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1
【绝对值的几何意义的应用】题集【B】
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
1. 如图
、
、
、
分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且
，数对应的点在
与
之间（不与
，
重合），数对应的点在
与
之
间（不与
，
重合），若
，则原点是（ ）．
2. 如果
，那么代数式
在
的最小值
是 ．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
3. 已知点
、
在数轴上分别表示、，点
、
之间的距离为
．
数轴上与
这两数在数轴上所对的两点之间的距离为
．
找出所有符合条件的整数，使得
成立，这样的整数是 ．
对于任何有理数，
是否有最小值？如果有，求出最小值；如果没有，请说
明理由．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 点
、
在数轴上分别表示有理数、，
、
两点之间的距离表示为
，在数轴上
、
两点之间
的距离
．
回答下列问题：
数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和
的两点之间的距离
是 ．
数轴上表示和
的两点之间的距离表示为 ．
若表示一个有理数，则
有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说
明理由．
（1 ）
（2 ）
5. 一般地，数轴上表示数
和数的两点之间的距离等于
，如数轴上表示和的两点间的距离
是
；表示
和两点之间的距离是
．
根据以上材料，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
如果表示数和
的两点之间的距离是，那么
．
若数轴上表示数的点位于
和之间，那么
的值是 ．
当满足 时，
的值最小，最小值是 ．
2
（3 ）依照上述方法，求
的最小值．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 数轴点
、
所表示的数为
、，则：
、
两点间的距离是 ．
的最小值是 ，此时的取值范围为 ．
是否存在整数，使
？如果存在，写出所有整数
；如果不存在，说明理由．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
7. 阅读下面的材料，然后回答问题．
点
，
在数轴上分别表示有理数，，
，
两点之间的距离表示为．
当
，
两点中有一点在原点时，不妨设
在原点，
如图①所示，
．
当
，
两点都不在原点上时，如图②所示点
，
都在原点的右边，
．
如图③所示，点
，
都在原点的左边，
．
如图④所示，点
，
分别在原点的两侧，
．
综上，数轴上
，
两点之间的距离
．
数轴上表示和的两点之间的距离是 ．数轴上表示
和
的两点之间的距离
是 ．
数轴上表示和的两点
和
之间的距离是 ．若
，那么
．
当代数式
取最小值时，这相应的的所有整数值为 ．
8. 阅读下面材料：
点
、
在数轴上分别表示实数、，
、
两点之间的距离表示为
．
当
、
两点中有一点在原点时，不妨设点
在原点，
如图甲，
；
当
、
两点都不在原点时，
①如图乙，点
、
都在原点的右边，
；
②如图丙，点
、
都在原点的左边，
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
；
③如图丁，点
、
在原点的两边，
．
综上，数轴上
、
两点之间的距离
．
回答下列问题：
数轴上表示
和
的两点之间的距离是__________．
数轴上表示和
的两点分别是点
和
，如果
，那么
__________．
当代数式
取最小值时，相应的的取值范围是__________．
当代数式
取最大值时，相应的的取值范围是__________．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
9. 如图，在数轴上两点
和
分别代表和，则
、
两点间的距离
，例如数轴上表示
和
的两点间的距离为
．
利用以上结论回答下列问题：
为了解方程
，可以考虑
的几何意义，即数轴上表示数的点
与表示
的点之间的距离，因此原方程等价于求到表示
的点的距离为的点所表示的数，
可求
．
的最小值为 ．
已知、满足
，则
的最大值为 ，最小
值为 ．
完成这道题你是否体会到我国著名数学家华罗庚曾说的：“数缺形时少直观，形少数时难入
微，数形结合百般好，隔离分家万事休”呢？
数和形是数学的两个主要研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形
之间可以相互转化、相互渗透．数形结合的数学思想就是在研究问题的过程中注重把数和形
结合起来考察，从而把复杂问题简单化，把抽象问题具体化，合理利用数轴研究代数问题就
是一个很好的数形结合的例子．
10. 我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数）的距离，
的绝对值表示为
，也可以写成
，比如
．在数轴上表示两个数，的点
之间的距离可以表示为
，比如，表示的点与表示
的点之间的距离表示为
．
即为表示的点与表示的点之间的距离跟表示的点与
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
表示
的点之间的距离的和，根据图示易知：当表示的点的位置在点
和点
之间（包含点
和点
）时，表示的点与点
的距离跟表示的点和点
的距离之和最小，且最小值为，即
的最小值是，且此时的取值范围为
．
请根据以上阅读，解答下列问题：
的最小值是 ，此时的取值范围是 ．
的最小值是 ，此时的值为 ．
当
的最小值是
时，求出的值及的范围．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
11. 距离能够产生美．
唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．”
当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便
无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚．”
距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．
已知点
，
在数轴上分别表示有理数，，
，
两点之间的距离表示为
．
（1）当
，
两点中有一点在原点时，不妨设点
在原点，如图，
；
（
）
图
（2）当
，
两点都不在原点时，
①如图，点
，
都在原点的右边，
；
图
②如图，点
，
都在原点的左边，
；
图
③如图，点
，
在原点的两边，
．
图
综上，数轴上
，
两点的距离
．
利用上述结论，回答以下三个问题.
若数轴上表示和
的两点之间的距离是，则
．
若代数式
取最小值，则的取值范围是 ．
5
若未知数，满足
，则代数式
的最大值
是 ，最小值是 ．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
12. 小聪和小敏在研究绝对值的问题时，遇到了这样一道题：
当式子
取最小值时，应满足的条件是 ，此时的最小值是 ．
小聪说：利用数轴求线段的长可以解决这个问题．如图，点
、
对应的数分别为
、，则线段
的长为，我发现也可通过
或
来求线段
的长，即数轴上两点间的线段的长
等于它们所对应的两数差的绝对值．
小敏说：我明白了，若点
在数轴上对应的数为，线段
的长就可表示为
，那么
表示的是线段 的长．
小聪说：对，求式子
的最小值就转化为数轴上求线段
长的最小值，而点
在线段
上时
最小，最小值为．
小敏说：点
在线段
上，即取
、之间的有理数（包括
、），因此相应的取值范围可表
示为
时，最小值为．
请你根据他们的方法解决下面的问题：
小敏说的
表示的是线段 的长．
当式子
取最小值时，应满足的条件是 ．
当式子
取最小值时，应满足的条件是 ．
当式子
取最小值时，应满足的条件
是 ，此时的最小值是 ．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
13. 观察下列每对数在数轴上对应点间的距离：与
，与，
与
，
与．如：与
对应点
间的距离是
；与对应点间的距离是
．
回答下列问题：
若数轴上
、
两点分别表示有理数、，则
、
两点间的距离是多少？（用含、的式子
表示）
若数轴上的点
表示的数为，点
表示的数为
，则
与
两点间的距离可以表示
为 ．
结合数轴可得
的最小值为 ．
若关于的方程
无解，则的取值范围是 ．
14. 利用绝对值的几何意义完成下题：
已知
，利用绝对值的几何意义可得
；
若
，利用绝对值的几何意义可得
或
．
6
已知
，利用绝对值在数轴上的几何意义得
．
利用绝对值的几何意义求
的最小值 ．
的最小值为 ．
的最小值 ．
的最小值 ．
归纳：
若
，当 时，
取得最小值．
若
，当满足 时，
取得最小值．
选做
1. 试求
的最小值．
2. 设
、
、
、
、
、
是六个不同的正整数，取值于、、、、、，记
，求的最小值．
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
3. 解下列方程：
．
．
．
．
