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1
【新定义及定义新运算】题集【B】
A.
B.
C.
D.
1.
【解析】
【标注】
定义一种对正整数的“
运算”：①当为奇数时，结果为
．②当为偶数时，结果为
（其中是使
为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，
时，其“
运算”如下：
第次
第次
第次
若
，则第
次“
运算”的结果是（ ）．
【答案】D
若
，
第次结果为
，
第次结果为
，
第次结果为
，
第次结果为
，
第次结果为
，
第次结果为
，
第次结果为
，
，
可以看出从第次开始结果值有，轮流出现，
且当次数为奇数时，结果是，
∴第
次“
运算”的结果是．
【知识点】数列找规律-具有周期规律的数列
2.
【解析】
为正数.
表示不超过的质数的个数，如
，即不超过
的质数有、、，共个那么
的值是 ．
【答案】
，
，
，
，
原式
2
【标注】【知识点】定义新运算
（1 ）
（2 ）
3.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
我们规定两个实数，之间的一种运算，记作（，）：如果
，那么（，）
．例如：∵
，∴（，）
．又如对任意自然数，可以证明（
，
）
（，）．
证明如下：设（
，
）
，则
，∴
，故
，即（，）
．
∴（
，
）
（，）．
根据以上规定可求出：（，
）
，（，）
．
说明等式（，）+（，）
（，
）成立的理由．
【答案】（1 ）
（2 ）
;
证明见解析．
，
∴（，
）
．
，
∴（，）
．
故答案为，．
设（，）
，（，）
，
∵
，
，
∴
．
∴
．
∴（，
）
．
∴（，）
（，）
（，
）．
【知识点】定义新运算
（1 ）
（2 ）
（3 ）
4. 观察下列两个等式：
，
，给出定义如下：
我们称使等式
成立的一对有理数，为“方和有理数对”，记为
，如：数对
，
，都是“方和有理数对”．
数对
，
中是“方和有理数对”的是 ．
请你再写出一对符合条件的“方和有理数对”为 ．（注意：不能与题目中已有的“方
和有理数对”重复）
若
是“方和有理数对”，求
的值．
3
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
．
∵
，
当
，
时，
，
，
∴
，
∴
不是方和有理数对，
当
，
时，
，
，
∴
，
∴
是方和有理数对．
满足
即可，如
．
∵
是方和有理数对，
∴
，
∴
，
，
∵
．
【知识点】有理数四则混合运算
5.
【解析】
定义新运算如下：当
时，
，当
时，
；则
，若
，则
．
【答案】
;
∵
，∴
；
若
，则
，解得
，符合；
4
【标注】
若
，则
，解得
，与前提不符，
∴
．
【知识点】新定义综合其它
（1 ）
（2 ）
6.
（1 ）
（2 ）
【解析】
【标注】
对于有理数，，我们规定
．
计算
．
若有理数满足
，则的值为 ．
【答案】（1 ）
（2 ）
．
，
∵
，
∴
，
∴
．
【知识点】与方程有关的新定义
7.
【解析】
【标注】
定义新运算“※”：对于任意有理数、，都有※
．
例如※
，那么当
为有理数时，
※
※
．
【答案】
※
※
※
．
【知识点】定义新运算
8. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆=
例如：
☆
．
（）计算：
☆
．
（）从
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，，，，，，，，
，中任选两个有理数，
的值，并计算☆，那么所有运算结果中的最大值是 ．
【答案】
;
5
【解析】
【标注】
（）根据题意
☆
．
（）当
时，☆
，∴运算结果中的最大值是
．
当
时，☆
，∴运算结果中的最大值是
．
【知识点】新定义综合其它
9.
【解析】
【标注】
定义新运算：用符号“*”定义一种新运算：对于有理数、
，有
，已知
，求的值．
【答案】
．
∵
，
∴
，
，
，
，
∴
．
【知识点】定义新运算
（1 ）
（2 ）
（3 ）
10. 探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
*
，
*
，
*
，
*
，
*
*
，
*
*
，
*
．
归纳*运算的法则（用文字语言叙述）：
两数进行*运算时， ．
特别地，和任何数进行*运算，或任何数和进行*运算， ．
计算：
*
*
．
是否存在有理数
，，使得
*
，若存在，求出
，的值，若不存在，请
说明理由．
6
（1 ）
（2 ）
（3 ）
【解析】
【标注】
【答案】（1 ）
（2 ）
（3 ）
同号得正，异号得负，并把两数的平方相加 ; 等于这个数的平方
存在，
，
．
由题意可得：两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．
和任何数进行*运算，或任何数和进行*运算，等于这个数的平方．
*
*
*
，
*
．
∵
*
，
∴
，
∴
，
，
解得
，
，
即
，
即为所求．
【知识点】新定义综合其它
