM |的最大值.
【详解】对A：当a=0时，l1方程为：y =1，l2方程为：x =−1，两直线垂直；
当a≠0时，直线l1的斜率k1=a，直线l2的斜率k2=−1
a，满足k1⋅k2=−1，两直线垂直；
故无论a 为何值，l1与l2都互相垂直，A 正确；
对B：l1:ax−y +1=0，也即y −1=ax，其表示过点(0,1)，斜率为a的直线；
若直线过点(0,1)且斜率不存在时，该方程无法表示，B 错误；
30
对C：当a=−1时，直线l1:ax−y +1=0,l2: x +ay +1=0的方程分别为：
l1: y =−x +1，l2: y = x +1，此时l1与y =−x平行，
l1关于y =−x的对称直线为y =−x−1，不是y = x +1，故C 错误；
对D：由A 可得：直线l1,l2垂直，且直线l1恒过定点A(0,1)，直线l2恒过定点B(−1,0)，
故点M的轨迹是以AB为直径的圆，此时恰有点O也在该圆上，
故|OM |的最大值为圆的直径|AB|=√2，故D 正确.
故选：AD.
变式4．（24-25 高二上·上海·随堂练习）若直线l 与直线ax +by +c =0(ab>0)的夹角平分线为y = x，
则直线l 的方程为 .
【答案】bx +ay +c =0
【分析】由题意知，直线l和ax +by +c =0关于直线y = x对称，故把l 的方程中的x 和y 交换位置即得直
线l 的方程．
【详解】由题意可得直线l 与直线ax +by +c =0关于直线y = x对称，
由于直线ax +by +c =0上的任意一点M (x , y)关于直线y = x的对称点为N ( y , x)，
因为已知直线ax +by +c =0，则l的方程是ay +bx +c =0，即bx +ay +c =0，
故答案为：bx +ay +c =0.
变式5．（22-23 高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线l1的方程为x−2 y + 4 =0.
（1）若直线l1和直线l2关于点(0,0)对称，求直线l2的方程 ；
（2）若直线l1和直线l2关于直线y = x对称，求直线l2的方程 .
【答案】 x−2 y −4 =0 2 x−y −4 =0.
【分析】根据题意，由点A (x , y)关于点(0,0)对称的点A
′ (−x ,−y)在直线l1上，列出方程即可得到结果；
由题意可得直线l1与直线y = x的交点，求出C (0,2)关于直线y = x对称的点为C
′ (s,r)，即可得到直线方程.
【详解】因为直线l1和直线l2关于点(0,0)对称，
在直线l2上任取一点A (x , y)，则A (x , y)关于点(0,0)对称的点A
′ (−x ,−y)在直线l1上，
将点A
′ (−x ,−y)代入直线l1可得−x +2 y + 4 =0，
31
所以直线l2的方程为x−2 y −4 =0；
设直线l1与直线y = x的交点为B ( p,q)，
所以¿，解得p=q = 4，则B (4,4)，
在直线l1上取点C (0,2)，设C (0,2)关于直线y = x对称的点为C
′ (s,r)，
则r −2
s−0 ×1=−1①
因为C (0,2)与C
′ (s,r)的中点坐标为(
0+ s
2
, 2+r
2 )，
所以0+ s
2
= 2+r
2 ②
由①②可得¿，所以C
′ (2,0)
因为直线l1和直线l2关于直线y = x对称，
所以直线l2经过点B (4,4)和点C
′ (2,0)，
所以直线l2的两点式方程为y −0
4−0 = x−2
4−2，
整理得直线l2的一般式方程为2 x−y −4 =0.
故答案为: x−2 y −4 =0;2 x−y −4 =0.
变式6．（23-24 高二上·贵州遵义·阶段练习）已知△ABC的三个顶点是A (1,1)，B (3,3)，C (2,8)．
(1)过点B的直线l1与边AC相交于点D，若△BCD的面积是△ABD面积的3 倍，求直线l1的方程；
(2)求∠BAC的角平分线所在直线l2的方程．
【答案】(1)x−7 y +18=0
(2)2 x−y −1=0
【分析】（1）设D(x0, y0)，根据平面向量的坐标关系确定⃗DC =3⃗AD，即可列方程得D的坐标，从而可
得直线方程；
（2）利用对称性结合直线方程确定B关于直线l对称的点为B
′的坐标关系式，即可得所求.
