第36 讲双曲线、抛物线的定义、方程与几何性质
（知识清单+12 典例精讲+方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
双曲线的定义、标准方程、弦长公式、中点弦问题
单选/填空题
5 分
双曲线的焦点、焦距
单选题
5 分
双曲线的范围、对称性
单选/多选题
5 分/6 分
双曲线的定义、焦点三角形、离心率
单选题
5 分
抛物线的定义、准线、切线、几何性质综合
解答题
12 分
抛物线的标准方程、顶点、开口方向
单选/填空题
5 分
【知识点01】双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做
双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括
端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
【例1】已知双曲线的两焦点为 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上任意一点 P 满足 || P F1|-| P F2||=8，判断该
轨迹是否为双曲线，并说明理由。
解析：第一步：计算焦距
由焦点坐标可得：| F1 F2|=|5-(-5)|=10，即 2c =10。
第二步：对比双曲线定义条件
由题意得：2a=8，可得 0<8<10，满足 0<2a<2c。
第三步：结论判定
满足双曲线的定义条件，因此点 P 的轨迹是以 F1, F2 为焦点的双曲线。
最终结论：该轨迹为双曲线。
【知识点02】双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)
y
2
a
2 －x
2
b
2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a 或x≥a，y∈R
y≤－a 或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴
长：a，虚半轴长：b
渐近线
y＝±b
ax
y＝±a
bx
离心率
e＝c
a∈(1，＋∞)
a，b，c 的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
【例2】已知双曲线焦点在 x 轴上，焦距为 10，且 a=3，求该双曲线的标准方程、渐近线方程及离心率。
解析：第一步：求参数 c
由焦距 2c =10，得 c =5。
第二步：求参数 b
由双曲线参数关系 c
2=a
2+b
2，代入数据：
b
2=c
2-a
2=5
2-3
2=25-9=16
第三步：写标准方程
焦点在 x 轴上，故标准方程：
x
2
9 - y
2
16 =1
第四步：求渐近线方程
y =± b
a x =± 4
3 x
第五步：求离心率
e = c
a = 5
3
最终结论：标准方程 x
2
9 - y
2
16 =1，渐近线 y =± 4
3 x，离心率 e = 5
3。
【知识点03】抛物线的概念
把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，
直线l 叫做抛物线的准线.
注意：定点F 不在定直线l 上，否则动点M 的轨迹不是抛物线，而是过点F 且垂直于直线l 的一条直线.
【例3】已知动点 P( x , y) 到定点 F(1,0) 的距离等于它到定直线 x =-1 的距离，求证：动点 P 的轨迹为抛物
线。
解析：第一步：根据距离公式列等式
点 P( x , y) 到 F(1,0) 的距离：| PF |=
❑√( x -1)
2+ y
2
点 P( x , y) 到直线 x =-1 的距离：d =| x +1|
由题意 | PF |=d，得：
❑√( x -1)
2+ y
2=| x +1|
第二步：化简等式
两边平方：( x -1)
2+ y
2=( x +1)
2
展开整理：x
2-2 x +1+ y
2= x
2+2 x +1
化简得：y
2= 4 x
第三步：轨迹判定
定点 F(1,0) 不在定直线 x =-1 上，满足抛物线定义。
最终结论：动点 P 的轨迹是焦点为 (1,0)，准线为 x =-1 的抛物线。
【知识点04】抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦点
(
p
2 ，0)
(- p
2 ，0)
(0，p
2)
(0，- p
2)
准线方程
x＝－p
2
x＝p
2
y＝－p
2
y＝p
2
对称轴
x 轴
y 轴
顶点
(0，0)
离心率
e＝1
【例4】已知抛物线的焦点为 (0,2)，求该抛物线的标准方程、准线方程及通径长。
解析：第一步：判断抛物线开口方向
焦点在 y 轴正半轴，抛物线开口向上，对应标准方程：x
2=2 py( p>0)。
第二步：求参数p
由焦点坐标 (0, p
2 )=(0,2)，得 p
2 =2，解得p= 4。
第三步：写标准方程与准线方程
标准方程：x
2=8 y
准线方程：y =- p
2 =-2
第四步：求通径长
通径长：2 p=8
最终结论：标准方程 x
2=8 y，准线方程 y =-2，通径长为 8。
【题型一】双曲线定义的理解
【例1】（2026·广东江门·一模）已知双曲线x
2
a
2 - y
2
7 =1的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，
且|M F1|=5，则|M F2|=（ ）
A．1
B．8
C．9
D．11
【答案】D
【详解】∵双曲线x
2
a
2 - y
2
7 =1的焦距为8，
∴2c =8，解得c = 4，
∵c
2=a
2+b
2,b
2=7，
∴a
2= 4
2-7 =9，
∴a=3，
由双曲线的定义：||M F1|-|M F2||=2a=6，
∵|M F1|=5，
∴|5-|M F2||=6，得|M F2|=11或|M F2|=-1（舍去），
∴|M F2|=11．
【变式1】（2026·吉林·模拟预测）双曲线x
2
9 - y
2
16 =1上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点
的距离等于（ ）
A．1
B．2
C．11
D．1 或11
【答案】C
【分析】通过双曲线方程求出a，设双曲线两个焦点为F1, F2，则||P F2|-|P F1||=||P F2|-5|=2a=6，再解方程即可．
【详解】双曲线的标准方程是x
2
9 - y
2
16 =1，
∴a=3，设双曲线两个焦点为F1, F2，|P F1|=5,
∴||P F2|-|P F1||=||P F2|-5|=2a=6，
解得|P F2|=11或|P F2|=-1（舍去），
即点P与另一个焦点的距离等于11．
故选：C．
【变式2】已知点M为双曲线C ：x
2
4 - y
2
5 =1的左支上一点，F1, F2分别为C的左，右焦点，则
|M F1|+|F1 F2|-|M F2|=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可得|M F2|-|M F1|=2a，即可求解.
【详解】由于M为双曲线C ：x
2
4 - y
2
5 =1的左支上一点，F1, F2分别为C的左，右焦点，
所以|M F2|-|M F1|=2a，故|M F1|+|F1 F2|-|M F2|=2c -2a，
由于a=2,b= ❑√5,c =
❑√a
2+b
2=3，
所以|M F1|+|F1 F2|-|M F2|=2c -2a=6- 4 =2，
故选：A
【变式3】（2024·广西·二模）已知F1, F2分别是双曲线E: x
2
4 - y
2
12 =1的左右焦点，
､
M是E的左支上一点，过F2作
∠F1 M F2角平分线的垂线，垂足为N ,O为坐标原点，则|ON|=______.
【答案】2
【分析】根据双曲线的定义求解．
【详解】双曲线x
2
4 - y
2
12 =1的实半轴长为a=2，
延长F2 N交直线M F1于点H，由题意有|MH|=|M F2|，|NH|=|N F2|，
又O是F1 F2中点，所以|ON|= 1
2|F1 H|= 1
2 (|MH|-|M F1|)= 1
2 (|M F2|-|M F1|)=a=2，
故答案为：2.
【题型二】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
【例2】（2025·四川成都·模拟预测）已知P是双曲线x
2
a
2 - y
2
3 =1（a>0）上的点，该双曲线的两个焦点分别为F1与
F2，且|P F1|=3，|F1 F2|= 4，则△P F1 F2的面积是（ ）
A．6
B．10
C．12
D．20
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义和已知条件求出|P F2|，再判断△P F1 F2的形状，进而求出其面积.
【详解】根据|F1 F2|= 4可知，双曲线的半焦距c =2，由c
2=a
2+3（a>0），得a=1.
根据双曲线的定义，||P F1|-|P F2||=2a=2，即||P F2|-3|=2，可得|P F2|=5或|P F2|=1.
当|P F2|=1时，点P在x轴上，不符合题意，
当|P F2|=5，由于|P F1|=3，|F1 F2|= 4，
可知△P F1 F2是直角三角形，边P F2为斜边，
∴△P F1 F2的面积S = 1
2|P F1|⋅|F1 F2|= 1
2 ×3×4 =6，
故选：A.
【变式1】（2025·河南开封·二模）已知双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，圆O经过直线x =±a，y =±b的四个交点，
且圆O与C在第一象限交于点P，与x轴分别交于点E , F，则△PEF的面积为（ ）
A．a
2
B．b
2
C．a
2+b
2
D．a
2-b
2
【答案】B
【分析】根据题意判断圆心位置，求得半径，判断点E , F即双曲线的左右两焦点，利用双曲线的定义与勾股定理，建
立方程组，求得| PE|⋅| PF |，即可求△PEF的面积.
