文档文本内容
第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
第一部分：基础知识..............................................................1
第二部分：高考真题回顾..........................................................3
第三部分：高频考点一遍过........................................................3
高频考点一：函数的概念......................................................3
高频考点二：函数定义域......................................................5
角度1：具体函数的定义域.................................................5
角度2：抽象函数定义域...................................................5
角度3：已知定义域求参数.................................................5
高频考点三：函数解析式......................................................6
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）.....................................6
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）...................................6
角度3：待定系数法.......................................................7
角度4：方程组消去法.....................................................7
高频考点四：分段函数........................................................8
角度1：分段函数求值.....................................................8
角度2：已知分段函数的值求参数...........................................9
角度3：分段函数求值域（最值）...........................................9
高频考点五：函数的值域.....................................................10
角度1：二次函数求值域..................................................10
角度2：分式型函数求值域................................................10
角度3：根式型函数求值域................................................10
角度4：根据值域求参数..................................................11
第四部分：典型易错题型.........................................................12
备注：求函数解析式容易忽略定义域...........................................12
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“ ”的取值范围叫定义域........12
第五部分：新定义题（解答题）...................................................12
第一部分：基础知识
1、函数的概念
设 、 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在
集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么称 为从集合 到集合 的一个函数，记作
， .
其中： 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量 ， 之间的关 就是把 ， 之间的关系绘
就是将变量 ， 的取值列
系用一个关系式 来 制成图象，图象上每个点的
成表格，由表格直接反映出
表示，通过关系式可以由 坐标就是相应的变量 ，
两者的关系.
的值求出 的值. 的值.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4) 的定义域是 .
(5) ( 且 )， ， 的定义域均为 .
(6) ( 且 )的定义域为 .
(7) 的定义域为 .
5.2函数求值域
（1）分离常数法：
将形如 ( )的函数分离常数，变形过程为：
，再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定
函数的值域.
（2）换元法：如：函数 ，可以令 ，得到 ，函数
可以化为 ( )，接下来求解关于t的二次函数的值域问
题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·北京·统考高考真题）已知函数 ，则 ．
2．（2022·北京·统考高考真题）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为
；a的最大值为 ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·福建福州·高一福建省福清第一中学校考阶段练习）下列四个图形中，不是以 为自变量
的函数的图象是（ ）
A． B．C． D．
例题2．（2024上·四川泸州·高一统考期末）托马斯说：“函数是近代数学思想之花 ”根据函数的概念判
断：下列对应关系是集合 到集合 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
练透核心考点
1．（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知函数 的对应关系如下表所示，函数
的图象是如下图所示，则 的值为（ ）
1 2 3
4 3
A． B．0 C．3D．4
2．（多选）（2024上·陕西安康·高一校考期末）下列各图中，是函数 图象的是（ ）
A． B．C． D．
高频考点二：函数定义域
角度1：具体函数的定义域
典型例题
例题1．（2024下·河南·高一信阳高中校联考开学考试）函数 的定义域为（ ）
A． 且 B． C． D．
例题2．（2024上·北京东城·高三统考期末）函数 的定义域为 .
角度2：抽象函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数 的定义域是 ，则
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·福建龙岩·高一福建省武平县第一中学校联考期末）若幂函数 的图象过点 ，则
的定义域是（ ）
A． B． C． D．角度3：已知定义域求参数
典型例题
例题1．（2024上·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域是R，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则 的值为
．
练透核心考点
1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·山西长治·高一校联考期末）函数 的定义域为 .
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围为 .
4．（2024·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，则实数 的值为 ．
高频考点三：函数解析式
角度1：凑配法求解析式（注意定义域）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知 ，则函数 ， = ．
例题2．（2024上·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校联考期末）已知 （a，b均为常数），且 ．
(1)求函数 的解析式；
角度2：换元法求解析式（换元必换范围）
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，求 的解析式.
角度3：待定系数法
典型例题
例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数 是一次函数，且 ，则 （ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）设二次函数 满足 ，且 ，求 的
解析式.
角度4：方程组消去法
典型例题例题1．（2024·江苏·高一专题练习）已知 满足 ，则 解析式为 ．
例题2．（2024·江苏·高一专题练习）已知 ，求函数 的解析式．
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江苏·高一专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）若函数 满足方程 且 ，则：
（1） ；（2） ．
4．（2024·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 满足 ，则
.
5．（2024·江苏·高一专题练习）求下列函数的解析式
(1)设函数 是一次函数，且满足 ，求 的解析式
(2)设 满足 ，求 的解析式
6．（2024·江苏·高一专题练习）（1）已知 是一次函数，且满足 ，求 的
解析式；
（2）已知 ，求 的解析式；高频考点四：分段函数
角度1：分段函数求值
典型例题
例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）已知函数 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．0
例题2．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知函数 ，则
．
角度2：已知分段函数的值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 且 ，则
（ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
例题2．（2024上·江苏常州·高三统考期末）已知函数 若 ，则实数
的值为 ．角度3：分段函数求值域（最值）
典型例题
例题1．（2024上·河南南阳·高一校联考期末）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·四川达州·高一统考期末）已知函数 ，则 的最大值
是（ ）
A．60 B．58 C．56 D．52
练透核心考点
1．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知 ， ，则函数 的值
域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
3．（多选）（2024上·山东济宁·高一统考期末）已知 ，若 ，则 所有可能
的值是（ ）
A．－1 B． C．1 D．
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的值域为 ．高频考点五：函数的值域
角度1：二次函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·上海·高一校考期末）函数 ， 的最小值是 .
例题2．（2024上·湖南衡阳·高一统考期末）已知二次函数 满足 ．
(1)求 的解析式．
(2)求 在 上的值域．
角度2：分式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024上·山西太原·高一山西大附中校考期中）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2024上·上海·高一上海中学校考期末）函数 的值域是 ．
角度3：根式型函数求值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高一假期作业）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）已知函数 .
(1)求 的解析式；(2)求 的值域.
角度4：根据值域求参数
典型例题
例题1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数 ，若 的值域
为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024·上海·高一假期作业）已知 ，若函数 的值域为 ，则实数
的取值范围为 .
例题3．（2024上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期末）已知函数 的值域为 ，
则实数 的取值范围为 ．
练透核心考点
1．（2024上·广东广州·高二广东实验中学校联考期末）函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．4
2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王
子”美誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过x的最大整数，例如 ．已知
， ，则函数 的值域为 ．
4．（2024·全国·高三专题练习）函数 的值域是 或 ，则此函数的定义域为 .
5．（2024·全国·高三专题练习）求函数 的值域为 .
6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则常数 ．7．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的值域.
(1)
(2)
第四部分：典型易错题型
备注：求函数解析式容易忽略定义域
1．（2023上·广东佛山·高一校考期中）已知函数 ，则函数 的解析式为 ．
2．（2023上·江苏盐城·高一校考期中）若函数 ，则 ．
备注：抽象函数定义域问题容易忽视了，单独一个“ ”的取值范围叫定义域
1．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是 .
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数 的定义域为 ，若存在实数 ，使得 ，都满足 ，则称函数 为“三倍函数”.
(1)判断函数 是否为“三倍函数”，并说明理由；
(2)若函数 ， 为“三倍函数”，求 的取值范围.
