文档文本内容
平面向量单元检测卷
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的
黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码
区”．
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡
皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的
对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无
效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．
1.
在
中，
为边
的中点，
为
的中点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量
【分析】利用平面向量的线性运算表示相关向量进行求解即可.
【详解】因为
为边
的中点，所以
，
又因为
为
的中点，
所以
.
故选：
2.
已知
，
，则与
方向相同的单位向量是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】零向量与单位向量、用坐标表示平面向量、利用坐标求向量的模
【分析】先根据坐标求出
，再求出
，最后利用单位向量的公式求解．
【详解】
，
，
,
的单位向量为
，故C 正确．
故选：C．
3.
已知平面向量
，
，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】根据平面向量共线的条件建立关系式，求
的值.
【详解】因为
，所以
，
解得
.
故选：A
4.
已知
是两个不共线的向量，
，若A，B，C 三点共线，则实
数k 的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】A
【知识点】已知向量共线（平行）求参数
【分析】由三点共线可得
，由此可得构造方程组求得结果.
【详解】
三点共线，
可设
，
即
，
，解得：
.
故选：
.
5.
已知
中，
是
边上靠近
的三等分点，过点
的直线分别交直线
于不同
的两点
，设
，其中
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论、平面向量基本定理
的应用
【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得
，然后利用代
换，结合基本不等式即可求得最小值.
【详解】
由
是
边上靠近
的三等分点，
可得：
，
又因为
，所以
，
又因为
三点共线，所以
又因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取得等号，
所以
的最小值为
，
故选：C
6.
窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形
窗花隔断，图
是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图
，若正八边形
的边长为
，
是正八边形
八条边上的动点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【知识点】向量与几何最值、用定义求向量的数量积
【分析】设
夹角为
，分析可得，当
，则
，当
时
，以
为原点，
、
分别为
轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐
标，分别计算
在线段
（除
）上、
在线段
上运动和
在线段
（除
）上运
动时，
的表达式，求出其范围，综合考虑即得答案.
【详解】设
的夹角为
，
当
与
重合时，
；
当
在线段
（除
）、线段
、线段
，线段
，线段
（除
）点上运动时，
，所以
，
当
与
重合时，
，所以
，
以
为原点，
、
分别为
轴建立平面直角坐标系，
根据正八边形的性质可知
，G 到AF 的距离为
，
则
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，直线
的方程为
，
当
在线段
（除
）上运动时，设
，
所以
，
当
在线段
上运动时，设
，
所以
，
当
在线段
（除
）上运动时，设
，
所以
.
综上所述，
的最小值为
.
故选：C
7.
起点重合，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【知识点】向量与几何最值、垂直关系的向量表示、已知数量积求模、数量积的运算律
【分析】根据数量积公式，可得
，根据求模公式，可得
，根据题意，
化简可得
，根据
，结合一元二次不等式的解法，
即可得答案.
【详解】由题意
，
，则
，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
整理得
且
（恒成立），
解得
，即
的最大值为
.
故选：D
8.
奔驰定理：已知
是
内的一点，若
、
、
的面积分别记为
、
、
，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，
已知
是
的内心，AB=8，且满足
，设△ABC 的内切圆半径为
，外接圆半径为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】向量新定义、用向量解决线段的长度问题、三角形的心的向量表示、正弦定理
求外接圆半径
【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解.
【详解】由奔驰定理
.
结合已知
，得
.
因为
是内心(到各边距离为内切圆半径 )，
所以
，
，
，
因此边长
.
，
，半周长
，
由海伦公式，
，
又
，
，
由余弦定理，
，
代入正弦定理:
，
.
故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0 分．
9.
已知平面向量
，
，，下列说法正确的有（ ）
A．若
，
，则
B．
C．
D．若
且
，
，则
与
垂直
【答案】CD
【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析、向量加法的法则、平行向量
（共线向量）
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据数量积的定义以及向量数乘分析判断；
对于C：根据向量模长的三角不等式分析判断；对于D：根据数量积的运算律结合向量垂
直分析判断.