【详解】（1）设D(x0, y0)则⃗AD =(x0−1, y0−1)，⃗DC =(2−x0,8−y0)
因为△BCD的面积是△ABD面积的3 倍，所以⃗DC =3⃗AD，
则¿解得¿
故直线l1的方程为y −3=
3−11
4
3−5
4
( x−3)，即x−7 y +18=0
32
（2）显然，l2的斜率存在且不为零，设l2的方程为y −1=k (x−1)，
则过点B且与l2垂直的直线l的方程为y −3=−1
k ( x−3)
设点B关于直线l对称的点为B
′(x1,3−1
k ( x1−3))，
因为直线AC的方程为7 x−y −6=0，
所以¿
整理得2k
3−3k
2−2k =0
因为k ≠0，所以2k
2−3k −2=0，解得k =2或k =−1
2
又k AC =7>0，k AB=1>0，所以k >0，
故直线l2的方程为y −1=2(x−1)，即2 x−y −1=0
变式7．（22-23 高二上·青海海南·期中）已知直线l:2 x +3 y −5=0，求满足下列条件的直线的方程．
(1)与直线l关于x轴对称；
(2)过点(3,1)，且与l平行．
【答案】(1)2 x−3 y −5=0；
(2)2 x +3 y −9=0.
【分析】（1）由对称方法求出直线方程作答.
（2）利用平行关系设出直线方程，再求出待定系数作答.
【详解】（1）设与直线l关于x轴对称的直线l1上任意点坐标为( x , y)，则点( x ,−y)在直线l上，即有
2 x +3(−y)−5=0，
所以直线l1的方程为2 x−3 y −5=0.
（2）设与直线l平行的直线l2的方程为2 x +3 y +m=0(m≠−5)，
于是2×3+3×1+m=0，解得m=−9，
所以直线l2的方程为2 x +3 y −9=0.
33
【方法技巧与总结】
1.相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题
2.平行时：对称直线与已知直线平行
【题型7：反射光线问题】
例7．（23-24 高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点A (−2,1)射出，经直线2 x−y +10=0反射，且反
射光线所在直线过点B(−8,−3)，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．x−3 y −1=0
B．3 x−y +21=0
C．x +3 y +17 =0
D．3 x + y +15=0
【答案】B
【分析】求出A(−2,1)关于直线2 x−y +10=0的对称点为C的坐标，由B ,C都在反射光线所在直线上得
直线方程．
【详解】设A(−2,1)关于直线2 x−y +10=0的对称点为C( x , y)，
则¿，解得¿，即C(−6,3)，
所以反射光线所在直线方程为y −3= −3−3
−8+6 ⋅( x +6)，即3 x−y +21=0．
故选：B．
变式1．（22-23 高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点P(−1,5)射出，经直线x−3 y +1=0反射后经过
点(2,3)，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A．2 x−y −1=0
B．x−2=0
C．3 x−y −3=0
D．4 x−y −5=0
【答案】B
【分析】求出点P(−1,5)关于直线x−3 y +1=0的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.
【详解】设点P(−1,5)关于直线x−3 y +1=0的对称点为P1(a,b)，
则¿，化简得¿，解得¿，
故反射光线过点(2,−4),(2,3)，
则反射光线所在直线的方程为x−2=0.
故选：B.
变式2．（23-24 高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，AB = AC = 4，点P 是边AB
上异于A，B 的一点，光线从点P 出发经BC，CA 反射后又回到点P，若光线QR 经过△ABC的重心，则
△PQR的周长等于（ ）
34
A．8√5
3
B．2√37
3
C．4√15
D．5√3
3
【答案】A
【分析】以A为坐标原点，AB,AC所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光
线的对称关系找到点P关于BC，AC的对称点P1，P2，则△PQR即为|P1 P2|的长.
【详解】解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x 轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐
标系，
则B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，
所以直线BC的方程为x + y −4 =0.
设P(t ,0)(0<t <4)，点P关于直线BC的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，
易得P1(4,4−t )，P2(−t ,0).
易知直线P1 P2就是RQ所在的直线.
所以直线RQ的方程为y = 4−t
4 +t ×( x +t ).
设△ABC的重心为G，则G(
4
3 , 4
3)，
所以4
3 = 4−t
4+t ⋅(
4
3 +t)，即3t
2−4 t =0，所以t =0（舍去）或t = 4
3 ，
所以P1(4 , 8
3)，P2(−4
3 ,0).
结合对称关系可知|QP|=|Q P1|，|RP|=|R P2|，
所以△PQR的周长即线段|P1 P2|的长度为：
35
√(4+ 4
3)
2
+(
8
3 −0)
2
= 8√5
3
.
故选：A.