【详解】设双曲线的半焦距为c，由题意，圆O的圆心在坐标原点，半径r =
❑√a
2+b
2=c，
点E , F即双曲线的左右两焦点，故有| PE|-| PF |=2a①，
且因EF为圆的直径，可得PE⊥PF，则有| PE|
2+| PF |
2= 4 c
2②，
将①式两边取平方，(| PE|-| PF |)
2=| PE|
2+| PF |
2-2| PE|⋅| PF |= 4 c
2-2| PE|⋅| PF |= 4 a
2，
解得| PE|⋅| PF |= 4 c
2- 4 a
2
2
=2b
2，故△PEF的面积为1
2 | PE|⋅| PF |=b
2.
故选：B.
【变式2】（2026·江苏·三模）已知双曲线C : x
2- y
2
3 =1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上一点，
P F2⊥F1 F2，则|P F1|=_____．
【答案】5
【分析】根据双曲线的定义及勾股定理即可求解．
【详解】由题知，|P F1|-|P F2|=2a=2,c =
❑√a
2+b
2=2，
在Rt△P F1 F2中，|P F1|
2=|P F2|
2+|F1 F2|
2⇒|P F1|
2-|P F2|
2=(|P F1|-|P F2|)(|P F1|+|P F2|)=|F1 F2|
2=16，
由|P F1|-|P F2|=2得，|P F1|+|P F2|=8，
所以|P F1|=5,|P F2|=3．
【变式3】（2025·河北·模拟预测）已知双曲线C：x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直
线与C 交于A，B 两点，其中A 在第一象限，若|F1 A|=2，则△A F2B的周长为______．
【答案】4
【分析】利用双曲线的定义即可列方程求解.
【详解】由双曲线定义可得|B F1|=|B F2|-2a|,|A F1|=| A F2|+2a，
所以|B F1|+|A F1|=|B F2|+| A F2|，
故△A F2B周长为| A F2|+|B F2|+| AB|=| A F1|+|B F1|+| AB|=2| A F1|= 4.
故答案为：4
【题型三】根据a、b、c 求双曲线的标准方程
【例3】已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(- ❑√5,0)，点P在双曲线上，且线段P F1的中点坐标为(0,2)，则
此双曲线的方程是
A．x
2
3 - y
2
2 =1
B．x
2- y
2
4 =1
C．x
2
2 - y
2
3 =1
D．x
2
4 - y
2=1
【答案】B
【详解】试题分析：设双曲线的标准方程为x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0),由P F1的中点为(0,2)知，P F2⊥x，Ρ(❑√5,4),
即b
2
a = 4 ,b
2= 4 a,∴5-a
2= 4 a,a=1,b=2，∴双曲线方程为x
2- y
2
4 =1，故选B.
考点：1、待定系数法求双曲线的标准方程为；2、双曲线的简单性质.
【变式1】（2024·北京海淀·一模）若双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)上的一点到焦点(- ❑√5,0)的距离比到焦点
(❑√5,0)的距离大b，则该双曲线的方程为（ ）
A．x
2
4 - y
2=1
B．x
2
2 - y
2=1
C．x
2- y
2
2 =1
D．x
2- y
2
4 =1
【答案】D
【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a=b，c = ❑√5，再结合a
2+b
2=c
2，求出a,b，即可求出结果.
【详解】由题知c = ❑√5，根据题意，由双曲线的定义知2a=b，又a
2+b
2=c
2，
所以5a
2=5，得到a
2=1,b
2= 4，所以双曲线的方程为x
2- y
2
4 =1，
故选：D.
【变式2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线C的焦点为(-2❑√2,0)和(2❑√2,0)，虚半轴长为2，则C的标准方程为
（ ）
A．x
2
4 - y
2
4 =1
B．x
2
12 - y
2
4 =1
C．y
2
4 - x
2
4 =1
D．y
2
12 - x
2
4 =1
【答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得.
【详解】因为双曲线C的焦点为(-2❑√2,0)和(2❑√2,0)，虚半轴长为2，
所以设双曲线方程为：x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，其中b=2,c =2❑√2，
因为c
2=a
2+b
2，所以a
2=8- 4 = 4，
所以双曲线方程为：x
2
4 - y
2
4 =1.
【变式3】若双曲线y
2
5 - x
2=m(m>0)的焦距为12，则m=__________．
【答案】6
【分析】将双曲线方程化为标准方程，再根据双曲线的焦距为12，即可求得m.
【详解】因为双曲线y
2
5 - x
2=m(m>0)，所以双曲线的标准方程为y
2
5m - x
2
m =1，
又双曲线的焦距为12，则5m+m=(
12
2 )
2
=36，解得m=6.
故答案为：6.
【题型四】双曲线的焦点、焦距
【例4】（2026·山西晋中·二模）双曲线3 x
2- 4 y
2=12的焦距为（ ）
A．3
B．6
C．❑√7
D．2❑√7
【答案】D
【详解】将双曲线方程3 x
2- 4 y
2=12化为标准形式x
2
a
2 - y
2
b
2 =1.
两边同除以12得x
2
4 - y
2
3 =1，由此可知a
2= 4，b
2=3.
根据双曲线的关系c
2=a
2+b
2，代入得c
2= 4 +3=7，即c = ❑√7.双曲线的焦距为2c，所以焦距为2❑√7.
【变式1】（2026·广西河池·三模）双曲线x
2
m +
y
2
m+2 =1的焦点坐标为（ ）
A．(± ❑√2,0)
B．(±2,0)
C．(0,± ❑√2)
D．(0,±2)
【答案】C
【详解】因为方程x
2
m +
y
2
m+2 =1表示双曲线，所以m(m+2)<0，解得-2<m<0，
所以有y
2
m+2 - x
2
-m =1，双曲线焦点在y轴上，
其中a
2=m+2，b
2=-m，则c
2=a
2+b
2=(m+2)+(-m)=2，所以c = ❑√2，
所以焦点坐标为(0,± ❑√2).
【变式2】（2026·广东茂名·二模）双曲线x
2- y
2
3 =1的焦距为______．
【答案】4
【详解】双曲线x
2- y
2
3 =1，a
2=1，b
2=3，
c
2=a
2+b
2= 4，c =2，
焦距为2c = 4.
【变式3】（2025·上海·模拟预测）双曲线y = 1
x 的焦点坐标为___________．
【答案】(❑√2,❑√2)，(- ❑√2,- ❑√2).
【分析】结合双曲线性质，计算双曲线y = 1
x 的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标.
【详解】由双曲线y = 1
x 的渐近线为x轴与y轴，对称轴为y =± x，且其焦点在y = x上，
联立方程¿，解得¿或¿，
即其两顶点坐标分别为(1,1)，(-1,-1)，可知其实半轴长为
❑√(1+1)
2+(1+1)
2
2
= ❑√2，
且双曲线的渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线，
故其虚半轴长为❑√2，可知其半焦距为❑√2+2=2，
故其焦点坐标分别为(❑√2,❑√2)，(- ❑√2,- ❑√2).
故答案为：(❑√2,❑√2)，(- ❑√2,- ❑√2).
【题型五】已知方程求双曲线的渐近线
【例5】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，
另一条渐近线恰好是线段PF的垂直平分线，则C的渐近线方程为（ ）
A．y =± ❑√2 x
B．y =± ❑√3 x
C．y =±2 x
D．y =±3 x
【答案】B
【分析】根据题意及双曲线的性质，可得渐近线的倾斜角为π
3 ，代入方程，即可得答案.
【详解】设双曲线C的左焦点为F
'，原点为O，线段PF与C的另一条渐近线交于点Q，
则由题意可得OP =OF =O F
'
所以∠POQ =∠FOQ =∠PO F
' =π
3 ，
所以双曲线C的渐近线的斜率为±tanπ
3 =± ❑√3，
则双曲线C的渐近线方程为y =± ❑√3 x.
故选：B.
【变式1】（2026·云南·三模）双曲线y
2- x
2
2 =1的渐近线方程为_________.（写出一个即可）
【答案】y =±
❑√2
2 x（或❑√2 y ± x =0）
【详解】双曲线y
2- x
2
2 =1的实半轴长a=1，虚半轴长b= ❑√2，
因为双曲线的焦点在y轴上，
则该双曲线的渐近线方程为y =±
❑√2
2 x.
