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1
【新定义及定义新运算】题集【A】
A.
B.
C. 不确定
D.
或
1.
【解析】
【标注】
对于整数，，，，规定符号
，已知
，则
的值为（ ）．
【答案】D
根据题意得
，
∴
．
∵，是整数，
∴
，
或
，
，
∴
或
．
【知识点】定义新运算
（1 ）
（2 ）
2.
（1 ）
方法一：
方法二：
（2 ）
【解析】
【标注】
古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意
到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：
．
请将
写成两个埃及分数的和的形式 ．
若真分数
可以写成两个埃及分数和的形式，请写出两个不同的取值 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
或
（答案不唯一）
∵只使用分子是的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，
∴
，
故答案为：
．
∵
，
，
∴
或
．
，
∴
或
或
或
或
，
故答案为：
或
（只要符合题意即可）．
【知识点】新定义综合其它
2
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
对非负有理数数“四舍五入”到个位的值记为
．例如：
，
，
，
解决下列问题：
（为圆周率）．
如果
，则有理数有最 （填大或小）值，这个值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）小 ;
．
如果
，则有理数有最小值，
，
，
．
【知识点】新定义综合其它
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4.
（1 ）
【解析】
观察下列两个等式：
，
，给出定义如下：
我们称使等式
成立的一对有理数、为“共生有理数对”，记为
，如：数对
，
，都是“共生有理数对”．
判断数对
，
中“共生有理数对”为 ．
请再写出一对符合条件的“共生有理数对”为 （注意：不能与题目中已有的“共生有
理数对”重复）．
若
是“共生有理数对”，则
“共生有理数对”（填“是”或“不
是”），并说明理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
（答案不唯一）
是
，
，
，
∴（
，）不是“共生有理数对”．
，
，
∴（，
）是“共生有理数对”．
3
（2 ）
（3 ）
【标注】
．
若（
，）是“共生有理数对”，
则
，
则
，
，
∵
，
∴
，
∴（
，
）是“共生有理数对”．
【知识点】新定义综合其它
5.
【解析】
【标注】
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是
互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数，，，，就可以构成一个集
合，记为
．
类比有理数有加法运算，集合也可以“相加”．
定义：集合
与集合
中的所有元素组成的集合称为集合
与集合
的和，记为
．若
，
，则
．
【答案】
∵
，
，
∴
．
【知识点】定义新运算
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（1 ）
（2 ）
（3 ）
6. 一般情况下，
不成立，但有些数可以使得它成立，例如：
．我们称使得
成立的一对数，为“相伴数对”，记为
．
若
是“相伴数对”，求的值．
写出一个“相伴数对”
，其中
且
．
若
是“相伴数对”，求代数式
的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
（答案不唯一）．
4
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
（3 ）．
∵
是相伴数对，
∴
，
∴
．
答案不唯一，只要满足
即可.
，
∴
，
∴
，
，
，
原式
．
【知识点】与方程有关的新定义
（1 ）
（2 ）
7.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
阅读材料：规定一种新的运算：
．例如：
．
按照这个规定，请你计算
的值．
按照这个规定，当
时求的值．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
．
由
得：
，
解得
．
【知识点】与方程有关的新定义
8.
5
A.
B.
C.
D.
【解析】
【标注】
为有理数，定义运算符号：当
时，
，当
时，
，当
时，
，根据这种运算，则
的值为（ ）．
【答案】A
由题意，得:
．
【知识点】定义新运算
9.
【解析】
【标注】
规定一种运算：＊
，计算＊
的值是 ．
【答案】
由题意得：＊
．
【知识点】定义新运算
10.
【解析】
【标注】
用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数，都有
，则
．
【答案】
∵
，
∴
．
【知识点】定义新运算
☆
☆
☆
☆
11. 定义运算※：对于两个有理数，有※
，例如：※
，则
※
※
．
【答案】
6
【解析】
【标注】
※
※
※
※
．
【知识点】定义新运算
12.
【解析】
【标注】
已知
，且
，求
的值．
【答案】
．
，
∴
，
∴
．
【知识点】定义新运算
（1 ）
（2 ）
13.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
对于有理数，，定义一种新运算“
”，规定
．
例如：
．
计算
的值．
当，在数轴上的位置如图所示，化简
．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
．
由题意可得：
．
由数轴得：
，
，
，
∴
．
【知识点】新定义综合其它