变式3．（23-24 高二上·浙江温州·期中）在等腰直角△ABC中，AB = AC = 4，点P是边AB的中点，
光线从点P出发，沿与⃗AB所成角为θ的方向发射，经过BC ,CA反射后回到线段PB之间（包括端点），则
tanθ的取值范围是（ ）
A．[1,2]
B．[2,3]
C．[4,5]
D．[3,4]
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，根据点关于线对称画出光路图，利用k = tanθ表示各点坐标，求出满
足使反射后回到线段PB之间角θ范围.
【详解】
建立直角坐标系如图所示，A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，P(2,0)则直线BC : x + y = 4
由题光线从点P出发，沿光线路径依次为PE , EF , FG其中E , F ,G分别为光线与对应边交点，
设G(t ,0),2≤t ≤4，点G (t ,0)关于直线AC对称点为G1(−t ,0)，设点P(2,0)关于直线BC对称点为
P1(m,n)，根据对称则有¿，
因为光线与⃗AB所成角为θ的方向发射，即∠EPB =θ，令k = tanθ，k 即为直线PE斜率，
则直线PE方程为y =k( x−2)，则与BC联立¿，
由光线反射的性质与光路可逆性知P1, E , F ,G1四点共线，
36
则直线P1 E方程为y =
2k
1+ k −2
2
1+ k −2
( x−4)+2⇒y = 1
k ( x−4)+2，
令y =0得−t = 4−2k ⇒t =2k −4∈[2,4]⇒3≤k ≤4，
所以tanθ的取值范围为[3,4].
故选：D
变式4．（24-25 高二上·江苏泰州·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，AB = AC =1，点P是边AB
上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，如图所示，若光线QR经过△ABC
的重心G，则AP的长度为 .
【答案】1
3
【分析】求出点P关于y和直线BC的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.
【详解】以A为原点，AB , AC分别为x , y轴建立平面直角坐标系，
则直线BC方程为x + y −1=0，
设P(a,0)关于y和直线BC的对称点分别为N , M，则N (−a,0)，
记M (x0, y0)，则¿，解得M (1,1−a)，
因为G为△ABC的重心，A (0,0),B (1,0),C (0,1)，所以G(
1
3 , 1
3)，
由光的反射原理可知，M , N ,G三点共线，所以k MN =k NG，
即1−a
1+a =
1
3
1
3 +a
，解得a=0（舍去）或a= 1
3.
故答案为：1
3
37
变式5．（23-24 高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系xOy中，已知A (3,0)，B (0,3)，从点
P(1,0)射出的光线经直线AB反射到y轴上，再经y轴反射后又回到点P，则光线所经过的路程的为 .
【答案】2√5
【分析】作出P点关于y轴的对称点P1以及关于AB的对称点P2，将问题转化为求解|P1 P2|，由此求解出
结果.
【详解】P点关于y轴的对称点P1(−1,0)，关于AB的对称点P2(m,n)，如图所示，
又因为A (3,0)，B (0,3)，所以直线AB方程为：x
3 + y
3 =1，即x + y −3=0，
所以¿，解得¿，即P2(3,2).
所
以
光
线
经
过
的
路
程
为
| PM |+| MN |+| PN |=| P2 M |+| MN |+| P1 N |=| P1 P2|=√(3+1)
2+(2−0)
2=2√5.
故答案为：2√5
38
变式6 ．（24-25 高二上· 上海· 随堂练习）如图，已知A (6,6√3)，B (0,0)，C (12,0)，直线l：
(k +√3) x−y −2k =0．
(1)求直线l经过的定点坐标；
(2)若P(2,2√3)，李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC（反射点为K）、AC（反射点为I
）反射后，光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程．
【答案】(1)(2,2√3)
(2)2 x +√3 y −10=0
【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点；
（2）分别求点P关于直线BC与AC的对称点P1与P2，进而可得k P1P2，再根据对称性可得k PK，即可得直
线方程.
【详解】（1）由直线l：(k +√3) x−y −2k =0，即k (x−2)+√3 x−y =0，
令¿，解得¿，
故直线l恒过定点(2,2√3)；
（2）设P关于BC的对称点P1，则P1(2,−2√3)，
P关于AC的对称点P2(m,n)，
由直线AC的方程为
y −0
6√3−0 = x−12
6−12，即y =−√3(x−12)，
所以¿，解得¿，
所以P2(14,6√3)，
39
由题意得P1、K、I、P2四点共线，k P1 P2= 2√3
3
，
由对称性得k PK =−2√3
3
，
所以入射光线PK的直线方程为y −2√3=−2√3
3
(x−2)，
即2 x +√3 y −10=0．
变式7．（23-24 高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点M (2,3)，在直线l: x + y +1=0上反射，且反
射光线经过点N (1,1)，求：
(1)入射光线与直线l 的交点．
(2)入射光线与反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)(−2
3 ,−1
3 )
(2)入射光线的方程5 x−4 y +2=0，反射光线的方程4 x−5 y +1=0
【分析】（1）根据题意，求得点M (2,3)关于直线l的对称点为M
′ (−4 ,−3)，得到反射光线的方程
4 x−5 y +1=0，联立方程组，即可求得交点坐标；
（2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程.