【变式2】（2026·甘肃兰州·一模）双曲线C : x
2
a
2 - y
2
4 =1(a>0)的右焦点为(2❑√2,0)，则双曲线的渐近线方程为
__________.
【答案】y =± x
【详解】由题设a
2+ 4 =(2❑√2)
2，可得a
2= 4⇒a=2，而b=2，
所以双曲线的渐近线方程为y =± b
a x =± x.
【变式3】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选）已知 F1, F2 分别为双曲线C : x
2
4 - y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点，
过 F2 的直线交 C 的右支于A ,B 两点，若| A F1|=2| A F2|，∠A F1 F2=∠F1B F2，则（ ）
A．| A F1|=8
B．| AB|=16
C．C的渐近线方程为y =± x
D．△A F1 F2的面积为4 ❑√15
【答案】ABD
【分析】根据双曲线定义计算可判断A；根据△A F1 F2∼△AB F1计算可判断B；根据双曲线定义结合B 可得c = 4，
再根据双曲线渐近线方程计算可判断C；根据三角形面积公式计算可判断D.
【详解】对于A，双曲线C : x
2
4 - y
2
b
2 =1(b>0)，则a=2，
不妨设A点在第一象限，由双曲线定义可知| A F1|-| A F2|=2a= 4，
因为| A F1|=2| A F2|，所以| A F2|= 4，| A F1|=8，故A 正确；
对于B，因为∠A F1 F2=∠F1B F2，∠F1 A F2=∠BA F1，
所以△A F1 F2∼△AB F1，
故
| A F1|
| AB|
=| A F2|
| A F1| =| F1 F2|
|B F1| = 1
2，所以| AB|=16，故B 正确；
对于C，由B 可知，|B F2|=| AB|-| A F2|=12，
因为|B F1|-|B F2|=2a= 4，所以|B F1|=16，所以| F1 F2|=8，即c = 4，
所以b
2=c
2-a
2=12，即b=2❑√3，
所以C的渐近线方程为y =± b
a x =± ❑√3 x，故C 错误；
对于D，由余弦定理可得cos∠F1 A F2=| A F1|
2+| A F2|
2-| F1 F2|
2
2| A F1|| A F2|
= 64+16-64
2×4×8
= 1
4 ，
sin ∠F1 A F2=
❑√1-cos
2∠F1 A F2=
❑√15
4
，
所以S△A F1 F2= 1
2 | A F1|| A F2|sin ∠F1 AF = 1
2 ×4×8×
❑√15
4
= 4 ❑√15，故D 正确.
【题型六】根据双曲线的渐近线求标准方程
【例6】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线斜率为2，且焦距为2❑√5，则
该双曲线方程为（ ）
A．x
2- y
2
4 =1
B．x
2
4 - y
2=1
C．x
2
2 - y
2
8 =1
D．x
2
5 - y
2
20 =1
【答案】A
【详解】已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线斜率为2，
则b
a =2，即b=2a.
因为双曲线焦距为2c =2❑√5，所以c = ❑√5.
又c
2=a
2+b
2，所以a
2+ 4 a
2=5，
解得a=1，b=2.
故双曲线方程为x
2- y
2
4 =1.
【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的虚轴长是实轴长的2 倍，且焦
点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（ ）
A．x
2
4 - y
2=1
B．x
2
2 - y
2
4 =1
C．x
2- y
2
4 =1
D．x
2
4 - y
2
2 =1
【答案】C
【详解】由题意得，b=2a，渐近线方程bx±ay =0，
焦点(c ,0)到bx ±ay =0的距离为
bc
❑√a
2+b
2 =b=2，则a=1，
则此双曲线的方程为x
2- y
2
4 =1
【变式2】（2025·青海西宁·二模）已知双曲线的渐近线方程为y =±
❑√2
2 x，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为
_________．
【答案】x
2
4 - y
2
2 =1或y
2
4 - x
2
8 =1
【分析】分焦点在x轴、y轴分别求解.
【详解】当双曲线焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，则渐近线方程为y =± b
a x，实轴长为
2a，
由题意得b
a =
❑√2
2 ,2a= 4，解得a=2,b= ❑√2，
所以该双曲线的标准方程为x
2
4 - y
2
2 =1；
当双曲线焦点在y 轴上时，设双曲线方程为y
2
a
2 - x
2
b
2 =1(a>0,b>0)，则渐近线方程为y =± a
b x实轴长为2a，
由题意得a
b =
❑√2
2 ,2a= 4，解得a=2,b=2❑√2，
则该双曲线的标准方程为y
2
4 - x
2
8 =1．
综上，该双曲线的标准方程为x
2
4 - y
2
2 =1或y
2
4 - x
2
8 =1．
故答案为：x
2
4 - y
2
2 =1或y
2
4 - x
2
8 =1
【变式3】双曲线C 以过原点与圆x
2+ y
2- 4 y +3=0相切的两条直线为渐近线，且过椭圆x
2+ 4 y
2= 4的两个焦点，
求双曲线的标准方程.
【答案】
x
2
3
4
- y
2
9
4
=1
【详解】证明:根据题意可设双曲线的渐近线为y=kx，圆心为(0，2)，r=1
所以
|2|
❑√k
2+1
=1，即k =± ❑√3，
所以b
a = ❑√3
又因为x
2+ 4 y
2= 4得焦点坐标为(± ❑√3,0)， 即c = ❑√3
由上述两个式子可得
a
2= 3
4 ,b
2= 9
4 ，
所以双曲线的标准方程为
x
2
3
4
- y
2
9
4
=1
【题型七】求双曲线的离心率或离心率的取值范围
【例7】（2026·云南昆明·模拟预测）已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为3 x - 4 y =0，则该
双曲线的离心率为（ ）
A．5
4
B．4
3
C．3
4
D．5
3
【答案】A
【详解】由题意得，b
a = 3
4 ，则c
a = ❑√
a
2+b
2
a
2
=
❑√1+( 3
4 )
2
= 5
4
.
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点
P，使得PA , PB的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（ ）
A．(
❑√3
2 ,+∞)
B．(1,
❑√3
2 )
C．(
❑√5
2 ,+ ∞)
D．(1,
❑√5
2 )
【答案】D
【分析】由题可得y = 2b
2
a
2 x与双曲线有公共点，据此可得答案.
【详解】易知A(-a,0),B(a,0)，设P( x , y)( y ≠0)，则
y
x +a +
y
x -a =1，所以2 xy = x
2-a
2，
又x
2
a
2 - y
2
b
2 =1，所以x
2-a
2= a
2
b
2 y
2，即2 xy = a
2
b
2 y
2( y ≠0)，所以y = 2b
2
a
2 x，即直线y = 2b
2
a
2 x与双曲线有公共点.联立
y = 2b
2
a
2 x与双曲线方程，有¿，
消去y得：b
2 x
2-a
2⋅4 b
4
a
4 x
2=a
2b
2⇒x
2(
a
2- 4 b
2
a
2 )=a
2，则要使方程有根，需使
a
2>4 b
2= 4(c
2-a
2)⇒c
2
a
2 =e
2< 5
4 ⇒1<e<
❑√5
2 .
故选：D
【变式2】（2026·陕西铜川·三模）（多选）设P为双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a,b>0)上一点，F1 F2分别为双曲线C的
左、右焦点，P F2⊥F1 F2，若△P F1 F2的外接圆半径是其内切圆半径的17
6 倍，则双曲线C的离心率可能为（ ）
A．3
B．4
C．5
3
D．5
【答案】BC
【分析】利用双曲线的定义，结合图形，利用图形的几何性质构造a,b,c的关系，转化为关于e的方程进行求解.
【详解】设双曲线C的半焦距为c，
∵F1, F2分别为双曲线C的左、右焦点，∴F1(-c ,0)，F2(c ,0)，
∵P F2⊥F1 F2，
∴点P在双曲线的右支，设△P F1 F2的内切圆半径为r，
则r =|F1 F2|+|P F2|-|P F1|
2
= 2c -2a
2
=c -a，
设P F1= x，则P F2= x -2a，
∵P F1
2= P F2
2+ F1 F2
2，即x
2=( x -2a)
2+(2c)
2，
∴P F1= x = a
2+c
2
a
，设△P F1 F2外接圆的半径为R，
由正弦定理有：
P F1
sinπ
2
=2 R，即a
2+c
2
a
=2 R，
即△P F1 F2的外接圆半径为a
2+c
2
2a
，
∵△P F1 F2的外接圆半径是其内切圆半径的17
6 倍，
∴a
2+c
2
2a
= 17
6 (c -a)，即20a
2-17 ac +3c
2=0，
∴3e
2-17 e+20=0，
∴e = 5
3或4.