【详解】对于选项A：当
时，满足
，
，但
不一定成立，故A 错误；
对于选项B：因为
是实数，可知
表示与共线的向量；
同理
表示与
共线的向量，所以等式不一定相等，故B 错误；
对于选项C：因为
，故C 正确；
对于选项D：因为
，则
，
即
，整理可得
，
即
，所以
与
垂直，故D 正确；
故选：CD.
10. 已知向量
，且
在
方向的投影向量为，则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【知识点】由向量共线（平行）求参数、求投影向量
【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解
后可判断正误；对于B， 由向量垂直
的坐标形式求解
后可判断正误；对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误.
【详解】对于A，因为
，故
，故
，故A 错误；
对于B，因为
，故
，整理得
，
故
，故
，故B 正确；
对于C，由题意有
在
方向的投影向量为
，
因为
，所以
，
因为
，
，所以
，
得
，故C 正确；
对于D，由C 的分析可得
，故
，故D 成立.
故选：BCD
11.
已知向量
满足
，且对任意的实数t，
恒成立，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
在
上的投影向量为
D．当
取最小值时，
【答案】ABD
【知识点】求投影向量、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、已知数量积求模、数
量积的运算律
【分析】先由不等式恒成立结合向量模长公式得到一个一元二次不等式恒成立，解该不等
式恒成立问题得到
，接着由向量模公式、数量积运算律和投影向量公式逐项计算即
可判断ABC；由模公式计算D 选项得到代数式
，利用其几何意义数形结合分析计算即可
求解判断D.
【详解】由题可得
恒成立，
即
，
所以
，
所以
，
所以
，故A 正确；
，故B 正确；
在
上的投影向量为
，故C 错误；
，
表示动点
到两定点
距离和的2 倍，如图，
关于x 轴对称的点为
，则
，
所以由图可知当
三点共线时，动点
到两定点
距离和的2
倍取得最小值，
此时
，
所以当
取最小值时，
，D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 已知
，
，若
，则
.
【答案】2
【知识点】由向量共线（平行）求参数
【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】因为
，所以
，即
，解得
.
故答案为：2.
13. 若平面向量
，
，均为单位向量，且
，则
与的夹角为 ．
【答案】
【知识点】零向量与单位向量、数量积的运算律、向量夹角的计算
【分析】对
进行平方求出
的值，再利用向量的数量积公式求解即可.
【详解】由
可得，
，即
，
因为
，
，均为单位向量，所以
，
所以
，即
.
设
与的夹角为
，
则
，所以
.
故答案为：
14. 三个非零向量
、
、满足
，且
，则当
取得最大值时，
．
【答案】
【知识点】切线长、数量积的运算律
【分析】设
，
，
，
，设
，由
得
到点
在以
为直径的圆上，计算
，求
就是
，此时
与
圆相切，结合图形得到
.
【详解】设
，
，
，
，
设
，
，
点
在以
为直径的圆上，
以
所在直线为
轴，
的中垂线为
轴建立直角坐标系，
，
，则
，此时
与圆相切，此时如图
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 已知单位向量
与
的夹角为
．
(1)求
；
(2)求向量
与
的夹角的余弦值；
(3)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】向量夹角的计算、已知数量积求模、已知向量共线（平行）求参数
【分析】（1）根据向量数量积公式，代入向量模的公式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，代入向量的夹角公式，即可求解；
（3）代入向量平行公式，利用待定系数法 ，即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
，
；
（3）因为
，所以
所以
，解得
．
16. 如图，扇形
所在圆的半径为1，
，
为弧
的中点，动点
分别在线
段
，
上运动（包含端点），且总有
，设
.