【详解】（1）解：设点M (2,3)关于直线l: x + y +1=0的对称点为M
′ (m,n)，
则¿，解得m=−4 ,n=−3，即M
′ (−4 ,−3)，
则反射光线所在的直线M
′ N的方程y −1= 4
5 ( x−1)，即4 x−5 y +1=0，
又由¿，解得x =−2
3 , y =−1
3，
即直线M
′ N与直线l的交点为C(−2
3 ,−1
3 ).
（2）解：由点C(−2
3 ,−1
3 )，可得k MC = 5
4 ，
40
所以入射光线所在的直线MC的方程为y −3= 5
4 ( x−2)，即5 x−4 y +2=0，
反射光线所在直线的M
′ N的方程y −1= 4
5 ( x−1)，即4 x−5 y +1=0.
【题型8：将军饮马问题】
例8．（23-24 高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：x + y −2=0，点A (−1,0)，B (1,0)，P 为l
上任意一点，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．√13
B．√10
C．√7
D．√5
【答案】B
【分析】先求得点A (−1,0)关于直线l 的对称点A
′的坐标，则|A
′ B|即为|PA|+|PB|的最小值.
【详解】设点A (−1,0)关于直线l 的对称点为A
′ (m,n)，
则有¿，解之得¿，则A
′ (2,3)，
则|PA|+|PB|的最小值为|A
′ B|=√(2−1)
2+(3−0)
2=√10
故选：B
变式1．（23-24 高二上·北京丰台·期末）已知点P在由直线y = x +3，y =5和x =−1所围成的区域内
（含边界）运动，点Q在x轴上运动.设点T (4,1)，则|QP|+|QT|的最小值为（ ）
A．√30
B．4√2
C．√34
D．2√10
【答案】B
【分析】根据题意画出图形，再确定出使|QP|+|QT|的位置.然后求出值即可
【详解】由直线y = x +3，y =5和x = 1
−围成△ABC,如图所示，
点P在△ABC内（含边界）运动，
41
Q
在
x
轴上运动，作点
T (4,1)
关于
x
轴的对称点
T
′ (4 ,−1)
，则
|QP|+|QT|=|QP|+|QT
′|，
|QP|+|QT|的最小值为T
′ (4 ,−1)到直线y = x +3的距离，即8
√2 = 4√2.
故选：B.
变式2．（23-24 高二上·河南商丘·期中）已知点M (1,−2)，N (4,4)，H是直线l:2 x−y +1=0上的
动点，则|HM|+|NH|的最小值为（ ）
A．√13
B．3√5
C．√65
D．6√2
【答案】C
【分析】画出草图可知，点M、点N 在直线l 同侧，运用对称性即可求得结果.
【详解】如图所示，
设点M (1,−2)关于直线l的对称点为M
′(x0, y0)，
则¿，解得¿，即M ′(−3,0)，
所以(|HM|+|NH|)min=(|HM ′|+|NH|)min=|NM ′|=√(4 +3)
2+(4−0)
2=√65．
故选：C.
变式3．（23-24 高二上·上海奉贤·阶段练习）2023 年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们
42
对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象
力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，
黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下
某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点
是A (2,4)，军营所在位置为B (6,2)，河岸线所在直线的方程为x + y −3=0，若将军从出发点到河边饮马，
再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6 x−y −8=0
B．将军在河边饮马的地点的坐标为(
13
8 , 11
8 )
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x−6 y +6=0
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【答案】B
【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”， A ,C ,B1
三点共线满足题意，其中点B1为点B关于直线的对称点，对于A，由根据B B1被x + y −3=0垂直平分求出
B1的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出
直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可.
【详解】如图所示：
由题意可知A ,B在x + y −3=0的同侧，设点B关于直线x + y −3=0的对称点为B1(a,b)，
A ,C ,B1三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”，
则¿，解得¿，即B1(1,−3)，
对于A，直线A B1的斜率为k = 4−(−3)
2−1
=7，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
y +3=7(x−1)，即7 x−10−y =0，故A 正确；
对于B，联立¿，解得¿，即将军在河边饮马的地点的坐标为(
13
8 , 11
8 )，故B 正确；
43
对于C，由C 选项分析可知点C(
13
8 , 11
8 )，直线CB的斜率为k =
2−11
8
6−13
8
= 1
7 ，所以直线CB的方程为
y −2= 1
7
(x−6)，即x−7 y +8=0，故C 错误；
对于D，|AC|+|CB|=|AC|+|C B1|=|A B1|=√1
2+7
2=5√2，即“将军饮马”走过的总路程为5√2，故D
错误.