【变式3】若双曲线C : x
2
a
2 - y
2
4 =1(a>0)的焦距为8，求C的离心率．
【答案】2❑√3
3
【分析】先由双曲线C : x
2
a
2 - y
2
4 =1(a>0)的焦距为8，求出a，进而可求出结果.
【详解】因为双曲线C : x
2
a
2 - y
2
4 =1(a>0)的焦距为8，
所以2
❑√a
2+ 4 =8，解得a=2❑√3；
因此C的离心率为c
a =
4
2❑√3 = 2❑√3
3
.
【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
【题型八】抛物线定义的理解
【例8】（2026·山东聊城·模拟预测）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)绕其顶点旋转后得到抛物线C
'，且抛物线C
'的准
线方程为3 x + 4 y -15=0，则p的值为（ ）
A．3
2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【分析】由抛物线顶点到准线距离等于p
2 ，即可求解.
【详解】由题意，抛物线C
'的顶点到其准线的距离d与抛物线C的顶点到其准线的距离相等，即d = p
2 ．
∵抛物线C
'的顶点为坐标原点O(0,0)，
准线方程为3 x + 4 y -15=0,∴d =|0+0-15|
❑√3
2+ 4
2 =3，
∴p
2 =3，解得p=6．
【变式1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知抛物线E: y
2= 4 x的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，若
| AF |=2|OF |，则|OA |=（ ）
A．❑√3
B．2
C．❑√5
D．3
【答案】C
【详解】由题意得2 p= 4，即p=2，焦点F坐标为 (1,0)，因此∣OF ∣=1.
因为∣AF ∣=2∣OF ∣，所以∣AF ∣=2.
设 A( x A , y A)，
因为点A 在E 上，则∣AF ∣= x A+1=2 ⟹x A =1.
代入抛物线方程得 y A
2 = 4 x A = 4，因此∣OA ∣=
❑√x A
2 + y A
2 =
❑√1
2+ 4 = ❑√5.
【变式2】（2026·福建·模拟预测）若抛物线y
2= 4 x上一点P到其焦点F的距离为5，O为坐标原点，则|OP|=
________．
【答案】4 ❑√2
【详解】设P(m,n)，
因为|PF|=m+1=5，所以m= 4，
则n
2= 4 m=16，所以|n|= 4，
所以|OP|= 4 ❑√2．
【变式3】（2026·江苏·模拟预测）已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，第一象限内的两点A ,B在抛物线C
上．若线段AB中点的纵坐标为5，且|AB|= ❑√42，|BF|-|AF|=6，则p=______．
【答案】3
2
【详解】如图，过点A ,B作AD ,BE垂直准线于D , E，过点A作AH ⊥BE于点H，
由抛物线的定义可知|AF|=|AD|= y A+ p
2 ，|BF|=|BE|= yB+ p
2 ，
∴|BF|-|AF|=|BE|-|AD|= yB- y A =6，
又∵线段AB中点的纵坐标为5，∴yB+ y A =10，
∴yB=8, y A =2，
∵A ,B在第一象限，∴x A = ❑√4 p=2❑√p，xB= ❑√16 p= 4 ❑√p，
∴|AH|
2=|AB|
2-|BH|
2= 42-36=6，∴|AH|= ❑√6，即|AH|= 4 ❑√p-2❑√p=2❑√p= ❑√6，
∴p= 3
2.
【题型九】根据抛物线方程求焦点或准线
【例9】（2026·河南·二模）抛物线2 x
2+ y =0的焦点坐标为（ ）
A．(0,- 1
2 )
B．(0,- 1
8 )
C．(- 1
2 ,0)
D．(- 1
8 ,0)
【答案】B
【详解】把抛物线2 x
2+ y =0化为标准方程x
2=- 1
2 y，
因为抛物线x
2=-2 py( p>0)开口向下，且焦点坐标是(0,- p
2 )，
则-2 p=- 1
2，即p= 1
4 ，可得- p
2 =- 1
8，所以焦点坐标是(0,- 1
8 ).
【变式1】（2026·北京·模拟预测）将抛物线y = x
2- 4 x +3平移使其顶点与坐标原点重合，得到抛物线W ，则W 的
准线方程为（ ）
A．y =- 1
4
B．x =-1
C．y =- 1
8
D．x =- 1
2
【答案】A
【详解】由题可得y =( x -2)
2-1，则抛物线W 为y = x
2，
化成抛物线的标准式x
2= y，故准线方程为y =- 1
4 .
【变式2】（2026·浙江·二模）（多选）若经过点P(2,4)的直线与抛物线C : y
2=2 px ( p>0)恒有公共点，则C的准线
可能是（ ）
A．x =-1
B．x =- 4
C．x =-2
D．x =- ❑√2
【答案】BC
【详解】若经过点P(2,4)的直线与抛物线C : y
2=2 px ( p>0)恒有公共点，则点P在抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的内部，
或在抛物线C : y
2=2 px ( p>0)上，
所以4
2≤2 p×2，所以p≥4，所以p
2 ≥2，- p
2 ≤-2.
所以C的准线x =- p
2 可能是B,C.
【变式3】（2026·广东梅州·模拟预测）已知O为坐标原点，F为抛物线W ：y
2=8 x的焦点，则F的坐标为
__________．
【答案】(2,0)
【详解】抛物线W : y
2=8 x焦点F的坐标为(2,0).
【题型十】抛物线的焦半径公式
【例10】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线C : x
2=- 4 y的焦点为F，点P为C上一点，当|PF|=5时，点P的纵坐
标为（ ）
A．-1
B．-3
C．- 4
D．-5
【答案】C
【详解】记点P的纵坐标为y P，由题意知y P≤0，
借助焦半径公式可得|PF|=- yP+1=5，故y P=- 4，
所以点P的纵坐标为- 4.
【变式1】（2026·海南儋州·二模）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为点F，点P在C上，且|PF|=3，则点P的横坐标
为（ ）
A．2
B．2❑√3
C．3
D．4
【答案】A
【详解】由题意知，F (1,0)，由抛物线的定义可知|PF|= xP+1=3，得xP=2，
故点P的横坐标为2
【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）（多选）已知点P(x0, y0)在抛物线C : y
2= 4 x上，点F为抛物线C的焦点，
则（ ）
A．焦点F的坐标为(1,0)
B．抛物线C的准线方程为x =-2
C．若y0=2，则|PF|=2
D．|PF|≥1
【答案】ACD
【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质
判断D..
【详解】抛物线C的方程是y
2= 4 x，则p=2，焦点坐标是(1,0)，准线方程是x =-1，A 对B 错；
点P(x0, y0)在抛物线上，|PF|= x0+1=2，y0=2，则x0= 2
2
4 =1,|PF|= x0+1=2,C 对；
抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此|PF|≥1，D 对，
故选：ACD.
【变式3】（2026·广东揭阳·二模）已知点P在抛物线C : y
2= 4 x上，若点P 到点A (5,0)的距离与点P到抛物线C的
准线的距离相等，则|PA|=______.
【答案】4
【详解】由抛物线C : y
2= 4 x，则焦点F (1,0)，准线方程为x =-1，
因为点P 到点A (5,0)的距离与点P 到抛物线C 的准线的距离相等，
结合抛物线的定义可得|PA|=|PF|，
则点P在线段AF的垂直平分线上，而A (5,0)，F (1,0)，则点P的横坐标为3，
所以|PA|=|PF|=3+1= 4.
【题型十一】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
【例11】（2026·广西柳州·二模）准线方程为x =1的抛物线的标准方程为（ ）
A．y
2= 4 x
B．x
2= 4 y
C．y
2=- 4 x
D．x
2=- 4 y
【答案】C
【分析】根据抛物线标准方程及准线方程的定义可得.
【详解】因为抛物线准线方程为x =1，
所以可设抛物线的标准方程为y
2=-2 px ( p>0)，
则p
2 =1，即p=2，
所以抛物线的标准方程为y
2=- 4 x.
故选：C
【变式1】已知抛物线的准线方程为x =-7，则抛物线的标准方程为（ ）
A．x
2=-28 y
B．y
2=28 x
C．y
2=-28 x
D．x
2=28 y
【答案】B
【分析】由抛物线的准线方程确定抛物线方程的形式，并求出p的值即得．
【详解】由于准线方程为x =-7，所以抛物线开口向右，设抛物线的方程为y
2=2 px( p>0)，
因为抛物线的准线方程为x =-7，
所以- p
2 =-7，解得p=14，
所以抛物线的方程为y
2=28 x．
故选：B．
【变式2】（2025·山东潍坊·二模）若抛物线的准线与直线y =1之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准
方程：____________．
【答案】x
2= 4 y或x
2=-12 y（填一个答案即可）
【分析】根据题意，判断抛物线的准线方程为y =3或y =-1，分别求出焦准距，写出抛物线方程即可.