(1)若
，用
表示
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、用基底表示向量、向量减法法则的
几何应用
【分析】（1）根据向量的线性运算法则，可求出
，又
，根据条件，
代入计算，即可得答案.
（2）设
，则
，根据线性运算法则，可得
、
表达式，根据数量积公式，可得
的值，代入所求，化简整理，结合二次函数
的性质，即可得答案.
【详解】（1）连接AC、BC，如图所示，因为
，所以
，
所以
均为等边三角形，
所以四边形
为菱形.
所以
，
因为
， 所以
.
（2）设
，则
，
所以
，
，
因为扇形
所在圆的半径为1，
，
所以
，
所以
，
因为
，所以当
时，
取得最小值
，
当
或1 时，取得最大值
，
所以
的取值范围为
.
17. 如图，
中，
，
，
，
，N 为
的中点，设
，
与
相交于点
.
(1)用
，
表示
、
；
(2)若
，求
的值；
(3)求
.
【答案】(1)
，
；
(2)
；
(3)
【知识点】平面向量共线定理的推论、向量夹角的计算、用基底表示向量、已知向量共线
（平行）求参数
【分析】（1）利用向量基本定理得到
，
；
（2）表达出
，根据
三点共线，得到
，求出
；
（3）在（1）基础上，得到
，
，
，利用夹角余弦公
式进行求解.
【详解】（1）N 为
的中点，故
，
，
故
；
（2）
，
因为
三点共线，设
，即
，
，故
，
，
所以
，解得
；
（3）由（1）知，
，
，
又
，
，
，故
，
，
，
，
则
.
18. 如图所示，
是
的一条中线，点
满足
，过点
的直线分别与射线
，
射线
交于
两点．
(1)用
和
表示
；
(2)设
，实数
，求
的值；
(3)如果
是边长为
的等边三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】平面向量共线定理的推论、数量积的运算律、用基底表示向量
【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出
、
关于
的表达式；
（2）由
、
、
三点共线并结合系数和为1 的结论即可求解；
（3）由向量数量积的运算律求出
的表达式，利用基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因
，所以
，又因
为
的中点，所以
，
所以
．
（2）因
，所以
，
又因
，所以
，
又因
三点共线，所以
，即
．
（3）设
，由（1）（2）可知
，
即
．
因
，
，
所以
，
又因
是边长为
的等边三角形，所以
，
所以化简得
，
令
，因
，即
，
当且仅当
时，等号成立，所以
．
因此
，
又因为
，所以
，
所以
．
19. 在
中，角
的对边分别为
，
，，点
，
，
分别位于
，
，
所在直线上，满足
，
，
（
，
，
）．
(1)如图1，若三角形
是边长为3 的正三角形，且
，求
；
(2)如图2，若
，
，
交于一点
，
①求
的值，②若
，
，
，
，求
．
【答案】(1)
(2)
1
①；②
【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量共线定理的推论、已知向量共线（平
行）求参数、余弦定理解三角形
【分析】（1）根据平面向量共线定理用两种方法分别表示出
，再根据平面向量基本定
理列出方程组，求解即可；
（2）①把
的面积分别表示成两个三角形面积的差，进而求出面积的比
，同理求出
的值，相乘即可；②通过做平行线，利用三角形全等及相
似得到
及
的值，在
和
中分别用余弦定理建立等式，
求出
的长，进而求出
及
，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）设
，则
，因为
，
，
所以
，
由图可知
三点共线，所以令
，
所以
，解得
，所以
.
（2）①
如图，过点
作
于点
，过
作
于点
，
因为
，
同理
，
所以
，
，
所以
，同理可证，
，
，
因为
，
，
，
所以由图可知
，
所以
.
②
如图所示，过点
作
交
于点
，过
作
交
于点
，
由
，
，可得
，
所以
，所以
，
由
，
，可得
，且
，
所以
，
，即
，
设
，则由余弦定理可得，
，
即
，解得
，
所以
，
故
，
所以
.