故选：B.
变式4．（23-24 高二上·河南新乡·期中）√5 x
2−4 x +1+√5 x
2+ 4 x + 4的最小值为（ ）
A．√195
5
B．3
C．√205
5
D．2√2
【答案】C
【分析】根据题意将所求问题转化为y =2 x上一点P到A (0,1),B (−2,0)两点的距离之和的最小值，可求出
点B (−2,0)关于直线y =2 x的对称点为C(
6
5 ,−8
5)，可得答案.
【详解】因为√5 x
2−4 x +1+√5 x
2+ 4 x + 4 =√x
2+(2 x −1)
2+√(x +2)
2+(2 x)
2
表示直线y =2 x上一点P到A (0,1),B (−2,0)两点的距离之和．
设点B (−2,0)关于直线y =2 x的对称点为C (x , y)，所以¿，解得¿，
即C(
6
5 ,−8
5)，所以|PA|+|PB|=|PA|+|PC| ≥|AC|=√(0−6
5)
2
+(1+ 8
5)
2
= √205
5
，
即√5 x
2−4 x +1+√5 x
2+ 4 x + 4的最小值为√205
5
.
故选：C.
44
变式5．（23-24 高二上·河南信阳·期中）已知x + y +1=0，则√x
2+ y
2−2 x−2 y +2+√( x−3)
2+ y
2的
最小值是（ ）
A．√10
B．√13
C．√29
D．6
【答案】C
【分析】根据点点距离公式可将问题转化为x + y +1=0的动点P
′ (x , y)与点A (1,1)，B (3,0)的距离之和.根
据点关于直线的对称，即可结合三点共线求解最值.
【详解】设点P
' (x , y)为直线l：x + y +1=0的动点，
则√x
2+ y
2−2 x−2 y +2+√( x−3)
2+ y
2=√( x−1)
2+( y −1)
2+√( x−3)
2+( y −0)
2，
可看作P
′ (x , y)与点A (1,1)，B (3,0)的距离之和.
设A (1,1)关于直线l 的对称点为A
′ (a,b)，
则¿，解得a=−2,b=−2，
所以A
′ (−2,−2)，
则|P
′ A|+|P
′ B|=|P
′ A
′|+|P
′ B|≥|A
′ B|=√(−2−3)
2+(−2−0)
2=√29，当且仅当P
'与A
′ ,B共线时（即图
中位置P），取等号
即√x
2+ y
2−2 x −2 y +2+√( x −3)
2+ y
2的最小值是√29.
故选：C.
变式6 ．（22-23 高二上· 河北张家口· 期末）已知实数x ，y 满足x + y +1=0，则
√(x −1)
2+( y −1)
2+√(x −2)
2+ y
2的最小值为（ ）
A．√5
B．2√2
C．√10
D．2√5
【答案】D
【分析】由√(x −1)
2+( y −1)
2+√(x −2)
2+ y
2表示直线x + y +1=0上一动点P(x , y)到定点A (1,1),B (2,0)
45
的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】解：√(x−1)
2+( y −1)
2+√(x−2)
2+ y
2表示直线x + y +1=0上一动点P(x , y)到定点
A (1,1),B (2,0)的距离之和，如图所示：
设点A (1,1)关于直线x + y +1=0的对称点为A
′(x0, y0)，
则¿，解得¿，
所以对称点为A
′ (−2,2)，则|A
′ B|=√(−2−2)
2+(2−0)
2=2√5
由图知：√(x −1)
2+( y −1)
2+√(x −2)
2+ y
2的最小值为2√5，
故选：D
变式7．（23-24 高二上·江苏·单元测试）已知点A (−3,1)，点M , N分别是x 轴和直线2 x + y −5=0上
的两个动点，则|AM|+|MN|的最小值等于 ．
【答案】12√5
5
【分析】作A关于x轴的对称点A
′，由此将问题转化为“求|A
′ M|+|MN|的最小值”，然后判断出最小值
即为A
′到2 x + y −5=0的距离，代入公式可求结果.
【详解】如图，作点A (−3,1)关于x轴的对称点A
′ (−3,−1)，则|AM|+|MN|=|A
′ M|+|MN|，
此时最小值即为A
′ (−3,−1)到直线2 x + y −5=0的距离，即d =|−6−1−5|
√4+1
= 12√5
5
，
所以|AM|+|MN|的最小值为12√5
5
，
故答案为：12√5
5
.