【详解】依题意，抛物线的准线与直线y =1平行，且距离为2，
故抛物线的准线方程为y =3或y =-1，
当抛物线的准线方程为y =3时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且p
2 =3，p=6，故抛物线方程为：x
2=-12 y；
当抛物线的准线方程为y =-1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且p
2 =1，p=2，故抛物线方程为：x
2= 4 y.
综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是x
2=-12 y或x
2= 4 y.
故答案为：x
2=-12 y或x
2= 4 y（填一个答案即可）
【变式3】（2026·内蒙古赤峰·一模）以抛物线y
2=2 px（p>0）的焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为
2❑√3的等边三角形，则抛物线的标准方程为________．
【答案】y
2=6 x
【详解】记抛物线y
2=2 px（p>0）的焦点为F，
设准线上的两点P ,Q与F构成边长为2❑√3的等边三角形，
则由正三角形的对称性，可得|PF|=|QF|=2❑√3.
所以焦点到准线的距离为p=2❑√3cos30° =3，
所以抛物线的标准方程为y
2=6 x.
【题型十二】根据抛物线上的点求标准方程
【例12】（2025·山西·二模）若点(2,2)在以原点为顶点x 轴为对称轴的抛物线C 上，则C 的方程为（ ）
A．y
2=2 x
B．y
2= x +2
C．x
2=2 y
D．x
2= y +2
【答案】A
【分析】由抛物线的标准方程，代入(2,2)可得结果.
【详解】由题意可知，抛物线C 的方程为y
2=2 px，
将(2,2)代入y
2=2 px，可得p=1，故抛物线C 的方程为y
2=2 x.
故选：A.
【变式1】（2026·四川雅安·二模）已知抛物线x
2=2 py（p>0）上一点(m,2)到其焦点的距离为6，则抛物线的方
程为（ ）
A．x
2= 4 y
B．x
2=8 y
C．x
2=16 y
D．x
2=32 y
【答案】C
【详解】由抛物线的定义结合题意可得2-(- p
2)=6⇒p=8，
所以抛物线的方程为x
2=16 y.
【变式2】（2026·山西晋中·三模）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，过F的直线与C交于A ,B两点，过点
A ,B分别向C的准线作垂线，垂足为A
' ,B
'，若|A A
'|+|B B
'|= 26
3 , AB中点的纵坐标为2，则C的方程为（ ）
A．y
2=3 x或y
2= 4
3 x
B．y
2= 4 x或y
2= 3
4 x
C．y
2=6 x或y
2= 8
3 x
D．y
2=8 x或y
2= 3
2 x
【答案】C
【详解】如下图：
由题可知F(
p
2 ,0)，设A(x1, y1),B(x2, y2)，且y1+ y2= 4，
则¿两式相减得k AB= y2- y1
x2- x1
=
p
y1+ y2
2
= p
2 ，
则直线AB的方程为y = p
2(x - p
2)，
因为AB中点的纵坐标为2，得x = 4
p + p
2 = x1+ x2
2
，
由抛物线的定义可知|A A
'|+|B B
'|= x1+ x2+ p= 26
3 ，
即8
p +2 p= 26
3 ，
解得p=3或4
3 ，
故C的方程为y
2=6 x或y
2= 8
3 x.
【变式3】（2026·北京朝阳·二模）顶点在原点，关于y轴对称，且过点(2,1)的抛物线的标准方程是___________．
【答案】x
2= 4 y
【详解】根据抛物线关于y轴对称，且过的点(2,1)在第一象限，
因此抛物线开口向上，可设抛物线的标准方程为x
2=2 py ( p>0)，
所以2
2=2 p×1，解得p=2，
所以抛物线的标准方程是x
2= 4 y.
【解题大招01】定义法解题技巧
核心思想：遇焦点、距离、轨迹问题，优先使用双曲线定义，避免联立复杂运算。
双曲线恒等定义式：
|| P F1|-| P F2||=2a(0<2a<2c)
解题技巧：
① 题目出现“双焦点、点在曲线上、距离差”，直接套用 | P F1|-| P F2|=±2a；
② 几何定义优先，大幅简化计算；
③ 轨迹判定：2a>2c无轨迹，2a=2c两射线，2a=0中垂线。
【例1】已知双曲线焦点F1(- 4,0), F2(4,0)，曲线上一点 P 满足|| P F1|-| P F2||=6，求双曲线标准方程。
解析：由题意得：2a=6⇒a=3，焦距 2c =8⇒c = 4
由双曲线参数关系：
b
2=c
2-a
2=16-9=7
焦点在 x 轴上，因此标准方程：
x
2
9 - y
2
7 =1.
【解题大招02】双曲线参数速算技巧
核心公式（区别椭圆）：
c
2=a
2+b
2,e = c
a (e>1)
速算口诀：双曲线“大方加小方”，c 最大，离心率恒大于1。
【例2】已知双曲线 x
2
16 - y
2
9 =1，求离心率 e。
解析：由方程得：a
2=16,b
2=9，即 a= 4
c
2=a
2+b
2=16+9=25⇒c =5
e = c
a = 5
4 .
【解题大招03】渐近线秒杀求法
通用技巧：方程右侧置0，直接写出渐近线，无需死记。
x
2
a
2 - y
2
b
2 =1⇒y =± b
a x
y
2
a
2 - x
2
b
2 =1⇒y =± a
b x
共渐近线设方程：x
2
a
2 - y
2
b
2 = λ( λ≠0)
【例3】求双曲线 x
2
4 - y
2
12 =1 的渐近线方程。
解析：令等式右侧为0：x
2
4 = y
2
12
整理得：y
2=3 x
2
渐近线方程：y =± ❑√3 x
【解题大招04】焦点三角形面积秒杀公式
核心结论：设 ∠F1 P F2=θ，S△P F1 F2=
b
2
tan θ
2
【例4】已知双曲线 x
2
9 - y
2
3 =1，点 P 在双曲线上，且 ∠F1 P F2=60
∘，求△P F1 F2 面积。
解析：由方程得 b
2=3，θ =60
∘
S =
b
2
tan θ
2
=
3
tan30
∘= 3
❑√3
3
=3 ❑√3.
【解题大招05】定义转化万能技巧
核心等价关系：| PF |=d
抛物线上任意一点到焦点距离 = 该点到准线距离，e =1。
【例5】已知抛物线 y
2=8 x，点 P(2,4) 在抛物线上，求点 P 到焦点 F 的距离。
解析：由 2 p=8⇒p= 4，准线方程：x =-2
由定义：| PF |=d =|2-(-2)|= 4
【解题大招06】焦点弦二级秒杀结论
抛物线 y
2=2 px( p>0) 焦点弦结论：
x1 x2= p
2
4 , y1 y2=- p
2,| AB|= x1+ x2+ p
【例6】抛物线y
2= 4 x 的焦点弦 AB，已知 A 横坐标为4，求弦长 | AB|。
解析：2 p= 4⇒p=2
由焦点弦定值：x1 x2= p
2
4 =1
代入 x1= 4，得 x2= 1
4
焦点弦长：| AB|= x1+ x2+ p= 4 + 1
4 +2= 25
4
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·陕西渭南·三模）已知抛物线y
2= 4 x的焦点为F，若点A(x0,-2)在该抛物线上，则|AF|=（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4
D．5
【答案】A
【分析】根据已知条件求出点A、F 的坐标，代入两点间的距离公式即可得解.
【详解】∵点A(x0,-2)在抛物线上，∴4 = 4 x0⇒x0=1，则A (1,-2)，
又抛物线C：y
2= 4 x的焦点F (1,0)，故|AF|=
❑√(1-1)
2+(-2-0)
2=2．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）设直线y =2 x - 4与双曲线C：x
2- y
2
b
2 =1的一条渐近线平行，则C的离心率为（ ）
A．❑√3
B．❑√5
C．3
D．5
【答案】B
【详解】由题意可知双曲线C : x
2- y
2
b
2 =1的渐近线方程为y =±bx，
直线y =2 x - 4与双曲线C : x
2- y
2
b
2 =1的一条渐近线平行，
则b=2，又a=1，则c =
❑√a
2+b
2= ❑√1+ 4 = ❑√5
所以C的离心率为e = c
a = ❑√5．
3．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知抛物线C：y
2=2 px ( p>0)的焦点为F (1,0)，点A在抛物线C上且在第一象限，
若|AF|= 4，则直线AF的倾斜角为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【详解】因为抛物线C的焦点为F (1,0)，所以p=2，故抛物线方程为y
2= 4 x，
设A(x A , y A)，因为|AF|= 4，所以x A+1= 4，可得x A =3，
代入抛物线方程可得y A
2 = 4×3=12，解得y A =±2❑√3，
因为点A在第一象限，所以A (3,2❑√3)，
所以直线AF的斜率为2❑√3-0
3-1
= ❑√3，则直线AF的倾斜角为π
3 .
二、多选题
4．（2026·内蒙古赤峰·一模）若双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的渐近线方程为y =± ❑√3 x，则下列结论正确的有
（ ）
A．双曲线C的离心率为2
B．双曲线C的虚轴长是实轴长的❑√3倍
C．双曲线C与双曲线y
2
3 - x
2=1有相同渐近线D．以双曲线C实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为1
2
【答案】ABC
【详解】因双曲线渐近线方程为：y =± ❑√3 x，则b
a = ❑√3⇒b= ❑√3a.
对于A，双曲线离心率e1
2= c
2
a
2 = a
2+b
2
a
2
= 4 a
2
a
2 = 4⇒e1=2，故A 正确；
对于B，虚轴长为2b=2❑√3a，实轴为2a，则双曲线C 的虚轴长是实轴长的❑√3倍，故B 正确；
对于C，双曲线y
2
3 - x
2=1的渐近线方程为y =± ❑√3 x，故C 正确.
对于D，双曲线C 实轴端点为(a,0)，(-a,0),虚轴端点为(0,❑√3a)，(0,- ❑√3a).
则对应椭圆方程为：y
2
3a
2 + x
2
a
2 =1，离心率为❑√
3a
2-a
2
3a
2
=
❑√6
3
，故D 错误.
三、填空题
5．（2026·河北邯郸·三模）已知双曲线C : y
2
m - x
2=1的一条渐近线方程为y = ❑√3 x，则m=______.
【答案】3
【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：y =± ❑√m x，
∵一条渐近线方程为y = ❑√3 x，∴❑√m= ❑√3，即m=3.
6．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线C : y
2=8 x的焦点为F，若点P为C在第一象限内的一点，且|PF|=6，则
直线PF的斜率为________．
【答案】2❑√2
【分析】设P(m,n)(m>0,n>0)，根据焦半径公式得m= 4，进而求得n= 4 ❑√2，再计算斜率即可.
【详解】由已知得F (2,0)，设P(m,n)(m>0,n>0)，
所以，根据焦半径公式得|PF|=m+2=6，解得m= 4，
代入C : y
2=8 x得n
2=32，解得n= 4 ❑√2，
所以直线PF的斜率为
n
m-2 =2❑√2．
四、解答题
7．求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)的椭圆的标准方程；
(2)焦点在y轴上，焦距是16，e = 4
3 的双曲线的标准方程
【答案】(1) x
2
4 + y
2=1
(2) y
2
36 - x
2
28 =1
【分析】（1）根据焦点位置及椭圆的顶点即可确定a,b，从而求出椭圆方程；
（2）根据焦距和离心率确定a,c，从而求出b，结合焦点位置求出双曲线方程.
【详解】（1）由题意得：a=2，b=1，因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为：x
2
4 + y
2=1；
（2）依题意2c =16,c =8，又c
a = 4
3 ，所以a=6，所以b=
❑√c
2-a
2=2❑√7，
由于双曲线焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为y
2
36 - x
2
28 =1．
8．已知抛物线C1的顶点为坐标原点O，焦点为圆C2: x
2+ y
2= 4与圆C3: x
2+( y -3)
2=1的公共点．
（1）求C1的方程；
（2）直线l: y = 1
4 x +3与C1交于A，B两点，点P在C1上，且P在AOB这一段曲线上运动（P异于端点A与B），求
△PAB面积的取值范围．
【答案】（1）x
2=8 y；（2）(0, 125
8 ].
【分析】（1）联立两圆方程求出交点坐标即为抛物线的焦点坐标，即可求出抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线求出交点坐标，求出弦|AB|，设P(x0, y0)，表示出点到直线的距离，即可求出面积的取值范
围；
【详解】解：（1）联立¿得¿
因此C1的焦点为(0,2)，设抛物线C1: x
2=2 py ( p>0)，则p
2 =2，
则p= 4，故C1的方程为x
2=8 y．
（2）联立¿得¿或¿
不妨假设A(6, 9
2)，B (- 4,2)，则|AB|= ❑√
1+(
1
4)
2
×|6-(- 4)|= 5 ❑√17
2
．
设P(x0, y0)，则- 4< x0<6，
P到直线l的距离d =|x0- 4 y0+12|
❑√1
2+ 4
2
=|x0- 1
2 x0
2+12|
❑√17
=|(x0-1)
2-25|
2❑√17
，
因为当- 4< x<6时，函数y =(x -1)
2-25的值域为[-25,0)，
所以0<|(x0-1)
2-25|
2❑√17
≤
25
2❑√17
，则0<S△PAB= 1
2 ×d ×|AB|≤1
2 ×
25
2❑√17 × 5 ❑√17
2
= 125
8 ，
故△PAB面积的取值范围是(0, 125
8 ]．
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式
|AB|= x1+ x2+ p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·湖北·三模）卫星接收天线的曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，信号处理中心位于抛物线的焦点处．
已知该卫星接收天线的口径（直径）为12m，深度为3 m，则信号处理中心与抛物线顶点的距离为（ ）
A．1m
B．2m
C．3 m
D．4 m
【答案】C
【详解】以抛物线顶点为原点O(0,0)，对称轴为x轴，
设抛物线方程为y
2=2 px ( p>0)，焦点F(
p
2 ,0)，焦点到顶点距离为p
2 ．
天线口径（直径）12m，深度3m，故抛物线过点(3,6)（或(3,-6)），
将(3,6)代入y
2=2 px：6
2=2 p⋅3⇒36=6 p⇒p=6，
焦点到顶点距离为p
2 = 6
2 =3m．
2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且与其
渐近线垂直的直线交C 的左支于点P，若∠F1 P F2=135°，则C 的离心率为（ ）
A．2
B．❑√2
C．❑√3
D．
❑√5
2
【答案】C
【分析】利用正弦定理把|P F1|,|P F2|用a表示，然后利用余弦定理求得a,c关系，从而求得离心率．
【详解】设C的半焦距为c，∠P F1 F2=θ，渐近线的斜率的绝对值为b
a，
所以tan∠PO F1=|P F1|
|OP| = b
a，因为又F1 P⊥OP，所以|P F1|
2+|OP|
2=|O F1|
2=c
2=a
2+b
2，故解得|OP|=a，
|P F1|=b，
则sinθ = |OP|
|O F1|
= a
c ．在△P F1 F2中，由正弦定理，得|P F2|
sinθ =
2c
sin135°
，解得|P F2|=2❑√2a，故
|P F1|=(2❑√2-2)a，
由余弦定理，得(2c)
2=(2❑√2a)
2+(2❑√2-2)
2a
2-2× 2❑√2a×(2❑√2-2)a×cos135°，整理得c
2=3a
2，所以C的离
心率e = c
a = ❑√3．
二、多选题
3．（2026·山东烟台·二模）已知抛物线C1: y
2=2 px的焦点F与双曲线C2: x
2- y
2
3 =1的右焦点重合，点Q为C1和C2的
一个公共点，则（ ）
A．p=8
B．C2的离心率为2
C．|QF |=5
D．点Q到C2的两条渐近线的距离之和为3 ❑√3
【答案】BCD
【分析】先根据双曲线的性质求出其右焦点坐标，进而得到抛物线的p 值，再根据抛物线和双曲线的定义及性质逐一
分析选项即可.
【详解】因为双曲线 C2: x
2- y
2
3 =1 为标准形式 x
2
a
2 - y
2
b
2 =1，
其中 a
2=1，b
2=3，则a=1,b= ❑√3，所以c = ❑√1+3=2，则 双曲线的右焦点坐标为(2,0).