46
【方法技巧与总结】
利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。
一、单选题
1．（23-24 高二下·全国·课后作业）三角形的三个顶点为A (2,−1),B (−1,3)，则AB的长为（ ）
A．3
B．5
C．9
D．25
【答案】B
【分析】根据两点间的距离公式，即可求得答案.
【详解】根据题意，利用两点间的距离公式，可得AB的长为|AB|=√(2+1)
2+(−1−3)
2=5，
故选：B
2．（23-24 高二上·广东深圳·期末）若直线l1: x +3 y +m=0(m>0)与直线l2: x +3 y −3=0间的距离为
√10，则m=（ ）
A．17
B．17
2
C．14
D．7
【答案】D
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】由题意，|m+3|
√1+9 =√10，解得m=7（m=−13舍去）.
故选：D.
3．（2023 高二上·全国·专题练习）若原点到直线ax +by +c =0的距离为1，则a，b，c 应满足的关系式
为（ ）
A．c
2=a
2+b
2
B．a
2=b
2+c
2
47
C．b
2=a
2+c
2
D．c =a+b
【答案】A
【分析】根据题意利用点到直线的距离公式分析求解.
【详解】原点O(0,0)到直线ax +by +c =0的距离为1，
则|a×0+b×0+c|
√a
2+b
2
=1，整理得c
2=a
2+b
2.
故选：A.
4．（22-23 高二上·江苏连云港·期中）已知点A (2,1)，点B 在直线x−y +3=0上，则|AB|的最小值为
（ ）
A．√5
B．√26
C．2√2
D．4
【答案】C
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】由于A (2,1)不在直线l: x−y +3=0上，所以当AB⊥l时，此时|AB|最小，
故|AB|min=d =|2−1+3|
√2
=2√2,
故选:C
5．（23-24 高二上·四川遂宁·期中）已知直线l：x−y =0，则点A (−1,4)关于l对称的点的坐标为
（ ）
A．(4,1)
B．(4 ,−1)
C．(−1,−4)
D．(1,4)
【答案】B
【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解.
【详解】设点A (−1,4)关于l对称的点为A
′ (a,b)，则¿，解得a= 4 ,b=−1，
故选：B
6．（23-24 高二上·广西玉林·期中）已知A (−2,4)，B (−4,6)两点到直线l:ax−y +1=0的距离相等，
则a的值为（ ）
A．−1或−4
3
B．3 或4
C．3
D．4
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，
48
|−2a−4+1|
√a
2+1
=|−4 a−6+1|
√a
2+1
，整理得|2a+3|=|4 a+5|，
即2a+3=±(4 a+5)，解得a=−1或a=−4
3 .
故选：A.
7．（23-24 高二下·全国·课堂例题）直线3 x−(k +2) y +k +5=0与直线kx +(2k −3) y +2=0相交，则
实数k的值为（ ）
A．k ≠1或k ≠9
B．k ≠1或k ≠−9
C．k ≠1且k ≠9
D．k ≠1且k ≠−9
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得.
【
详
解
】
由
直
线
3 x−(k +2) y +k +5=0与
直
线
kx +(2k −3) y +2=0相
交
，
得
3(2k −3)−k [−(k +2)]≠0，
即(k +9)(k −1)≠0，解得k ≠1且k ≠−9，
所以实数k 的值为k ≠1且k ≠−9.
故选：D
8．（23-24 高二上·广东湛江·期中）某地A ,B两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为A (0,0),B (−2,0)
，一条河所在直线的方程为x +2 y −5=0.若在河上建一座供水站P，则P到A ,B两点距离之和的最小值为
（ ）
A．4√2
B．32
C．4√3
D．48
【答案】A
【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.
【详解】
如图，设A关于直线x +2 y −5=0对称的点为A
′(a,b)，
则¿得¿即A
′ (2,4)，
49
易知|AP|=|A
′ P|，
当A
′ , P ,B三点共线时，
|PA|+|PB|=|P A
′|+|PB|取得最小值，
最小值为|A
′ B|= √(2+2)
2+(4−0)
2= 4√2.
故选：A
二、多选题
9．（23-24 高二下·广西·开学考试）若直线l1：y = 3
4 x +2，l2：3 x−4 y +8=0，l3：y = 3
4 x−1，l4：
y =−3
4 x +1，则（ ）
A．l1∥l2
B．l1与l3之间的距离为12
5
C．l2∥l3
D．l1与l4的倾斜角互补
【答案】BCD
【分析】根据直线方程判断直线的平行关系，可判定AC 的真假；根据平行线的距离公式，判断B 的真假；
根据倾斜角和斜率的关系，判断D 的真假.