选项A，由 C1: y
2=2 px 的焦点为 F(
p
2 ,0)，由题意，p
2 =2，解得p= 4，故A 错误；
选项B，由上分析，C2的离心率为e = c
a =2，故B 正确；
选项C，联立¿，解得x =3 或x =- 1
3（不合题意舍去），
即xQ=3，则 |QF |= xQ+ p
2 =3+2=5，故C 正确；
选项D，由上分析，易得双曲线 C2 的渐近线方程为 ❑√3 x - y =0,❑√3 x + y =0，
由对称性，可取点Q 为(3,2❑√6) ，该点到两条渐近线的距离分别为d1=|3 ❑√3-2❑√6|
2
，d2=|3 ❑√3+2❑√6|
2
，
所以d1+d2= (3 ❑√3-2❑√6)+(3 ❑√3+2❑√6)
2
= 6 ❑√3
2
=3 ❑√3，故D 正确.
三、填空题
4．（2026·河北保定·三模）已知 O 为坐标原点，抛物线 C1：y
2=2 px( p>0)，C2：x
2=-2 py ， 若 C₁ 与 C₂ 交
于点 O 与A，且C₁，C₂ 的准线交于点 (- 1
2 , 1
2)， 则|OA|=________.
【答案】2❑√2
【分析】由准线交点得p值，然后解方程组得交点坐标，再由距离公式求解.
【详解】由题意p
2 = 1
2，p=1，抛物线方程分别为y
2=2 x，x
2=-2 y，
由¿，解得¿或¿，
所以A(2,-2)，|OA|=
❑√2
2+(-2)
2=2❑√2.
四、解答题
5．已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√3
2 ，且短轴长等于双曲线：x
2- y
2
3 =1的实轴长.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A，B为椭圆C上关于原点O对称的两点，在圆D：x
2+ y
2=8上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求直线AB
的方程.
【答案】(1) x
2
4 + y
2=1
(2)y =±
❑√5
5 x
【分析】（1）根据题意直接列方程¿求解；
（2）根据题意可得|OA|= 2❑√6
3
，设直线AB的方程代入求解，注意讨论斜率是否存在.
【详解】（1）依题意有¿，解得a=2，c = ❑√3.
∴椭圆C的标准方程为x
2
4 + y
2=1
（2）∵点P在圆D：x
2+ y
2=(2❑√2)
2上，
∴|OP|=2❑√2
又∵△PAB为等边三角形，且O为线段AB的中点，
∴|OP|= ❑√3|OA|，|OA|= 2❑√6
3
①当直线AB的斜率不存在时，A，B为椭圆C的上下顶点，
∴|OA|=1≠2❑√6
3
，不符合题意；
②当直线AB的斜率存在时，设A(x1, y1)，直线AB的方程为y =kx
联立¿
解得|x1|=
2
❑√4 k
2+1
，|y1|=
2|k|
❑√4 k
2+1
∴|OA|=
❑√x1
2+ y1
2=2❑√
k
2+1
4 k
2+1
= 2❑√6
3
，解得k =±
❑√5
5
∴直线AB的方程为：y =±
❑√5
5 x
6．（2026·甘肃金昌·三模）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F (2,0)，过点(1,0)的直线l与C的交点为A ,B，与
y轴的交点为P，且点A在x轴上方.
(1)若|AF|+|BF|=14，求l的方程；
(2)若⃗AP+ 4⃗PB =⃗0，求过点A ,B , F的圆的标准方程.
【答案】(1)x ± y -1=0
(2)(x + 11
4 )
2
+( y -2)
2= 425
16
【分析】（1）先求出抛物线的方程y
2=8 x，设l的方程x =ty +1，代入y
2=8 x，写出韦达定理，利用抛物线的定义，
结合题设条件求得t =±1，即得l的方程；
（2）先求出P(0,- 1
t)，将点A , P ,B的坐标代入⃗AP+ 4⃗PB =⃗0推得x1= 4 x2，由（1）的结论求得
A (2,4),B(
1
2 ,-2)，结合F (2,0)，利用待定系数法即可求得圆的标准方程.
【详解】（1）因为C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F (2,0)，所以p
2 =2，解得p= 4，
故C的方程为y
2=8 x，
设l的方程为x =ty +1，将其代入y
2=8 x，消去x整理得y
2-8ty -8=0，
设A(x1, y1),B(x2, y2)，则y1+ y2=8t , x1+ x2=t ( y1+ y2)+2=8t
2+2 ，
因为|AF|+|BF|= x1+2+ x2+2=14，所以x1+ x2=10，
由8t
2+2=10，得t =±1，
所以l的方程为x =± y +1，即x ± y -1=0.
（2）对于l: x =ty +1，令x =0，得点P(0,- 1
t)，
则⃗AP+ 4⃗PB =(- x1,- 1
t - y1)+ 4(x2, y2+ 1
t)=(0,0)，故得x1= 4 x2，
由（1）知y1 y2=-8，所以x1 x2= y1
2 y2
2
64 =1，4 x2
2=1，
因为x2>0，所以x2= 1
2，从而x1=2，则y1
2=8 x1=16，
因为点A在x轴上方，所以y1= 4，进而可得A (2,4),B(
1
2 ,-2)，
设过A ,B , F三点的圆的方程为( x -a)
2+( y -b)
2=r
2(r >0)，又F (2,0)，
则得¿
解得a=- 11
4 ,b=2,r
2= 425
16 ，
所以过A ,B , F三点的圆的方程为(x + 11
4 )
2
+( y -2)
2= 425
16 .
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点F的抛物线y
2=2 px ( p>0)与椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)相交于M , N两点，且⃗
MF //⃗FN，则椭圆的离心率为（ ）
A．
❑√5-1
2
B．
❑√2-1
2
C．❑√2-1
D．
❑√2
2
【答案】C
【分析】根据题意得出M , N , F的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于a,c的方程，解齐次
方程，再由椭圆的离心率范围求解即可.
【详解】因为F为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于M , N两点，
由抛物线和椭圆对称性以及⃗MF //⃗FN可知，MN ⊥x轴，
设点M在第一象限，如图所示：
令F (c ,0)(c>0)，此时有xM = xN =c，
又抛物线y
2=2 px ( p>0)的焦点为F(
p
2 ,0)，所以p
2 =c⇒p=2c，
所以抛物线方程为y
2=2×2cx = 4 cx，
因为点M在抛物线上，所以y
2= 4 c×c = 4 c
2，所以y M =2c，
即点M (c ,2c)，又点M在椭圆上，
所以c
2
a
2 + (2c)
2
b
2
=1⇔c
2
a
2 + 4 c
2
b
2 =1⇒(c
2-a
2)b
2+ 4 c
2a
2=0，
又a
2-b
2=c
2，所以b
2=a
2-c
2，所以(c
2-a
2)(a
2-c
2)+ 4 c
2a
2=0
即a
4-6a
2c
2+c
4=0，又e = c
a ,e∈(0,1)，所以e
4-6e
2+1=0，
令t =e
2,t ∈(0,1) ，则t
2-6t +1=0，解得t =3+2❑√2（舍去）或t =3-2❑√2，
即e
2=3-2❑√2=(❑√2)
2-2❑√2+1
2=(❑√2-1)
2，
又e∈(0,1)，所以e = ❑√2-1.
2．（2026·天津滨海新区·三模）设双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1, F2，取双曲线上一点P（
P在第一象限），点Q在以P F2为直径的圆上，且∠F1 PQ =∠F2 PQ，若直线P F1斜率为
❑√2
4 ，|Q F2|= 1
6|F1 F2|，
则双曲线C的离心率为（ ）
A．
❑√6
2
B．3 ❑√2
4
C．
❑√5+1
2
D．2❑√3
3
【答案】B
【分析】延长F2Q交P F1于点M，证明△PM F2为等腰三角形，得到|PM|=|P F2|以及Q为M F2的中点，结合双曲
线的定义得到|M F1|=2a，又根据OQ是△OQ F2的中位线得到|OQ|和tan ∠F2OQ，最后在△OQ F2中运用余弦定
理得到关于a,c的方程，求解即可得离心率.