【详解】由3 x−4 y +8=0，得y = 3
4 x +2，所以l1与l2重合，l2∥l3，A 错误，C 正确．
l1与l3之间的距离为
|2−(−1)|
√1
2+(
3
4)
2 = 12
5 ，B 正确．
因为l1与l4的斜率互为相反数，所以l1与l4的倾斜角互补，D 正确．
故选：BCD
10．（23-24 高二上·山西太原·期末）已知直线l1：2 x−y =0与l2：x + y −3=0交于点P，则下列说法
正确的是（ ）
A．点P到原点的距离为√5
B．点P到直线x−y −1=0的距离为1
C．不论实数m取何值，直线l3：(m+2) x−2 y −1=0都经过点P
D．(1,−1)是直线l2的一个方向向量的坐标
50
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出点P的坐标，再逐项计算、判断即得.
【详解】由¿，解得x =1, y =2，则点P(1,2)，
对于A，P(1,2)到原点距离√1
2+2
2=√5，A 正确；
对于B，P(1,2)到直线x−y −1=0的距离
|1−2−1|
√1
2+(−1)
2 =√2，B 错误；
对于C，(m+2)×1−2×2−1=m−3，当m≠3时，直线l3不过点P，C 错误；
对于D，直线l2的斜率k =−1，因此(1,−1)是直线l2的一个方向向量的坐标，D 正确.
故选：AD
11．（23-24 高二上·湖北十堰·期末）点A (2，7)，B (−2，3)到直线l:ax−2 y +a−1=0的距离相
等，则a的值可能为（ ）
A．－2
B．2
C．9
D．11
【答案】BD
【分析】分点A ,B在直线l的同侧或两侧进行讨论即可.
【详解】①若点A ,B在l的同侧，则直线AB //l，
即a
2 =
7−3
2−(−2)，解得a=2，
②若A ,B在l的两侧，则l经过线段AB的中点(0,5)，
即a×0−2×5+a−1=0⇒a=11，
故选：BD.
三、填空题
12．（24-25 高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，点P(x , y)在直线x +2 y −5=0
上，当OP最小时，P点的坐标为 .
【答案】(1,2)
【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得.
【详解】易知，当OP垂直于直线x +2 y −5=0时，OP取得最小值，
此时kOP=2，OP所在直线方程为y =2 x，
联立¿解得x =1, y =2，即P(1,2).
故答案为：(1,2)
51
13．（23-24 高二下·江西·阶段练习）平面直角坐标系中，任意两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，定义
d AB=√(x1−x2)
2+( y1−y2)
2为“A，B 两点间的距离”，定义||AB||=|x1−x2|+|y1−y2|为“A，B 两点间的
曼哈顿距离”，已知O(0,0)为坐标原点，P( x , y)( x ≥0, y ≤0)为平面直角坐标系中的动点，且||OP||=2
，则dOP的最小值为 .
【答案】√2
【分析】根据||OP||=2得出x−y =2，利用点到直线的距离可得答案.
【详解】设P(x , y)，则由||OP||=|x|+|y|=2，
因为x ≥0, y ≤0，所以x−y =2，
dOP的最小值为点O到线段的距离，
dOP的最小值为|−2|
√2
=√2.
故答案为：√2
14．（2024 高二上·全国·专题练习）已知直线l与直线2 x−3 y + 4 =0关于直线x =1对称，则直线l的方
程为 ．
【答案】2 x +3 y −8=0
【分析】利用直线对称的性质求得直线l的两点，从而利用点斜式即可得解.
【详解】直线2 x−3 y + 4 =0取两点(1,2),(−2,0)，
则它们关于x =1对称的点为(1,2),(4,0)在直线l上，
故直线l的斜率为0−2
4−1 =−2
3，
则直线l的方程为y −0=−2
3 ( x−4)，即2 x +3 y −8=0.
52
故答案为：2 x +3 y −8=0.
15．（23-24 高二上·甘肃白银·期末）已知实数x , y满足xsinα + y cosα =3，则x
2+ y
2的最小值为
.
【答案】9
【分析】利用两点距离公式的几何意义与点线距离公式即可得解.
【详解】因为x
2+ y
2表示点(x , y)到点(0,0)的距离的平方，
而√x
2+ y
2的最小值为点(0,0)到直线xsinα + y cosα =3的距离，即
|−3|
√cos
2α +sin
2α
=3，
所以x
2+ y
2的最小值为9.
故答案为：9.
16．（2023 高二上·全国·专题练习）已知x , y ∈R，S =√(x +1)
2+ y
2+√(x −1)
2+ y
2，则S 的最小值是
.