【详解】因为点Q在以P F2为直径的圆上，所以PQ⊥Q F2，延长F2Q交P F1于点M，
在△PM F2中，已知PQ⊥Q F2且∠F1 PQ =∠F2 PQ即PQ平分∠F1 P F2，
故△PM F2为等腰三角形，有|PM|=|P F2|，且Q为M F2的中点，
同时根据双曲线的定义以及P在第一象限，有|P F1|-|P F2|=2a，
所以|P F1|-|PM|=|M F1|=2a，又因为Q ,O分别为M F2, F1 F2的中点，
所以|OQ|= 1
2|M F1|=a且OQ // F1 M，已知直线P F1斜率为
❑√2
4 ，
则直线OQ的斜率也为
❑√2
4 ，所以tan ∠F2OQ =
❑√2
4 ，可得cos∠F2OQ = 2❑√2
3
，
由|Q F2|= 1
6|F1 F2|可得|Q F2|= c
3，
在△OQ F2中，根据余弦定理有|Q F2|
2=|OQ|
2+|O F2|
2-2|OQ||O F2|cos∠F2OQ，
即(
c
3)
2
=a
2+c
2-2ac× 2❑√2
3
，
整理得a
2+ 8
9 c
2- 4 ❑√2
3
ac =0，于是有1+ 8
9(
c
a)
2
- 4 ❑√2
3
c
a =0，解得c
a = 3 ❑√2
4
.
二、多选题
3．（2026·江苏南京·三模）如图，圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，M是SB的中点，过M与底面平行的平面
绕M点逆时针转动，截圆锥依次得到圆，椭圆，部分椭圆，抛物线，双曲线.则（ ）
A．截面中圆的面积为π
4
B．截面是完整椭圆的离心率最大是1
2
C．截面是抛物线的焦准距p= 1
2
D．垂直于底面的双曲线截面的离心率为2❑√3
3
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出截面中圆的面积判断A；确定离心率最大的完整椭圆位置并求出离心率判断B；建立直
角坐标系分别求出抛物线和双曲线的方程，进而求解判断CD.
【详解】依题意，圆锥的底面圆半径r =1，圆锥的高SO = ❑√3，AM ⊥SB，
对于A，由M为母线SB的中点，得截面圆的半径为1
2 r = 1
2，则圆的面积为π
4 ，A 正确；
对于B，截面是完整椭圆的短轴可视为以点O为圆心，1
2为半径的圆垂直于AB的直径
沿⃗BM投影到截面椭圆上，则短轴长2b=1，当椭圆经过点A时，其长轴长2a取得最大值，
离心率e取得最大值，(2a)max = ❑√3，emax = ❑
√
1-
( 1
2 )
2
(
❑√3
2 )
2 =
❑√6
3 > 1
2
，B 错误；
对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为H，以M为原点，MO为x 轴，
在平面OMH中建立平面直角坐标系，则|OM |= 1
2 |SA |=1，|OH |=1，点H (1,1)，
设抛物线方程为y
2=2 px( p>0)，则1
2=2 p，解得p= 1
2，则抛物线的焦点到准线的距离为1
2，C 错误；
对于D，如图，在与平面SAB垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点O
″与点S到底面的距离相等，且M在x轴上，
则点M坐标为(
❑√3
2 ,0)，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为(❑√3,
❑√3
2 )，
设双曲线方程为x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，则a=
❑√3
2 ，4 - 3
4 b
2 =1，解得b
2= 1
4 ，
c =
❑√a
2+b
2=1，所以双曲线的离心率为e = c
a = 2❑√3
3
，D 正确.
三、填空题
4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C：x
2
a
2 - y
2
b
2 =1（a>0，b>0 ）的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点
分别为F1，F2，D为双曲线C上一点，若DA，DB的斜率之积为1
9，D F1，D F2的斜率之积为16
135，且△D F1 F2的
面积为4 ❑√10
3
，则a=________．
【答案】3
【分析】设D( x0, y0),利用斜率公式由k DA⋅k DB= 1
9，推得b
2= 1
9 a
2，由c
2=a
2+b
2得到c =
❑√10
3
a，由
k D F1⋅k D F2= 16
135，求得|y0|= 4
9 a，由三角形的面积公式列出方程，求解即得a的值.
【详解】C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1，可得A(-a,0),B(a,0)，F1(-c ,0), F2(c ,0)，
设D( x0, y0),则x0
2
a
2 - y0
2
b
2 =1，解得x0
2-a
2= a
2 y0
2
b
2 ，
因k DA⋅k DB=
y0
x0+a ⋅
y0
x0-a =
y0
2
x0
2-a
2 =
y0
2
a
2 y0
2
b
2
= b
2
a
2 = 1
9，则b
2= 1
9 a
2，
由c
2=a
2+b
2= 10
9 a
2，可得c =
❑√10
3
a，
又因k D F1⋅k D F2=
y0
x0+c ⋅
y0
x0-c =
y0
2
x0
2-c
2 =
y0
2
a
2 y0
2
b
2 +a
2-c
2
=
y0
2
a
2 y0
2
b
2 -b
2
=
b
2 y0
2
a
2 y0
2-b
4 = 16
135 ，
可得135b
2 y0
2=16a
2 y0
2-16b
4，
即135× 1
9 a
2 y0
2=16a
2 y0
2-16×(
1
9 a
2)
2
，
即y0
2= 16
81 a
2，即|y0|= 4
9 a，
依题意，S△D F1 F2= 1
2 ⋅| F1 F2|⋅| y0|= 1
2 ⋅2c⋅| y0|=c| y0|= 4 ❑√10
3
，
代入c =
❑√10
3
a,| y0|= 4
9 a，得到
❑√10
3
a⋅4
9 a= 4 ❑√10
3
，
解得a
2=9，又a>0，故a=3.
四、解答题
5．已知F1是双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1的左焦点，点A (2,3)在双曲线上且双曲线的离心率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若P是双曲线在第二象限内的动点，B (1,0)，记∠P F1B的内角平分线所在直线斜率为k3，直线BP斜率为k1,求证：
k1+ k3是定值.
【答案】(1)x
2- y
2
3 =1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用双曲线的离心率公式及点在双曲线上即可求解；
（2）根据两点的斜率公式及角平分的性质，利用斜率的定义及两角和的正切公式，结一元二次方程的解法，注意分
类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意可知：e = c
a =2⇒c =2a,b= ❑√3a，
因为点A (2,3)在双曲线上，
所以4
a
2 - 9
3a
2 =1，解得a=±1（负舍），
所以c =2,b= ❑√3
所以双曲线的标准方程x
2- y
2
3 =1.
（2）由题意可知，作出图形如图所示
当m=-2时，因为P(-2,n)在x
2- y
2
3 =1上，
所以(-2)
2- y
2
3 =1，解得y =±3（负舍），
所以P(-2,3),k3=1,k1=-1,
所以k1+k3=0，
设P(m,n)(m≠-2,n≠0),BP斜率k1=
n
m-1 , F1 P斜率k2=
n
m+2 ≠0,∠P F1B的角平分线斜率k3，
设∠P F1B =2θ，则k2= tan 2θ , k3= tanθ ,
所以tan 2θ = 2tanθ
1- tan
2θ ，即k2= 2k3
1-k3
2 ,即k2k3
2+2k3-k2=0，解得k3=-1±
❑√1+k2
2
k2
，
当-2<m<-1,k3=-1+
❑√1+k2
2
k2
时，
所以k1+k3=k1+-1+
❑√1+ k2
2
k2
= k1k2-1+
❑√1+ k2
2
k2
，
k1k2-1=
n
m-1 ⋅
n
m+2 -1= 3(m
2-1)-(m-1)(m+2)
(m-1)(m+2)
= 2m
2-m-1
(m-1)(m+2) = (m-1)(2m+1)
(m-1)(m+2) = 2m+1
m+2 ，
❑√1+k2
2= ❑√
1+
n
2
(m+2)
2 =
❑√
3(m
2-1)+(m+2)
2
(m+2)
2
= ❑√
4 m
2+ 4 m+1
(m+2)
2
= ❑√
(2m+1)
2
(m+2)
2 =|
2m+1
m+2 |=- 2m+1
m+2
，
所以k1+k3=0,
当m<-2,k3=-1-
❑√1+k2
2
k2
时，
所以k1+k3=k1+-1-
❑√1+k2
2
k2
= k1k2-1-
❑√1+ k2
2
k2
❑√1+k2
2= ❑√
1+
n
2
(m+2)
2
=
❑√
3(m
2-1)+(m+2)
2
(m+2)
2
= ❑√
4 m
2+ 4 m+1
(m+2)
2
= ❑√
(2m+1)
2
(m+2)
2 =|
2m+1
m+2 |= 2m+1
m+2
∴k1+k3=0.
综上所述：k1+k3=0.
【点睛】关键点睛：解决此题第一问的关键是利用点在双曲线上和双曲线的离心率公式即可，第二问，利用角平分线
的定义及斜率的定义，结合二倍角的正切公式注意分类讨论即可.