【答案】2
【分析】S =√(x +1)
2+ y
2+√(x−1)
2+ y
2表示点P( x , y)到点A(−1,0)与点B(1，0)的距离之和，利用数
形结合法求解.
【详解】S =√(x +1)
2+ y
2+√(x −1)
2+ y
2表示点P( x , y)到点A(−1,0)与点B(1，0)的距离之和，
即S =|PA|+|PB|，如图所示：
由图象知：S =|PA|+|PB|≥|AB|=2，
当点P在线段AB上时，等号成立.
所以S取得最小值为2.
53
故答案为：2.
四、解答题
17．（23-24 高二下·河北张家口·开学考试）已知直线l1：x +my +1=0和l2：2 x + y −1=0．
(1)若l1与l2互相垂直，求实数m的值；
(2)若l1与l2互相平行，求l1与l2间的距离．
【答案】(1)m=−2
(2)3√5
5
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出m的值；
（2）利用直线平行的充要条件求出m的值，进一步求出两平行线间的距离．
【详解】（1）直线l1: x +my +1=0和l2:2 x + y −1=0．
当直线l1与l2互相垂直，故2+m=0，
解得m=−2；故m=−2；
（2）当直线l1与l2互相平行，则m= 1
2，故直线l1的方程为2 x + y +2=0；
所以直线l1与l2间的距离d =|2−(−1)|
√1+2
2
= 3√5
5
．
18．（22-23 高二上·北京·期中）在平行四边形ABCD中，A (1,1),C (5,5)，边AB , AD所在直线的方程
分别为l1: x−3 y +2=0和l2:3 x−y −2=0．
(1)求BC边所在直线的方程和点A到直线BC的距离；
(2)求线段AC垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程．
【答案】(1)3 x−y −10=0, 4√10
5
；
(2)x + y −6=0；
(3)x−2 y =0和x + y −6=0．
【分析】
（1）直线BC 和直线AD 平行，据此求出BC 斜率，再根据BC 过C，根据直线点斜式方程即可求解，再根据
点到直线距离公式可求A 到直线BC 的距离；
54
（2）求出AC 的斜率并求出线段AC 中点坐标，根据点斜式方程即可求解；
（3）根据题意利用点斜式方程，表示出直线的横截距和纵截距，列方程即可求解．
【详解】（1）由BC // AD , AD的方程为l2:3 x−y −2=0，
可得直线BC的斜率为3，又经过点C (5,5)，
则直线BC的方程为y −5=3(x−5)，即3 x−y −10=0；
点A到直线BC的距离为|3−1−10|
√9+1
= 4√10
5
；
（2）由A (1,1),C (5,5)，可得AC的中点坐标为(3,3)，
又直线AC的斜率为5−1
5−1 =1，则线段AC垂直平分线斜率为−1，
则其所在的直线方程为y −3=−(x−3)，即为x + y −6=0；
（3）由¿，解得B (4,2)，
由题意可得所求直线的斜率k存在且不为0，
设所求直线的方程为y −2=k (x−4)，
今x =0，则y =2−4 k，
今y =0，则x = 4−2
k ，
由题意可得2−4 k = 4−2
k ，
解得k =−1和k = 1
2，
则所求直线方程为x−2 y =0和x + y −6=0．
19．（23-24 高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线l1:(t −1)x +2 y −t =0和l2: x +ty +t −4 =0.
(1)讨论直线l1与l2的位置关系；
(2)当直线l1与l2平行时，求它们之间的距离；当直线l1与l2相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应
t的取值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)平行时距离为9√2
4
，相交时最大夹角为90°．
【分析】（1）由两相交求得t的范围，再讨论平行与重合的情形即可；
（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为90°．
【详解】（1）t(t −1)−2≠0，t ≠2且t ≠−1时，两直线相交，
t =2时，两直线方程分别为x +2 y −2=0和x +2 y −2=0，两直线重合，
55
t =−1时，两直线方程分别为−2 x +2 y +1=0和x−y −5=0，两直线平行．
综上， t ≠2且t ≠−1时，两直线相交，t =2时，两直线重合，t =−1时，两直线平行．
（2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为−2 x +2 y +1=0和x−y −5=0即为2 x−2 y −1=0和
2 x−2 y −10=0，距离为d =|−10−(−1)|
√2
2+(−2)
2 = 9√2
4
，
两直线相交时，t ≠2且t ≠−1，
t ≠0时，l1的斜率为k1=−t −1
2
，l2的斜率为k2=−1
t ，
由−t −1
2
⋅(−1
t )=−1得t = 1
3，即t = 1
3时两直线垂直，夹角最大为90°．
